MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDÁRIO

MATEMÁTICA A
12º ANO

Cursos Científico-Humanísticos de
Ciências...
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Matem´tica A—12o Ano
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Programa do 12¯ Ano

Tema I – Probabili...
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Desenvolvimento

Indica¸˜es metodol´gicas
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Introdu¸˜o ...
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Indica¸˜es metodol´gicas
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An´lise Com...
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Tema II – Introdu¸˜o ao C´lculo Diferencial II
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Desenvolvimento
Teoria de limites
Limite de fun¸˜o segun...
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Desenvolvimento

Indica¸˜es metodol´gicas
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Problemas d...
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Matem´tica A—12o Ano
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Tema III –Trigonometria e N´meros Complexos
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Complexos
Introdu¸˜o elementar de
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Matematica a 12

  1. 1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A 12º ANO Cursos Científico-Humanísticos de Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas Autores Jaime Carvalho e Silva (Coordenador) Maria Graziela Fonseca Arsélio Almeida Martins Cristina Maria Cruchinho da Fonseca Ilda Maria Couto Lopes Homologação 17/05/2002
  2. 2. Departamento do Ensino Secund´rio a 1 Matem´tica A—12o Ano a ¯ Matem´tica A a o Programa do 12¯ Ano Tema I – Probabilidades e Combinat´ria o 30 aulas de 90 minutos As probabilidades fornecem conceitos e m´todos para estudar casos de incerteza e para interpree tar previs˜es baseadas na incerteza. Este estudo, que pode ser em grande parte experimental, o fornece uma base conceptual que capacita para interpretar, de forma cr´ ıtica, toda a comunica¸˜o ca que utiliza a linguagem das probabilidades, bem como a linguagem estat´ ıstica. As t´cnicas de e contagem que aqui aparecem como auxiliar do c´lculo de probabilidades constituem uma aprena dizagem significativa por si s´, especialmente se desenvolverem mais as capacidades do racioc´ o ınio combinat´rio e as conex˜es matem´ticas e menos a aplica¸˜o das f´rmulas. Considera-se ainda o o a ca o que o tema das Probabilidades constitui uma boa oportunidade para a introdu¸˜o de uma axioca m´tica, uma das formas de organizar uma teoria matem´tica, permitindo que os estudantes a a tenham uma melhor compreens˜o do que ´ a actividade demonstrativa em Matem´tica. Finala e a mente, qualquer destes assuntos ´ bom para prosseguir objectivos de trabalho em aspectos da e Hist´ria da Matem´tica. Saliente-se que h´ muitos exemplos hist´ricos interessantes no c´lculo o a a o a ´ de probabilidades. E aconselh´vel a leitura da brochura de apoio a este tema. a Pr´-requisitos: e No¸˜es elementares sobre conjuntos, co a Probabilidades do 3o Ciclo do Ensino B´sico. ¯
  3. 3. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A—12o Ano a ¯ Desenvolvimento Indica¸˜es metodol´gicas co o Introdu¸˜o ao c´lculo de ca a Probabilidades: Experiˆncia aleat´ria; cone o junto de resultados; acontecimentos. Opera¸˜es sobre acontecico mentos. Aproxima¸˜es conceptuais co para Probabilidade: Experiˆncias que permitam tirar partido de materiais l´dicos e e u de simula¸˜es com a calculadora contribuir˜o para esclarecer conco a ceitos atrav´s da experimenta¸˜o e para dinamizar discuss˜es de e ca o tipo cient´ ıfico, bem como para incentivar o trabalho cooperativo. A