UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – UFSCar CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA – CCET     CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENG...
RESUMO       Uma das principais preocupações da engenharia moderna é construirmáquinas precisas, confiáveis, eficientes, c...
SUMÁRIO 1. Tribologia e Mancais                                                  1    1.1 Tribologia                      ...
4.4.1   O Método das Diferenças Finitas - MDF                  102     4.4.2   Implementação do Programa Computacional par...
LISTA DE FIGURAS1.1 Componentes da carga atuante em um rotor                     21.2 Mancal plano de encosto             ...
4.1 Condições de contorno para equação de Reynolds                        514.2 Distribuição de pressão em um mancal infin...
5.15 Coeficiente de atrito em função de   – Mancal Curto   118                                          v
LISTA DE TABELAS2.1Principais parâmetros geométricos dos mancais hidrodinâmicos radiais   85.1 Propriedades e Unidades    ...
NOMENCLATURA               folga radial nominal do mancal               diâmetro do rotor               diâmetro do mancal...
componente da capacidade de carga na direçãocomponente da capacidade de carga na direçãomassa específica do fluido lubrifi...
1CAPÍTULO 1TRIBOLOGIA E MANCAIS1.1 TRIBOLOGIA         A tribologia é definida como a ciência e a tecnologia da interação e...
2adequada do mancal para a aplicação no projeto reduz o risco de falhas precocesdevido ao desgaste ou fadiga, assegurando ...
3agulhas. Os mancais de deslizamento podem ser planos (Figura 1.2) ou radiais(Figura 1.3). A seguir será feita uma breve d...
4        Figura 1.3 Mancal Hidrodinâmico Radial. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).b. MANCAIS DE ROLAMENTO      Os mancais ...
5c. MANCAIS HIDROSTÁTICOS      São mancais nos quais o óleo lubrificante é injetado com auxilio de umabomba o que garante ...
6      A correta seleção de um mancal tem implicação direta no tempo de vida útildos equipamentos e na prevenção de falhas...
7CAPÍTULO 2CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E CONDIÇÕES DEOPERAÇÃO DE MANCAIS HIDRODINÂMICOS RADIAIS      As principais caracte...
8Tabela 2.1 Principais parâmetros geométricos dos mancais hidrodinâmicos radiais Principais parâmetros da geometria do MHR...
92.1. EXCENTRICIDADE RADIAL DO ROTOR         Num determinado instante de tempo, a posição instantânea descentrada docentro...
10                                                                               (2.3)                                    ...
11Onde,     e     são as amplitudes das funções harmônicas   e    respectivamente,e    é a freqüência da perturbação. Subs...
12                                                                                  (2.11)                                ...
13                                           O                                           Y                                ...
14superior a 1 e termos onde aparecem produtos destas grandezas podem serdesprezados.Logo tem-se:                         ...
15É possível então reescrever a expressão para folga radial, equação (2.20),acrescentando estas informações. Tem-se então:...
16                                                                                                              (2.26)2.3....
17Na qual a velocidade no ponto central do rotor é dada por:                                                              ...
18De maneira análoga determina-se a equação para o outro versor:                                                          ...
19Derivando-se a equação (2.35) em relação à , tem-se:                                                                    ...
20CAPÍTULO 3FUNDAMENTOS BÁSICOS DE MECÂNICA DOSFLUIDOS      Na natureza a matéria existe basicamente em dois estados físic...
21            Figura 3.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas.               Fonte: adaptada de Shigley’s (2006)....
22No SI,         Fluidos   que   satisfazem   a   equação   (3.3)   são   denominados   fluidosnewtonianos. Quanto mais vi...
233.1. CONSERVAÇÃO DE MASSA          A equação da continuidade aparece em vários contextos na Física, de fato,sempre que h...
24      E, efetuando-se o balanço de massa neste elemento de volume, tomandocomo referência o seu centro, obtém-se a segui...
25Tendo-se em vista estas informações a equação (3.6) pode ser reescrita da seguinteforma:                                ...
26                                                                           (3.13)Portanto, a equação da continuidade, po...
27Basicamente estas forças podem ser classificadas em dois tipos: forças de campo eforças de superfície.      Forças de ca...
28               Figura 3.3 Tensões que agem sobre um elemento de fluido.      O primeiro subscrito de uma componente de t...
29Para direçãoRealizando as simplificações necessárias temos:                                                             ...
30Portanto, através balanço de forças que atuam no elemento de volume de fluidodeterminou-se as equações (3.19), (3.20) e ...
31                                                                             (3.27)Utilizando-se a seguinte condição:   ...
32                                                                            (3.32)Adotando-se o escoamento como sendo in...
333.3. A EQUAÇÃO DE REYNOLDS PARA MHR      A equação de Reynolds é derivada a partir das equações de Navier-Stokes eda con...
34      Com a hipótese de escoamento incompressível, a equação da continuidadedo fluido na folga do mancal é dada pela equ...
35                                                                               (3.42)Na prática, nos mancais hidrodinâmi...
36Na qual, L e V são um comprimento característico e uma velocidade,respectivamente, e   é a viscosidade cinemática defini...
37Analogamente para a direção                                                                               (3.49)Pelo fat...
38Com base nestas informações podemos simplificar o as equações (3.48), (3.49) e(3.50), resultando em:                    ...
39                         Figura 3.6 Aceleração de uma partícula de fluido.A velocidade da partícula muda de             ...
40A aceleração dada pela equação (3.60) é, então, expressa como:                                                          ...
41                                                                             (3.66)                                     ...
42Para solucionar a equação (3.66), inicialmente efetua-se uma integração comrelação à variávelResultando em:Na qual,     ...
43Portanto, a função que descreve o perfil de velocidade na direção   é dada por                                          ...
44Portanto:                                                                                   (3.71)       Agora que os pe...
45                                                                              (3.77)                                    ...
46Nas direções      e   , somente o rotor se movimenta e a bucha do mancal é fixa,portanto:Levando-se em conta estas infor...
47Através da análise da Figura 3.8 conclui-se que:                                                                        ...
48      O lado esquerdo da equação de Reynolds indica como se dá a distribuição depressão no filme de fluido lubrificante ...
49alcança um valor máximo nessa posição. Isso faz com que o ocorra uma separaçãoentre o eixo e a camisa do mancal (HORI, 2...
50CAPÍTULO 4SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS      Devido a sua complexidade a equação de Reynolds não possui soluçãoexata. P...
51uma vez que para atingir tal situação basta supor que a folga radial do mancal estejacompletamente preenchida pelo óleo ...
52        Condição de contorno de Gümbel – Nesta condição de contorno a pressãoé calculada desconsiderando-se a ruptura do...
53                                                                             (4.1)Logo a equação (3.90) é simplificada p...
54Portanto:                                                                                   (4.4)Lembrando-se que anteri...
55                                                                              (4.6)Onde     é uma constante resultante d...
56Tem-se que:Sendo que                    ,tem-se então:                                                                  ...
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58                                                                            (4.14)      Fazendo-se o mesmo para a primei...
59      Na seção anterior foi encontrada a equação abaixo para o perfil de pressãodo mancal infinitamente longo (equação (...
60                                                                               (4.18)Agora, com as constantes de integra...
61Anteriormente demonstrou-se nas equações (4.10) e (4.11), respectivamente, que:Manipulando-se estas equações encontram-s...
62Agrupando-se os termos que possuem o fator               no denominador:Encontrando-se um denominador comum para express...
63Definindo-se:                                                                              (4.23)Podemos reescrever a eq...
64Em que     é dada pela equação (4.22). Derivando-se a equação (4.22) em relação àvariável   tem-se o seguinte resultado:...
65Da relação trigonométrica                        , podemos obter que:        . Substituindo esta informação na última eq...
66      Figura 4.3 Componentes das forças atuantes no mancal.     Fonte: adaptada de      Harnoy (2003).      Uma quantida...
67O sinal negativo de      é devido ao fato de este estar orientado no sentido negativodo eixo X, conforme ilustrado está ...
68Que é conhecida no meio acadêmico como a fórmula da integração por partes.Comparando esta fórmula com a expressão da com...
69                                                                               (4.36)                                   ...
70E, portanto, o resultado da equação (4.31) é:      Agora, substituindo-se a expressão do gradiente de pressão dado pelae...
71Portanto:Logo:                                                                          (4.40)        Adotando-se o mesm...
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Engenharia Física.
Modelagem de mancais hidrodinâmicos radiais.

