Universidad Autónoma de Baja California UABC
Facultad de Ingeniería Mexicali
1.7 Ecuaciones lineales
Una clase de ecuaciones diferenciales sencillas de primer orden que ocurre
frecuentemente en aplicaciones es la ecuación lineal. Una ecuación lineal de primer
orden es aquella que puede expresarse de la siguiente forma:
dy
a1 ( x) + a 0 ( x ) y = b( x )
dx
donde a1 ( x ) , a 0 ( x ) y b( x ) depende solamente de la variable independiente x, y no de
la variable dependiente y. Recuerde la formula de la linealidad de una ED.
Ejemplo:
x 2 senx – (cos y )x = (senx )
dy
La ecuación diferencial es lineal.
dx
Para utilizar este método en la resolución de ED’s es importante conocer el término
“ecuación diferencial en forma canónica o estándar”. Se le dice así a la ecuación
diferencial cuando su derivada de mayor orden esta siendo multiplicada por un
coeficiente igual a 1, es decir a1 ( x) = 1 .
Para lograr lo anterior debemos dividir toda la ecuación diferencial entre a1 ( x) , de tal
manera que utilizando una nueva nomeclatura para los coeficientes resultantes nos
quedaría la siguiente ecuación diferencial en forma canónica:
dy
+ P ( x) y = Q ( x)
dx
Una vez que la ecuación diferencial está en esta canónica, podemos proceder a
resolverla utilizando el siguiente método.
Método para resolver Ecuaciones lineales
Paso 1. Verifique que la ecuación se encuentre en su forma canónica, es decir,
dy
+ P ( x) y = Q ( x)
dx
Paso 2. Calcúlese el llamado factor integrante μ (x) por medio de la fórmula:
P ( x )dx
μ (x ) = e ∫
Paso 3. Multiplique la ecuación en la forma canónica por μ (x) , y recordando que el
d [μ ( x ) y ]
primer miembro es precisamente , obténgase:
dx
μ ( x ) + P( x )μ ( x ) y = μ ( x )Q( x )
dy
dx
d [μ ( x ) y ]
= μ ( x )Q( x )
dx
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Paso 4. Finalmente intégrese la última ecuación de ambos lados y despeje la variable
dependiente y . De esta manera nos queda la solución :
y=
∫ μ ( x)Q( x)dx + C
μ ( x)
Importante: Note que la constante arbitraria de la última ecuación también esta dividida
entre el factor integrante! Si ignora esta situación la solución simplemente será
incorrecta
Ejemplos
1) Resolver
dy
+ 2 y = 3e x Solución: y = e x + Ce –2 x
dx
2) Resolver
1 dy 2
– y = x cos x, Solución: y = x 2 senx + Cx 2
x dx x 2
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