1. Centro de Bachillerato Tecnológico Agropecuario N° 20
Río Grande, Zac.
Cuaderno de Apuntes y Ejercicios de Cálculo
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo está dirigido a los alumnos del CBTA 20 que cursan el Bachillerato
Tecnológico, con la intención de que sirva de guía y material de trabajo mínimo para cubrir los
contenidos programáticos que especifica el programa de estudios de Cálculo, del Bachillerato
Tecnológico; asignatura del componente básico de dicho bachillerato
El descubrimiento del Cálculo en un principio apoyó algunos problemas de la Física,
actualmente constituye una herramienta muy útil en los diferentes campos de la ciencia, permitiendo el
estudio de las razones de cambio de muchas cantidades, la estimación de la distancia y la velocidad de
un cuerpo en movimiento, la predicción de resultados de las reacciones químicas, la explicación del
crecimiento del número de bacterias en cultivos, la descripción del cambio de corriente eléctrica en un
circuito, el estudio de las pérdidas y ganancias de una empresa o el encuentro de las rectas tangentes a
las cónicas; con esto se da a entender que el uso del Cálculo tiene como límite la creatividad del ser
humano para su aplicación.
Con el desarrollo de los contenidos programáticos en el aula, mediante el proceso enseñanza-
aprendizaje, los participantes en dicho proceso deben ir construyendo los conceptos que permitan
comprender las bondades de esta herramienta, la comprensión de los conceptos analizados y una
adecuada aplicación a diversos problemas de la vida cotidiana. Ello contribuirá a que todos los
estudiantes puedan lograr el objetivo general del curso que es:
1
2. Objetivo General: Los estudiantes integrarán los contenidos de la matemática antecedente,
para resolver problemas que los conduzcan hacia los conceptos centrales
de función, límite, derivada e integral. Que les permitan construir una imagen de su entorno con
mayor coherencia y formalidad, para desarrollarse con solvencia en un entorno social, científico y
tecnológico
CONTENIDO
1. Conceptos Previos Revisión algebraica (apoyo a los estudiantes)
1.1 Introducción
1.1.1 Antecedentes Históricos
1.1.2 Conceptos De Variable Relación Función
1.1.3 Conceptos Relacionados Con Funciones, Intervalos, Dominio Y Rango De Funciones
1.1.4 Clasificación De Las Funciones
1.1.5 Representación Gráfica De Las Funciones
1.1.6 Operaciones Con Funciones
1.2 Límites Y Continuidad De Funciones
1.2.1 Noción Intuitiva De Límites
1.2.2 Continuidad De Una Función
1.3. Derivación De Funciones
2
3. 1.3.1 Rapidez De Variación Y Rapidez De Variación Instantánea
1.3.2 Reglas De Derivación De Funciones Algebraicas
1.3.3 Derivación De Funciones Trascendentes
1.3.4 Derivadas Sucesivas De Una Función
1.4. Análisis De Funciones
1.4.1 Funciones Crecientes Y Decrecientes
1.4.2 Máximos Y Mínimos Relativos
1.4.3 Aplicaciones
2.1 Conceptos De Cálculo Integral
Para una adecuada comprensión de los temas a desarrollar durante el curso, es necesario hacer un
recordatorio de algunos temas básicos de Aritmética y álgebra que permitan avanzar con menores
dificultades en el desarrollo del curso, para ello se proponen la realización de los siguientes ejercicios,
mismos que deberás desarrollar trabajando en equipo o individualmente, investigando las reglas o
principios a aplicar en la solución de estos ejercicios, socializando éstas en el grupo hasta lograr una
mejor comprensión de los procesos aplicados en la solución de los mismos.
Aritmética.
Actividades:
1. Representa en el eje numérico los siguientes racionales:
½, 2/3 , 4/5, 3/9, 1/3, -1/2, -1/3, 5/3, -7/4, 17/5. -12/7
*
2. Compra las siguientes parejas de racionales escribiendo entre ellos los signos =. <, >, utiliza el
procedimiento que creas conveniente:
2/4 7/11, 7/18 9/19, 19/21 10/11, -19/29 -17/27. 7/9 17/20
3. Ordena de mayor a menor: {2/3, 8/11, 12,17, ½} {-5/9, -4/7, -12/23}
4. Encuentra 3 fracciones equivalentes a las fracciones propuestas:
¾= 16/45 = 69/79=
3
13. .ANTECEDENTES HISTÓRICOS: Con la intención de que Interpretes el Cálculo como una
herramienta ideada por el hombre para dar solución a problemas del movimiento y el poder
comprender como el hombre fue dando respuestas a sus interrogantes, determinando con ello la
relación entre variables, se incluyen en este trabajo las siguientes notas.
“ El Cálculo es el producto de un dramático conflicto intelectual que ha durado 25 siglos” en ello
han participado en orden cronológico los siguientes personajes.
Personaje Periodo de Nacionalidad y Aportaciones al Cálculo
Vida,
Arquímedes de ( 287 – 212 Fue el más grande matemático de la antigüedad inventor y científico practico,
Siracusa a.C.) invento un tornillo para elevar el agua, estableció las propiedades de las
poleas y palancas, construyo un modelo mecánico que reproducía el
movimiento de la luna y los planetas; sus mejores escritos fueron dedicados al
calculo integral; uso el método de exhaustion para sumar enormes cantidades
de números muy pequeños; aportó las formulas del área del circulo, el
segmento de la parábola y de la elipse, el volumen y área de la esfera, del
cono y de otros sólidos de revolución.
Nicolás Oresme 1323- Determina que en la proximidad de una curva en la cual la ordenada es
1382
máxima o mínima, dicha ordenada varía más lentamente
Johannes. Kepler 1571- Alemania: estudio matemáticas y astronomía en la universidad de
1630
Tubingen. nombrado como asistente de tycho brahe. en el observatorio de
Praga , adquirió datos exactos sobre las órbitas de los planetas.
las máximas aportaciones de Kepler fueron sus tres leyes del movimiento
planetario:
1) los planetas se mueven en el elipse ,con el sol en uno de sus focos.
2) la recta que une al sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos
iguales.
3) el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de sus cuadrados.
Hace la misma observación que Oresme.
René Descartes 1569 - 1650 Mejor conocido como un gran filosofo moderno. También fue un fundador de
la biología moderna, físico y matemático. Su trabajo matemático de mayor
trascendencia fue la géometrie, publicado en 1637. En el, intento la
unificación de la antigua y venerable geometría con el álgebra. En (1637 –
1665) tiene crédito por la unión que llamamos hoy geometría analítica o
geometría coordenada, sin ella no hubiéramos podido surgir el pleno
desarrollo del calculo.
