Números Complejos

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Este texto presenta una introducción a los números complejos para estudiantes de bachillerato

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Números Complejos

  1. 1. N´meros complejos u1. CuerposUn cuerpo conmutativo es un conjunto de n´meros que pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. uLos n´meros racionales, esto es, los n´meros que pueden escribirse en forma de fracci´n, forman un u u ocuerpo conmutativo que se representa por la letra Q. Los n´meros reales, formados por los racionales ue irracionales, se representan por la letra R y tambi´n tienen estructura de cuerpo conmutativo. Sin eembargo el conjunto de los n´meros enteros Z no es un cuerpo pues, en general, los n´meros enteros no u use pueden dividir, por ejemplo, el cociente de 7 entre 3 no es un n´mero entero. uDe forma m´s precisa, un cuerpo conmutativo F es un conjunto con cuyos elementos pueden hacerse dos aoperaciones, suma y producto y estas operaciones tienen las propiedades siguientes: Propiedades de la suma: 1. Asociativa. Para sumar tres elementos pueden asociarse como se quiera (a + b) + c = a + (b + c) 2. Elemento neutro o cero. Existe un elemento que se le suele llamar cero con la propiedad: a+0=a 3. Elemento sim´trico u opuesto. Para cada elemento a del cuerpo existe otro elemento (repre- e sentado generalmente por −a) con la propiedad de que al sumar ambos se obtiene el elemento neutro: a + (−a) = 0 4. Conmutativa. El resultado de la suma es independiente del orden de los sumandos: a+b=b+a La existencia de elemento opuesto hace que exista siempre la diferencia de los n´meros. La dife- u rencia es la suma de un elemento y el opuesto del otro: a − b = a + (−b) Propiedades del producto: 1. Asociativa. Para multiplicar tres elementos pueden asociarse como se quiera (a · b) · c = a · (b · c) 2. Elemento neutro o unidad. Existe un elemento que se le suele llamar uno con la propiedad: a·1=a 1
  2. 2. ´2 NUMEROS COMPLEJOS 2 3. Elemento sim´trico o inverso. Para cada elemento a del cuerpo salvo para el cero, existe otro e elemento (representado generalmente por a−1 ) con la propiedad de que al multiplicar ambos se obtiene el elemento unidad: a · a−1 = 1 4. Conmutativa. El producto es independiente del orden de los factores: a·b=b·a La existencia de elemento inverso garantiza que se puedan dividir dos n´meros salvo si el divisor u es cero. El cociente es el producto del primer elemento por el inverso del segundo: a/b = a · b−1 Propiedades de la suma y el producto Distributiva a · (b + c) = a · b + a · cDado un cuerpo F y un n´mero a no perteneciente al cuerpo, siempre puede encontrarse un cuerpo que ucontenga a ambos, es decir, al cuerpo F y al n´ mero a. Por ejemplo, si consideramos el √ √ u cuerpo Q delos n´meros racionales y el n´mero 2 que no es racional, los n´meros de la forma a + b 2 con a y b u u u √racionales, forman un cuerpo que incluye a todos los racionales y a 2.2. N´meros complejos uTanto el conjunto Q de los n´ meros racionales como el conjunto R de los n´meros reales son cuerpos. u uLa necesidad de ampliar el cuerpo de los racionales, surge del hecho de que muchas funciones, como porejemplo las ra´ ıces o el logaritmo, no tienen sentido dentro de este conjunto.Seg´n hemos visto, en el conjunto de los n´ meros reales tampoco pueden definirse algunas funciones u ucomo la ra´ cuadrada o el logaritmo para n´meros negativos. La ampliaci´n del concepto de n´mero a ız u o ulos n´meros complejos permite extender el dominio de estas funciones