• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Variables aleatorias discretas
 

Variables aleatorias discretas

on

  • 21,090 views

 

Statistics

Views

Total Views
21,090
Views on SlideShare
21,089
Embed Views
1

Actions

Likes
1
Downloads
132
Comments
0

1 Embed 1

http://cursos.itesm.mx 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Variables aleatorias discretas Variables aleatorias discretas Presentation Transcript

    • Variables Aleatorias Discretas Devore Paginas 87-99 Estudiado el tema Quiz Equipo ITESM-CSN
      • Obtener la probabilidad de un evento con la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
      • Establecer las propiedades de la función de distribución de probabilidad acumulada
      • Obtener y graficar la función de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta
      Objetivos
      • Una variable aleatoria: X , asocia un valor numérico con cada uno de los resultados de un experimento.
      Variable aleatoria*
      • Para un espacio muestral dado S de algún experimento, una variable aleatoria (va) es cualquier regla que asocia un número con cada resultado en S.
      • En lenguaje matemático, una va es una función cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo rango son los números reales.
      • *Aleatorio: antes del experimento no conocemos el resultado
    • Variable aleatoria
      • Variable aleatoria: letras mayúsculas X, Y ó Z
      • Se utilizarán las letras minúsculas para representar algún valor de la variable aleatoria correspondiente
      • X(s)=x  significa que x es el valor asociado con el resultado s por la va X
    • Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria
      • Sea X: el número de soles obtenidos en 3 (tres) lanzamientos de una moneda . (Sol:H, Aguila:T)
      • Liste los valores numéricos de X y los correspondientes resultados elementales.
      • Tiempo: 5 minutos
      Resultado Valor de X H, H, H 3 H, H, T 2
    • Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria
      • Solución: Primero X es una variable dado que el número de soles en tres lanzamientos de una moneda puede ser 0, 1, 2 ó 3. Segundo, esta variable es aleatoria en el sentido de que el valor que ocurrirá no se puede predecir con seguridad. Con lo anterior podemos hacer una lista de los resultados elementales y sus valores asociados
      Resultado Valor de X HHH 3 HHT 2 HTH 2 HTT 1 THH 2 THT 1 TTH 1 TTT 0
    • Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria
      • Solución:
        • Note que para cada resultado elemental hay un solo valor de X
        • Sin embargo, varios resultados elementales producen el mismo valor
        • Revisando en nuestra lista, identificamos los eventos (i.e. las colecciones de los resultados elementales) que corresponden a los valores distintos de X.
      Valor numérico de X como un evento Composición del evento [X=0] = {TTT} [X=1] = {HTT, THT, TTH} [X=2] = {HHT, HTH, THH} [X=3] = {HHH}
    • Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria
      • ¿Qué se aprendió de la Actividad?
      • Los eventos correspondientes a los valores distintos de X son incompatibles
      • La unión de estos eventos es el espacio muestral completo
      Típicamente, los valores posibles de una variable aleatoria X , se pueden determinar sin listar el espacio muestral
      • Ejemplo 2. Un conteo como variable aleatoria
      • 50 autos entraron a una carrera de 100 millas. Sea X el número de carros que terminaron la carrera. Aquí X puede tomar los valores: 0, 1, 2, …, 50
      • Ejemplo 3. Variable aleatoria sin límite superior
      • Una vez a la semana una estudiante compra un billete de lotería. Sea X el número de boletos que ella comprará antes de que ella gane al menos $10000 pesos. Los valores posibles de X pueden ser 1, 2, 3, … y la lista puede qué nunca termine
    • Tipos de Variable aleatoria
      • Discreta : Sus valores posibles constituyen un conjunto finito o son una lista infinita con cierta secuencia ( contable infinita)
        • Primer elemento, Segundo elemento, etc.
      • Continua: La variable aleatoria puede tomar cualquier valor de un intervalo. (posiblemente de extensión infinita)
    • LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
    • Distribución de Probabilidad
      • La Distribución de Probabilidad o, simplemente la distribución , de una variable aleatoria discreta X es la lista de los distintos valores numéricos de X con sus probabilidades asociadas
      • Regularmente, se usa una fórmula en lugar de una lista detallada.
    • Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda
      • Si X representa el número de soles que se obtienen en tres volados, encuentre la función de distribución de X.
      • SOLUCION: Se han listado los ocho resultados elementales y los valores asociados de X. Los distintos valores de X son 0, 1, 2, y 3. Ahora vamos a calcular sus probabilidades.
    • Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda
      • SOLUCION:
      • La distribución de probabilidad de X: el número de soles en tres volados
      Valor de X Probabilidad TOTAL
    • Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda
      • SOLUCION:
      • El modelo de una moneda legal ajusta a que los ocho posibles resultados son igualmente probables, así que la probabilidad asignada es 1/8.
