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ARQUIMEDES      Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212a.C.) foi um matemático, físico, engenheiro,inventor, e astrônomo gr...
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Valor de π utilizando o Princípio da Exaustão                                  Arquimedes desenhou um                     ...
Circunferência de comprimento C = 2mn         Sn / n       l menor      L maior      P menor / C P maior / C     4        ...
Área de arco de parábolautilizando o Princípio da Exaustão Em A Quadratura da Parábola, Arquimedes provou que a área delim...
FATO          PERSONALIDADE      PROBLEMA OU           COMO FOI RESOLVIDOMATEMÁTICO           QUE SE           CONFLITO   ...
FATO            PERSONALIDADE        PROBLEMA OU               COMO FOI RESOLVIDO OMATEMÁTICO             QUE SE          ...
Quando a cidade de Siracusa foi cercada porRoma, Arquimedes foi morto por um soldadoromano, mesmo após os soldados teremre...
FONTES CONSULTADAS:Calinger, Ronald. A Contextual Historyof Mathematics. [S.l.]: Prentice-Hall, 1999.http://www.matematica...
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Historia matematica arquimedes atual

  1. 1. INSTITUTO FEDERAL DE ALAGOAS – IFAL CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ARQUIMEDES – MÉTODO DA EXAUSTÃO e outros temas Fernando A C Mendonça 1
  2. 2. ARQUIMEDES Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212a.C.) foi um matemático, físico, engenheiro,inventor, e astrônomo grego. Embora poucosdetalhes de sua vida sejam conhecidos, sãosuficientes para que seja considerado um dosprincipais cientistas da Antiguidade Clássica. Ronald Calinger , em sua obra “UmaHistória Contextual da Matemática”, afirma serArquimedes o maior matemático daAntiguidade e um dos maiores de todos ostempos. 2
  3. 3. CONTRIBUIÇÕESFÍSICA (ENGENHARIA) • BASES DA ESTÁTICA E DA HIDROSTÁTICA; • DESCOBRIU A LEI DO EMPUXO E DA ALAVANCA.INVENTO DE MÁQUINAS • ARMAS DE CERCO; • BOMBA DE PARAFUSO. 3
  4. 4. CONTRIBUIÇÕESMATEMÁTICA • CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES (ÁREA SOB UM ARCO DE PARÁBOLA, VOLUMES DE SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO, VOLUME E ÁREA DE ESFERA); • APROXIMAÇÃO DO NÚMERO π; • DESCOBERTA DE UMA ESPIRAL (A ESPIRAL DE ARQUIMEDES); • DESENVOLVIMENTO DE UM SISTEMA PARA EXPRESSAR NÚMEROS MUITO GRANDES. 4
  5. 5. O parafuso de Arquimedes é capaz de elevar água eficientemente.Uma esfera inscrita em um cilindro demesma altura e diâmetro. Arquimedesprovou que o volume e a área da superfícieda esfera são dois terços da do cilindro. 5
  6. 6. Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes informa que:265 1351 (aprox. 1,7320261) < 3 (aprox. 1,7320508)< (aprox. 1,7320512)153 780 sem dar qualquer explicação sobre o método utilizado para obtê-lo. Este aspecto da obra de Arquimedes fez John Wallis comentar que ele estava: "...como se houvesse um firme propósito de encobrir os passos de sua investigação, como se ele negasse à posteridade o segredo de seu método de investigação ao mesmo tempo que desejava extrair dela o consentimento com os seus resultados. 6
  7. 7. Em O Contador de Areia, Arquimedes se dispôs a calcular o número de grãos de areia que o universo poderia conter. Propôs um sistema para contar números altos, e chegou à conclusão que 8.1063 grãos encheriam o universo.---------------------------------------Em coordenadas polares (r, θ), a espiral de Arquimedes,apresentada em seu livro em seu livro Das Espirais,pode ser descrita pela equação seguinte: ,com a e b reais. 7
  8. 8. Valor de π utilizando o Princípio da Exaustão Arquimedes desenhou um polígono regular inscrito e outro circunscrito a um mesmo círculo. Aumentando-se o número de lados do polígono regular, ele se torna uma aproximação mais precisa de um círculo.Quando os polígonos tinham 96 lados cada um, ele calculou oscomprimentos de seus lados e mostrou que o valor de π está 1entre 3 (aproximadamente 3,1429) e 3 10 (aproximadamente 7 713,1408), consistente com o seu valor real de cerca de 3,1416.Ele também mostrou que a área de um círculo é igual a π 8multiplicado pelo quadrado do raio do círculo.