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  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – UFSCar CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA – CCET CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA FÍSICA TRABALHO DE FINAL DE CURSO - TFC"MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE MANCAIS HIDRODINÂMICOS RADIAIS" AUTOR: FÁBIO XAVIER DE MELO ORIENTADOR: PROF. DR. FLÁVIO YUKIO WATANABE SÃO CARLOS / 2010
  2. 2. RESUMO Uma das principais preocupações da engenharia moderna é construirmáquinas precisas, confiáveis, eficientes, capazes de trabalharem acima dascondições limites tradicionais. Nas máquinas rotativas, os limites de operação edesempenho são estabelecidos por problemas de instabilidade e níveis elevados devibração, resultantes do comportamento dinâmico de seus componentes rotativos,estruturais e dos mancais. Mancais são dispositivos responsáveis pela ligação entrea parte móvel e a estrutura fixa de uma máquina rotativa. As característicasdinâmicas de um sistema rotor-mancais são fortemente influenciadas pelascaracterísticas dos mancais, uma vez que a rigidez do sistema completo édeterminada pela rigidez dos mancais atuando em série com a rigidez do rotor e,além disso, o amortecimento do sistema é em grande parte devido aos mancais.Existem diversos tipos de mancais, porém, neste trabalho foi realizado um estudodos Mancais Hidrodinâmicos Radiais (MHR) devido a sua grande aplicabilidadecomo elemento de máquina. De maneira simplificada um MHR pode ser descritocomo sendo um conjunto mecânico formado por um eixo e uma bucha, no qual, odiâmetro do eixo é muito próximo ao diâmetro interno da bucha de tal modo que,quando montados, a folga existente entre estes dois elementos seja muito pequenae acomode um filme de óleo lubrificante que impeça o contato direto entre as partedurante sua operação, situação em que se atinge o regime de lubrificaçãohidrodinâmica. O filme de óleo é o responsável pela sustentação da carga impostaao mancal, e este fenômeno é possível devido à geração de um campo de pressãono óleo, resultante do movimento do rotor e das características geométricas deconstrução do mancal. Para a construção do modelo matemático do MHR parte-sede uma representação geométrica do sistema mecânico formado pela bucha, rotor efilme de fluido lubrificante, através da qual foi possível determinar parâmetrosimportantes como excentricidade radial, velocidade periférica do rotor e espessurado filme de fluido. Aplicando-se a lei de conservação de massa e a segunda lei deNewton a um elemento infinitesimal do fluido lubrificante, obteve-se a equação dacontinuidade e as equações de Navier-Stokes, que descrevem o comportamento dofluido lubrificante existente na folga entre o rotor e a bucha do mancal. A partirdestas equações e considerando-se o lubrificante um fluido newtoniano, isoviscoso eincompressível, derivou-se a equação de Reynolds. A solução analítica da equaçãode Reynolds só pode ser atingida considerando-se várias hipóteses simplificadorasque tornam possível a obtenção de soluções clássicas para dois casos especiais demancais, os curtos (solução de Ocvirk), e os infinitamente longos (solução deSommerfeld). Para a obtenção de uma solução numérica da equação de Reynoldsempregou-se o método das diferenças finitas. Os resultados obtidos englobam ocampo de pressão no fluido, a capacidade de carga do mancal, o atrito rotor/mancal,o coeficiente de atrito e o ângulo de atitude do mancal, parâmetros estes que sãoimportantes para o projeto de máquinas rotativas.
  3. 3. SUMÁRIO 1. Tribologia e Mancais 1 1.1 Tribologia 1 1.2 Tipos de Mancais 2 2. Características Geométricas e Condições de Operação de Mancais Hidrodinâmicos Radiais 7 2.1 Excentricidade Radial do Rotor 9 2.2 Folga Radial ou Espessura do Filme de Fluido Lubrificante 12 2.3 Velocidade Periférica do Rotor 16 3. Fundamentos de Mecânica dos Fluidos 20 3.1 Conservação de Massa 23 3.2 Conservação da Quantidade de Movimento 26 3.3 A Equação de Reynolds para MHR 33 4. A Solução da Equação de Reynolds 50 4.1 Condições de Contorno 50 4.2 Solução para Mancais Infinitamente Longos 52 4.2.1 Pressão no Filme de Óleo em Mancais Infinitamente Longos 53 4.2.2 Solução de Sommerfeld para Mancais Infinitamente Longos 58 4.2.3 Solução de Gümbel para Mancais Infinitamente Longos 79 4.3 Solução para Mancais Curtos 87 4.3.1 Pressão no filme de óleo em Mancais Curtos 89 4.3.2 Solução de Gümbel para Mancais Curtos 90 4.4 Solução numérica 102 i
  4. 4. 4.4.1 O Método das Diferenças Finitas - MDF 102 4.4.2 Implementação do Programa Computacional para Solução Numérica 1065. Resultados 108 Conclusões 119 Referências 121 ii
  5. 5. LISTA DE FIGURAS1.1 Componentes da carga atuante em um rotor 21.2 Mancal plano de encosto 31.3 Mancal Hidrodinâmico Radial 41.4 Mancal de rolamento de esferas 41.5 Mancal hidrostático 52.1 Características geométricas do Mancal Hidrodinâmico Radial 72.2 Superfície planificada do mancal 82.3 O rotor e as pequenas perturbações 92.4 Folga radial ou espessura do filme lubrificante 132.5 Velocidade periférica do rotor 163.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas 213.2 Volume de controle infinitesimal 233.3 Tensões que agem sobre um elemento de fluido 283.4 Balanço de forças 283.5 Vista planificada do mancal 333.6 Aceleração de uma partícula de fluido 393.7 Escoamento entre duas superfícies em movimento relativo 413.8 Componentes da velocidade do rotor 473.9 Distribuição de pressão 483.10 Efeito de cunha 483.11 Esmagamento do filme de óleo lubrificante 49 iii
  6. 6. 4.1 Condições de contorno para equação de Reynolds 514.2 Distribuição de pressão em um mancal infinitamente longo pelas condições decontorno de Sommerfeld 634.3 Componentes das forças atuantes no mancal 664.4 Posição do centro do eixo 744.5 Força no filme de óleo sob as condições de contorno de Gümbel 814.6 Mancal curto 874.7 Malha para aplicação do MDF 1044.8 Fluxograma do programa implementado 1075.1 Distribuição - Modelo do Mancal Curto 1095.2 Distribuição de pressão – MIL - Solução de Gümbel 1095.3 Distribuição de pressão – MIL - Solução de Sommerfeld 1105.4 Distribuição de pressão – Solução Numérica 1115.5 Capacidade de carga adimensional em função de – Gümbel 1115.6 Capacidade de carga adimensional em função de – Sommerfeld 1125.7 Capacidade de carga adimensional em função de – MC 1135.8 Comparação entre os modelos 1135.9 Variação da espessura do filme 1145.10 Força de atrito [adim] em função de – MIL - Sommerfeld 1155.11 Coeficiente de atrito em função de – MIL - Sommerfeld 1155.12 Força de atrito [adim] em função de – MIL - Gümbel 1165.13 Coeficiente de atrito em função de – MIL - Gümbel 1175.14 Força de atrito [adim] em função de – Mancal Curto 117 iv
  7. 7. 5.15 Coeficiente de atrito em função de – Mancal Curto 118 v
  8. 8. LISTA DE TABELAS2.1Principais parâmetros geométricos dos mancais hidrodinâmicos radiais 85.1 Propriedades e Unidades 108 vi
  9. 9. NOMENCLATURA folga radial nominal do mancal diâmetro do rotor diâmetro do mancal excentricidade excentricidade estática excentricidade na direção excentricidade na direção coeficiente de atrito força de atrito componentes de forças de campo na direção componentes de forças de campo na direções componentes de forças de campo na direções espessura do filme de óleo lubrificante largura do mancal pressão no filme de fluido lubrificante raio do rotor raio do mancal número de Reynolds número de Sommerfeld componente da velocidade do fluido na direção componente da velocidade do fluido na direção velocidade no centro do rotor velocidade periférica do rotor eixos do sistema de coordenadas cartesianas local eixos do sistema de coordenadas cartesianas inercial componente da velocidade do fluido na direção capacidade de carga vii
  10. 10. componente da capacidade de carga na direçãocomponente da capacidade de carga na direçãomassa específica do fluido lubrificanteviscosidade do absolutaviscosidade cinemáticacoordenada auxiliar com origem no eixorazão de excentricidadecoordenada angular auxiliarângulo de atitudeângulo de atitude estáticoexcentricidade dinâmicaângulo de atitude dinâmicovelocidade angular viii
  11. 11. 1CAPÍTULO 1TRIBOLOGIA E MANCAIS1.1 TRIBOLOGIA A tribologia é definida como a ciência e a tecnologia da interação entresuperfícies com movimento relativo e dos assuntos relacionados à lubrificação, atritoe desgaste. Quando duas superfícies sólidas interagem ocorre a dissipação deenergia, na forma de calor e ruído, devida a resistência ao movimento relativo entreelas. Durante o processo de escorregamento relativo, as superfícies têm as suascaracterísticas básicas modificadas podendo tornar-se mais lisas, rugosas,apresentarem alterações de propriedades físicas como a dureza, além de sofreremperda de massa por desgaste. Algumas destas mudanças podem ser benéficas, porexemplo, no caso de amaciamento de máquinas para produzir condições deoperação próximas às ideais. Porém, em outros casos essas modificações sofridaspodem ser desastrosas quando ocasionam falha da superfície (com perda da funçãotécnica), implicando na substituição da peça. Um dos elementos de máquinas que estão bastante propensos a estasmodificações citadas são os mancais. Mancais são dispositivos responsáveis pelaligação entre a parte móvel e a estrutura fixa de uma máquina rotativa. De maneiramais geral, sempre que duas partes têm movimento relativo, elas constituem ummancal por definição, sem levar em conta sua forma ou configuração (HARNOY,2003). O principal objetivo no projeto de um mancal é aumentar a sua vida útil nasmáquinas, através da redução do atrito, perda de energia e desgaste durante suaoperação, e com isso evitar a paralisação das máquinas e os gastos commanutenção. A escolha do tipo de mancal apropriado para uma determinada aplicação éessencial para o seu correto funcionamento como elemento de máquina, e estecuidado é fundamental durante o projeto. A maior parte do trabalho de manutençãonas máquinas é devido à lubrificação dos mancais e também a substituiçãodaqueles que estão danificados ou gastos devido ao uso. Ou seja, a escolha
  12. 12. 2adequada do mancal para a aplicação no projeto reduz o risco de falhas precocesdevido ao desgaste ou fadiga, assegurando uma vida útil maior ao mancal(HARNOY, 2003).1.2 TIPOS DE MANCAIS De acordo com o tipo carregamento aplicado nos rotores das máquinas, osmancais podem ser classificados em radiais ou axiais. Mancais radiais suportamcargas impostas na direção radial dos rotores, já os mancais axiais ou de encostosuportam cargas impostas na direção axial dos rotores. Toda força imposta aosrotores são suportadas pelos mancais, constituindo-se no que é denominado decapacidade de carga dos mancais. A Figura 1.1 ilustra como a carga imposta a um rotor (eixo) de uma máquinapode decomposta em duas componentes, uma na direção axial, , e outra nadireção radial, . Figura 1.1 Componentes da carga atuante em um rotor. Quanto à forma construtiva e o princípio de funcionamento, os mancaispodem ser classificados em dois tipos principais: os de rolamentos, e os dedeslizamento. Os mancais de rolamento podem ser de esféricos, de rolos ou de
  13. 13. 3agulhas. Os mancais de deslizamento podem ser planos (Figura 1.2) ou radiais(Figura 1.3). A seguir será feita uma breve descrição dos principais tipos de mancais. Figura 1.2 Mancal plano de encosto. Fonte: adaptada de Shigley’s (2006).a. MANCAIS HIDRODINÂMICOS RADIAIS De maneira simplificada um mancal hidrodinâmico radial pode ser descritocomo sendo um conjunto mecânico formado por um eixo e uma bucha, no qual, odiâmetro do eixo é muito próximo ao diâmetro interno da bucha de tal modo que,quando montados, a folga existente entre estes dois elementos seja muito pequenae acomode um filme de óleo lubrificante que impeça o contato direto entre as partedurante sua operação, situação em que se atinge o regime de lubrificaçãohidrodinâmica. O filme de óleo é o responsável pela sustentação da carga impostaao mancal, e este fenômeno é possível devido à geração de um campo de pressãono óleo, resultante do movimento do rotor e das características geométricas deconstrução do mancal (HARNOY, 2003).