simula¸˜o e o jogo ajudam a construir adequadamente ca o espa¸o dos resultados e a encontrar valores experimentais para c ´ a probabilidade de acontecimentos que est˜o a ser estudados. E a importante incentivar o estudante, sempre que poss´ ıvel, a resolver os problemas por v´rios processos, discutindo cada um deles com o a professor e com os restantes colegas de modo a poder apreciar cada uma das formas de abordar o problema. O professor deve solicitar, frequentemente, que descrevam com pormenor, oralmente e ´ por escrito, os racioc´ ınios efectuados. E aconselh´vel elaborar a boas formas de registo para os resultados das suas experiˆncias e de modo a poderem ser partilhadas em grupo. A axiom´tica a das Probabilidades, por ser curta, permite alguns exerc´ ıcios de verifica¸˜o simples, capazes de motivar a apropria¸˜o da utilica ca dade deste tipo de abordagem matem´tica. O facto de tanto as a defini¸˜es frequencista e cl´ssica de probabilidade como a probaco a bilidade condicionada satisfazerem a axiom´tica das Probabilia dades permite compreender melhor o papel de uma axiom´tica a em Matem´tica. a Os estudantes j´ sabem como descrever os acontecimentos asa sociados a uma experiˆncia aleat´ria usando o espa¸o ou cone o c junto de resultados e sabem, ainda, como determinar a probabilidade de acontecimentos. Ora ´ muitas vezes necess´rio associar e a a uma experiˆncia aleat´ria (associada a um modelo de probae o bilidade) valores num´ricos pelo que ´ importante introduzir o e e conceito de vari´vel aleat´ria bem como o de fun¸˜o massa de a o ca probablidade. Os estudantes poder˜o utilizar simula¸˜es para a co ´ construir distribui¸˜es emp´ co ıricas de probabilidades. E importante que compreendam a rela¸˜o entre as estat´ ca ısticas e os parˆmetros a populacionais. N˜o ´ objectivo do programa entrar no estudo a e das vari´veis cont´ a ınuas mas o estudante poder´ investigar se n˜o a a haver´ nenhuma representa¸˜o que seja para a popula¸˜o o equivaa ca ca lente ao histograma na amostra. Das distribui¸˜es cont´ co ınuas a mais conhecida foi obtida pelo matem´tico Gauss e tem hoje um a papel importante j´ que muitos processos de inferˆncia estat´ a e ıstica a tˆm por base. e – aproxima¸˜o frequencista de ca probabilidade; – defini¸˜o cl´ssica de probabilica a dade ou de Laplace. – defini¸˜o axiom´tica de proca a babilidade (caso finito); propriedades da probabilidade. Probabilidade condicionada e independˆncia; probabilie dade da intersec¸˜o de aconca tecimentos. Acontecimentos independentes. Distribui¸˜o de frequˆnca e cias relativas e distribuica ¸˜o de probabilidades. Vari´vel aleat´ria; fun¸˜o a o ca massa de probabilidade: – distribui¸˜o de probabilidades ca de uma vari´vel aleat´ria discrea o ta; distribui¸˜o de frequˆncias ca e versus distribui¸˜o de probabilica dades; – m´dia versus valor m´dio; e e – desvio padr˜o amostral versus a desvio padr˜o populacional. a Modelo Binomial. Modelo Normal; histograma versus fun¸˜o densidade. ca 2
  4. 4. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A—12o Ano a ¯ Desenvolvimento Indica¸˜es metodol´gicas co o An´lise Combinat´ria a o Arranjos completos, arranjos simples, permuta¸˜es e co combina¸˜es. co Triˆngulo de Pascal. a Bin´mio de Newton. o Aplica¸˜o ao c´lculo de proca a babilidades. No caso das contagens que sejam facilitadas por racioc´ ınios combinat´rios, ´ aconselh´vel que os estudantes comecem por contar o e a os elementos um a um, utilizando exemplos (desde os mais simples at´ aos mais complicados), at´ que reconhe¸am a utilidade dos e e c diagramas e depois das organiza¸˜es simplificadoras. Os exemplos co de conjuntos para a contagem podem surgir de situa¸˜es probleco m´ticas que lhes forem sendo propostas. Mesmo o