      • El evento [X=0] tiene un solo resultado TTT, asi que su probabilidad es 1/8. Las probabilidades de [X=1], [X=2] y [X=3] son 3/8, 3/8 y 1/8 respectivamente.
      • Reuniendo estos resultados, obtenemos la distribución de probabilidad de X.
    • Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda
      • SOLUCION:
      • La distribución de probabilidad de X: el número de soles en tres volados
      Valor de X Probabilidad 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 TOTAL 1
    • Distribución de Probabilidad
      • En general la función de distribución de probabilidad ( X: variable aleatoria , x: valores )
      Valor de X Probabilidad f(x) x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) … … x k f(x k ) TOTAL 1
    • Distribución de Probabilidad
      • distribución de probabilidad (o función de masa de probabilidad) de una variable aleatoria X se describe como la función
      • Que proporciona la probabilidad para cada valor y satisface:
    • Ejemplo 5
      • Si la siguiente persona que comprará una computadora en el Office Depot necesita ¿una portátil o de escritorio? Sea
      • Si 20% de todas las compras de una semana fueron de una portátil, la función de probabilidad de X es:
      • f(0)=P(X=0)= 0.80
      • f(1)=P(X=1)= 0.20
      • f(x)=P(X=x)= 0 para cualquier valor diferente de 0 ó 1
    • Ejemplo 5
      • De manera equivalente se representa:
      • Gráfica de la función de probabilidad
    • Ejemplo 3.10
    • Ejemplo 3.10
      • Comenzando en un tiempo fijo, se observa el género de cada recién nacido en el hospital del ISSTE hasta que nace un niño (H), sea p=P(H).
      • Sea (1-p)=p(M) la probabilidad de que sea niña.
      • Suponga que los nacimientos sucesivos son independientes y defina la variable aleatoria X mediante X=número de nacimientos observados.
      • Entonces
        • p(1)=P(X=1)=P(H)=p
        • p(2)=P(X=2)=P(M.H)=P(M)*P(H)=(1-p)*p
        • p(3)=P(X=3)=P(M.M.H)=P(M)* P(M)* P(H)=(1-p) 2 *p
    • Ejemplo 3.10
        • p(1)=P(X=1)=P(H)=p
        • p(2)=P(X=2)=P(M.H)=P(M)*P(H)=(1-p)*p
        • p(3)=P(X=3)=P(M.M.H)=P(M)* P(M)* P(H)=(1-p) 2 *p
      • Al continuar de esta manera, se obtiene la fórmula general
      • La cantidad p en la fórmula general representa un número entre 0 y 1 y es un parámetro de la distribución de probabilidad.
      • Según INEGI p=0.51 es apropiado
    • Parámetro de una Distribución de Probabilidad
      • Suponga que p(x) depende de una cantidad a la que se le puede asignar cualquiera de varios valores posibles, donde cada valor diferente determina una distribución de probabilidad distinta.
      • A esta cantidad se le llama parámetro de la distribución
      • La colección de las distribuciones de probabilidad para diferentes valores del parámetro se llama familia de distribuciones de probabilidad.
    • Ejemplo 6. Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como: E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)} Definamos la variable aleatoria discreta X : la suma de los puntos que aparecen en los dados, entonces S = {2,3,...,12} Una posible función de probabilidad es:
    • Función de probabilidad de la variable aleatoria X P 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 1/36 2/36 6/36 4/36 5/36 3/36 2/36 1/36 5/36 4/36 3/36
    • Función de distribución acumulativa Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución acumulativa a la función F(x) definida como: Para cualquier número x , F(x) es la probabilidad de que el valor observado de X será cuando mucho x . En el ejemplo de los dos dados: F(5) = P(X  5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5) F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36
    • x 1,0 0,5 0,028 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F Función de distribución de la variable aleatoria X del ejemplo de los dados
    • Ejemplo: Dibuja l a función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como: X = Número en la cara de un dado. X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada un o con probabilidad 1/6 0 1 x f(x) 1 0.5 1 0 F(x) x 6 6 F unción de probabilidad f(x) F unción de distribución F(x)
    • Cálculos con la fda
      • De manera general, la probabilidad de que X caiga en un intervalo especificado se obtiene de la función de distribución acumulativa (fda)
      • Ejemplo
    • Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Proposición For any two numbers a and b with “ a –” represents the largest possible X value that is strictly less than a . Note: For integers
    • Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Probability Distribution for the Random Variable X A probability distribution for a random variable X : Find 0.65 0.67 x – 8 – 3 – 1 0 1 4 6 P ( X = x ) 0.13 0.15 0.17 0.20 0.15 0.11 0.09
    • Ejemplo En el ejemplo de los dos dados , calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8: P (4  X  8) = F (8) - F (3) = 26/36 - 3/36 = 23/36
    • Tarea
      • Buscar en revistas, videos, etc. 2 ejemplos relacionados con probabilidades de variables aleatorias discretas.
      • Devore, Probabilidad y estadística. Sección 3.1 y 3.2. Ejercicios: 1, 7, 10, 11, 13, 23
    • Actividad Guiada
      • El profesor te entregará un cuadernillo con una actividad guiada
      • Formar equipos de 2 alumnos
      • Rol 1: hacer los cálculos. Rol 2. escribir en el cuadernillo
      • Producto esperado: El cuadernillo llenado
      • Tiempo de elaboración 30 minutos