Buenaventura 1598-1674 Su geometría de los Indivisibles contiene cálculos de longitudes de líneas,
Cavalieri áreas y volúmenes, recurriendo a sumas
Isaac Barrow 1630-1677 Mediante el triángulo formado por un arco infinitesimal cuyos extremos
determinan la hipotenusa, siendo los catetos los incrementos infinitesimales
en que difiere la abscisa y la ordenada alista notablemente el camino a las
grandes ideas de Leibniz
Blaise Pascal 1625 –1662 Hizo aportaciones al calculo, a la edad de 19 años invento la primera maquina
de sumar. Tiene el crédito de la iniciación de estudios serios sobre la teoría
de la probabilidad.
13
14. Se da el nombre del triángulo de Pascal al arreglo de números que contienen
los coeficientes del teorema del binomio.
Personaje Periodo de Nacionalidad y Aportaciones al Cálculo
Vida,
Pedro de Fermat 1629 Propuso un método para investigar máximos y mínimos de una función , su
contribución al Cálculo Integral es muy importante, determinó el área bajo
algunas parábolas
Isaac Newton 1642-1727 Inglaterra: Comparte con Gotfried Leibniz el crédito del descubrimiento del
Cálculo, siendo el primero en concebir las principales ideas del Método de
Fluxiones. Descubrió el teorema del Binomio que lleva su nombre, los
elementos del cálculo integral y diferencial , la teoría del color y la ley
universal de la gravitación
Gottfriel Wilhelm. 1646-1716 Alemania: Comparte con Newton el crédito del descubrimiento del Cálculo,
Leibniz descubrió independientemente de Newton las ideas de éste, sobre el Cálculo,
no recibe el mismo reconocimiento que Newton; pero fue uno de los más
grandes inventores de los símbolos matemáticos a él se debe el nombre de
Cálculo integral y Cálculo Diferencial y el uso de dy/dx para la derivada y
∫ para la integral el término de función y el uso de =, desarrollando con
mayor rapidez el cálculo con el uso de estos símbolos
Guillaume F. A. 1661-1704 Francia: discípulo de Johann. Bernoulli de ahí que en sus trabajos hay
de L ‘Hôpital disputas entre ambos, publicó el primer libro de Cálculo diferencial 1696, hay
una regla que lleva su nombre sobre las integrales indeterminadas “la regla
de ‘Hôpital (obra de su maestro)
Johann. Bernoulli 1667-1748 Suiza: Más famoso de una familia de matemáticos, de los más importantes
fundadores del Cálculo, en competencia con su hermano Jacques abordaron
problemas de puntos de inflexión, longitud de curvas, series infinitas, técnicas
de integración, escribió el primer libro de Cálculo entre 1691 y 1692 pero la
parte del Cálculo Integral no se publicó hasta 1742 y la parte del Diferencial
hasta 1924
Leonard Euler 1707-1783 Suiza: Escribió 75 libros de matemáticas, contribuye con sus estudios a la
interpretación de las funciones trascendentes, introdujo al número “e” base de
los logaritmos naturales, demostró que e y e2 son irracionales, descubrió la
relación eir = -1
María Gaetana 1718-1799) Italia. comenzó su mas importante trabajo, en un libro de texto de calculo.
Agnesi su estudio de una curva conocida entonces como la versiera.
Milán reconoció a Agnesi dándole en su honor su nombre a una calle.
Joseph-Louis. 1736 – 1813 Turín Italia: Por la lectura de un ensayo sobre el calculo, dominó esta ciencia.
Lagrange Se cree que a los 19 años, comenzó su obra máxima “Mécanique Analytique”.
La carrera de Langrage fue ilustre. En París, ayudo a perfeccionar el sistema
métrico de pesas y medidas. Sus contribuciones, incluyen el método de
14
15. multiplicadores de Langrage.
Personaje Periodo de Nacionalidad y Aportaciones al Cálculo
Vida,
Carl Friedrich 1777 – 1855Alemania: La matemática es la reina de las ciencias y la teoría de los números
Gauss es la reina de la aritmética, expresión de este personaje, el más grande
matemático después de Newto, Conocido como el príncipe de las
matemáticas, propone estratagemas para el conteo, concibe la idea de
geometría no euclidiana, inventa el método de mínimos cuadrados, resuelve el
problema de construir con regla y compás el polígono de 17 lados. Hace la
primera demostración del teorema fundamental del Álgebra. Su obra
“Disquistiones Arithmeticae” ha influido notablemente sobre la teoría de los
números. En Cálculo sus trabajos sobre superficies curvas incluye el teorema
de la divergencia. Una unidad de los campos magnéticos lleva su nombre.
Augustín- 1789-1857 Francia: Se educó en la Ecole Polytechnique. Aunque el cálculo fue
Louis Cauchy descubierto a fines del siglo XVII, sus fundamentos permanecieron en estado
de confusión y desorden hasta que Cauchy y sus contemporáneos
(Gauss,Abel y Bolzano) impusieron normas de rigor.
Debemos a Cauchy la idea de basar el cálculo en una clara definición del
concepto del límite. Todos los libros de texto moderno sigue al menos en
esencia, la exposición de Cauchy para el cálculo.
Karl. 1815-1897 Germania: Desarrolló una teoría completa de series de funciones y estableció
Weierstrass la legitimidad de operaciones tales como integración y la derivación por
términos .
Georg friedrich 1826-1866 Alemania: Discípulo de Gauss, de vida corta, Sus ideas abren nuevas
Bernhard. direcciones en la teoría de las funciones complejas, inicia el estudio de la
Riemann topología e inicia el desarrollo de la geometría que culmina con la ideas de
Eintein sobre la teoría de la relatividad. Proporciona la definición moderna de
la integral definida que lleva su nombre “integral de Riemann.
Josiah Willard. 1839-1903 e.u.a. contribuyó al desarrollo del Cálculo. Gibbs es mejor conocido por sus
Gibas trabajos en la aplicación de la termodinámica a la química . se apoyó en el uso
que dio a los métodos vectoriales alrededor de 1800,y uno de sus
discípulos presento un libro llamado "vector analysis".
Sonia 1850-1891 Rusia: representa la tradición matemática rusa, contribuyó a la teoría de las
Kovalevky ecuaciones diferenciales, ganó el premio Bordin de la academia francesa de
ciencias, es reconocida finalmente en su país siendo la primera mujer en ser
miembro corresponsal de la Academia Rusa de las ciencias Es de reconocer
su obra por la situación de la mujer en su época.
