Variables aleatorias discretas

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Variables aleatorias discretas

  1. 1. Variables Aleatorias Discretas Devore Paginas 87-99 Estudiado el tema Quiz Equipo ITESM-CSN
  2. 2. <ul><li>Obtener la probabilidad de un evento con la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. </li></ul><ul><li>Establecer las propiedades de la función de distribución de probabilidad acumulada </li></ul><ul><li>Obtener y graficar la función de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta </li></ul>Objetivos
  3. 3.
  4. 4. <ul><li>Una variable aleatoria: X , asocia un valor numérico con cada uno de los resultados de un experimento. </li></ul>Variable aleatoria* <ul><li>Para un espacio muestral dado S de algún experimento, una variable aleatoria (va) es cualquier regla que asocia un número con cada resultado en S. </li></ul><ul><li>En lenguaje matemático, una va es una función cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo rango son los números reales. </li></ul><ul><li>*Aleatorio: antes del experimento no conocemos el resultado </li></ul>
  5. 5. Variable aleatoria <ul><li>Variable aleatoria: letras mayúsculas X, Y ó Z </li></ul><ul><li>Se utilizarán las letras minúsculas para representar algún valor de la variable aleatoria correspondiente </li></ul><ul><li>X(s)=x  significa que x es el valor asociado con el resultado s por la va X </li></ul>
  6. 6. Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria <ul><li>Sea X: el número de soles obtenidos en 3 (tres) lanzamientos de una moneda . (Sol:H, Aguila:T) </li></ul><ul><li>Liste los valores numéricos de X y los correspondientes resultados elementales. </li></ul><ul><li>Tiempo: 5 minutos </li></ul>Resultado Valor de X H, H, H 3 H, H, T 2
  7. 7. Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria <ul><li>Solución: Primero X es una variable dado que el número de soles en tres lanzamientos de una moneda puede ser 0, 1, 2 ó 3. Segundo, esta variable es aleatoria en el sentido de que el valor que ocurrirá no se puede predecir con seguridad. Con lo anterior podemos hacer una lista de los resultados elementales y sus valores asociados </li></ul>Resultado Valor de X HHH 3 HHT 2 HTH 2 HTT 1 THH 2 THT 1 TTH 1 TTT 0
  8. 8. Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria <ul><li>Solución: </li></ul><ul><ul><li>Note que para cada resultado elemental hay un solo valor de X </li></ul></ul><ul><ul><li>Sin embargo, varios resultados elementales producen el mismo valor </li></ul></ul><ul><ul><li>Revisando en nuestra lista, identificamos los eventos (i.e. las colecciones de los resultados elementales) que corresponden a los valores distintos de X. </li></ul></ul>Valor numérico de X como un evento Composición del evento [X=0] = {TTT} [X=1] = {HTT, THT, TTH} [X=2] = {HHT, HTH, THH} [X=3] = {HHH}
  9. 9. Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria <ul><li>¿Qué se aprendió de la Actividad? </li></ul><ul><li>Los eventos correspondientes a los valores distintos de X son incompatibles </li></ul><ul><li>La unión de estos eventos es el espacio muestral completo </li></ul>Típicamente, los valores posibles de una variable aleatoria X , se pueden determinar sin listar el espacio muestral
  10. 10. <ul><li>Ejemplo 2. Un conteo como variable aleatoria </li></ul><ul><li>50 autos entraron a una carrera de 100 millas. Sea X el número de carros que terminaron la carrera. Aquí X puede tomar los valores: 0, 1, 2, …, 50 </li></ul><ul><li>Ejemplo 3. Variable aleatoria sin límite superior </li></ul><ul><li>Una vez a la semana una estudiante compra un billete de lotería. Sea X el número de boletos que ella comprará antes de que ella gane al menos $10000 pesos. Los valores posibles de X pueden ser 1, 2, 3, … y la lista puede qué nunca termine </li></ul>