triˆngulo de a a Pascal pode ser introduzido a partir de problemas. Muitos problemas postos podem e devem resultar da an´lise de jogos conhecia dos. Os racioc´ ınios combinat´rios facilitam a abordagem de proo priedades envolvendo combina¸˜es, mas n˜o deve ser desprezada a co a ideia de, caso seja poss´ ıvel, introduzir conex˜es matem´ticas - com o a m´todos recursivos e fazendo alguma demonstra¸˜o por indu¸˜o e ca ca matem´tica. a Pascal, Tartaglia e Laplace s˜o exemplos ”interessantes” para reaa lizar incurs˜es na hist´ria dos conceitos matem´ticos, na vida dos o o a matem´ticos, nas liga¸˜es da Matem´tica com outros ramos de a co a ´ saber e actividade. E importante referir que muitos resultados de contagens j´ eram conhecidos anteriormente noutras civiliza¸˜es a co (por exemplo, o triˆngulo de Pascal era conhecido na China v´rios a a s´culos antes de Pascal) e 3
  5. 5. Departamento do Ensino Secund´rio a 4 Matem´tica A—12o Ano a ¯ Tema II – Introdu¸˜o ao C´lculo Diferencial II ca a 30 aulas de 90 minutos Aqui s˜o estudados de forma mais rigorosa conceitos j´ utilizados antes de forma intuitiva: a a limite, continuidade e derivada. O estudo das fun¸˜es ´ ampliado com as fun¸˜es exponencial e co e co logar´ ıtmica. V´rios conceitos deste tema s˜o importantes noutras disciplinas como “F´ a a ısica”, “Qu´ ımica”, “Economia” e “‘Geografia”. Por isso ´ bastante importante haver uma colabora¸˜o estreita entre e ca os professores de Matem´tica e os das outras disciplinas. A utiliza¸˜o de exemplos concretos a ca dessas disciplinas, a realiza¸˜o das actividades comuns ou a lecciona¸˜o de algum aspecto numa ca ca dessas disciplinas para posterior aprofundamento na disciplina de Matem´tica s˜o algumas das a a possibilidades que se oferecem aos professores. Pr´-requisitos: e Fun¸˜es e Gr´ficos do 10o ano. co a ¯ Introdu¸˜o ao C´lculo Diferencial I do 11o ano. ca a ¯ Desenvolvimento Indica¸˜es metodol´gicas co o Fun¸˜es exponenciais e co logar´ ıtmicas Fun¸˜o exponencial de base ca superior a um; crescimento exponencial; estudo das propriedades anal´ ıticas e gr´ficas a da fam´ de fun¸˜es definida ılia co por f (x) = ax com a > 1 Fun¸˜o logar´ ca ıtmica de base superior a um; estudo das propriedades anal´ ıticas e gr´ficas a da fam´ de fun¸˜es definida ılia co por f (x) = loga x com a > 1. Regras operat´rias de expoo nenciais e logaritmos. Utiliza¸˜o de fun¸˜es exca co ponenciais e logar´ ıtmicas na modela¸˜o de situa¸˜es reais. ca co Com as novas fam´ ılias de fun¸˜es surgem, tamb´m, novas oporco e tunidades para cada estudante obter uma maior compreens˜o da a matem´tica e suas aplica¸˜es, bem como para conectar e relaa co cionar os novos conhecimentos com os j´ adquiridos em anos ana teriores (quer dentro do mesmo tema quer com temas diferentes). ´ E fundamental apresentar aos estudantes actividades diversificadas (ver, por exemplo, brochura de apoio ao programa sobre este tema) tendo-se em conta que a explora¸˜o com a utiliza¸˜o ca ca das v´rias tecnologias pode permitir discuss˜es ricas, quer sobre o a o processo de modela¸˜o, quer sobre os conceitos matem´ticos funca a damentais, para al´m de facilitarem propostas aconselh´veis de e a investiga¸˜es. co Os estudantes precisam de desenvolver a compreens˜o de procedia mentos alg´bricos e utiliz´-los (a par da utiliza¸˜o da calculadora) e a ca sem que para isso tenham que fazer exerc´ ıcios repetitivos. A modela¸˜o com fun¸˜es exponenciais e logar´ ca co ıtmicas pode ser feita tanto usando capacidades espec´ ıficas da calculadora gr´fica a (por exemplo, usando a regress˜o estat´ a ıstica a partir de dados recolhidos experimentalmente ou numa base de dados), como por an´lise alg´brica da adequa¸˜o de um modelo fornecido pelo proa e ca fessor.
