5 -el número áureo-construcción

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5 -el número áureo-construcción

  1. 1. PROPORCIÓN ÁUREA
  2. 2. PARA TRAZAR UNRECTÁNGULO ÁUREO
  3. 3. 1. Hacer un cuadrado
  4. 4. 2. Marcar la mitad
  5. 5. 3. Trazar una línea a la esquina
  6. 6. 4. Abatir la línea trazando un arco.Con esta medida trazamos unrectángulo, añadido al cuadrado x
  7. 7. 5. Hacer el rectángulo sin borrar el cuadrado. Yatenemos el RECTÁNGULO ÁUREO
  8. 8. Ahora vemos un cuadrado y unrectángulo que unidos forman unrectángulo mayor Si en el rectángulo más pequeño volvemos a trazar un cuadrado, observamos que se cumple lo que hemos hecho en el anterior. Esto significa que cada rectángulo más pequeño tiene la misma proporción que el grande Si lo seguimos haciendo con las que quedan vamos haciendo cada vez otros más pequeños y con la misma proporción
  9. 9. 6. Observamos el giro en el cuadrado pequeño.El rectángulo exterior tiene la misma proporciónentre sus lados que el que acabamos de trazar
  10. 10. 7. Esto se repite en cada nuevo rectángulo quetrazamos
  11. 11. 8.- La medida del radio se puede calcular enfunción del lado por Pitágoras 2  x 2 2 x2 + 4x2 x   +x =r ⇒r = = 5 2 4 2 r x x/2 x 1-x 1
  12. 12. 9.- Para calcular el valor de Phi establecemos una proporciónentre el rectángulo exterior y el que acabamos de construir, demanera que suponemos que la base del rectángulo mayor es “x”y el lado del cuadrad inicial es una unidad x 1 = 1 1 1 x −1 1 X-1 -------------------------------x unidad-------------------------------
  13. 13. 10.- Calculamos el valor de Phi resolviendo la ecuación de segundo grado x 1 = 1 x −1 2 2 ⇒ x − x = 1 ⇒ x − x −1 = 0 ⇒ 1+ 1+ 4 1+ 5 x= = 2 2 x = 1,618.. = φdescartamo s la solución negativa
  14. 14. 11.-Si trazamos círculos tomando como radio unlado del cuadrado, formamos una espiral
  15. 15. 12.-Otra espiral gnómica basada en el número áureo: se construyetomando como base un triángulo isósceles cuyo ángulo menor mide 36°..•A partir de cada triángulo se construye otro triángulo isóscelescuyo lado menor coincide con el mayor del triángulo anterior•Los cocientes entre el lado mayor y el lado menorde cada triángulo tiende hacia el número de oro Phi•La espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices consecutivos de estos triángulos.•El resultado es otra similar cuya pulsación,el factor de crecimiento, es el número áureo.
  16. 16. Esta espiral la encontramos en lo natural y lo queconstruye el hombre. Si la escalera se diseña conesta forma se puede ver entera desde la partesuperior
  17. 17. Estas proporciones también aparecen en un pentágono. La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el número de oro. Así la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro. AC 1 + 5 = = AB 21,61803......... = φ También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP, que se hallan en la estrella pentagonal están en proporción áurea.
  18. 18. Serie de Fibonacci Descubre una serie de números ordenados que aparecen en la vida real en un montón de cosas 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ….. La serie cumple la condición de que cada número se obtiene sumando los dos anteriores Pero hay más, si cada número se divide entre el anterior va dando unos resultados que a medida que avanzamos nos acercamos más al valor de Phi
  19. 19. Relación con el número áureo Dividimos cada número con el anterior y el resultado tiende al número áureo 1/1=1 2/1=2 3/2=1,5 5/3=1,6666 8/5=1,60 13/8=1,625 21/13=1,615 34/21=1,619 55/34=1,617 1,6181818 que es casi Phi 89/55= En realidad el resultado es un LÍMITE
  20. 20. Leonardo Fibonacci la elabora en 1202 a partir de la conjetura de los conejos:1 1 2 3 5 8
  21. 21. Cría de conejosPartimos de un par de conejos.• Cada pareja cría una vez porestación, cada camada se componede 2 conejos.• Cada pareja nueva necesita unaestación para madurar.
  22. 22. Esquema de la producción por estaciones
  23. 23. Está en todo lo que crece naturalmente Desde lo más grande … hasta lo más pequeño.
  24. 24. En los productos cotidianos
  25. 25. Esta proporción está en la naturaleza•Las margaritas tienen generalmente 34,55 u 89 pétalos.•En este girasol se pueden contar 21espirales en un sentido y 34 en el otro •La proporción entre machos y hembras en muchas poblaciones de animales también es 0.618
  26. 26. En las obras de arte, tanto arquitecturacomo pintura
  27. 27. En la músicaCada octava esta dividido en 8 teclas blancas y 5teclas negras, haciendo un total de 13 teclas. Elnúmero de teclas coincide con la sucesión deFibonacci.
  28. 28. Curiosidades•La altura de una persona entre la distancia desde el suelo al ombligo da Phi.•Los girasoles, los pétalos de las rosas y las caracolas siguen la serie de Fibonacci•Las estructuras formales de las sonatas de Mozart, la quinta de Beethoven•Las obras de Schubert.•La distancia total de tu brazo entre la distancia de la punta de los dedos al codo.
  29. 29. El Homo Cuadratus de Leonardo (Academia deBellas Artes. Venecia).a b =φb a
  30. 30. •Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligoab se dibuja la circunferencia. =φ•El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo quecoincide en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos deambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de90º con el tronco•Resulta que el cocienteentre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia delombligo a la punta dela mano (radio de la circunferencia) esel número áureo
  31. 31. Las divisiones al revés tienden a 0,618 = 1 / Phi VITRUBIO
  32. 32. El pentagrama místico pitagórico en rosetones góticos:1. Iglesia de Santa María en Lemgo (Alemania).2. Catedral de Amiens.3. Ermita templaria de San Bartolomé en el Cañón del RíoLobos (Ucero, Soria)4. Pentagrama místico pitagórico en un rosetón mudéjar deCalatayud (Zaragoza)
  33. 33. La dimensión exclusivamente geométrica se mantienedurante toda la Antigüedad (grecolatino). Tiene una grandimensión estética y filosófica, de orientación platónico-pitagórica. Durante este periodo se conoció como"Proporción áurea", de donde también se denomina aveces como "número Áureo".En el Renacimiento italiano se mantuvo la dimensiónexclusivamente geométrica, con toda la carga estéticaantigua, pero quizá más cercana a su aplicación en el arteque a su dimensión teórica estricta. En esta época se llama"Divina Proporción".
  34. 34. A finales del siglo XIX vuelve a surgir el tema,acentuándose más la dimensión filosófica y científica queartística. Ahora es cuando se perfecciona su dimensiónmatemática, llegando a ser conocido, en aritmética, como"número Phi", o simplemente "Phi", por la letra griega"φ". Se trata de una letra griega, como en el caso de otronúmero que todos conocemos como regidor de lamedición de la circunferencia y círculo, que se llama"Numero Pi " o "π". La comparación con este número esbastante adecuada, debido a sus infinitas cifras decimalesy a su amplio uso, aunque Pi no ha tenido la mismarelación con la estética ni con el arte

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