  14. 14. 4 Figura 1.3 Mancal Hidrodinâmico Radial. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).b. MANCAIS DE ROLAMENTO Os mancais de rolamento são mancais em que a carga principal é transferidapor meio de elementos em contato por rolamento em vez de deslizamento. Em ummancal de rolamento o atrito estático é aproximadamente o dobro do atrito dinâmico,mas ainda é desprezível comparado ao atrito estático de um mancal dedeslizamento. Os mancais de rolamento são fabricados para suportarem cargas radiais,axiais ou uma combinação de ambas. Quanto ao tipo podem ser esféricos, deagulha, de rolos cilíndricos ou cônicos. A Figura 1.4 apresenta um mancal derolamento de esferas (HARNOY, 2003). Figura 1.4 Mancal de rolamento de esferas.Fonte: SKF.
  15. 15. 5c. MANCAIS HIDROSTÁTICOS São mancais nos quais o óleo lubrificante é injetado com auxilio de umabomba o que garante que o eixo não tenha contato com a bucha do mancal mesmoantes do inicio da operação, evitando-se assim o desgaste comum no início daoperação dos mancais hidrodinâmicos. A Figura 1.5 a seguir apresenta o sistemanecessário para operação de um mancal hidrostático. Em comparação com os mancais hidrodinâmicos, os hidrostáticos possuemum custo maior de operação devido ao uso de equipamentos auxiliares. Em algumasaplicações a lubrificação hidrostática é associada a hidrodinâmica, neste caso,inicialmente injeta óleo no mancal promovendo a separação do rotor e da bucha,conforme a velocidade de operação vai aumentando o mancal atinge o regimehidrodinâmico e não é mais necessário a injeção de óleo (HARNOY, 2003). Figura 1.5 Mancal hidrostático. Fonte: adaptada de Harnoy (2003). Conforme ilustrado, existem diversos tipos de mancais, porém, neste trabalhoserá realizado um estudo analítico e numérico dos Mancais Hidrodinâmicos Radiais(MHR) muito utilizado em grandes máquinas rotativas como turbinas e geradores. Em muitas situações os projetistas optam pela utilização de mancais derolamento simplesmente pela facilidade com que estes são encontrados noscatálogos dos fabricantes. No entanto, para o correto projeto de máquinas este nãodeve ser o critério adotado. O correto é realizar um estudo detalhado sobre asvantagens e desvantagens da utilização dos diversos tipos de mancais existentes eescolher aquele que melhor se adeque a aplicação desejada.
  16. 16. 6 A correta seleção de um mancal tem implicação direta no tempo de vida útildos equipamentos e na prevenção de falhas durante a operação das máquinas. Emalgumas ocasiões as falhas podem ocasionar prejuízo econômico, já em outrasaplicações como, por exemplo, na aviação, as conseqüências podem ser maisdevastadoras resultando na perda de vidas (HARNOY, 2003).
  17. 17. 7CAPÍTULO 2CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E CONDIÇÕES DEOPERAÇÃO DE MANCAIS HIDRODINÂMICOS RADIAIS As principais características geométricas do mancal hidrodinâmico radial queserá modelado neste trabalho estão representadas na figura 2.1. Adotaremos umsistema inercial de coordenadas cartesianas com origem no ponto , centro domancal. Assume-se que o rotor, com centro em , gira em torno do seu próprio eixono sentido anti-horário com velocidade angular constante , e que está carregadona direção , no sentido positivo do eixo, por uma força externa de magnitudeconstante resultando em uma excentricidade radial, , definida pela distânciaentre os centros do mancal e do rotor (WATANABE, 2003). Figura 2.1 Características geométricas do Mancal Hidrodinâmico Radial. Fonte: adaptada de Harnoy (2003). A nomenclatura utilizada para descrever a parâmetros geométricos utilizadosna construção do modelo é dada na Tabela 2.1.
  18. 18. 8Tabela 2.1 Principais parâmetros geométricos dos mancais hidrodinâmicos radiais Principais parâmetros da geometria do MHR Raio do mancal Diâmetro do mancal Raio do rotor Diâmetro do rotor Folga radial nominal do mancal Largura do mancal Um sistema local de coordenadas cartesianas é adotado na superfícieplanificada do mancal, conforme mostrado na figura abaixo. y superfície do rotor x Figura 2.2 Superfície planificada do mancal. Fonte: Watanabe (2003). Durante o funcionamento do mancal, o eixo do rotor apresenta umdesalinhamento radial e angular em relação ao eixo do mancal, entretanto, nestetrabalho somente a contribuição radial do desalinhamento do rotor será considerada.O método das pequenas perturbações no qual se assume que o rotor oscilaharmonicamente com pequenas amplitudes, em torno da posição de equilíbrioestático descentrada, quando aplicado a este problema possibilita a obtenção deexpressões matemáticas que descrevem a excentricidade radial, a folga radial ouespessura do filme lubrificante do mancal e a velocidade periférica do rotor,utilizados na modelagem matemática do mancal.
  19. 19. 92.1. EXCENTRICIDADE RADIAL DO ROTOR Num determinado instante de tempo, a posição instantânea descentrada docentro do rotor, com relação ao centro do mancal (origem do sistema decoordenadas XYZ) é definida pela excentricidade , e pelo ângulo de atitude ;representados de forma ampliada na Figura 2.3. Figura 2.3 O rotor e as pequenas perturbações. Fonte: Watanabe (2003). No equilíbrio estático a posição descentrada fica definida pela excentricidadeestática e pelo ângulo de atitude estático . Assumi-se que em torno destaposição de equilíbrio estático o rotor encontra-se sujeito a perturbações harmônicasde pequenas amplitudes definidas pela excentricidade dinâmica e pelo ângulo deatitude dinâmico , ou seja: (2.1) (2.2)Decompondo-se a excentricidade em suas componentes ortogonais e , temos:
  20. 20. 10 (2.3) (2.4)Da suposição de pequenas oscilações em torno da posição de equilibrio estático,tem-se: eSubstituindo nas equações (2.3) e (2.4) as expressões de e dadas pelasequações (2.1) e (2.2), e desprezando-se os termos de segunda ordem em eobtém-se: (2.5)Analogamente para componente : (2.6) As componentes dinâmicas e , por serem harmônicas, podem serdescritas pela parte real de funções exponenciais complexas, ou seja: (2.7) (2.8)
  21. 21. 11Onde, e são as amplitudes das funções harmônicas e respectivamente,e é a freqüência da perturbação. Substituindo nas equações (2.5) e (2.6) asexpressões dadas pelas equações (2.7) e (2.8), encontraremos as seguintesexpressões para as componentes cartesianas da excentricidade: (2.9) (2.10)Onde: Em algumas situações durante a modelagem será mais conveniente trabalharcom grandezas adimensionais, pelo fato de a adimensionalização ser extremamenteútil em análises comparativas de parâmetros característicos de mancais comdiferentes dimensões e condições de operação (WATANABE, 2003). Nesteinstante, defini-se a grandeza adimensional denominada razão de excentricidade ,e o parâmetro . Sendo que é dado porCom estas novas definições podemos reescrever as equações (2.1), (2.2), (2.9) e(2.10) resultando nas seguintes equações para razão de excentricidade e ângulo deatitude dinâmico:
  22. 22. 12 (2.11) (2.12)e nas seguintes equações para as componentes cartesianas da razão deexcentricidade: (2.13) (2.14)Conforme for surgindo à necessidade, novas adimensionalizações serãoempregadas na modelagem do mancal hidrodinâmico radial.2.2. FOLGA RADIAL OU ESPESSURA DO FILME DE FLUIDOLUBRIFICANTE Anteriormente foram determinadas expressões matemáticas paraexcentricidade do rotor, o próximo passo será encontrar uma expressão matemáticapara folga radial ou espessura do filme de fluido lubrificante . A folga radial é definida na direção perpendicular a superfície do mancal e éexpressa em função da posição do rotor caracterizada pela excentricidade , peloângulo de atitude e pela folga radial nominal . A equação da folga radial pode ser determinada analisando-se o triângulocom vértices nos pontos , e presente na Figura 2.4.
