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  • 1. Transformada Discreta de FourierEn matemáticas, la transformada discreta de Fourier o DFT (del inglés, discreteFourier transform) es un tipo de transformada discreta utilizada en el análisis deFourier. Transforma una función matemática en otra, obteniendo una representaciónen el dominio de la frecuencia, siendo la función original una función en el dominio deltiempo. Pero la DFT requiere que la función de entrada sea una secuencia discreta y deduración finita. Dichas secuencias se suelen generar a partir del muestreo de unafunción continua, como puede ser la voz humana. Al contrario que la transformada deFourier en tiempo discreto(DTFT), esta transformación únicamente evalúa suficientescomponentes frecuenciales para reconstruir el segmento finito que se analiza. Utilizarla DFT implica que el segmento que se analiza es un único período de una señalperiódica que se extiende de forma infinita; si esto no se cumple, se debe utilizaruna ventana para reducir los espurios del espectro. Por la misma razón, la DFT inversa(IDFT) no puede reproducir el dominio del tiempo completo, a no ser que la entradasea periódica indefinidamente. Por estas razones, se dice que la DFT es unatransformada de Fourier para análisis de señales de tiempo discreto y dominio finito.Las funciones sinusoidales base que surgen de la descomposición tienen las mismaspropiedades.La entrada de la DFT es una secuencia finita de números reales o complejos, de modoque es ideal para procesar información almacenada en soportes digitales. En particular,la DFT se utiliza comúnmente en procesado digital de señales y otros camposrelacionados dedicados a analizar las frecuencias que contiene una señal muestreada,también para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y para llevar a cabooperaciones como convoluciones o multiplicaciones de enteros largos. Un factor muyimportante para este tipo de aplicaciones es que la DFT puede ser calculada de formaeficiente en la práctica utilizando el algoritmo de la transformada rápida de Fourier oFFT (Fast Fourier Transform).Los algoritmos FFT se utilizan tan habitualmente para calcular DFTs que el término"FFT" muchas veces se utiliza en lugar de "DFT" en lenguaje coloquial. Formalmente,hay una diferencia clara: "DFT" hace alusión a una transformación o funciónmatemática, independientemente de cómo se calcule, mientras que "FFT" se refiere auna familia específica de algoritmos para calcular DFTs.DefiniciónLa secuencia de N números complejos x0, ..., xN−1 se transforma en la secuenciade N números complejos X0, ..., XN−1 mediante la DFT con la fórmula:donde i es la unidad imaginaria y es la N-ésima raíz de la unidad. (Esta expresiónse puede escribir también en términos de una matriz DFT; cuando se escala de formaapropiada se convierte en una matriz unitaria y Xk puede entonces ser interpretadocomo los coeficientes de x en una base ortonormal.)
  • 2. La transformada se denota a veces por el símbolo , igual que eno o .La transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) viene dada porUna descripción simple de estas ecuaciones es que los números complejos representan la amplitud y fase de diferentes componentes sinusoidales de la señal deentrada . La DFT calcula a partir de , mientras que la IDFT muestra cómocalcular como la suma de componentes sinusoidales conuna frecuencia de ciclos por muestra. Escribiendo las ecuaciones de este modo,estamos haciendo un uso extensivo de la fórmula de Euler para expresar sinusoides entérminos de exponentes complejas, lo cual es mucho más sencillo de manipular. Delmismo modo, escribiendo en forma polar, obtenemos una sinudoide deamplitud y fase a partir del módulo y argumento complejos de ,respectivamente:donde atan2 es la forma bi-argumental de la función arcotangente. Nótese que el factorde normalización que multiplica a la DFT y la IDFT (que son 1 y 1/N) y los signos de losexponentes se colocan meramente por convenio, y varían dependiendo de la aplicación.El único requisito para este convenio es que la DFT y la IDFT tengan exponentes designo opuesto y que el producto de sus factores de normalización sea 1/N. Unanormalización de para ambas DFT y IDFT hace las transformadas unitarias, locual tiene ciertas ventajas teóricas, pero suele ser más práctico a la hora de efectuaroperaciones numéricas con el ordenador efectuar el escalado de una sola vez (y unescalado unitario suele ser conveniente en otras ocasiones).(El convenio del signo negativo en el exponente suele ser adecuado porque significaque es la amplitud de una "frecuencia positiva" . De forma equivalente, laDFT se suele considerar como un filtro adaptado: cuando se busca una frecuencia de+1, se correla la señal de entrada con una frecuencia de −1.)En adelante, los términos "secuencia" y "vector" serán considerados equivalentes.PropiedadesCompletitudLa transformada discreta de Fourier es una transformación lineal e invertible.donde C denota el cuerpo de los números complejos. En otras palabras, paracada N > 0, cualquier vector complejo N-dimensional tiene una DFT y una IDFT queconsisten también en vectores complejos N-dimensionales.Ortogonalidad