a todos los n´meros. u uPara construir los n´meros complejos vamos a a˜adir a los n´meros reales un n´mero i que llamaremos u n u uunidad imaginaria y que cumple que i2 = −1, es decir, el n´mero i es una ra´ de −1. u ızSi queremos que el nuevo conjunto sea un cuerpo, para que est´ definida la multiplicaci´n, debemos a˜adir e o ntodos los n´ meros de la forma bi donde b es un n´mero real. Estos n´meros, producto de un n´mero real u u u upor la unidad imaginaria, se llaman n´meros imaginarios puros. uAdem´s, puesto que los n´meros se pueden sumar, deben existir los n´meros de la forma a + bi donde a a u uy b son n´meros reales. Estos n´meros son suma de un n´ mero real y un n´mero imaginario puro. u u u uVeremos que con n´meros de la forma a + bi con a, b ∈ R pueden definirse la suma y la multiplicaci´n u ocon todas las propiedades de un cuerpo conmutativo. Estos n´meros forman el cuerpo de los n´meros u ucomplejos y esta representaci´n de los complejos como suma de un n´mero real y un n´mero imaginario o u upuro se llama forma bin´mica del n´mero complejo. El cuerpo de los n´meros se representa por C. o u uPor consiguiente, un n´mero complejo a + bi est´ formado por dos n´meros reales a y b. El n´mero a u a u use llama parte real del complejo, y el n´mero b (el que aparece multiplicando a la unidad imaginaria) se udenomina parte imaginaria del complejo. Esto es similar a los n´meros fraccionarios que estan compuestos upor dos n´ meros enteros, el numerador y? el denominador. uDe la misma forma que los n´meros reales se representan sobre una recta, los n´meros complejos se u urepresentan en un plano llamado Plano de Argand, tomando la parte real sobre el eje de abscisas (quellamaremos eje real ) y la parte imaginaria sobre el eje de ordenadas (eje imaginario). El punto represen-tativo de un n´mero se llama afijo del complejo. u
  3. 3. ´3 OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA BINOMICA 3En esta representaci´n, los afijos de los n´meros reales est´n sobre el eje de abscisas y los n´meros o u a uimaginarios puros sobre el eje de ordenadas. De ah´ los nombres de eje real y eje imaginario con que ıdesignamos estos ejes.Los complejos que tienen la misma parte real y parte imaginaria del mismo valor y signo contrario, esdecir, los complejos a + bi y a − bi, se llaman conjugados. El conjugado de un complejo z se representapor z . Los afijos de estos complejos son puntos sim´tricos respecto al eje real. Los n´meros reales son ¯ e uconjugados de s´ mismos. En la figura siguiente pueden verse los afijos de algunos pares de complejos ıconjugados.3. Operaciones con complejos en forma bin´mica o Suma y diferencia. La suma de complejos en forma bin´mica se obtiene sumando las partes o reales e imaginarias de los dos complejos: (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i Por ejemplo: (−5 + 2i) + (3 − i) = −2 + i (−5 + 2i) − (3 − i) = −8 + 3i
  4. 4. 4 POTENCIA Y RA´ CUADRADA EN FORMA BINOMICA IZ ´ 4 Producto. Los complejos se multiplican como si fuesen binomios y el polinomio resultante se reduce teniendo en cuenta que i2 = −1: (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac − bd + (ad + bc)i Por ejemplo: (6 − 2i) · (1 + 5i) = 6 + 30i − 2i − 10i2 = 6 + 28i + 10 = 16 + 28i El producto de un complejo por su conjugado es un n´mero real positivo. En efecto, sea z = a + bi: u z z = (a + bi)(a − bi) = a2 − b2 i2 = a2 + b2 ¯ La ra´ cuadrada positiva de este n´mero se llama m´dulo del complejo y se representa por |z|: ız u o √ |z| = z z = a2 + b2 ¯ Por ejemplo: √ z = 7 − 5i =⇒ |z| = 72 + 52 = 