  11. 11. Tipos de Variable aleatoria <ul><li>Discreta : Sus valores posibles constituyen un conjunto finito o son una lista infinita con cierta secuencia ( contable infinita) </li></ul><ul><ul><li>Primer elemento, Segundo elemento, etc. </li></ul></ul><ul><li>Continua: La variable aleatoria puede tomar cualquier valor de un intervalo. (posiblemente de extensión infinita) </li></ul>
  12. 12. LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
  13. 13. Distribución de Probabilidad <ul><li>La Distribución de Probabilidad o, simplemente la distribución , de una variable aleatoria discreta X es la lista de los distintos valores numéricos de X con sus probabilidades asociadas </li></ul><ul><li>Regularmente, se usa una fórmula en lugar de una lista detallada. </li></ul>
  14. 14. Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda <ul><li>Si X representa el número de soles que se obtienen en tres volados, encuentre la función de distribución de X. </li></ul><ul><li>SOLUCION: Se han listado los ocho resultados elementales y los valores asociados de X. Los distintos valores de X son 0, 1, 2, y 3. Ahora vamos a calcular sus probabilidades. </li></ul>
  15. 15. Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda <ul><li>SOLUCION: </li></ul><ul><li>La distribución de probabilidad de X: el número de soles en tres volados </li></ul>Valor de X Probabilidad TOTAL
  16. 16. Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda <ul><li>SOLUCION: </li></ul><ul><li>El modelo de una moneda legal ajusta a que los ocho posibles resultados son igualmente probables, así que la probabilidad asignada es 1/8. </li></ul><ul><li>El evento [X=0] tiene un solo resultado TTT, asi que su probabilidad es 1/8. Las probabilidades de [X=1], [X=2] y [X=3] son 3/8, 3/8 y 1/8 respectivamente. </li></ul><ul><li>Reuniendo estos resultados, obtenemos la distribución de probabilidad de X. </li></ul>
  17. 17. Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda <ul><li>SOLUCION: </li></ul><ul><li>La distribución de probabilidad de X: el número de soles en tres volados </li></ul>Valor de X Probabilidad 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 TOTAL 1
  18. 18. Distribución de Probabilidad <ul><li>En general la función de distribución de probabilidad ( X: variable aleatoria , x: valores ) </li></ul>Valor de X Probabilidad f(x) x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) … … x k f(x k ) TOTAL 1
  19. 19. Distribución de Probabilidad <ul><li>distribución de probabilidad (o función de masa de probabilidad) de una variable aleatoria X se describe como la función </li></ul><ul><li>Que proporciona la probabilidad para cada valor y satisface: </li></ul>
  20. 20. Ejemplo 5 <ul><li>Si la siguiente persona que comprará una computadora en el Office Depot necesita ¿una portátil o de escritorio? Sea </li></ul><ul><li>Si 20% de todas las compras de una semana fueron de una portátil, la función de probabilidad de X es: </li></ul><ul><li>f(0)=P(X=0)= 0.80 </li></ul><ul><li>f(1)=P(X=1)= 0.20 </li></ul><ul><li>f(x)=P(X=x)= 0 para cualquier valor diferente de 0 ó 1 </li></ul>
  21. 21. Ejemplo 5 <ul><li>De manera equivalente se representa: </li></ul><ul><li>Gráfica de la función de probabilidad </li></ul>
  22. 22. Ejemplo 3.10
  23. 23. Ejemplo 3.10 <ul><li>Comenzando en un tiempo fijo, se observa el género de cada recién nacido en el hospital del ISSTE hasta que nace un niño (H), sea p=P(H). </li></ul><ul><li>Sea (1-p)=p(M) la probabilidad de que sea niña. </li></ul><ul><li>Suponga que los nacimientos sucesivos son independientes y defina la variable aleatoria X mediante X=número de nacimientos observados. </li></ul><ul><li>Entonces </li></ul><ul><ul><li>p(1)=P(X=1)=P(H)=p </li></ul></ul><ul><ul><li>p(2)=P(X=2)=P(M.H)=P(M)*P(H)=(1-p)*p </li></ul></ul><ul><ul><li>p(3)=P(X=3)=P(M.M.H)=P(M)* P(M)* P(H)=(1-p) 2 *p </li></ul></ul>