  • 3. Los vectores forman una base ortogonal sobre el cuerpo de los vectorescomplejos N-dimensionales:donde es la delta de Kronecker. Esta condición de ortogonalidad puede serutilizada para obtener la fórmula de la IDFT a partir de la definición de la DFT, y esequivalente a la propiedad de unicidad.Los teoremas de Plancherel y ParsevalSi Xk y Yk son las DFTs de xn y yn respectivamente, entonces el teorema dePlancherel establece que:donde el asterisco denota conjugación compleja. El teorema de Parseval es un casoespecial del teorema de Plancherel, y dice que:Estos teoremas son también equivalentes a la condición de unicidad.PeriodicidadSi la expresión que define la DFT se evalúa para todos los enteros k en lugar deúnicamente para , la secuencia infinita resultante es unaextensión periódica de la DFT, de período N.Esta periodicidad puede demostrarse directamente a partir de la definición:De forma similar, se puede demostrar que la fórmula de la IDFT lleva a una extensiónperiódica.Teorema del desplazamientoMultiplicando por una fase lineal para cualquier entero m equivale aun desplazamiento circular de la salida : se reemplaza por , donde elsubíndice se repite periódicamente (período N). De forma similar, un desplazamientocircular de la entrada equivale a multiplicar la salida por una fase lineal.Matemáticamente, si representa el vector x entonces:si entoncesy
  • 4. Teorema de la convolución circular y teorema de la correlación cruzadaEl teorema de la convolución para las transformada de Fourier continua y discretaindica que una convolución de dos secuencias infinitas se puede obtener como latransformada inversa del producto de las transformadas de cada una de ellas. Consecuencias y transformadas de longitud N, la convolución circularse define:El número entre paréntesis es 0 para todos los valores de m excepto aquellos de laforma , donde p es un entero cualquiera. En estas posiciones vale 1.Puede ser por tanto reemplazado por una suma infinita de deltas de Kronecker. Nóteseque se pueden extender los límites de m hasta infinito, siendo lassecuencias x e y definidas nulas fuera de [0,N-1]:que es la convolución de la secuencia con la secuencia que está extendidaperiódicamente y definida:También se puede demostrar que:que es la correlación cruzada de yUna evaluación directa de la convolución requiere operaciones para unasecuencia de entrada de longitud N. El método indirecto, usando transformadas, puede
  • 5. sacar provecho de la transformada rápida de Fourier (FFT), que necesita tansólo operaciones, de modo que se consigue una eficiencia muchomayor. Además, las convoluciones pueden ser utilizadas para calcular de formaeficiente DFTs mediante el algoritmo FFT de Rader y el algoritmo FFT de Bluestein.Se han creado otros métodos que usan la convolución circular como parte de unproceso eficiente que obtiene convoluciones normales (no circulares) con unasecuencia o potencialmente mucho más larga que N. Ambos métodos se conocencomo overlap-save y overlap-add.Dualidad del teorema de la convoluciónEs posible demostrar que: que es la convolución circular de y .Polinomio de interpolación trigonométricaEl polinomio interpolador trigonométrico para N par, para N impar,donde los coeficientes Xk vienen dados por la DFT de xn anterior, satisface la propiedadde interpolación para .Para N par, véase que la Frecuencia de Nyquist se maneja deforma especial.Esta interpolación no es única: el aliasing implica que se podría sumar N a cualquierfrecuencia compleja sinusoidal (por ejemplo, cambiando por ) sin quese altere la propiedad de interpolación, pero dando valores diferentes entre puntos.De todos modos, esto tiene dos propiedades interesantes. En primer lugar, consiste ensinusoides cuyas frecuencias tienen las magnitudes más pequeñas posibles: lainterpolación es limitada en banda. Y en segundo lugar, si son números reales,entonces es también real.En contraste, el polinomio de interpolación trigonométrica más obvio es el que cuyorango de frecuencias va de 0 a N-1 (en lugar de to como se ha vistopreviamente), similar a la fórmula de la DFT inversa. Esta interpolación no minimiza lapendiente, y en general no toma valores reales para un real; su uso es un errorcomún.