  6. 6. Departamento do Ensino Secund´rio a 5 Matem´tica A—12o Ano a ¯ Desenvolvimento Teoria de limites Limite de fun¸˜o segundo ca Heine. Propriedades operat´rias sobre limites (ino forma¸˜o); limites not´veis ca a (informa¸˜o). Indeterminaca co ¸˜es. Ass´ ımptotas. Continuidade. Teorema de Bolzano–Cauchy (informa¸˜o) e aplica¸˜es ca co num´ricas. e Indica¸˜es metodol´gicas co o C´lculo Diferencial a Fun¸˜es deriv´veis. co a Regras de deriva¸˜o (demonca stra¸˜o da regra da soma e ca do produto; informa¸˜o das ca restantes regras). Derivadas de fun¸˜es elementares (inco forma¸˜o baseada em intui¸˜o ca ca num´rica e gr´fica). Segunda e a defini¸˜o do n´mero e. Teoca u rema da derivada da fun¸˜o ca composta (informa¸˜o). ca Segundas derivadas e concavidade (informa¸˜o baseada ca em intui¸˜o geom´trica). ca e Estudo de fun¸˜es em casos co simples. Derivada da fun¸˜o composta: grau de dificuldade a n˜o ultrapasca a sar f (ax), f (x + b), f (xk ) ´ E importante analisar em todos os teoremas a necessidade das condi¸˜es do enunciado atrav´s de contra-exemplos. co e Deve ser adoptada a defini¸˜o: f ´ deriv´vel quando a derivada ca e a existe. As indetermina¸˜es s˜o referidas apenas para mostrar as co a limita¸˜es dos teoremas operat´rios. o programa apenas presco o sup˜e que se levantem as indetermina¸˜es em casos simples. Difio co culdade a n˜o exceder: a √ √ 5x4 − 2x + 1 x3 − 1 ; lim ( x + 1 − x) ; lim 2+3 x→+∞ x→+∞ x→1 x − 1 x lim ´ E aconselh´vel que os estudantes experimentem num´rica e grafia e camente a rela¸˜o entre os limites no infinito da exponencial, da ca potˆncia e dos logaritmos. e e ´ o unico n´mero real tal que (ex ) = ex . e ´ u O estudo de fun¸˜es deve seguir o modelo que se encontra na co brochura de fun¸˜es pag 149 e que combina m´todos anal´ co e ıticos com o uso da calculadora gr´fica. a Dificuldade a n˜o ultrapassar: a f (x) = 2−x + 2x , f (x) = Integra¸˜o do estudo do ca C´lculo Diferencial num cona texto hist´rico. o x x2 + x + 1 , f (x) = 2x + 1 1 − log x Os estudantes poder˜o realizar trabalhos individuais ou em grupo a de Hist´ria do C´lculo Diferencial referindo o trabalho de alguns o a matem´ticos como Fermat, Newton, Leibniz, Berkeley, Anast´cio a a ´ da Cunha, Bolzano, Cauchy, etc. E obrigat´ria a referˆncia a o e Jos´ Anast´cio da Cunha; com esse pretexto referir um pouco de e a hist´ria da Matem´tica em Portugal desde o tempo dos descobrio a mentos at´ ` actualidade. ea
  7. 7. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A—12o Ano a ¯ Desenvolvimento Indica¸˜es metodol´gicas co o Problemas de optimiza¸˜o. ca Os problemas de optimiza¸˜o devem ser escolhidos de modo a que ca um estudante trabalhe de uma forma t˜o completa quanto poss´ a ıvel a modela¸˜o. E uma boa oportunidade para discutir com os estuca ´ dantes o processo de modela¸˜o matem´tica e a sua importˆncia ca a a no mundo actual. (*) Demonstra¸˜o de alguns ca teoremas elementares do c´lculo diferencial. a (*) Os teoremas a demonstrar devem incluir: – continuidade implica limita¸˜o numa vizinhan¸a; ca c – continuidade e f (x) > 0 ou f (x) < 0 implicam permanˆncia de sinal numa vizinhan¸a de x; e c – derivabilidade implica continuidade; – derivada da potˆncia inteira e racional e do quociente. e 6