Henri Léon. 1875 – Francia. Demostró que una función acotada tiene integral de Riemann si y
Lebesgue 1941 solo si el conjunto de sus discontinuidades tiene medida cero, hizo progresar
la teoría de las integrales múltiples.
15
16. 1.1.2. Concepto de constante, variable, relación y función.
Observa los engranes A y B.
A B Si A y B representan dos engranes donde el radio de A es un tercio
Del radio de B, al hacer girar el engrane A las vueltas que queramos
¿Que sucederá con el engrane B?
Si A gira 6 vueltas, ¿Cuántas vueltas gira el engrane B?
Si A Gira 120 vueltas ¿Cuántas vueltas gira B?
¿Qué engrane hemos estado girando?
¿De qué depende la vueltas que gira B?
En este ejemplo habrás observado que el engrane A ha dado las vueltas que hemos deseado, por
lo que se puede considerar como variable independiente (x), como las vueltas que da el engrane B
dependen de las vueltas que gire el engrane A, entonces B representa la variable dependiente (y),
x
entre ellos se establece una relación. Y =
3
¿A 18 vueltas de “A” le corresponden dos o más número diferentes de vueltas de B? o solo un número
único de vueltas?
4 3
Analiza la fórmula que nos da el volumen de la esfera: V = πr
3
¿De qué depende el volumen de la esfera?
¿Qué variable se requiere hacer que cambie para que varíe el volumen de la esfera?
¿Cuál es la variable independiente en esta relación?
¿Cuál es la variable dependiente?
Si r = 8 , ¿habrá dos volúmenes o más diferentes?_______o a 8 cm de radio, ¿ solo le corresponde un
volumen de la esfera?
En estos dos ejemplos se observa que hay cierta relación entre variables, además esta relación es
especial porque a cada valor de la variable independiente solo le corresponde un valor a la variable
dependiente. Si se grafica la primera relación se tiene:
x
Y=
3
16
17. y = 4(3.14)x3/3
Con una regla traza líneas verticales que corten las gráficas ¿Cuántos puntos de la gráfica
cortan las líneas verticales?
A esta clase de relaciones se les llama funciones, de esta forma se puede concluir que una
función es una relación entre dos variables tal que no hay dos o mas parejas ordenadas que
tengan igual el primer componente.
Estas parejas ordenadas (x,y) los elementos que forman estas parejas integran. dos conjuntos de
valores que pueden tomar las variables (x) independiente, (y) dependiente.
Los valores que integran el conjunto de valores que toma la variable (x) se le llama dominio de
la función
Al conjunto de valores que toma la variable (y) se le llama contra dominio o rango de la
función
En la vida diaria es de gran utilidad la idea de pareja ordenada por la relación que se establece entre los
elementos; ya sean personas, objetos, números, etc.
¿Cómo se establece esta relación?
Generalmente mediante una asociación de elementos de dos conjuntos, formando parejas
ordenadas, estableciéndose dicha ordenación o relación mediante una regla de asignación.
Ejemplo 1: si se tienen dos conjuntos integrados por:
A={Zacatecas, Aguascalientes, Monterrey, Cd. Victoria}
B= {Zacatecas, Aguascalientes, Nuevo León, Tamaulipas} Una regla de ordenación de estas parejas es:
C= {(x,y) / x es capital de y; x pertenece a A , y pertenece a B }
Ejemplo 2: Si en un cine se relacionan los asientos por el número de fila y el número de asiento
La expresión: B = {(2,1), (3,2), (2,7), (5,4) } donde (2,1) indica fila 2 asiento 1
(3,2) indica:
(2,7) indica:
17
18. (5,4) indica:
¿Qué asientos son de la misma fila?
Ejemplo 3: En un tu grupo asisten a clases un total de ___alumnos, si estableces una relación entre
edad y talla del pie. A = {(15, ) , (15, ), (15, ), (16, ) ……}
Si la relación la establecemos 2 “número de alumnos que calzan del”
Las parejas en tu grupo se integran de la siguiente forma: B = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )……}
Analizando los ejemplos se puede concluir que:
Una relación es un conjunto de parejas ordenadas, donde al conjunto de todos los primeros
elementos de las parejas se llama dominio de la relación, al conjunto formado por todos los
segundos elementos de las parejas ordenadas se le llama rango, codominio o contra dominio de la
relación.
También se llama relación en el producto cartesiano de 2 conjuntos A x B , al conjunto de
parejas ordenadas, formadas por elementos de A y con elementos de B, en este orden, mediante
una fórmula o regla que determina su asociación; así la relación es una selección de parejas del
producto cartesiano A x B.
Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} el producto de: U x U ¿Cuántas parejas integran este producto?___
Completa la gráfica de este producto:
9
8
7 * Como se observa en este producto el dominio y el rango
6 son iguales (U)
5
4 *
3
2
1 * * * * * * * * *
1 2 3 4 5 6 7 8 9
dominio
La siguientes relaciones son subconjuntos del producto cartesiano UxU, en ellas enumera las
parejas, identifica: el dominio , el rango y elabora la gráfica o identifica las parejas en la gráfica ya
elaborada.
R1 = {(x,y) / x = y}= {(1,1)…………………………………………….(9,9)}
R2 = {(x,y) / x < y} = {
R3 = {(x,y) / x > y} = {
R4 = {(x,y) / y = x + 3} = {
R5 = {(x,y) / y = x } = {
R6 = {(x,y) / y = x2} = {
R7 = {(x,y) / y = x2 + 1} = {
R8 = {(x,y) / x = 5} = {
Como ya se ha enunciado algunas de estas relaciones cumplen ciertas condiciones; por lo que
reciben el nombre de funciones, en estos ejemplos podrás identificar estas funciones si se considera que
una función es una relación tal que no hay dos parejas ordenadas que tengan igual el primer
componente. En el conjunto de parejas ordenadas (x,y) ; x , y, reciben el nombre de variables, la
primera independiente (x) y la segunda dependiente (y), a los valores que toman se le llama dominio
de la variable. Al dominio de x se le llama dominio, al dominio de y se le llama rango de la
relación.
18
19. Actividad: De las relaciones anteriores observa el dominio y el rango de cada una de ellas y determina
cuáles de ellas son funciones.
