análisis numérico (uft)

1. MÉTODO DE ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
Fernando Alzate
C.I: 20.087.310

2. DEFINICIÓN
El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de
ecuaciones lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas
operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta
pueda leerse de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo
para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se
respete la relación de al menos una ecuación por cada variable.
Cabe destacar que en la eliminación Gaussiana se pueden presentar diversos
problemas, uno de ellos es que debemos dividir entre el pivote y si este es un número
muy pequeño, entonces un error de redondeo puede arrojar serias dudas sobre la
respuesta final.

3. En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables
en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una
vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de
todas las variables.
En este sentido, es necesario conocer principalmente las operaciones básicas
de renglón, las cuales se presentan a continuación:
1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante
diferente de cero.
2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra ecuación
3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.

4. GAUSS-JORDAN
La eliminación de Gauss-Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal, para
determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e
inversas.
Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se
obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente
en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.
El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz
triangular superior, mientras que el método de Gauss-Jordan continúa el proceso de
transformación hasta obtener una matriz diagonal.

5. CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO
GAUSS-JORDAN
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no
lo tenga.
3. Obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados
del renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante.
Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma
escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba, para cada renglón
obtener un (1) delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos a los
renglones correspondientes.

6. DESCOMPOSICIÓN LU
Este método consiste en demostrar que una matriz A se puede factorizar
como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular
superior U, cuya característica fundamental es que en el paso de eliminación sólo se
involucran operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo evaluar los
términos independientes bi de manera eficiente.
Por otra parte, es importante resaltar que si los valores de la diagonal de la
matriz L tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Doolitle
y si los valores de la diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se
refiere a la Descomposición de Crout

7. EJEMPLO DE MÉTODO DE
ELIMINACIÓN GAUSSIANA
• Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método
de solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se
puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre
2, obteniendo:

8. • Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera
ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:
• Al sumar se obtiene lo siguiente:
• La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:

9. • Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:
• Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3. luego se multiplica por 5 y se
le suma a la tercera:

10. • En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer
la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las
otras incógnitas. Se obtendrá:
Para finalizar, se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación
por un número diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.