  9. 9. Circunferência de comprimento C = 2mn Sn / n l menor L maior P menor / C P maior / C 4 90 1,414213562 2 2 29/35 4 5 108 1,175570505 1,453085056 2 46/49 3 31/49 6 120 1 1,154700538 3 3 13/28 7 128,5714286 0,867767478 0,963149238 3 1/27 3 23/62 8 135 0,765366865 0,828427125 3 4/65 3 16/51 9 140 0,684040287 0,727940469 3 5/64 3 8/29 10 144 0,618033989 0,649839392 3 1/11 3 1/4 20 162 0,31286893 0,316768881 3 9/70 3 1/6 30 168 0,209056927 0,210208471 3 11/81 3 15/98 40 171 0,156918191 0,157403414 3 13/94 3 4/27 50 172,8 0,125581039 0,125829335 3 6/43 3 7/48 60 174 0,104671912 0,104815559 3 7/50 3 13/90 70 174,8571429 0,089729661 0,089820104 3 9/64 3 1/7 80 175,5 0,078519632 0,078580214 3 10/71 3 1/7 90 176 0,069798993 0,069841539 3 11/78 3 1/7 96 176,25 0,065438166 0,065473221 3 11/78 3 1/7 3,141031951 3,1427146 Valor real de π: 3,141592654 9
  10. 10. Área de arco de parábolautilizando o Princípio da Exaustão Em A Quadratura da Parábola, Arquimedes provou que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é 4⁄3 vezes a área do triângulo inscrito correspondente, como mostrado na figura à direita. Ele expressou a solução do problema como uma série geométrica infinita com a razão Como mostrado por Arquimedes, a comum de 1⁄4: área do segmento parabólico na figura de cima é igual a 4/3 da do triângulo inscrito na figura de baixo. 10
  11. 11. FATO PERSONALIDADE PROBLEMA OU COMO FOI RESOLVIDOMATEMÁTICO QUE SE CONFLITO O CONFLITO DESTACOU RELACIONADOValor de π Arquimedes Há um certo número Utilização do princípio da (π) que, em qualquer exaustão: aproximação de π circunferência, pelos cálculos dos corresponde ao perímetros de dois quociente do polígonos regulares de lado comprimento por seu n, sendo um inscrito e outro diâmetro. Possíveis circunscrito a uma problemas com circunferência. confecção de produtos. Arquimedes Provavelmente Publicou o resultadoValor de 3 deparou-se com a 265 1351 equação x2=3 em < 3< algum problema. 153 180 Exemplo de problema: sem explicar o método para cálculo de área de um alcançá-lo. terreno. 11
  12. 12. FATO PERSONALIDADE PROBLEMA OU COMO FOI RESOLVIDO OMATEMÁTICO QUE SE CONFLITO CONFLITO DESTACOU RELACIONADOÁrea delimitada Arquimedes Após investigar áreas de Dividiu a região em triângulos,por uma circunferência, pode ter cuja soma de áreas resultou naparábola e uma procurado áreas de série geométrica infinitalinha reta parábolas. Intuito ∞ matemático. A∆ insccrito ∑ 4− n , ou n= 0 seja, igual a área do triângulo inscrito vezes 4/3.Contagem de Arquimedes Contrariar a crença de Criou um sistema de contagemnúmeros altos existirem infinitos grãos de em que as unidades(grãos de areia) areia na Grécia (ou no correspondem a 1 miríade (ou mundo conhecido na época) 10000 unidades), e estimou que seriam necessários 8×1063 grãos de areia para encher o universo. 12
  13. 13. Quando a cidade de Siracusa foi cercada porRoma, Arquimedes foi morto por um soldadoromano, mesmo após os soldados teremrecebido ordens para que não o ferissem,devido à admiração que os líderes romanostinham por ele. “Brincar é condição fundamental para ser sério.” Αρχιμήδης 13
  14. 14. FONTES CONSULTADAS:Calinger, Ronald. A Contextual Historyof Mathematics. [S.l.]: Prentice-Hall, 1999.http://www.matematica.br/historia/arquimedes.htmlhttp://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/http://www.cursointerseccao.com.br/resumos/a_historia_da_matematica.pdfAndréa Cardoso et al. Descobrindo o número π com geometria dinâmicahttp://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12006/MauroLopesAlvarenga.pdfhttps://sistemas.usp.br/siicusp/cdOnlineTrabalhoVisualizarResumo?numeroInscricaoTrabalho=4099&numeroEdicao=18 14
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