  8. 8. Departamento do Ensino Secund´rio a 7 Matem´tica A—12o Ano a ¯ Tema III –Trigonometria e N´meros Complexos u 24 aulas de 90 minutos Completa-se, agora, o estudo da trigonometria que se estuda no ensino secund´rio. Pretende-se a que os estudantes resolvam problemas que apelem simultaneamente ao estudo intuitivo apoiado na calculadora gr´fica como ao c´lculo de derivadas, em casos simples. Com pretexto de resa a ponder a problemas de resolubilidade alg´brica amplia-se o conceito de n´mero. As opera¸˜es e u co com n´meros complexos, nas formas alg´brica e trigonom´trica s˜o aproveitadas para que o u e e a estudante compreenda melhor as diferentes representa¸˜es anal´ co ıticas para dom´ ınios definidos geometricamente, bem como para dominar as rela¸˜es entre opera¸˜es alg´bricas e transforma¸˜es co co e co geom´tricas. O estudante precisa dos conhecimentos de Geometria Anal´ e ıtica, em geral, e da Trigonometria e IR, e precisa de saber resolver equa¸˜es e inequa¸˜es dos 1o e 2o graus. co co ¯ ¯ As fun¸˜es trigonom´tricas s˜o importantes noutras disciplinas como “F´ co e a ısica” e “Qu´ ımica”, pelo que o estudo das fun¸˜es trigonom´tricas para os alunos dos respectivos cursos gerais dever´ co e a levar em conta este facto. Por isso, ´ bastante importante haver uma colabora¸˜o estreita entre e ca os professores de Matem´tica e os das outras disciplinas. A utiliza¸˜o de exemplos concretos a ca dessas disciplinas, a realiza¸˜o de actividades comuns ou a lecciona¸˜o de algum aspecto numa ca ca dessas disciplinas para posterior aprofundamento na disciplina de Matem´tica s˜o algumas das a a possibilidades que se oferecem aos professores. Pr´-Requisitos: e Trigonometria do Tema ”Geometria no Plano e no Espa¸o” do 11o ano. c ¯ Desenvolvimento Indica¸˜es metodol´gicas co o Fun¸˜es seno, co-seno, co tangente. Estudo intuitivo com base no c´ ırculo trigonom´trico, e tanto a partir de um gr´fico a particular, como usando calculadora gr´fica ou coma putador. Estudo intuitivo de As propriedades a serem investigadas, recorrendo a calculadora ` gr´fica, s˜o: dom´ a a ınio, contradom´ ınio, per´ ıodo, pontos not´veis, a monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em rela¸˜o ao eixo dos YY e ` origem, ass´ ca a ımptotas, limites nos ramos infinitos. Os estudantes podem investigar, tal como o fizeram nas fam´ ılias de fun¸˜es anteriores, qual a influˆncia da muco e dan¸a de parˆmetros na escrita da express˜o que define a fun¸˜o c a a ca (em casos simples e se poss´ ligados a problemas de modela¸˜o). ıvel ca As derivadas do seno e do co-seno podem ser obtidas a partir das f´rmulas do seno e do co-seno da soma e de que o senx x→0 x lim . Derivadas do seno, co-seno e tangente. Utiliza¸˜o de fun¸˜es trigoca co nom´tricas na modela¸˜o de e ca situa¸˜es reais. co lim x→0 senx =1 x . A modela¸˜o com fun¸˜es trigonom´tricas pode ser feita tanto ca co e usando as capacidades espec´ ıficas da calculadora gr´fica (por a exemplo, usando a regress˜o estat´ a ıstica a partir de dados recolhidos experimentalmente ou numa base de dados) como por an´lise a alg´brica da adequa¸˜o de um modelo fornecido pelo professor. e ca