  23. 23. 13 O Y e (R-h) J   P h  r Q  hmin X Figura 2.4 Folga radial ou espessura do filme lubrificante. Fonte: Watanabe (2003).Aplicando-se a lei dos cossenos as triangulo temos: (2.15)Sendo que: (2.16)Substituindo a expressão dada pela equação (2.16) na equação (2.15) tem-se: Na prática os parâmetros , e são da ordem de , muito pequenoscomparados com as dimensões usuais de projeto dos mancais hidrodinâmicosradiais que possuem raios da ordem de a , portanto, os termos de ordem
  24. 24. 14superior a 1 e termos onde aparecem produtos destas grandezas podem serdesprezados.Logo tem-se: (2.17)Analisando-se a Figura 2.4 verifica-se que: (2.18)Substituindo-se a expressão dada pela equação (2.18) na equação (2.17) obtém-se: (2.19)Definindo-se: , tem-se:Com isso, a equação (2.19) pode ser reescrita como segue: (2.20)Lembrando-se que a excentricidade e o ângulo de atitude são expressos,respectivamente, pelas equações (2.1) e (2.2), e, definindo-se uma nova coordenadaangular , da seguinte forma: (2.21)De modo que: (2.22)
  25. 25. 15É possível então reescrever a expressão para folga radial, equação (2.20),acrescentando estas informações. Tem-se então:Como o problema está sendo modelado supondo-se pequenas perturbações dorotor em torno da posição de equilíbrio podemos assumir que:Como as perturbações são pequenas os termos de segunda ordem podem serdesprezados. Resultando em: (2.23)Sendo que: (2.24)É possível expressar a folga radial na forma adimensional, basta dividir a equação(2.23), por , ou seja, pela folga radial nominal. (2.25)Substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.7) e (2.8) na equação(2.25) podemos expressar a folga radial adimensional pela equação apresentada aseguir:
  26. 26. 16 (2.26)2.3. VELOCIDADE PERIFÉRICA DO ROTOR A determinação da velocidade periférica do rotor se faz necessária devido aofato de que é através dela que se consegue incluir na modelagem matemática domancal efeitos hidrodinâmicos e de esmagamento do filme de fluido lubrificante.Estes efeitos serão tratados com maior riqueza de detalhes no capítulo que discute ateoria da lubrificação hidrodinâmica. Um ponto genérico localizado na superfície do rotor pode ter sua velocidade determinada somando-se vetorialmente à velocidade do centro do rotor, quedecorre das pequenas perturbações, com a velocidade tangencial do rotor emtorno do centro .    r Y O e  e    Je vJ r P Q j i    -  i hmin j  k X  Figura 2.5 Velocidade periférica do rotor. Fonte: Watanabe (2003). Da análise da Figura 2.5 verifica-se facilmente que a velocidade no ponto édada por: (2.27)
  27. 27. 17Na qual a velocidade no ponto central do rotor é dada por: (2.28)Os versores e podem ser escritos em termos dos versores cartesianos: (2.29) (2.30)Analisando-se a Figura 2.5 as seguintes relações são facilmente obtidas:Portanto:Resultando nas seguintes relações:Que quando inseridas na equação (2.29) resultam em: Como o problema está sendo modelado supondo pequenas perturbações dorotor em torno da posição de equilíbrio , podemos afirmar que é pequeno osuficiente para aproximar o valor do seno ao seu argumento, , e do cosseno a 1.Resultando em: (2.31)
  28. 28. 18De maneira análoga determina-se a equação para o outro versor: (2.32) Agora, é possível expressar , dada pela equação (2.28), em termos dorversores e , substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.31) e (2.32)na equação (2.28).Desprezando-se os termos de segunda ordem, e lembrado-se que ,obtém-se: (2.33)Substituindo-se a expressão dada pela equação (2.33) na equação (2.27) é possívelescrever a velocidade no ponto , situado na superfície do rotor, em coordenadascartesianas, conforme apresentado a seguir: (2.34)Conforme deduzido anteriormente, a expressão para a folga radial do mancal, , édada pela equação (2.23), tomando-se a derivada de , em relação ao tempo,obtém-se: (2.35)
  29. 29. 19Derivando-se a equação (2.35) em relação à , tem-se: (2.36)Comparando estas duas últimas equações com a equação (2.34) obtida para ,chega-se ao seguinte resultado: (2.37)Como a folga é pequena compara ao raio do mancal, podemos concluir que oângulo é pequeno o suficiente para fazermos as seguintes aproximações:Definindo-se:A equação (2.37) pode ser reescrita do seguinte modo: (2.38)
  30. 30. 20CAPÍTULO 3FUNDAMENTOS BÁSICOS DE MECÂNICA DOSFLUIDOS Na natureza a matéria existe basicamente em dois estados físicos, o estadosólido e o estado fluido, este último normalmente dividido nos estados gasoso elíquido. De uma maneira bem simplificada pode-se diferenciar os sólidos dos fluidoslevando-se em conta a magnitude do movimento de suas partículas constituintes, eo espaçamento entre elas. Os sólidos apresentam uma estrutura coesa, essacoesão é menor para os líquidos e bastante reduzida nos gases. Isso explica o fatodos sólidos serem rígidos e os fluidos assumirem a forma do recipiente no qualestão armazenados (FORTUNA, 2000). Outra característica que diferencia sólidos de fluidos é que os sólidossuportam tensões de cisalhamento sem se deformarem, dentro do limite elástico,enquanto que os fluidos são incapazes de resistir a tais tensões, não importa o quãopequena seja, o resultado disto é que os fluidos se deformam e escoam. Existe umaclasse de fluidos que necessitam de uma tensão de cisalhamento mínima paracomeçarem a escoar, tais fluidos são objetos de estudo da reologia e não serãotratados neste trabalho. Existe uma propriedade intimamente relacionada à taxa de deformação dosfluidos, a esta propriedade dá-se o nome de viscosidade. Considere o escoamentoentre duas placas planas separadas por uma distância , conforme ilustrado naFigura 3.1, no qual a placa inferior permanece estática enquanto que a placasuperior se move na direção com velocidade , resultado da ação da forçatangencial .
  31. 31. 21 Figura 3.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas. Fonte: adaptada de Shigley’s (2006). Esta força gera uma tensão de cisalhamento entre a placa superior e o fluidoadjacente a ela. Suponha que o fluido existente entre as placas pode ser modeladopor camadas empilhadas que inicialmente encontram-se em repouso, mas devido daação da força começam a se mover e se deformarem. Para muitos fluidos éobservado experimentalmente que existe uma relação linear entre a tensão decisalhamento e a taxa de deformação das laminas de fluido, ou seja, (3.1)No limite (3.2) Isaac Newton supôs que a constante de proporcionalidade entre a tensão decisalhamento e a taxa de deformação fosse uma propriedade do fluido, a qual eledeu o nome de viscosidade, ou seja: (3.3)
  32. 32. 22No SI, Fluidos que satisfazem a equação (3.3) são denominados fluidosnewtonianos. Quanto mais viscoso for o fluido, maiores serão as tensões decisalhamento entre suas “laminas” e, consequentemente, maior será a dissipação deenergia. A viscosidade dos fluidos diminui com o aumento da temperatura, noentanto, é pouco afetada pela variação de pressão. No estudo da mecânica dos fluidos é conveniente assumir que gases elíquidos sejam distribuídos continuamente, ou seja, o fluido é tratado como umcontínuo (POTTER & WIGGERT, 2009). Existe uma propriedade dos fluidos que éde grande utilidade para verificar se a ideia de contínuo é apropriada, tal propriedadeé a massa específica , definida por: (3.4)Na qual, corresponde a um incremento de massa contida no volume incremental . Certamente não é possível fazer com que indiscriminadamente, poisneste caso a massa contida no elemento de volume varia descontinuamente e aideia de contínuo não é mais válida. Fisicamente a definição de massa específicaseria mais aceitável se o limite tendendo a zero fosse substituído por um volumemuito pequeno, mas que contenha um número grande de partículas. Para a maioriadas aplicações em engenharia o volume é extremamente pequeno, por exemplo,em um milímetro cúbico de ar, nas condições normais, existem 2,7x moléculas,sendo assim o volume certamente posse ser tomado como sendo muito menorque um milímetro cúbico e mesmo assim conter um grande número de moléculas,dessa forma a hipótese de contínuo torna-se válida (POTTER & WIGGERT, 2009). A importância da validade da ideia de contínuo é que as propriedades dosfluidos podem ser adotadas e aplicadas uniformemente em todos os pontos daregião em qualquer instante de tempo. Isto significa que é possível escrever, porexemplo, que a massa específica é uma função (em coordenadas cartesianas)contínua de e , ou seja, .