84 Cociente. La divisi´n de un complejo por un n´mero real es muy sencilla, basta dividir por ese o u n´mero tanto la parte real como la parte imaginaria: u a + bi a b = + i c c c Si el divisor es un n´mero complejo, puede reducirse al caso anterior multiplicando numerador y u denominador por el conjugado del denominador: a + bi (a + bi)(c − di) ac + bd + (bc − ad)i ac + bd bc − ad = = = 2 + 2 i c + di (c + di)(c − di) c2 + d2 c + d2 c + d2 Por ejemplo: 1 + 2i (1 + 2i)(−2 − 3i) −2 − 3i − 4i − 6i2 4 − 7i 4 7 = = = = − i −2 + 3i (−2 + 3i)(−2 − 3i) 22 + 32 13 13 134. Potencia y ra´ cuadrada en forma bin´mica ız oLa potencia de un n´mero complejo puede calcularse mediante la f´rmula del binomio de Newton: u o m m m m−1 m m−2 2 m m (a + b)m = a + a b+ a b + ··· + b 0 1 2 mdonde    1 si n=0 m = n  m(m − 1)(m − 2) . . . (m − n + 1) si n = 0  n!estos coeficientes pueden obtenerse tambi´n del tri´ngulo de Tartaglia: e a 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1
  5. 5. 4 POTENCIA Y RA´ CUADRADA EN FORMA BINOMICA IZ ´ 5Para un complejo en forma bin´mica, la f´rmula de Newton puede escribirse como o o m m m m−1 m m−2 2 2 m mm (a + bi)m = a + a bi + a b i + ··· + b i 0 1 2 mPara calcular las potencias de la unidad imaginaria tenemos en cuenta lo siguiente:i1 =i i5 =i·1=i i9 = i · 1 = ii2 = −1 i6 = i · i = −1 i10 = i · i = −1i3 = i · (−1) = −i i7 = i · (−1) = −i i11 = i · (−1) = −ii4 = i · (−i) = −i2 = 1 i8 = i · (−i) = −i2 = 1 i12 = i · (−i) = −i2 = 1Puede verse que las potencias de i se repiten en el orden i, −1, −i, 1, y que cuando el exponente esm´ltiplo de 4 la potencia vale 1. En general, puede escribirse: u in = in mod 4donde n mod 4 significa el resto de dividir n entre 4 (se lee n m´dulo 4). oEjemplo 1 Calcular (2 − 5i)3 .Aplicando la f´rmula del binomio y teniendo en cuenta que i2 = −1 e i3 = −i: o (2 − 5i)3 = 23 − 3 · 22 · 5i + 3 · 2 · 52 i2 − 53 i3 = 8 − 60i − 150 + 125i = −142 + 65iSupongamos ahora que queremos calcular la ra´ cuadrada del complejo a + bi, esto es, queremos calcular ızun n´mero complejo x + yi que cumpla: u (x + yi)2 = a + biDesarrollando el cuadrado e igualando la parte real y la parte imaginaria de cada n´mero resulta: u x2 − y 2 = a x2 − y 2 − 2xyi = a + bi =⇒ 2xy = bresolviendo el sistema se obtienen las dos ra´ ıces cuadradas. Hay que recordar que x e y son n´meros ureales.M´s adelante veremos un m´todo mejor para calcular las potencias y ra´ a e ıces de n´meros complejos. u √Ejemplo 2 Calcular la ra´ cuadrada 21 − 20i = x + yi. ız √Sea 21 − 20i = x + yi. Seg´n hemos visto se cumple que u x2 − y 2 = 21 2xy = −20Despejando y en la segunda ecuaci´n y sustituyendo en la primera: o −20 −10 100 y= = =⇒ x2 − = 21 =⇒ x4 − 21x2 − 100 = 0 2x x x2Resolviendo la ecuaci´n bicuadrada se obtiene x = −5 y x = 5. Los valores correspondientes de y son 2 y o−2. Por consiguiente, las dos ra´ son −5 + 2i y 5 − 2i. Comprobemos, por ejemplo, el primer resultado: ıces (−5 + 2i)2 = 25 − 20i + 4i2 = 25 − 20i − 4 = 21 − 20i
  6. 6. ´ ´5 FORMA POLAR Y TRIGONOMETRICA DEL NUMERO COMPLEJO 65. Forma polar y trigonom´trica del n´mero complejo e uEl afijo de un n´mero complejo puede determinarse, en lugar de por sus coordenadas cartesianas, por u ´sus coordenadas polares. Estas son el m´dulo r y el argumento ϕ. El m´dulo es la distancia del afijo del o ocomplejo al origen de coordenadas. Si conocemos la parte real a y la parte imaginaria b del complejo, elm´dulo es: o r= a2 + b2El m´dulo de un complejo es un n´ mero real positivo. Se suele representar tambi´n escribiendo el complejo o u eentre barras, por