  9. 9. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A—12o Ano a ¯ Desenvolvimento Complexos Introdu¸˜o elementar de ca problemas de resolubilidade alg´brica e do modo como se e foram considerando novos n´u meros. Apropria¸˜o de um ca modo de desenvolvimento da Matem´tica, atrav´s da evolua e ca ¸˜o do conceito fundamental de n´mero. Experimenta¸˜o u ca da necessidade de i, a seme` lhan¸a da aceita¸˜o da necesc ca sidade dos n´meros negativos u e fraccion´rios. a N´meros complexos. O n´u u mero i. O conjunto C dos n´u meros complexos Indica¸˜es metodol´gicas co o A forma alg´brica dos come plexos. Opera¸˜es com comco plexos na forma alg´brica. e Representa¸˜o de complexos ca na forma trigonom´trica. e Escrita de complexos nas duas formas, passando de uma para outra. Opera¸˜es com complexos na co forma trigonom´trica. e Interpreta¸˜es co geom´tricas e das opera¸˜es. co Dom´ ınios planos e condi¸˜es co em vari´vel complexa. a As opera¸˜es com complexos podem ser definidas na base da co manuten¸˜o das propriedades das opera¸˜es e do quadrado de i ca co ´ ser −1. E aconselh´vel que |z| seja introduzido de modo intuitivo, a estendendo a no¸˜o de valor absoluto de um real (distˆncia de ca a dois pontos no eixo, distˆncia de dois pontos no plano cartesiano) a A passagem ` forma trigonom´trica pode ser feita com referˆncia a e e ´ a outros sistemas de coordenadas. E importante explorar a multiplica¸˜o por i e as diversas opera¸˜es ligadas a outras realidades ca co matem´ticas - vectores, opera¸˜es com vectores, transforma¸˜es a co co geom´tricas. e A resolu¸˜o e a interpreta¸˜o das solu¸˜es de condi¸˜es em z, ca ca co co devem ajudar a compreender a utilidade dos diversos sistemas de representa¸˜o anal´ ca ıtica. O recurso a programas de geometria dinˆmica pode ser motivadora para a realiza¸ao de demonstra¸˜es. a c co Assim o professor deve propor que depois de investigadas sejam demonstradas propriedades de pol´ ıgonos. (*) Demonstra¸˜o de proca priedades de Geometria usando n´meros complexos u O estudante precisa de explorar sempre que poss´ ıvel a liga¸˜o ca dos n´meros complexos ` geometria. Ela fornece uma perspecu a tiva mais rica dos m´todos geom´tricos com que se trabalha habie e tualmente – m´todo das coordenadas, dos vectores e das transe forma¸˜es geom´tricas, bem como uma nova compreens˜o da co e a demonstra¸˜o, tornado poss´ ligar as caracter´ ca ıvel ısticas num´ricas, e alg´bricas e geom´tricas (ler a brochura referente a este tema). e e A introdu¸˜o dos complexos deve ser ancorada numa peca quena abordagem hist´rica, do ponto de vista dos probleo mas/escolhos que foram aparecendo no desenvolvimento dos estudos matem´ticos. Os estudantes podem realizar trabalhos sobre a a extens˜o do conceito de n´mero e sobre problemas de resolubilia u dade alg´brica, quer do ponto de vista hist´rico, quer do ponto e o de vista da sua experiˆncia com anteriores desenvolvimentos. Ser´ e a interessante a referˆncia ` impossibilidade da extens˜o a C de uma e a a ordena¸˜o compat´ com a adi¸˜o e a multiplica¸˜o. ca ıvel ca ca 8

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