R1 es ____________________________ R2 es_______________________R3 es________________
R4 es ____________________________R5 es _______________________R6 es ________________
R7 es ____________________________R8 es ________________________
La regla que nos dice como aparear los elementos de un conjunto con los de otro conjunto para
determinada relación se puede establecer de diferentes formas:
1°. La asociación se establece mediante una tabla de valore
2°. Mediante una gráfica
3°. Mediante una ecuación
4°. Mediante un enunciado verbal
1.1.3 Conceptos relacionados con funciones, intervalos, dominio y rango de funciones.
Notación de Función:
Si f es la función que tiene como variable de dominio a “x” y como variable de contradominio
“y”, el símbolo f(x) se lee “f de x” , éste representa un valor particular de “y” que corresponde a un
valor particular de “x” de este modo se tiene que: y = f(x), donde x es variable independiente y “y”
variable dependiente, si x = 2, y =
f(x)= 3x2 + 5x -2 = 3(2)2 +5(2) -2 = 3(4) + 10 -2 = 12 +10 – 2 = 22 - 2 = 20
f(2) = 20 entonces decimos que la función de 2 es 20.
En ocasiones para distinguir una función de función suele usarse g(x) , h(x), etc.
Ejem: f = {(x,y)/ y = 5 − x } por lo tanto f(x) = 5 − x
f(1) = f(2) = f(5) =
f(-6) = f(3) = f(6) =
f(0) =
Identifica el dominio de f D=
Identifica el rango de f R=
Esta relación es función?______________________Elabora su gráfica
Traza una línea vertical que corte esta gráfica ¿que observas?_________________________
Conclusión: Si una gráfica es cortada por una línea vertical en más de un punto, dicha gráfica
corresponde a una relación que no es función.
Al definir una función, su dominio debe de darse:
a) En forma implícita
b) En forma explícita
19
20. Ejemplo: f(x) = 3x2 – 5x +2 x = todo número real
2
F(x) = 3x – 5x + 2 1 ≤ x ≤ 10
Aquí se observa que para identificar el campo de variación de una variable es necesario saberlo
expresar; esta expresión la podemos realizar mediante varias formas, como se refiere a valores
específicos que puede tomar una variable en determinada relación, a este conjunto de de valores que
puede tomar una variable le llamaremos intervalo. “Conjunto de valores que toma una variable
dentro del dominio , comprendido entre dos de ellos llamados extremos”. Existen intervalos:
a) Finitos: los que contienen a los extremos
b) Infinitos: los que no contienen a un extremo o ambos.
c) Cerrados: Son aquellos cuya variable puede tomar el valor de los extremos
d) Abiertos: Son aquellos en que la variable no puede tomar el valor de los extremos.
Existen diversas formas en que se pueden expresar estos intervalos:
Forma gráfica: En la recta numérica se determinan los puntos correspondientes a los extremos del
intervalo con un círculo , si es cerrado, el círculo se rellena, si es abierto se deja sin
rellenar. O x 0 x
a b a b
Con paréntesis: [a,b] cerrado, (a, b) abierto
Forma constructor : a < x < b, a≤ x ≤ b
0 x 0 = (a , b) = a<x<b
a b
0 x = (a , ∞ =
) a<x< ∞
Actividad: Enuncia y dibuja los intervalos según se indica.
Forma gráfica signos de agrupación forma constructor
a) -3 < x < 5
b) 2≤ x ≤ 6
c) 0 x
4 10
d) x>5
e) x 0
f) 0 x 0
-2 2
h) [-2 , 2 )
i) [ -3, 4]
Variación continua: Una variable varía de una manera continua cuando aumenta desde a hasta
b tomando todos los valores del intervalo o disminuye de b hasta a tomando todos los valores del
intervalo.
Actividades:
1) dado f(x) = x3 – 5x2 – 4x + 20 hallar: f(1) = f(5) =
2) Demostrar que f(0) = -2 [f(3)]
20
21. 3) Si f(x) = 4 – 2x2 + 4x4 f(-2) =
4) Si f(x)= x3 – 5x2 – 4x + 20 f(t+1) =
5) Si f(y) = y2 + 2y +6 f(y+h) =
6) Si f(x) = 2x2+ 5x – 3 f(h+1) =
7) Si g(x) =3x2 – 4 g(x-h) =
x
8) Si f(x) = f(x+h) – f(x) =
2 −x
9) Si f(x ) = x3 + 3x f(x+h) + f(x) =
10) Si f(x) = 1/x f(x+h) – f(x) =
11) Si f(x) = 2x2 – 5x – 3 f(x+h) – f(x) =
12) Dado f(x) = 4x demostrar que f(x+1) –f(x) = 3f(x)
13) Si f(y) =y2 – 2y + 6 Demostrar que f(y+h) = y2 – 2y + 6 +2(y-1)h + h2
14) Si tenemos A={1,2,3} y B = {1,2} hallar AxB
15) De A x B tomar R1 = {(x,y)/x<y}
16) de A x B tomar R2 = {(x,y) / x = y}
y
17) Si A = {2,3,5} y B = {6,9,12,15} hallar: a) C= {(x,y) / x < y} b) D ={(x,y)/x= }
3
c) Representa A X B gráficamente.
d) de las relaciones anteriores ¿cuáles son funciones?
18) Si h = {(x,y) / y = | x |, x ∈ {-2, -1, 0,1,2} representa en forma gráfica (diagrama)
x |x| Dominio : {
Rango : {
Es función:
19) Si g = {(x,y) / y = x3, x ∈ {0,1,2} Realiza los mismos aspectos que en la actividad 18
20) i = {(x,y) / x = | y |, x ∈ {0,1,2} Realiza los mismos aspectos que en la actividad 18
1.1.4 Clasificación de funciones:
Las funciones de acuerdo a sus características se pueden clasificar de diferentes formas, entre
éstas se tiene:
1) Funciones Algebraicas: Su valor se obtiene con procedimientos algebraicos, éstas funciones se
clasifican en
21
22. a) Enteras: y = x2 - 3
x2
b) Racionales: y = Expresa una característica para esta clasificación
1 + x4
c) Irracionales: y = x 2 + x + 1
2) Funciones Trascendentes: Su valor se obtiene con procedimiento y con otros que no lo son.
a) Trigonométricas: y = Sen x
b) Trigonométricas inversas: y = arc tan x
c) Logarítmicas y = log x y = ln x
d) Exponenciales: y = ax
Funciones Implícitas. En estas funciones no hay variable despejada, ni se sabe quien es la variable
dependiente ni la variable independiente: y2 – 3x +x2 - 8
Funciones Explícitas: En estas funciones existe una variable despejada y están indicadas las
operaciones que se requieren realizar para obtener su valor: y = x2 - 3
Funciones de una variable: su valor depende de una variable y = 2x A =3.1415(r2)
( B + b)
Dos o más variables: su valor depende de dos o más variables: A= bh/2 I=crt, A = h
2
Uniformes: Si a cada valor de x le corresponde uno de y: y = 2x + 3
Multiformes: Si a cada valor de x le corresponde más de un valor de “y” y = arc Sen x
X= .5 ángulo correspondiente puede ser 30°, 150°
Inversas: Si en una función se tiene que el dominio y el rango de la primera función son el rango
y el dominio de la segunda función respectivamente, estas funciones son inversas.