ejemplo |z|, o |a + bi|.El argumento de un complejo es el ´ngulo que forma el segmento que une el origen y el afijo del complejo acon el semieje real positivo. En realidad, un complejo tiene infinitos argumentos que difieren en un m´ltiplo ude 2π, pues si ϕ es un argumento tambi´n lo es ϕ + 2kπ donde k es un n´mero entero. El argumento se e urelaciona con la parte real y la parte imaginaria del complejo por: b tg ϕ = asiempre determinando el ´ngulo teniendo en cuenta el cuadrante en el que se encuentra el afijo del acomplejo.Un complejo en forma polar se escribe como rϕ . Por ejemplo 2 π es el complejo que tiene de m´dulo 2 y 3 oargumento π . 3 √Ejemplo 3 Calcular el m´dulo y el argumento del n´mero complejo −1 + o u 3i.El m´dulo del complejo es: o √ √ r = 1+3= 4=2El afijo del n´mero se encuentra en el segundo cuadrante de modo que el argumento es: u √ 3 √ π 2π tg ϕ = = − 3 =⇒ ϕ = π − + 2kπ = + 2kπ (k ∈ Z) −1 3 3Si se conocen el m´dulo y el argumento, la parte real y la parte imaginaria se obtienen mediante o a = r cos ϕ b = r sen ϕ
  7. 7. ´6 PRODUCTO Y COCIENTE EN FORMA TRIGONOMETRICA 7de forma que el complejo a + bi puede escribirse como a + bi = r cos ϕ + ir sen ϕ = r(cos ϕ + i sen ϕ)Esta manera de escribir el complejo, sustituyendo r y ϕ en la ultima expresi´n, se llama forma trigonom´tri- ´ o eca del n´mero complejo. Por ejemplo, un complejo en forma trigonom´trica ser´ 3(cos π + i sen π ). Este u e ıa 3 3complejo tiene de m´dulo 3 y argumento π . o 3Ejemplo 4 Calcular la expresi´n en forma bin´mica del complejo de m´dulo 2 y argumento 225o . o o o 5πEl argumento 225o es igual a 4 radianes. Pasando primero a la forma trigonom´trica tenemos que: e √ √ 5π 5π 2 2 √ √ 2 5π = 2 cos + i sen =2 − −i = − 2 − 2i 4 4 4 2 26. Producto y cociente en forma trigonom´trica eSean los complejos: z1 = r1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1 ) z2 = r2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2 )Multipliquemos los dos n´meros: u z1 z2 = r1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2 ) = r1 r2 cos ϕ1 cos ϕ2 + i cos ϕ1 sen ϕ2 + i sen ϕ1 cos ϕ2 + i2 sen ϕ1 sen ϕ2 = r1 r2 [cos ϕ1 cos ϕ2 − sen ϕ1 sen ϕ2 + i(sen ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sen ϕ2 )] = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sen(ϕ1 + ϕ2 )]´Esta es la forma trigonom´trica de un complejo de m´dulo r1 r2 y de argumento ϕ1 + ϕ2 . Llegamos e opor tanto a la siguiente conclusi´n: para multiplicar dos complejos en forma polar o trigonom´trica, se o emultiplican sus m´dulos y se suman sus argumentos. oNo es dif´ imaginar que para dividir complejos se dividir´n sus m´dulos y se restar´n sus argumentos. ıcil a o aEn efecto, dividamos en forma trigonom´trica multiplicando numerador y denominador por el conjugado edel denominador: z1 r1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1 ) = z2 r2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2 ) r1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1 )(cos ϕ2 − i sen ϕ2 ) = r2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2 )(cos ϕ2 − i sen ϕ2 ) r1 (cos ϕ1 cos ϕ2 − i cos ϕ1 sen ϕ2 + i sen ϕ1 cos ϕ2 − i2 sen ϕ1 sen ϕ2 ) = r2 (cos2 ϕ2 + sen2 ϕ2 ) r1 [cos ϕ1 cos ϕ2 + sen ϕ1 sen ϕ2 + i(sen ϕ1 cos ϕ2 − cos ϕ1 sen ϕ2 )] = r2 r1 [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i(sen ϕ1 − ϕ2 )] = r2 r1 ×= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i(sen ϕ1 − ϕ2 )] r2Como hab´ıamos previsto resulta que el complejo cociente de otros dos, tiene como m´dulo el cociente de osus m´dulos y como argumento la diferencia de sus argumentos, o