  33. 33. 233.1. CONSERVAÇÃO DE MASSA A equação da continuidade aparece em vários contextos na Física, de fato,sempre que há uma lei de conservação de alguma quantidade que flui no espaço(matéria, carga, etc.) essa lei é regida por uma equação da continuidade. Naausência de fontes ou sorvedouros, toda massa que entra em um sistema deve saire/ou se acumular no mesmo. Esta é uma forma simples de enunciar esta lei deconservação, que quando aplicada a um elemento infinitesimal de volume fornece aequação diferencial da continuidade que relaciona os campos de massa específica ede velocidade (FORTUNA, 2000). Considere o fluxo de massa através de cada facedo elemento de volume infinitesimal esboçado na Figura 3.2. Fixando-se o fluxo demassa líquido que entra no elemento de volume igual à taxa de variação de massado elemento, ou seja: (3.5)Onde é o fluxo de massa, ou vazão em massa, e é a massa do elemento defluido. Figura 3.2 Volume de controle infinitesimal.
  34. 34. 24 E, efetuando-se o balanço de massa neste elemento de volume, tomandocomo referência o seu centro, obtém-se a seguinte relação:Subtraindo-se os termos apropriados e dividindo-se por tem-se: (3.6)Adotando-se a descrição euleriana para o movimento do fluido, ou seja, aspropriedades do fluido tais como a massa específica e a velocidade são funçõesdo espaço e do tempo. (3.7) (3.8) (3.9)
  35. 35. 25Tendo-se em vista estas informações a equação (3.6) pode ser reescrita da seguinteforma: (3.10)Pela regra da cadeia tem-se que: (3.11)Sendo que:São as componentes da velocidade do fluido nas direções e respectivamente.A expressão:é conhecida como derivada substancial ou material, o nome é dado pelo fato deestar sendo analisado o movimento de uma partícula distinta do fluido, ou seja,segue-se a substância ( ou material) (POTTER & WIGGERT, 2009). O operador gradiente em coordenadas cartesianas é escrito da seguinteforma: (3.12)Atuando com este operador no vetor velocidade, equação (3.9), obtém-se o seguinteresultado:
  36. 36. 26 (3.13)Portanto, a equação da continuidade, pode ser escrita de forma mais compactacomo: (3.14)Para um escoamento incompressível, escoamento no qual a massa específica deuma partícula de fluido não muda conforme segue sua trajetória, ou seja,Logo a equação da continuidade para um escoamento incompressível, toma a forma (3.15)Ou, na forma vetorial, (3.16)Ou seja, para um escoamento incompressível o divergente da velocidade do fluido énulo.3.2. CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO A equação da conservação da quantidade de movimento é obtida a partir daaplicação da segunda lei de Newton (taxa de variação temporal do momento de umapartícula é igual à resultante das forças que nela atuam). Nesse ponto, se faznecessário definir os tipos de força que atuam sobre uma partícula de fluido.
  37. 37. 27Basicamente estas forças podem ser classificadas em dois tipos: forças de campo eforças de superfície. Forças de campo são forças que agem sobre a massa de fluido como umtodo, isto é, sobre cada ponto de um elemento de fluido. Enquadram-se nestacategoria a força da gravidade, eletromagnética, centrífuga e de Coriolis. Comoestas forças nem sempre possuem uma magnitude grande o suficiente parainfluenciar o escoamento, as expressões matemáticas dessas forças são,geralmente, adicionadas como termos auxiliares nas equações de momento. Essestermos podem ser expressos de forma geral como sendo , sendo quepode ser qualquer uma das forças anteriormente citadas, como também pode ser asoma vetorial de todas elas, dependendo da particularidade do problema que estásendo estudado (FORTUNA, 2000). Forças de superfície, como próprio nome sugere, agem somente sobre asuperfície do elemento de fluido. São decorrentes da pressão exercida sobre o fluidopor um elemento exterior e das tensões viscosas normais e de cisalhamento devidoao atrito com os elementos de fluido adjacentes em movimento. Uma vez que estasforças são intrínsecas ao fluido, elas aparecem como termos constitutivos dasequações de movimento. A equação diferencial da conservação de momento é vetorial, portanto,fornece três equações escalares. A resolução das equações das componentesdetermina os campos de velocidade e pressão. No entanto, existe uma dificuldadena determinação destas equações que é o uso das componentes da tensão paradeterminarmos as forças necessárias para escrever as equações da conservação demomento. Existem nove componentes de tensão que atuam em um ponto particular deum escoamento, elas são as nove componentes do tensor tensão , que pode serrepresentado pela matriz abaixo (POTTER & WIGGERT, 2009): (3.17)As tensões que agem em um elemento de fluido são mostradas na Figura 3.3.
  38. 38. 28 Figura 3.3 Tensões que agem sobre um elemento de fluido. O primeiro subscrito de uma componente de tensão indica em qual face elaatua, o segundo subscrito denota a direção de atuação. Uma componente de tensãoque age perpendicularmente a uma face é chamada de tensão normal ( , , ).Uma componente de tensão que age tangencialmente a uma face é chamada detensão de cisalhamento ( , , , , , ). Considere as forças que atuam em um elemento infinitesimal de fluidoconforme ilustrado na Figura 3.4. Figura 3.4 Balanço de forças. Uma vez que o campo de tensão varia suavemente, seu valor foi expandidoem série de Taylor a partir do seu valor no centro do fluido. De acordo com asegunda lei de Newton temos:
  39. 39. 29Para direçãoRealizando as simplificações necessárias temos: (3.18)Dividindo-se a equação (3.18) por , obtém-se: (3.19)Pela simetria das equações, tem-se que para as direções e , o balanço de forçasresulta nas seguintes equações: (3.20) (3.21)
  40. 40. 30Portanto, através balanço de forças que atuam no elemento de volume de fluidodeterminou-se as equações (3.19), (3.20) e (3.21), abaixo agrupadas nestasequência. Conforme discutido anteriormente, muitos fluidos exibem uma relação linearentre as componentes da tensão e o gradiente da velocidade, tais fluidos sãochamados de fluidos newtonianos. Se além desta linearidade considerarmos o fluidocomo sendo isotrópico, ou seja, as propriedades do fluido são independentes dadireção em uma dada posição; é possível relacionar as componentes da tensão e osgradientes da velocidade, usando apenas duas propriedades do fluido a viscosidade , e o segundo coeficiente da viscosidade (POTTER & WIGGERT, 2009). Asrelações tensão-gradiente de velocidade, também chamadas equações constitutivassão apresentadas a seguir (3.22) (3.23) (3.24) (3.25) (3.26)
  41. 41. 31 (3.27)Utilizando-se a seguinte condição: (3.28)conhecida como hipótese de Stokes, nas equações constitutivas (3.22) a (3.24), eassumindo-se que o escoamento seja incompressível ( ), tem-se: (3.29)Ou seja, a média negativa das três tensões normais é igual à pressão. Substituindo-se as equações constitutivas, juntamente com a hipótese de Stokes, na equação(3.19) obtida no balanço de quantidade de movimento, obtém-se: (3.30)Procedendo-se da mesma forma para as equações (3.20) e (3.21) obtém-serespectivamente para as direções e : (3.31)
  42. 42. 32 (3.32)Adotando-se o escoamento como sendo incompressível, ou seja, , asequações (3.30), (3.31) e (3.32) podem ser rescritas da seguinte maneira: (3.33) (3.34) (3.35) As equações (3.33), (3.34) e (3.35) são conhecidas como equações deNavier-Stokes, assim chamadas em homenagem a Louis M.H. Navier (1785-1836) eGeorge Stokes (1819-1903); com estas três equações, mais a equação dacontinuidade, obtém-se um sistema de quatro equações diferenciais parciais desegunda ordem e quatro incógnitas, , , e . A viscosidade e a massa específicasão propriedades do fluido que supostamente são conhecidas (POTTER &WIGGERT, 2009). É possível representar as equações de Navier-Stokes de maneiramais compacta, na sua forma vetorial: (3.36)
  43. 43. 333.3. A EQUAÇÃO DE REYNOLDS PARA MHR A equação de Reynolds é derivada a partir das equações de Navier-Stokes eda continuidade, considerando-se que o fluido lubrificante seja newtoniano,isoviscoso e incompressível. A equação de Reynolds descreve as características dofluxo do fluido lubrificante na folga radial do mancal, sua resolução permitedeterminar o campo de pressão no fluido do mancal, a partir do qual, as forçasdesenvolvidas pelo mancal e que atuam no rotor são obtidas, o que forneceinformações importantes como a capacidade de carga, coeficiente dinâmico derigidez e amortecimento (WATANABE, 2003). A Figura 3.5 é uma representação da vista planificada do mancal onde temosdefinido um sistema de coordenadas local , no qual escreveremos as equaçõesda continuidade e de Navier – Stokes, anteriormente definidas. y superfície do rotor x Figura 3.5 Vista planificada do mancal. Fonte: Watanabe (2003). As equações de Navier – Stokes no sistema de coordenadas do problemapodem ser escritas da seguinte maneira: (3.37) (3.38) (3.39)