  24. 24. Ejemplo 3.10 <ul><ul><li>p(1)=P(X=1)=P(H)=p </li></ul></ul><ul><ul><li>p(2)=P(X=2)=P(M.H)=P(M)*P(H)=(1-p)*p </li></ul></ul><ul><ul><li>p(3)=P(X=3)=P(M.M.H)=P(M)* P(M)* P(H)=(1-p) 2 *p </li></ul></ul><ul><li>Al continuar de esta manera, se obtiene la fórmula general </li></ul><ul><li>La cantidad p en la fórmula general representa un número entre 0 y 1 y es un parámetro de la distribución de probabilidad. </li></ul><ul><li>Según INEGI p=0.51 es apropiado </li></ul>
  25. 25. Parámetro de una Distribución de Probabilidad <ul><li>Suponga que p(x) depende de una cantidad a la que se le puede asignar cualquiera de varios valores posibles, donde cada valor diferente determina una distribución de probabilidad distinta. </li></ul><ul><li>A esta cantidad se le llama parámetro de la distribución </li></ul><ul><li>La colección de las distribuciones de probabilidad para diferentes valores del parámetro se llama familia de distribuciones de probabilidad. </li></ul>
  26. 26. Ejemplo 6. Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como: E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)} Definamos la variable aleatoria discreta X : la suma de los puntos que aparecen en los dados, entonces S = {2,3,...,12} Una posible función de probabilidad es:
  27. 27. Función de probabilidad de la variable aleatoria X P 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 1/36 2/36 6/36 4/36 5/36 3/36 2/36 1/36 5/36 4/36 3/36
  28. 28. Función de distribución acumulativa Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución acumulativa a la función F(x) definida como: Para cualquier número x , F(x) es la probabilidad de que el valor observado de X será cuando mucho x . En el ejemplo de los dos dados: F(5) = P(X  5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5) F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36
  29. 29. x 1,0 0,5 0,028 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F Función de distribución de la variable aleatoria X del ejemplo de los dados
  30. 30. Ejemplo: Dibuja l a función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como: X = Número en la cara de un dado. X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada un o con probabilidad 1/6 0 1 x f(x) 1 0.5 1 0 F(x) x 6 6 F unción de probabilidad f(x) F unción de distribución F(x)
  31. 31. Cálculos con la fda <ul><li>De manera general, la probabilidad de que X caiga en un intervalo especificado se obtiene de la función de distribución acumulativa (fda) </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>
  32. 32. Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Proposición For any two numbers a and b with “ a –” represents the largest possible X value that is strictly less than a . Note: For integers
  33. 33. Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Probability Distribution for the Random Variable X A probability distribution for a random variable X : Find 0.65 0.67 x – 8 – 3 – 1 0 1 4 6 P ( X = x ) 0.13 0.15 0.17 0.20 0.15 0.11 0.09
  34. 34. Ejemplo En el ejemplo de los dos dados , calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8: P (4  X  8) = F (8) - F (3) = 26/36 - 3/36 = 23/36
  35. 35. Tarea <ul><li>Buscar en revistas, videos, etc. 2 ejemplos relacionados con probabilidades de variables aleatorias discretas. </li></ul><ul><li>Devore, Probabilidad y estadística. Sección 3.1 y 3.2. Ejercicios: 1, 7, 10, 11, 13, 23 </li></ul>
  36. 36. Actividad Guiada <ul><li>El profesor te entregará un cuadernillo con una actividad guiada </li></ul><ul><li>Formar equipos de 2 alumnos </li></ul><ul><li>Rol 1: hacer los cálculos. Rol 2. escribir en el cuadernillo </li></ul><ul><li>Producto esperado: El cuadernillo llenado </li></ul><ul><li>Tiempo de elaboración 30 minutos </li></ul>

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