1. POTENCIACIÓN - TEOREMAS
Equipo de Ciencias

2. APLICACIONES

3. APLICACIONES
Área
X cm
x2
Volumen
X cm
Longitud
X cm
X cm
x3

4. ESQUEMA DE LA UNIDAD
LEYES DE
EXPONENTES Y
TEORÍA DE
EXPONENTES II
POTENCIACIÓN:
TEOREMAS
PROBLEMAS DE
POTENCIACIÓN
RADICACIÓN:
TEOREMAS
ECUACIONES
EXPONENCIALES
DE BASES IGUALES

5. DEFINICIÓN DE UNA POTENCIA
an = a . a . a . … . a
n veces
Base
Exponente
Recuerda que si elevamos un número a (la base) Al
exponente n, significa que se multiplica ese número a
tantas veces como indique el exponente n.

6. DEFINICIONES
EXPONENTE NATURAL
EXPONENTE CERO
x  x . x . ................ x
 
 
x0 = 1
n
EXPONENTE NEGATIVO
x
n
1
 n
x
n veces
; xR–{0}
;xRn
Z+
;  x  R – {0}  n  Z+
TEOREMAS DE POTENCIACIÓN

7. EXPONENTE NATURAL
Recuerda que no se
•3 2 = 3 . 3 = 9
multiplica la base por
2 = -3 . -3 = 9
•(-3)
el exponente.
•5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
Si la base es negativa hay
que encerrarla en
3 = -5 . -5 . -5 = -125
•(-5)
paréntesis.
•x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6
•(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
•-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si tuviera
signo delante, el signo no le pertenece a la base. Hay que
considerarlo como el opuesto de lo que sea el resultado
de elevar la base a la potencia indicada.

8. EXPONENTE NATURAL
•3 2 = 3 . 3 = 9
•(-3) 2 = -3 . -3 = 9
•5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
•(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125
•x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6
•(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
•-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
•Recuerda que:
•-Si elevamos una base negativa a una potencia par, el
resultado es positivo.
•-Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado
es negativo.
•-Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.

9. EXPONENTE CERO
•3 0 = 1
•(-3) 0 = 1
•135 0 = 1
•(-275) 0 = 1
•x 0 = 1
•(-x) 0 = 1
•(x2y3) 0 = 1
Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia cero, el
resultado es uno.
00 no está definido.

10. EXPONENTE NEGATIVO
•3 -2 =
1
1
=
32
•(-3)
-2
(-3)2
1
=
23
1
=
(-2)3
•(-2) -3 =
•x
=
1
=
•2 -3 =
-5
9
1
=
x
9
1
8
1
-8
1
x5
•(x2y3) -7 =
1
(x2y3)7
y
-3
=
y
x
3

11. TEOREMAS DE POTENCIACIÓN
• Si a y b son números reales distintos de cero y, m y n son números enteros,
se cumple:
Multiplicación de Potencias con Bases Iguales
a .a  a
m
n
m n
Producto elevado a una potencia
(a.b)m  am.bm
División de Potencias con Bases Iguales
m
a
 amn
an
Fracción elevada a una potencia
m
Potencia elevada a otra potencia
(a )  a
m n
am
a
   m
b
b
m.n
EJERCICIOS EXPLICATIVOS

12. MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS CON BASES IGUALES
• an
.
am
=a n+m
Al multiplicar bases iguales se suman los exponentes
Ejemplos:
4 5 . 4 2 = 47
x2.x .x4= x7
x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6
x + x 3 = No se puede aplicar esta ley ya que las potencias no
se están multiplicando. La ley aplica cuando tenemos
una multiplicación, no aplica en suma.

13. DIVISIÓN DE POTENCIAS CON BASES IGUALES
m
a
mn
a
n
a
; a0
Al dividir bases iguales se restan
los exponentes.
Ejemplos:
7 5 = 7 2 = 49
73
75
75
75
73
x3
x2
=70 = 1
= 75-3 = 72
= x

14. PRODUCTO ELEVADO A UNA POTENCIA
• (a b) n = a n . b n
Ejemplos:
( x y ) 3 = x3y3
( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5
(x + y ) 2
=
No se puede aplicar esta ley ya que no hay
una multiplicación, hay una suma.

15. FRACCIÓN ELEVADA A UNA POTENCIA
n =
an
; b0
bn
a
b
2
x
x
   2
 y
y
 
2
y 
  
 3 
 
5
2
10
y
9
Se eleva cada término de la fracción a
la misma potencia n.
3
x 
 2 
y 
 
3
9
x
6
y

16. POTENCIA ELEVADA A OTRA POTENCIA
(EXPONENTE DE EXPONENTE)
(a )  a
m n
mn
Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se
multiplican los exponentes
Ejemplos:
(x 2 ) 3 = x 6
(5 3 ) 4 = 5 12
(y 7 ) 0 = 1
{(22)3}4 = 2 2.3.4

17. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1) Calcula el valor de:
P  81  9  16
1
1
2) Reducir: Q   1    1    1 
 
   
2
 3  4
3) Si:
3x
=
7y;
4) Calcular:
reducir:
1
2
12
x 1
1
y 1
3 7 3
C y
x
y
7 7 . 3 3 . 7
A  27
9
 42
1
x
0, 5

18. EVALUACIÓN
1) Reducir
2
1
0
5
Q      32  3
2
2)0,252
2) Calcular: (3