teorema de bayes y regla de multiplicacion

1. LA REGLA DE
MULTIPLICACIÓN Y LA
REGLA DE BAYES
12 DE AGOSTO DE 2014
APELLIDOS Y NOMBRES: LEXTERC
CICLO: V SECCIÓN: B
DOCENTE: JURO ASTOCAZA, WALTER

2. PROBABILIDAD:
La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un
acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento
aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo
condiciones suficientemente estables.
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las
diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de
un rango estadístico.
La probabilidad de un evento se denota con la letra “p” y se expresa en términos
de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por
otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el
valor de “p” y se denota con la letra “q”
Existen tres métodos para el cálculo de las probabilidades que son la regla de la
adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial, pero en esta
presentación solo nos referiremos a la regla de la multiplicación.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos
o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus
probabilidades individuales.
P(A y B) = P(A B) = P(A).P(B/A) si A y B son dependientes
P(A y B) = P(A B) = P(A).P(B) si A y B son independientes.
EVENTOS DEPENDIENTES.

3. Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A afecta
la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad de calcula
empleando la siguiente regla:
La probabilidad del evento B, calculada bajo la suposición de que el evento A ha
ocurrido, se denomina probabilidad condicional de B, dado A, y se denota por P
(B/A).
EJEMPLOS:
1. De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un 7 de Trébol
en la primera extracción y B sacar un Rey en la segunda extracción. Calcular
la probabilidad de sacar dos Ases en dos extracciones sin devolver la
carta extraída.

4. A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la
probabilidad de ocurrencia de B.
La probabilidad de que la primera carta sea un As es:
푃(퐴) = 1/52
A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la
probabilidad de ocurrencia de B.
푃(퐵/퐴) = 4/51
Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la
multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:
푃(퐴푦퐵) = 푃(퐴) ∗ 푃(퐵/퐴)
푃(퐴푦퐵) = 1/52 ∗ 4/51
= 1/663
2. Dentro de una urna hay 7 canicas rojas, 3 canicas verdes y 5 canicas azules,
sea el evento A de extraer 2 canicas rojas y el evento B de extraer 1 y 2
canicas azul y roja respectivamente.
Siendo los sucesos A y B dependientes ya que la ocurrencia de A afecta la
probabilidad del suceso B.
푃(퐴) =
2
15
푃(퐵/퐴) = 3/13
푃(퐴푦퐵) = 푃(퐴) ∗ 푃(퐵/퐴)
푃(퐴푦퐵) = 2/15 ∗ 3/13
= 2/65
3. Un lote de 27 artículos, tiene 11 defectuosos. Se toma al azar 5 artículos
del lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que sean buenos.
A= {Sacar el primer artículo}
B= {Sacar el segundo artículo}
C= {Sacar el tercer articulo}
D= {Sacar el cuarto articulo}
E= {Sacar el quinto articulo}
푃 = 16/27 ∗ 15/26 ∗ 14/25 ∗ 13/24 ∗ 12/23
푃 = 0.05410628

5. EVENTOS INDEPENDIENTES.
Si A y B son dos eventos independientes, es decir, si el conocimiento de la
incidencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del
otro, entonces, para calcular la probabilidad de dichos eventos se aplica la
siguiente regla:
Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la
probabilidad de ocurrencia del otro, esto es, si:
Ejemplos:
1. En una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se
toma otra. Cuál es la probabilidad de que en el evento “A” la primera carta
sea diamantes, y en el evento “B” la segunda carta sea de tréboles.
푃(퐴훾퐵) = 푃(퐴) ∗ 푃(퐵)
= 13/52 ∗ 13/52
= 169/2704
2. En la urna "훼" tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna "훽" 12
bolas blancas y 8 bolas negras.
Cuál es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una.
푃(퐴훾퐵) = 푃(퐴) ∗ 푃(퐵)
= 7/20 ∗ 12/20
= 84/400
= 21/100
3. Una Empresa de Encuestadora desea seleccionar a 3 personas para
obtener sus resultados sobre el referéndum que se a llevado a cabo en el
lugar, dicho esto se desea saber cuál es la probabilidad de que las dos
primeras personas votaran a favor del referéndum, dado que solo hay
opción de votar a favor o en contra.
F: A favor
C: En contra

6. Elaborando el diagrama el diagrama del árbol se obtienen todas las
probabilidades:
Estos son eventos independientes, ya que la probabilidad de que ocurra el evento
A no afecta la ocurrencia de probabilidad de que ocurra el evento o suceso B.
Evento A= {Votara a Favor}
Evento B= {Votara en Contra}
푝(퐴푦퐵) = 푃(퐴) ∗ 푃(퐵)
= 1/2 ∗ 1/2
REGLA DE BAYES
La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica
cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió
primero dado lo que ocurrió después.
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en
el Teorema de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A
(probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la
probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

7. Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un
accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía
buen tiempo?).
La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura
permite el cálculo de probabilidades después de haber sido realizado un
experimento (probabilidades a posteriori), basándose en el conocimiento de la
ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte
de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento
(probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias
del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).
Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad
condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:
Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(Ai∩B) = P(Ai) P(B/Ai) y en
el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2)
P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa al:
Teorema de Bayes
EJEMPLOS:
1. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a
las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B
adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción
total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos
defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y
5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso,
encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

8. Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto
tenemos que:
P(A) = 0.5 P(D|A) = 0.03
P(B) = 0.3 P(D|B) = 0.04
P(C) = 0.2 P(D|C) = 0.05
Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique,
significa que es producido por la máquina A. También observamos que en
la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone
por condición esta característica. Por lo tanto:
2. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35
son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres
son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista
en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Evento H: {Sea un hombre}
Evento M: {Sea una mujer}
Evento E: {La persona sea especialista en computación}
Por lo tanto:

9. 3. Un ingeniero químico sabe que cuando se compran etiquetas a un
proveedor A, el número de etiquetas defectuosas y no defectuosas están
en la relación 1:24; mientras que el proveedor B afirma que la probabilidad
de encontrar una etiqueta no defectuosa en su compañía es de 9/10. Si se
compra la misma cantidad de etiquetas a ambos proveedores:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que si se encontró una defectuosa, ésta sea del
proveedor B?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor A, si se encontró que
no es defectuosa?
Sea “D” el evento de que la etiqueta sea defectuosa y DC que no lo sea. Entonces
por el corolario anterior se tiene:

10. G