Ecuaciones diferenciales de bernoulli

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Ecuaciones diferenciales de bernoulli

  1. 1. Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli<br />E.D.B<br />
  2. 2. Ecuación diferencial de Bernoulli<br />Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:<br />Donde y son funciones continuas en un intervalo<br />
  3. 3. Método de resolución <br />Caso general:<br />Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:<br />Definiendo:<br />
  4. 4. llevan inmediatamente a las relaciones:<br />Gracias a esta ultima relación se puede reescribir como:<br />Ecuación a la cual se le puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:<br />
  5. 5. Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que: <br />Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:<br />Con <br />
  6. 6. Caso particular: α = 0<br />En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:<br />Caso particular: α = 1<br />En este caso la solución viene dada por:<br />
  7. 7. Ejemplo <br />Para resolver la ecuación:<br />Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:<br />Multiplicando la ecuación anterior por el factor:<br />se llega a:<br />
  8. 8. Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:<br />Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli: <br />Y se resuelve ahora la ecuación:<br />
  9. 9. Deshaciendo ahora el cambio de variable:<br />Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue <br />
  10. 10. Referencias <br /><ul><li>Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid).
  11. 11. http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_de_Bernoulli</li>

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