  8. 8. 7 POTENCIA Y RA´ EN FORMA POLAR IZ 8Ejemplo 5 Calcular en forma polar el cociente: (1 + i)3i √ √ 2 − 2iEn primer lugar, calculamos los complejos en forma polar. Es f´cil ver que: a √ 1 + i = 2π 4 3i = 3 π √ √ 4 2− 2i = 2 7π 4Entonces: √ √ √ √ (1 + i)3i 2π 3π 3 2 3 2 3 2 √ √ = 4 2 = = = 2 − 2i 2 7π 2 2 2 4+2− 4 −π π π 7π 4 π7. Potencia y ra´ en forma polar ızPuesto que la potencia de exponente natural no es sino un producto de factores iguales, podemos aplicarla regla de c´lculo de productos para calcular las potencias: los m´dulos deber´n multiplicarse y los a o aargumantos sumarse. Puesto que al multiplicar n veces el m´dulo r por s´ mismo se obtiene rn y al sumar o ıel argumento ϕ consigo mismo n veces se obtiene nϕ se tiene que: n [r(cos ϕ + i sen ϕ)] = rn (cos nϕ + i sen nϕ)Si r = 1, la expresi´n anterior se escribe como o cos nϕ + i sen nϕ = (cos ϕ + i sen ϕ)nque se conoce como f´rmula de Moivre. La f´rmula de Moivre permite calcular el seno y el coseno de los o oa´ngulos doble, triple, cu´druple, etc, de un ´ngulo cualquiera ϕ a partir de sen ϕ y cos ϕ. a aEjemplo 6 A partir de la f´rmula de Moivre, obtener cos 3x y sen 3x. oDesarrollando la f´rmula de Moivre para n = 3 resulta: o (cos 3ϕ + i sen 3ϕ) = (cos ϕ + i sen ϕ)3 = cos3 ϕ + 3 · cos2 ϕ · i sen ϕ + 3 cos ϕ · i2 sen2 ϕ + i3 sen3 ϕ = cos3 ϕ + 3i cos2 ϕ sen ϕ − 3 cos ϕ sen2 ϕ − i sen3 ϕdonde se ha tenido en cuenta que i2 = −1 y i3 = −i. Igualando partes reales e imaginarias resulta: cos 3ϕ = cos3 ϕ − 3 cos ϕ sen2 ϕ sen 3ϕ = 3 cos2 ϕ sen ϕ − sen3 ϕDado que la ra´ es la funci´n inversa de la potencia, para calcular la ra´ en´sima de un complejo, ız o ız ehabr´ que extraer la ra´ del m´dulo y dividir el argumento por el ´ a ız o ındice de la ra´ Pero aqu´ es preciso ız. ıtener en cuenta que a un complejo le corresponden infinitos argumentos que difieren en un m´ltiplo entero ude 2π de forma que √ ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ n r(cos ϕ + i sen ϕ) = n r cos + i sen (k ∈ Z) n n
  9. 9. 7 POTENCIA Y RA´ EN FORMA POLAR IZ 9Esto no quiere decir que un complejo tenga infinitas ra´ ıces, una para cada valor de k. Para k = 0 seobtiene la ra´ ız √ n ϕ ϕ r cos + i sen n n ıces diferentes para k = 1, 2, 3, · · · , n − 1 pero para k = n resulta:Se obtienen ra´ √ n ϕ + 2nπ ϕ + 2nπ √ n ϕ ϕ r cos + i sen = r cos + 2π + i sen + 2π n n n nque es igual que la ra´ obtenida para k = 0. De aqu´ deducimos que todo n´mero complejo tiene ız ı uexactamente n ra´ ıces en´simas. e √Todas las ra´ de un n´mero complejo rϕ tienen el mismo m´dulo n r. Puesto que el sentido gr´fico del ıces u o am´dulo es la distancia al origen del afijo del complejo, los afijos de todas las ra´ en´simas se encuentran o √ ıces een la circunferencia de centro el origen y radio n r. Las ra´ ıces pueden obtenerse unas de otras sumando 2πal argumento el ´ngulo n . En el siguiente gr´fico podemos ver las ra´ quintas del n´mero complejo i. a a ıces uEjemplo 7 Calcular las ra´ ıces quintas de i. √El n´mero i tiene de m´dulo 1 y argumento π . El m´dulo de todas las ra´ ser´ 5 1. La primera ra´ tiene u o 2 o ıces a ızcomo argumento π : 5 = 10 . Las restantes ra´ 2 π ıces pueden obtenerse de ´sta sumando 2π . As´ obtenemos: e 5 ı π π z1 = cos + i sen 10 10 π 2π π 2π π π z2 = cos + + i sen + = cos + i sen 10 5 10 5 2 2 π 2π π 2π 9π 9π z3 = cos + + i sen + = cos + i sen 2 5 2 5 10 10 9π 2π 9π 2π 13π 13π z4 = cos + + i sen + = cos + i sen 10 5 10 5 10 10 13π 2π 13π 2π 17π 17π z5 = cos + + i sen + = cos + i sen 10 5 10 5 10 10

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