  • 6. La DFT unitariaOtra forma de interpretar la DFT es dándose cuenta que en puede expresarse comouna matriz de Vandermonde: dondees una raíz de la unidad. La transformada inversa viene entonces dada por la inversa dela matriz anterior:Con constantes de normalización unitarias , la DFT se convierte en unatransformación unitaria, definida por una matriz unitaria:Dicho donde det() es el determinante determinante es el producto de los valorespropios, que siempre son o . En un espacio vectorial real, una transformaciónunitaria puede verse simplemente como una rotación rígida del sistema decoordenadas, y todas las propiedades de esta rotación rígida pueden hallarse en la DFTunitaria. La ortogonalidad de la DFT se convierte ahora en ortonormalidad.Si se define como la DFT unitaria del vector entoncesLa transformada de Fourier Discreta en el tiempo (y también la transformada continua)pueden ser evaluadas cuando tenemos una expresión analítica para la señal. Supongaque tengamos una señal, como es la señal del habla usada en el capitulo anterior, paraella no existe una formula. Entonces ¿cómo podría usted calcular su espectro? Porejemplo, ¿cómo calculamos el espectrograma para el ejemplo de la señal de habla ?La transformada de Fourier discreta ( DFT) nos permite calcula el espectro deinformación discreta en el tiempo. Estando en tiempo discreto podemos calcularexactamente el espectro, para señales análogas no existe manera similar para calcular
  • 7. su espectro similar. Para el espectro de señales análogas se tienen que construir equipoespecial, que consiste en casi todos los casos de convertidores A / D y computacionesdiscretas. Análisis de el espectro discreta en el tiempo son más flexibles que los análisisde las señales continuas.La fórmula del DTFT es una suma que conceptualmente es fácil de calcular excepto porunos problemas. Duración de la señal. La suma se extiende sobre la duración de la señal, la cual tiene que ser finita para calcular el espectro de la señal. Es extremadamente difícil guardar una señal infinita, así que asumimos que la señal se extiende sobre [0,N-1] Frecuencia continúa. Igual de importante que el problema de la duración de la señal es el hecho que la frecuencia variable es continua: tal vez solo se tenga que extender un periodo, como [-12,12] o [0,1], pero la formula DTFT requiere evaluar el espectro de todas las frecuencias dentro del periodo. Calculemos el espectro de unas cuantas frecuencias; las más obvias son las que tienen una espacio similarAsí que definimos la transformada discreta de Fourier ( DFT) comoAquí, S(k) representa .Podemos calcular el espectro en todas las frecuencias con espacio similar quequeremos. Note que usted puede pensar de esta motivación computacionalcomo muestrear el espectro; se verá más sobre esta interpretación después. Elproblema ahora es el saber cuántas frecuencias son suficientes para capturarlo como elespectro cambia con la frecuencia. Una manera de responder esta pregunta esdeterminando la formula de la transformada inversa discreta de Fourier:dado S(k),k={0,...,K-1} ¿cómo encontramos s(n),n={0,...,N-1}? La formula estará en la siguiente manera . Substituyendo laformula DFT en este prototipo para la transformada inversa da:Note que la relación de ortogonalidad que usamos tiene un carácter diferente ahora.(K=K si (m={n,m±K,n±2K,...} y O de otra manera)Nosotros obtenemos valores de no cero cada vez que los dos índices difieren pormúltiple de K. Podemos expresar estos resultados como . Así,nuestra formula se convierte
  • 8. Los números n y m existen en el rango {0,...,N-1}. Para obtener una transformadainversa, necesitamos sumar un solo muestreo unitario para m,n en este rango. Si no lohiciéramos, s(n) igualaría a la suma de valores, y no tendríamos una transformadavalida: una vez que regresemos al dominio de frecuencia, no podríamos obtener una¡ambiguosidad! claramente, el termino l=0 siempre provee un muestreo unitario (nosharemos cargo del factor de K pronto). Si evaluamos el espectro en menos frecuenciasque lo que dura la señal, el termino correspondiente a m=n+K aparecerá para algunosvalores de m,n{0,...,N-1}. Esta situación significa que nuestra transformadaprototipo iguala s(n)+s(n+K) para cualquier valor de n. La única manera de eliminareste problema es el requerir K≥N: tenemos que tener más muestreos de frecuenciaque lo que dura la señal. De esta manera, podemos regresar del dominio de frecuenciaal cual entramos por la DFT.