  44. 44. 34 Com a hipótese de escoamento incompressível, a equação da continuidadedo fluido na folga do mancal é dada pela equação (3.15).Os parâmetros que caracterizam estas equações são os seguintes:  massa específica do fluido lubrificante;  - viscosidade do fluido  – pressão no filme de fluido lubrificante;  – componentes da velocidade do fluido nas direções ,respectivamente;  - componentes de forças de campo nas direções ,respectivamente. As equações de Navier-Stokes, juntamente com a equação da continuidade,podem ser simplificadas através de uma análise da magnitude dos termos que ascompõem, proposta por Childs (1993 apud WATANABE, 2003). Para isso, énecessário efetuar uma série de adimensionalizações das variáveis. As variáveis e o tempo são usualmente adimensionalizadas como mostrado nasequações a seguir: (3.40)As componentes da velocidade circunferencial, , e axial, , são adimensionalizadasem função da velocidade tangencial da superfície do rotor, . (3.41)Substituindo-se estas adimensionalizações na equação da continuidade para o fluidopresente na folga do mancal obtém-se:
  45. 45. 35 (3.42)Na prática, nos mancais hidrodinâmicos radiais as dimensões e são da mesmaordem de grandeza, ou seja: . Além disso, temos também que: . Uma adimensionalização para a componente da velocidade , que produzirátermos de mesma ordem de grandeza na equação (3.42) é dada por: (3.43) Para obter a equação de Reynolds, além destas adimensionalizações,emprega-se também a definição do número de Reynolds. O número de Reynolds éuma grandeza adimensional que serve como ferramenta de previsão dos regimes deescoamento, grosso modo, se o número de Reynolds é relativamente pequeno, oescoamento é laminar, se é grande, o escoamento é turbulento. Vale ressaltar o fatode que o número de Reynolds assume valores distintos dependendo da geometriado escoamento. Um regime de escoamento depende de três parâmetros físicos quedescrevem as condições do escoamento. O primeiro parâmetro é um comprimentode escala do campo de escoamento, tal como o diâmetro de uma tubulação ou aespessura de uma camada limite. Se esse comprimento de escala é suficientementegrande, a perturbação do escoamento pode aumentar e o escoamento pode serturbulento. O segundo parâmetro é uma velocidade de escala, tal como uma médiaespacial da velocidade; para uma velocidade suficientemente alta, o escoamentopode ser turbulento. O terceiro parâmetro é a viscosidade cinemática, paraviscosidades suficientemente pequenas o escoamento pode ser turbulento. Estestrês parâmetros podem ser combinados em um único parâmetro que é o numero deReynolds (POTTER & WIGGERT, 2009). Essa quantidade recebe este nome emhomenagem a Osborne Reynolds (1842-1912) e é definida como: (3.44)
  46. 46. 36Na qual, L e V são um comprimento característico e uma velocidade,respectivamente, e é a viscosidade cinemática definida da seguinte forma: (3.45)Para o caso da modelagem do mancal, o numero de Reynolds foi definido porSomeya (1989 apud WATANABE, 2003) da seguinte forma: (3.46)Define-se também uma adimensionalização para pressão: (3.47)Desconsiderando-se as componentes da força de campo, e substituindo-se esteconjunto de adimensionalizações nas equações de Navier-Stokes ( (3.37) a (3.39)),obtém-se as seguintes equações:Para direção (3.48)
  47. 47. 37Analogamente para a direção (3.49)Pelo fato da adimensionalização da componente da velocidade de escoamento dofluido ser diferente da adotada para as componentes e , para direção umaequação diferente das demais é obtida. Substituindo-se as adimensionalizações, naequação (3.38), tem-se: (3.50)Abaixo estão reunidas as equações (3.48), (3.49) e (3.50) , correspondentes as trêsdireções e , respectivamente.Sabendo-se que nos projetos de mancais hidrodinâmicos radiais o parâmetro ,folga radial nominal, é da ordem de , e que estes mancais são construídoscom raios da ordem de , tem-se que:
  48. 48. 38Com base nestas informações podemos simplificar o as equações (3.48), (3.49) e(3.50), resultando em: (3.51) (3.52) (3.53)Retornando a forma dimensional teremos o seguinte conjunto de equações: (3.54) (3.55) (3.56) Devido ao pequeno valor de , o gradiente de pressão na direção éinteiramente desconsiderado, portanto, o escoamento do fluido pode serconsiderado como sendo bidimensional, apenas com componentes de velocidade e . Para uma análise mais simples do mancal os efeitos de inércia do fluido sãodesprezados. Isso significa assumir um regime de escoamento laminar, ou seja,desconsiderar os termos de aceleração local e convectiva nas equações de Navier –Stokes. A aceleração de uma partícula de um fluido é obtida considerando-se umapartícula específica, conforme ilustrado na Figura 3.6.
  49. 49. 39 Figura 3.6 Aceleração de uma partícula de fluido.A velocidade da partícula muda de no tempo para no tempo . A aceleração é por definição: (3.57)Como é dado por: (3.58)A quantidade usando a regra da cadeia será: (3.59)Uma vez que , isso implica que a aceleração e dada por: (3.60)Na qual: (3.61)
  50. 50. 40A aceleração dada pela equação (3.60) é, então, expressa como: (3.62)As equações das componentes escalares da equação vetorial acima, paracoordenadas retangulares, são escritas como: (3.63) (3.64) (3.65) O termo da derivada temporal do lado direito das equações anteriores échamado de aceleração local, os termos remanescentes correspondem à aceleraçãoconvectiva. Uma maneira simples de entender a diferença entre estas duascontribuições para a aceleração da partícula é analisar o escoamento em umatubulação. Em uma tubulação a aceleração local resulta, por exemplo, do ato deabrir ou fechar uma válvula. Já a aceleração convectiva ocorrerá nas vizinhanças deuma mudança na geometria da tubulação, tal como um estreitamento da linha ou umcotovelo. Em ambos os casos, as partículas do fluido mudam de velocidade, maspor razões totalmente distintas (POTTER & WIGGERT, 2009). Reconhecendo-se os termos de aceleração local e convectiva nas equaçõesde Navier – Stokes, executa-se a simplificação citada anteriormente, ou seja,desconsiderar os efeitos de inércia do fluido que nada mais é do que eliminar ostermos de aceleração local e convectiva nas equações (3.54) e (3.56), obtendo-secom isso:
  51. 51. 41 (3.66) (3.67)As funções e , soluções destas equações diferenciais, fornecem os perfis develocidade do fluido. Para determiná-las basta resolver as equações com ascondições de contorno apropriadas. Primeiramente estas equações diferenciais forma resolvidas para um casomais geral, conforme ilustrado na Figura 3.7, na qual temos um filme de fluido deespessura entre duas superfícies sólidas que apresentam movimento relativo. Figura 3.7 Escoamento entre duas superfícies em movimento relativo. Fonte: adaptada de Hori (2006).As condições de contorno para tal problema são dadas por: (3.68) (3.69)
  52. 52. 42Para solucionar a equação (3.66), inicialmente efetua-se uma integração comrelação à variávelResultando em:Na qual, é uma função que a princípio pode depender de e também de .Integrando-se esta expressão, novamente com relação à variável :Aplicando-se as condições de contornoTemos queDa condição de contorno, , obtém-se:
  53. 53. 43Portanto, a função que descreve o perfil de velocidade na direção é dada por (3.70)Para determinar o perfil de velocidade na direção , basta resolver a equação (3.67).Integrando-se com relação à variávelIntegrando-se a expressão obtida novamente com relação à variável :Aplicando-se a condição de contorno , tem-se queAplicando-se a segunda condição de contorno dada por: , tem-se:
  54. 54. 44Portanto: (3.71) Agora que os perfis das componentes de velocidade do fluido e sãoconhecidos, é possível obter a equação de Reynolds, para o caso mais geral,integrando-se a equação da continuidade na direção da espessura do filme de fluidolubrificante, ou seja: (3.72)Utilizando-se da regra de Leibniz para diferenciação de integrais, dada por: (3.73)Aplicando-se equação (3.73) na equação (3.72): (3.74)Resolvendo-se as integrais presentes na equação (3.74): (3.75) (3.76)
  55. 55. 45 (3.77) (3.78) (3.79)Substituindo-se estes valores na equação (3.74): (3.80)É possível simplificar a equação de Reynolds, que foi deduzida para um caso maisgeral, levando em consideração as condições de operação do mancalhidrodinâmico.Em geral, não existe movimento do mancal na direção , ou seja:
  56. 56. 46Nas direções e , somente o rotor se movimenta e a bucha do mancal é fixa,portanto:Levando-se em conta estas informações a equação de Reynolds pode ser escrita daseguinte forma: (3.81)Considerando-se que o eixo seja um corpo rígido, podemos desprezar o primeirotermo do lado direito da equação anterior, resultando em (3.82)Desconsiderando-se os efeitos das pequenas perturbações, a velocidade nasuperfície do rotor é dada por: (3.83)Porém, a velocidade , não é paralela a direção , por isso se faz necessário adecomposição desta velocidade em duas componentes, conforme ilustrado naFigura 3.8.Figura 3.8 Componentes da velocidade do rotor. Fonte: adaptada de Hori (2006).