R1 (a,b) inversa (b,a). Si (a,b) ∈ R ↔ (a, b) ∈ R
Constante: Si el rango consiste en un solo número. f(x) = c como y = c la gráfica corresponde a
una recta paralela a x’x, situada a “c” unidades del origen.
Polinomial: Cuando está definida por f(x) = a0 xn + a1xn-1+a2xn-2…+an-1x + an , donde n es un
número natural y a1, a2, a3 son números reales.
Ejemplo: y = 2x5 – 3x3 –x2 +7x – 1, el mayor exponente de la variable indica el
grado de la función en este caso es de quinto grado
Idéntica: Es una función lineal definida por f(x) = x y=x
En las funciones algebraicas la función constante y la función identidad se relaciona
mediante una serie de operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potencias y
radicación) obteniéndose una nueva función algebraica.
Pares: Si f(x) = -f(x) la gráfica es simétrica respecto al eje y’y la función se dice que es par.
Impar : Si f(-x) = -f(x) la gráfica es simétrica respecto al origen y se dice que es impar.
Existen otras clases de funciones especiales que se definen según su tipo:
Función mayor entero: [( x )] = n , n ≤ x n + 1, n ∈ Ζ
Función compuesta: Se representa por: f o g , se define (f o g) = f(g(x))
El dominio de de f o g es el conjunto de todos los números x en el dominio de g, tales que g(x) se
encuentra en el dominio de f(x), si f es una función de x en y y g es una función de y en z, entonces la
función compuesta g o f es la función de x a z dada por (g o f)(x) = g(f(x)) para cada x en x . la función
composición tiene dominio x y contradominio z.
22
23. Un ejemplo puede aclarar estos conceptos Si f(x) = {(0,5), (8,1),(2,9)};
g(x) = {(2,0), (3,8),(4,1),(6,2),(5,6)}
f(g(x)) = { x/x ∈ Dg y g(x) ∈ Df }, g(f(x)) ={ x/x ∈ Df y f(x) ∈ Dg }
D= {(2,5 ), (3,1 ), (4, ), (5, ), (6,9 ) , f(g(x) = {(2,5), (3,1), (6,9)}
Ejemplo 2. f(x) = {(1,7), (5,4), (3,5),(4,6)}
g(x) ={(0,-3),(3,5),(4,1)}
f(g(x)) = {(0, ), (3, 4 ), (4,7 )}= {(3,4),(4,7)}
Ejemplo 3: Si f(x) = x
G(x) = 2x -3
F(g(x)) = 2 x −3
Actividades: 1. Clasifica las siguientes funciones según sus características:
Y = x3 -2x +1 algebraica, entera, polinomial, cúbica, explícita, uniforme, de una variable
Y = 5x-4
Y = 4 senx
x 2 5 −9
Y= 3 x −4
Y = (x3 -4x2+ 2)6
Y = xx
Y= a2x-1
Y= Tan3 6x
X2+ y2= 4
Y = 8x-1/2
Y2 = 8x
Y = x3 2 x
2. Transformar las siguientes funciones en explícitas, dejando a x como variable independiente.
X2= 9y
2xy + 1 = 4x2 + y
3xy-6x + y-2=0
y2+ 12x = 4x2+ 2y+8
x2 -4x +y2 – 6y = 3
3. Graficar las siguientes funciones : Identificando su dominio y su rango
y = 2x + 6 Y = -2x2 + 8x -6
x
4. Si y = 2x +2 y y= −1
2
x -1 0 1 2 3 4 x 0 2 4 6 8 10
y y
¿Cuál es el dominio de la primera función?, estos valores ¿dónde se encuentran en la segunda función?
¿Qué se puede decir del rango de la primera función respecto al dominio de la segunda funció?
¿Cómo son las funciones?
5. Grafica y = x2 – 1 x = y2 – 1
¿Cómo son las funciones en la gráfica?
6. gráfica -3 si x ≤ 1
y = 1 si 1 < x ≤ 2 ¿Cuál es el dominio?
23
24. 4 si 2 < x ¿Cuál es le rango?
x2 −9
7. y = Dominio Rango
x −3
¿Es continua la función? ¿En donde es discontinua?
8. x – 1 si x<3 dominio: Rango :
y=
2x + 1 si 3 ≤ x
9. y = [[x]] , n ≤ x n + 1, n ∈ Ζ
x = -5, -4, - 3, -2, -1, 0, 1 mayor entero
Graficar e indicar: Dominio: Rango:
− 5 ≤ x −4
10. Diga si la función: y = x2 – 2 es par o impar
11. Diga si la función g(x) = x3 – 2x es par impar
2
12. f(x) = es par o impar.
x −1
Operaciones con funciones:
Con las funciones se pueden realizar operaciones obteniendo con ello nuevas funciones como
resultado de la operación realizada; éstas se pueden obtener mediante suma, diferencia, producto o
cociente. Dadas dos funciones: f(x) y g(x).
Su suma = f+g = (f+g)x = f(x) + g(x)
Su diferencia = f-g = (f – g)x = f(x) – g(x)
Su producto = = f.g = (f . g)x = f(x). g(x)
Su cociente = f/g = (f / g)x = f(x) / g(x)
En todos los casos el dominio de la función resultante son aquellos valores de x comunes a los
dominios de f(x) y g(x) a excepción del cociente donde se excluyen los valores para los cuales g(x) = 0
Si f(x) = {(4,3),(5,6),(0,5),(3,2),(8,11)} g(x) = {(5,-4),(0,6),((3,3),(8,9),(7,1)}
(f+g)x = {(5,2), (0, ), }
(f-g)x = {
(f.g)x = {
(f/g)x = {
Ejemplo 2: Si f(x) = x2 g(x) = 4x3 Dominio de f(x) = dominio de g(x) =
F+g = (f + g)x = f(x) + g(x) =
f-g = (f – g)x = f(x) . g(x)=
24
25. f.g = (f .g)x = f(x) – g(x) =
f/g = (f / g)x = f(x) / g(x)=
2
Ejemplo 3: f(x) = 4 − x2 D = [-2, 2] g(x) = D = (- ∞,0) ∪(0, ∞)
x
f+g = (f + g)x = f(x) + g(x)=
f-g = (f – g)x = f(x) – g(x) =
f.g = (f . g)x = f(x) . g(x) =
f/g = (f / g)x = f(x) / g(x) =
Propiedades de las funciones:
: Para conocer el comportamiento de la curva algebraica es necesario recurrir a ciertas propiedades que
faciliten su análisis, entre ellas están:
a) Simetría: Si p es el punto de simetría entre p1 y p2, entonces p es el punto medio de p1p2.