  57. 57. 47Através da análise da Figura 3.8 conclui-se que: (3.84) (3.85)O ângulo , formado entre as superfícies do rotor e do mancal é muito pequeno,pois a folga existente entre o eixo e a bucha do mancal é da ordem de .Então, as seguintes aproximações podem ser feitas. (3.86) (3.87)Sendo que, (3.88)Logo: (3.89)Substituindo-se os valores de e na equação (3.82), tem-se: (3.90)A análise dos termos presentes na equação de Reynolds permite identificar osmecanismos geradores de pressão no filme de fluido lubrificante. Esta análise seráfeita a partir da equação (3.81), pelo fato de esta ser mais geral.
  58. 58. 48 O lado esquerdo da equação de Reynolds indica como se dá a distribuição depressão no filme de fluido lubrificante em função das coordenadas e . Um esboçodesta distribuição está representado na Figura 3.9. Figura 3.9 Distribuição de pressão. Fonte: adaptada de Hori (2006). Por sua vez, o lado direito representa as causas da geração de pressão nofilme de fluido lubrificante. O primeiro termo do lado direito da equação de Reynoldscorresponde ao efeito de cunha (wedge effect) representado na Figura 3.10. Figura 3.10 Efeito de cunha. Fonte: adaptada de Shigley’s (2006). A Figura 3.10(a) mostra um eixo que inicia seu movimento de rotação nosentido horário. Durante o arranque o mancal estará seco, ou parcialmente seco,como conseqüência o eixo subirá através da superfície interna da camisa do mancal.Agora suponha que um fluido lubrificante seja introduzido no topo do mancal, figura3.10(b), a movimentação do eixo bombeará o óleo ao redor do mancal, sentidohorário, o lubrificante é então bombeado em um espaço em forma de cunhaforçando o eixo para o outro lado. Uma espessura mínima de filme é formadadeslocada do centro do mancal devido ao fato de que uma pressão no filme de fluido
  59. 59. 49alcança um valor máximo nessa posição. Isso faz com que o ocorra uma separaçãoentre o eixo e a camisa do mancal (HORI, 2006). O segundo termo corresponde ao efeito elástico (stretch effect) no qual acontribuição para gerar a pressão no fluido é devida a deformação das superfícies.Em materiais mais rígidos este efeito é desprezível, mas se tratando de materiaiscomo, por exemplo, algumas borrachas o mesmo não deverá ser negligenciado. O terceiro termo é representação matemática do esmagamento do filme deóleo lubrificante (squeeze effect), no qual a pressão é gerada devido à variação daespessura do filme do fluido lubrificante (HORI, 2006). Uma ilustração para esseefeito é dada na Figura 3.11. Figura 3.11 Esmagamento do filme de óleo lubrificante. Fonte: adaptada de Shigley’s (2006). Estes efeitos atuando conjuntamente são os responsáveis por gerar o campode pressão responsável pela capacidade de sustentação de cargas em mancaishidrodinâmicos.
  60. 60. 50CAPÍTULO 4SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS Devido a sua complexidade a equação de Reynolds não possui soluçãoexata. Para solucioná-la é necessário recorrer a métodos numéricos, porém, existemsoluções analíticas clássicas que podem ser obtidas quando dois casos idealizadosde mancais são considerados, o mancal curto e o mancal infinitamente longo. Ao assumir o mancal infinitamente longo na direção axial (ao longo de seucomprimento) pode-se desprezar o gradiente de pressão na direção , ou seja,desprezar os efeitos de borda e considerar a pressão aproximadamente constantena direção , assim, consegue-se resolver analiticamente a equação resultante. Se por outro lado o mancal for assumido como sendo curto, ou seja, adimensão na direção muito menor que na direção , o pico de pressão deve cairmais rapidamente para pressão ambiente na direção do que na direção . Logo, ogradiente de pressão na direção é muito maior que o gradiente de pressão nadireção , e este último pode ser desprezado e a equação resultante é passível deser solucionada analiticamente (HARNOY, 2003).4.1. CONDIÇÕES DE CONTORNO Para encontrar uma solução a equação de Reynolds é necessário conheceras condições de contorno do problema que está sendo modelado. No caso dos MHRtem-se que na direção axial, mais especificamente nas extremidades dos mancais, apressão no filme de óleo é igual à pressão atmosférica, ou seja, seu valor é bemdefinido. No entanto, na direção radial esta análise não é tão simples de ser feita epode ser ainda mais dificultada se levar em conta, por exemplo, o fenômeno deruptura do filme de óleo, que torna a determinação do valor de pressão nestascircunstâncias uma atividade bastante complexa. Por simplicidade considere um MHR infinitamente longo no qual o fenômenoda ruptura do filme de óleo é desprezado. Esta suposição não configura um absurdo,
  61. 61. 51uma vez que para atingir tal situação basta supor que a folga radial do mancal estejacompletamente preenchida pelo óleo lubrificante. Em tais condições, a solução daequação de Reynolds apresenta um valor positivo de pressão para o semicírculo domancal no qual a folga radial diminui, e um valor de pressão negativo parasemicírculo no qual a folga radial aumenta. No entanto estes valores são iguais emtermos absolutos. Este fato será verdadeiro somente na situação em que a pressão no filme deóleo for suficientemente baixa. No caso em que o valor da pressão no filme de óleofor relativamente elevado, o valor absoluto da pressão negativa não pode cair alémde certo valor, caso isto ocorra, acontecerá à ruptura do filme de óleo. A Figura 4.1 apresenta as condições de contorno que são aplicadas parasolucionar a equação de Reynolds no caso dos MHR. Figura 4.1 Condições de contorno para equação de Reynolds. Fonte: adaptada de Hori (2006). Condição de contorno de Sommerfeld – Aplica-se nos casos em que apressão no filme de óleo é baixa e não se observa o efeito da ruptura do filme deóleo. Matematicamente esta condição é expressa da seguinte maneira:
  62. 62. 52 Condição de contorno de Gümbel – Nesta condição de contorno a pressãoé calculada desconsiderando-se a ruptura do filme de óleo, mas somente a pressãopositiva no semicírculo de intervalo é considerada. A pressão negativapresente no outro semicírculo é considera como sendo nula (i.e., pressãoatmosférica). O filme de óleo inicia em e termina em . Esta condição éaplicada nos casos em que a pressão no filme de óleo é suficientemente alta, estacondição às vezes é denominada de meia condição de Sommerfeld. Condição de contorno de Reynolds – Assume-se que o filme de óleotermine na posição na qual a pressão e o gradiente de pressão sãoambos nulos, simultaneamente. Esta condição elimina a descontinuidade do fluxo deóleo em , uma contradição física presença na condição Gümbel. No entanto, énecessário determinar o valor de , esta condição é também conhecida comocondição de Swift-Stieber (HORI, 2006).4.2. SOLUÇÃO PARA MANCAIS INFINITAMENTE LONGOS A solução da equação de Reynolds fornece a distribuição de pressão no filmelubrificante. Por meio da integração desta distribuição de pressão encontra-se aforça desenvolvida no filme de óleo lubrificante. A partir das condições de equilíbriodesta força com a carga do mancal pode-se determinar os seguintes parâmetros:excentricidade radial, capacidade de carga e força de atrito (WATANABE, 2003). Ao assumir o mancal infinitamente longo na direção axial (ao longo de seucomprimento) é possível desprezar o gradiente de pressão na direção , ou seja,desprezar os efeitos de borda e considerar a pressão aproximadamente constantena direção , assim, consegue-se resolver analiticamente a equação resultante. A equação de Reynolds foi deduzida no capítulo 3 e é dada pela equação(3.90) reescrita abaixo para facilitar o desenvolvimento.Sendo que, para mancais infinitamente longos o gradiente de pressão na direção énulo:
  63. 63. 53 (4.1)Logo a equação (3.90) é simplificada para a equação abaixo. (4.2)As derivadas parciais passam a ser derivadas simples pelo fato de que em mancaisinfinitamente longos a pressão só depende da variável .4.2.1 PRESSÃO NO FILME DE ÓLEO EM MANCAISINFINITAMENTE LONGOS Para obtenção da expressão para o cálculo da pressão no filme de óleo emmancais infinitamente longo é necessário resolvermos a equação (4.2). Integrando-se a equação (4.2) obtém-se: (4.3)Onde, é uma constante de integração. É conveniente trocarmos pelo valor daespessura do filme de óleo, , no ponto onde ocorre um pico de pressão, ou seja,no ponto onde:
  64. 64. 54Portanto: (4.4)Lembrando-se que anteriormente foi derivada uma expressão para espessura dofilme de fluido lubrificante dada pela equação (2.23), abaixo reproduzida para facilitaro acompanhamento dos cálculos:Por simplicidade desconsidera-se os termos perturbativos (solução estática), ouseja:Lembrando-se que , tem-se que . Portanto, a equação(4.4) é reescrita da seguinte forma: (4.5) O passo seguinte é resolver a equação anterior, para isso, algumasmanipulações serão necessárias.