Si dos puntos son simétricos respecto a una recta entonces esta recta es perpendicular
al segmento que los une y es su bisectriz (mediatriz)
b) Simetría con respecto al eje x: Una función es simétrica respecto a x’x si el exponente de y es
de multiplicidad par: y2 – x +2 = 0, es de multiplicidad par; y 2 –xy + 2 = 0 no es de
multiplicidad par.
c) Simetría respecto al eje y’y: Una función presenta simetría con respecto al eje y’y si el
exponente de x es de multiplicidad par. Ejemplo: x 2y – 2y -3 = 0 (si), Y = (x 2 + 2)/ (x+3)(x-1)
(no), (x-2)2 +4(y-1)2 = 4 (no)
25
26. d) Simetría con respecto al origen: Una función es simétrica respecto al origen si al sustituir la x
por (-x) y la y por (-y) en la expresión original y esta no se altera. X 2 +y2 = 4 si es (-x) 2 + (-y)2
=4
e) Intersección con el eje x’x: x2 + y2 = 25 Si al despejar y y resolver la ecuación resultante para
x se obtienen raíces reales. (hacer y = 0) y = ± 25 − x 2 (despejando y en la ecuación
anterior)
± 25 − x 2 = 0 si se eleva al cuadrado se tiene: 25 - x 2 = 0, x = ±5 , los puntos de
intersección con x’x son (5,0) y (-5,0)
26
27. f) Intersección con y’y: El procedimiento es semejante al anterior haciendo x = 0 y resolviendo
para y
X2 = 25 – y2 si x = 0 25 –y 2 = 0 de donde y = 5 y -5 los puntos de intersección con (05),
(0,-5). (Gráfica anterior)
Asíntotas de una curva: Si una curva tiende a la dirección de una recta fija, acercándose a ella de tal
forma que la distancia entre un punto variable y la recta llega a ser menor que cualquier número
preasignado entonces dicha recta es una asíntota.
g) Asíntotas verticales: La recta x-a = 0 es una asíntota vertical de una curva si x-a es un factor
del denominador después que en la ecuación se ha despejado la variable dependiente y se han
eliminado los factores comunes. x2y – 4y – x = 0 y ( x 2 – 4) = x, y =x/ (x 2 -4) de donde x = 2
y – 2, asíntotas verticales de la curva de la curva
h) Asíntotas Horizontales: y – b = 0 es una asíntota horizontal si y – b = 0 es un factor del
denominador después de despejar x y haber simplificado: xy 2 – x – y = 0, x( y 2- 1) = y de
donde X = y/(y2-1) , si (y2 – 1) = 0 , y = 1, y = - 1 de donde y-1 = 0 , y + 1 = 0 son dos
asíntotas horizontales de la curva.
27
28. i) Extensión de la curva: Dominio como en los ejemplos la curva presenta una asíntota vertical
en x = 2, la curva no pasa por X = 2, su dominio será x ≠ 0 . e n este apartado es conveniente
manejar el concepto de:
j) Función creciente: Cuando a un aumente de x corresponde un aumento de y o al disminuir x
disminuye y en un determinado intervalo
k) Función decreciente: cuando a un aumento de x corresponde una disminución de y o al
disminuir x, y aumenta .
l) Observa la gráfica de la primera función:
28
29. Estas gráficas nos auxilian en la determinación de los intervalos para expresar la extensión de la curva
y en donde es creciente o decreciente.
Actividades:
1. De la curva xy+2y-2x+5 construye su gráfica y determina a) simetrías, b) intersección con los
ejes, c) asíntotas, d) extensión de la curva.
2. En igual forma que en el problema anterior: xy – x + 3 = 0, x 2 + y2 – 4 = 0, xy + 2y - 2x +3 =
0, x2y – 2xy + 2y – x2 + 2x = 0.
29
30. 1.2. Límites y continuidad de una función.
Con el desarrollo del presente apartado y el desarrollo de las actividades propuestas se pretende
que logres en primer lugar: comprender el concepto intuitivo de límite de una función, en segundo
término, calcular el límite de diversas funciones, aplicando para ello los procedimientos analizados
y comprendidos estos aspectos, el poder determinar la continuidad de una función o su
discontinuidad en un intervalo.
1.2.1. Noción intuitiva de límite.
Los temas hasta aquí analizados son parte de lo que se puede llamar precálculo, proporcionan
los elementos fundamentales del Cálculo pero no lo es. Para ello es necesario contar con una idea
clara del concepto de “límite” idea que distingue al Cálculo de otras ramas de las matemáticas, se
puede decir que el Cálculo es el estudio de los límites. La idea que se pretende desarrollar es
completamente intuitiva y no una definición del concepto matemático de “Límite”
x 3 −1
Al analizar la función: f ( x) = se pude observar que si x = 1 la función es discontinua;
x −1
ya que esta expresión para x = 1 presenta una indeterminación: ahora investigar que sucede con la
función cuando damos a x valores muy próximos a ( 1) tanto por la izquierda como por la derecha
Valores próximos a 1 por la izquierda
X 0 .1 .5 .9 .99 .999 .9999
y 1 1.11 1.75 2.71 2.97 2.997 2.9997
Valores próximos a 1 por la derecha. Obtén los valores de “y”
X 2 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001
y 7
¿A que valor se aproxima x por la izquierda? ¿a qué valor se aproxima y?
¿A qué valor se aproxima x por la derecha? ¿a que valor se aproxima y?