  65. 65. 55 (4.6)Onde é uma constante resultante do processo de integração. Através da mudança de variável efetuada anteriormente, o perfil de pressãoinicia-se em e nesta posição seu valor é dado por . A magnitude dedependerá da maneira como o suprimento de óleo é fornecido para o mancal, ouseja, pela forma como o óleo é injetado no interior do mancal. Se o óleo estaestocado em um reservatório e sua introdução se da por meio simplesmente daforça de gravidade, a magnitude de é levemente superior a da pressãoatmosférica e por isso pode ser considerada como sendo nula, suporemos estacondição na modelagem. Caso o óleo seja introduzido no mancal com auxílio deuma bomba o valor de será dado pela pressão de bombeamento. As integrais presentes na equação anterior não possuem soluções triviais,porém, podem ser resolvidas analiticamente se adotarmos a seguinte mudança devariável, (G.I TAYLOR & E.R VAN DRIEST). (4.7)Na qual a nova variável , transforma o intervalo no mesmo intervalo . Da mudança de variável proposta tem-se que:Sabendo que:
  66. 66. 56Tem-se que:Sendo que ,tem-se então: (4.10) (4.11)Derivando-se a equação (4.11) em relação à : (4.12)Substituindo-se os valores anteriormente determinados para e (equações4.10 e 4.11) em função de , na equação (4.12) obtém-se:
  67. 67. 57 (4.13)Retomando a expressão dada pela equação (4.6):É necessário expressar as integrais do lado direito da equação (4.6) em função davariável . Isso é possível de ser feito se substituirmos a expressão dada pelaequação (4.13) nas integrais presentes na equação (4.6). Iniciando-se este procedimento pela segunda integral presente no lado direitoas equação (4.6):Lembrando-se que: , tem-se:
  68. 68. 58 (4.14) Fazendo-se o mesmo para a primeira integral presente no lado direito daequação (4.6), obtém-se: (4.15)Substituindo-se as integrais presentes na equação (4.6) pelas expressões dadaspelas equações (4.14) e (4.15), pode-se reescrevê-la da seguinte forma: (4.16)A equação (4.16) é uma expressão geral para perfil de pressão no mancal.4.2.2 SOLUÇÃO DE SOMMERFELD PARA O MANCALINFINITAMENTE LONGO
  69. 69. 59 Na seção anterior foi encontrada a equação abaixo para o perfil de pressãodo mancal infinitamente longo (equação (4.16)): A solução do problema ainda não está completamente definida, uma vez que,é preciso determinar as duas constantes resultantes do processo de integração, e . Isso é possível a partir das condições de contorno do problema.a. PRESSÃO NO FILME DE ÓLEO As condições de contorno de Sommerfeld são expressas matematicamenteda seguinte forma:Para primeira condição de contorno, , temos que: (4.17)Logo, temos que .Aplicando a segunda condição de contorno, :
  70. 70. 60 (4.18)Agora, com as constantes de integração determinadas, basta substituir seus valoresna equação (4.16), este procedimento resulta na seguinte solução para o mancalinfinitamente longo: (4.19) Lembrando-se de que foi efetuada uma mudança de variável com a finalidadede facilitar o cálculo das integrais presentes na equação (4.6). Neste ponto dodesenvolvimento retornar-se a coordenada inicial do problema, ou seja, .Para isso, retoma-se a equação (4.7) que correlaciona às duas variáveis:
  71. 71. 61Anteriormente demonstrou-se nas equações (4.10) e (4.11), respectivamente, que:Manipulando-se estas equações encontram-se os seguintes resultados: (4.20)Manipulando-se a equação (4.10): (4.21)Substituindo as expressões dadas pelas equações (4.20) e (4.21) na equação(4.19), obtém-se:Agrupando-se os termos que possuem no denominador o fator , tem-se:
  72. 72. 62Agrupando-se os termos que possuem o fator no denominador:Encontrando-se um denominador comum para expressão anterior, tem-se: (4.22)
  73. 73. 63Definindo-se: (4.23)Podemos reescrever a equação (4.22) da seguinte maneira: (4.24) Figura 4.2 Distribuição de pressão em um mancal infinitamente longo pelas condições de contorno de Sommerfeld.Fonte: adaptada de Harnoy (2003). Da análise da Figura 4.2 verifica-se que a distribuição de pressão é simétricacom relação ao ponto em que , além disso, os valores de máximo e demínimo de pressão são iguais em termos absolutos. Determina-se a posição na qualocorrem estes extremos a partir da seguinte condição:
  74. 74. 64Em que é dada pela equação (4.22). Derivando-se a equação (4.22) em relação àvariável tem-se o seguinte resultado:Aplicando a condição:
  75. 75. 65Da relação trigonométrica , podemos obter que: . Substituindo esta informação na última equação obtemos: (4.25)b. FORÇA NO FILME DE ÓLEO E CAPACIDADE DE CARGA DO MANCAL A Figura 4.3 mostra a capacidade de carga, , de um mancal hidrodinâmicoradial e suas duas componentes e . A direção de é ao longo da linha desimetria do mancal . O ângulo medido entre a linha de atuação da força externaF (carga) e a linha , é o ângulo de atitude do mancal, , definido anteriormente.A direção da componente é normal a direção de (HARNOY,2003).
  76. 76. 66 Figura 4.3 Componentes das forças atuantes no mancal. Fonte: adaptada de Harnoy (2003). Uma quantidade infinitesimal da capacidade de carga do mancal, , atua nadireção normal da superfície do eixo do mancal. Ela é o produto da pressão nofluido, , e um elemento de área da superfície do eixo do mancal dado por: (4.26)Portanto, um elemento de força do fluido representado por: (4.27)É dado por: (4.28) A pressão atua na direção normal à superfície do eixo do mancal, e éuma quantidade infinitesimal da força que atua sobre o eixo do mancal, responsávelpela sustentação da carga imposta ao mancal, cuja direção é orientada para ocentro do eixo conforme se observa na Figura 4.3. Se o problema consistisse no escoamento de um fluido entre duas placasparalelas a pressão atuaria apenas em uma direção, no caso do mancal em estudo,a direção em que a pressão é atuante varia ao longo da superfície do eixo domancal o que não possibilita obter a força resultante através de uma integraçãosimples da quantidade (HARNOY, 2003). Para alcançarmos este propósito se faznecessária a decomposição de componentes na direção X e na direção Y, o quepossibilita a integração em cada uma destas direções. Os módulos dos elementosde força nas direções X e Y são dados por: (4.29) (4.30)
  77. 77. 67O sinal negativo de é devido ao fato de este estar orientado no sentido negativodo eixo X, conforme ilustrado está na Figura 4.3. Portanto, as componentes nasdireções X e Y são dadas respectiva mente por: (4.31) (4.32)Além disso, verifica-se que o ângulo de atitude, , é dado pela razão: (4.33)Todas as informações necessárias para resolver estas equações estão disponíveis,uma vez que anteriormente determinou-se uma expressão para o campo de pressão , equação (4.24). No entanto, a integral a ser resolvida neste procedimento decálculo é complexa. Esta tarefa árdua pode ser simplificada se as componentes dacapacidade de carga forem calculadas a partir da equação do gradiente de pressão,equação (4.5), que a seguir é resgatada para melhor entendimento: Da teoria do cálculo diferencial sabemos que se e são funções de umaúnica variável independente, temos, pela regra da derivação do produto de duasfunções que:Ao integrarmos esta expressão obtemos:
  78. 78. 68Que é conhecida no meio acadêmico como a fórmula da integração por partes.Comparando esta fórmula com a expressão da componente da capacidade de cargana direção X dada pela equação (4.31).É possível estabelecer as seguintes igualdades:Portanto: (4.34)Adotando-se o mesmo procedimento para a componente da capacidade de carga nadireção Y obtém-se: (4.35) Observa-se facilmente que os primeiros termos do lado direito das duasequações anteriores são nulos, portanto as expressões podem ser simplificadas daseguinte maneira:
  79. 79. 69 (4.36) (4.37)Substituindo a expressão do gradiente de pressão dado pela equação (4.5) naequação (4.36) teremos:Para resolver a integral basta efetuar a seguinte mudança de variável:Logo:Retornando a variável inicial temos:Analogamente tem-se que:Isso implica que a equação (4.36) é dada por:
  80. 80. 70E, portanto, o resultado da equação (4.31) é: Agora, substituindo-se a expressão do gradiente de pressão dado pelaequação (4.5) na equação (4.37) tem-se para a componente da capacidade decarga do mancal infinitamente longo a seguinte equação: (4.39)As integrais presentes no lado direito da última equação pode ser calculadasfacilmente empregando-se a técnica das frações parciais. Iniciando esteprocedimento com a primeira delas, ou seja:Expandindo em frações parciais:Esta igualdade será verdadeira se as seguintes condições forem satisfeitasSendo assim:
  81. 81. 71Portanto:Logo: (4.40) Adotando-se o mesmo procedimento para segunda integral, presente no ladodireito da equação (4.39), dada por:Expandindo em frações parciais:Esta igualdade será verdadeira se,Sendo que:
  82. 82. 72LogoPortanto: (4.41)As integrais presentes nas equações (4.40) e (4.41) são da forma:E já foram calculadas anteriormente na seção 4.2.1 sendo que:Substituindo-se estes resultados nas equações (4.40) e (4.41), respectivamente,tem-se: (4.42)
  83. 83. 73 (4.43)Substituindo as equações (4.42) e (4.43) na equação (4.39): (4.44)Portanto, o resultado da equação (4.39) é dado por:Uma vez que:Tem-se:Portanto, a capacidade de carga para o mancal infinitamente longo, sob ascondições de contorno de Sommerfeld, é em módulo igual a . Uma vez que (4.45)

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