Observa la gráfica de esta función y comprueba tus conclusiones:
x 3 −1
x −1
Lim =3
x →1
x2 + x − 2
Actividad: Realiza el mismo proceso con la función: f ( x) =
x −1
Ejemplo 2: Qué le sucede a f(x) = x2 +3 cuando x se acerca a 3
Construyamos la tabla:
30
31. Hacia 3 por la izquierda 3 Hacia 3 por la derecha
x 2.5 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1 3.5
F(x)
Se aproxima a 12 por la izquierda Se aproxima a 12 por la derecha
Analiza La gráfica:
Ejemplo 3: Con una tabla de valores y en forma gráfica analizar el comportamiento de la función:
x2 − 4
f(x) = a que valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2?
x −2
Construyamos la tabla:
Hacia 2 por la izquierda 2 Hacia 2 por la derecha
x 1.5 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.5
F(x)
Se aproxima a ____ por la izquierda Se aproxima a____ por la derecha
Analiza la gráfica:
x
Ejemplo 4: g(x) =
x
Construyamos la tabla:
31
32. Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha
x -.5 -.1 -.01 -.001 0..001 0.01 0.1 0.5
F(x)
Se aproxima a -1 por la izquierda -1 | 1 Se aproxima a 1 por la derecha
¿Notas alguna diferencia respecto a los anteriores ejemplos?
Habrás notado que y se aproxima a dos valores, si por la izquierda x se aproxima a________y se
aproxima a______ si x se aproxima por la derecha a______ y se aproxima a______
1
Ejemplo 5: f(x) =
x
Construyamos la tabla:
Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha
x -.5 -.1 -.01 -.001 0..001 0.01 0.1 0.5
F(x)
Se aproxima a por la izquierda ¿ ? Se aproxima a por la derecha
Analiza la gráfica y obtén tus conclusiones
Observando la gráfica fácilmente se puede concluir que:
1° Si x se aproxima a 0 por la izquierda y decrece ilimitadamente.
2°. Si x se aproxima a 0 por la derecha y crece ilimitadamente x = 0 es una asíntota de la curva.
Estos ejemplos tienen cosas en común y aspectos en los que difieren:
• Existe un valor de x previamente fijado x = c y se aproximó x a este valor por la izquierda y por
la derecha.
• En los primeros tres casos a medida que nos acercamos a l, valor dado de x tanto por la
izquierda como por la derecha existió un valor fijo para y = L, entonces se dice
32
33. f(x) → L que se expresa: “el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L”
simbólicamente: Lim f(x) = L
x → c
• En el penúltimo ejemplo aproximándose a x por la izquierda, “y” toma el valor de -1 y
acercándose por la derecha “y” se aproxima a 1 por lo que dicho límite no existe.
Lim |x|/x no existe
x → 0
• En el último ejemplo no existe el límite porque la gráfica crece y decrece acercándose a X = 0
pero no logra tomar el valor de 0.
Límite de una variable: Una variable se aproxima a un límite cuando toma todos los valores
sucesivos de tal forma que la diferencia entre la constante y la variable llega a ser tan pequeña
como se quiera.
Definición de sucesión: la sucesión que tiende a una valor a. dado un número cualquiera a, podemos
formar una sucesión creciente o decreciente que se aproxime a a diremos que la sucesión tiende a
“a” .
2 n −1
Ejemplo: 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, 11/6, 13/ 7, 15/8, …. , n ∈ N , límite de la sucesión es 2
n
2 n −1
Se dice el límite de la sucesión: , n ∈ N es dos
n
Definición: Sn = {a1, a2, a3…..an…} n ∈ N donde an es el término general de la sucesión.
Ejemplo: Sn = {22 , 23, 24,….an } el término general de la sucesión es;_________.
Actividad : hallar el término general de la sucesión.
a) S(n) = {3,4, 6, 8, 10, 12, …..an } an =
b) S(n) = {1,1/2, 1/3, ¼, 1/5, 1/6, … an..} an = _________
c) 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 = 0 lim 1/10n = 0
n → ∞
2. Hallar los primeros 5 términos de la sucesión cuyo término general es:
1
a) {5- n } a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = Lim
10
n + 1
b) = Lim
n
1
c) 2 = Lim
n
n − 2
d) = Lim
n
Conclusión: Una variable x tiende a una constante “a” como límite cuando los valores
sucesivos de “x” sean tales que el valor numérico de la diferencia x- a llega a ser menor que
cualquier número positivo predeterminado tan pequeño se quiera la relación se abrevia x
a
Lim (1/2)n = 0
n ∞
33
34. Límite de una función: Frecuentemente es necesario conocer hacia que valor se acerca una
función cuando la variable independiente se aproxima a un valor específico, este valor cuando
existe, se llama límite de la función.
Lim f(x) = L
x a
Las siguientes proposiciones son consideradas como teoremas sobre límites, éstas se aceptan sin
una demostración rigurosa.
c v
1. Lim =∞ 3. Lim =∞
v c
v 0 v ∞
c
2. Lim cv = ∞ 4. Lim
v
=0
v ∞ v ∞
Existen diversas formas para determinar el límite de una función , una de estas formas consiste
en: Sustituir a la variable independiente por diferentes valores próximos a la constante “a”, ya sea
por la izquierda o por la derecha y analizar el comportamiento de f(x) cuando x a. ejemplo:
Valores crecientes valores decrecientes
Lim x + 1 xi yi x y
x 3 2 3 4
2.5 3.5 3.5
2.9 3.9 3.1
2.99 3.99 3.01
2.999 3.999 3.001
↓ ↓ ↓ ↓
3 4 3
y = x2 + 4x
Lim x2 +4x x y x y
x 2 1 5 3
1.5 2.5
1.9 2.1
1.99 2.01
1.999 2.001
↓ ↓ ↓ ↓
2 2
Otro procedimiento utilizado y más simple que el anterior consiste en hallar f(a) cuando x a,
este procedimiento es válido para ciertas funciones, para otras es necesario realizar algunas
operaciones algebraicas, a continuación se describen y desarrollan algunos ejemplos. Estos
ejemplos te ayudarán a comprender los siguientes teoremas relacionados con los límites de las
funciones.
1. Lim x = a 2. lim c = c
x a x a
3. Si dos funciones son iguales para todo valor de x, diferente de “a” y una tiene límite cuando x
a, la otra tiene el mismo límite cuando x a
4. El límite de la suma de un número finito de funciones cuando x , es igual a la suma de de los
límites de estas funciones cuando x a
34
35. Lim u + v –w = lim u + lim v + lim w
x a x a x a x a
5. El límite del producto de un número finito de funciones cuando x a es igual al producto de los
límites de estas funciones cuando x a
Lim U V W =( Lim U ) ( Lim V) (Lim W )
X a x a x a x a
6. El límite del cociente de dos o más funciones cuando x a es igual al cociente de los límites de
las funciones cuando x a siempre que el límite del denominador no sea cero.
Lim u
Lim u/v = x a
x a Lim v
x a
Conclusión: Para obtener el valor del límite de un polinomio cuando x a se calcula el valor
de f(a)
Actividades. Obtén los siguientes límites
1) Lim x2 -1 = 2) Lim 3x2 + 1 = 3) Lim x =
x 1 x -1 x 1/3
4) Lim 8 5) Lim x-4 6) Lim pi
x 4 x 3 x 1
7) Lim x-4 8) Lim x + 9 9) Lim 5x
x -3 x -4 x 2
10) lim (2x+7)/ (x+1) 11) Lim (x2 + 3) / 4 12) Lim (4x3 -2) / (2x+1) =
x 4 x 3 x 2
13)Lim (5x4-6) / (x2+2) 14) Lim (5x2-4x+6) 15) Lim 4x2-8x+5
x 0 x 1 x 1/2
16) Lim x2-ax 17) Lim 7x2-7ax +4 18) Lim(x4-x3-2x2+1) /(3x2-5x+7)
x a x a x 3
Otros límites:
En páginas anteriores ya se dijo que existen ciertas funciones que requieren de algún
procedimiento algebraico para poder determinar su límite; ya que al obtener f(a) presenta alguna
indeterminación 0/0
22 − 4 0
Lim (x2 – 4) / (x2-5x+6) hallando f(2) = = como observas se ha obtenido una
2 − 5(2) + 6 0
2
x 2 indeterminación ,
Si se considera el principio 3 y con un procedimiento algebraico se transforma la función en otra
más simple, analícese si dicho límite existe.
35
36. ( x + 2)( x − 2) x + 2 2 + 2 4
Lim = = = = 4 Observa que el numerador y el denominador se
( x − 2)( x − 3) x − 3 2 −1 1
x 2 factorizaron y fueron eliminados los factores
comunes
Obteniéndose del resultado f(2) y con ello el límite de
la función (x+2) / (x-3) cuando x 2 . el límite así obtenido es 4, valor que corresponde al límite
de la función inicial ya que estas funciones tienen los mismos límites para otros valores de x
diferentes de 2 y según el principio para dos la segunda tiene como límite 4 que será el límite de la
función inicial.
Actividad: Aplicando este criterio obtener los siguientes límites:
1) Lim (x2-16) / (x-4) 2) Lim (x3+27) / (2x+6) 3) Lim (3x2-x-10) / (x2-4)
x 4 x -3 x 2
4) Lim (3h3+2h2+3h) / (3h2+2h) 5) Lim (x4-a4) / (x2-a2) 6) Lim (6x2-24x+24) / (3x-6)
h 0 x a x 2
7) Lim (x3+8) / (x+2) 8) Lim (x4-x3-2x+1) / (x2-5x+7) 9) Lim [(x+hx)2-x2] / (hx)
x -2 x 3 h x 0
10) Lim (x3-27) / (2x-6) 11) Lim (x3-8) / (x-2) 12 Lim ( 4x2+5x) / (3x2+5x)
x 3 x 2 x 0
13) Lim (x2+7x+6) / (x2-4x-5) 14) Lim (4t3+3t2+2) / (t3+2t-8) 15) Lim [(2z+3k2)3-4k2z] / 2z(2z-k)2
x -1 t 0 k 0
16) Lim (x2+x+-6) / (x2-4) 17) Lim (s4-a4 ) / (s2-a2) 18) Lim (x-2) / (x2-4)
x 2 s a x 2
20) Lim (x2+3x+2) / (x2+4x+3) 21) Lim (x2-4) / x2-5x+6) 22) Lim (3x-2)2 / (x+1)3
x -1 x 2 x 1
x x x
23) Lim (3 -3 ) / (3-3 ) 24 Lim (27-x3) / (3-x)
x 0 x 3
En el siguiente ejemplo se analiza otro procedimiento algebraico para determinar el límite
de una función cuando ésta presenta una indeterminación.
x− a
Lim al calcular f(a) se tiene una indeterminación 0 / 0, para eliminar esta
x −a
x a indeterminación es necesario racionalizar el numerador. Para ello
multiplicar el numerador y denominador de la fracción por una cantidad tal que
haga racional el numerador (raíz exacta). En este caso se ha multiplicado por la conjugada del
numerador para obtener como producto una diferencia de cuadrados, ello hace racional al
numerador y se elimina la inedetrminación
x− a x+ a ( x − a) 1
( ) = =
x −a x+ a ( x − a )( x + a ) 2 a
36
37. x− a 2
Lim =
x −a 2 a
x a
Actividades: Determinar los siguientes límites, analiza en primer término que expresión racionaliza
el denominador o el denominador, según el caso.
1) Lim ( x −1) /( x −1) 3) Lim (2 − x − 3 ) /( x 2 − 49)
x 1 x 7
x+h − x x −2 9 − x2
2) Lim = 4) Lim 5) Lim
h x −4 x −3
h 0 x 4 x 3
x −9 x −3 x+2 − 2
6) Lim 7) Lim 8) Lim
x −3 x −9
2
x
x 9 x 3 x 0
x +2 −2 x+2 − 2 2x − 4
9) Lim 10 Lim 11) Lim
x −2 5x 1 − 4x − 7
x 2 x 0 x 2
4−x − 4+x 5 − 4 + 3x
12) Lim 13) Lim
3x 7−x
x 0 x 7
Limite de funciones cuando x tiende a infinito: En este caso se divide la expresión entre la
variable de mayor grado ( exponente ) y se aplica el teorema Lim c/v = 0
v ∞
5 2x 2 5
− 2 −2
5 − 2x 2 2
x = x2 0−2 −2
Lim = x = =
3x + 5 x 2
3x 5x 2
3 0+5 5
+ +5
x2 x x
x ∞
Actividad: Obtener los siguientes límites aplicando los criterios analizados.
4 x + 25 2 x3 − 3x 2 + 4 x2 − 2x + 5
1) Lim 2) Lim 3) Lim
2x + 3 5x − x 2 − 7 x3 7 x3 + x + 1
x ∞ x ∞ x ∞
37
38. 6 x 2 − 5x + 3 ax 4 + bx 2 + c ( y +1) 2
4) Lim 5) Lim 6) Lim
2 x3 + 4 x − 7 dx 5 + ex 3 + fx − g y 2 +1
x ∞ x ∞ y ∞
1000 x x 2 − 5x + 4 2 x2 − x + 3
7) Lim 8) Lim 9) Lim
x 2 +1 3x + 7 x3 − 8x + 5
x ∞ x ∞ x ∞
(2 x + 3)3 (2 x − 2)5 x3 +1
10) Lim 11) Lim 12) Lim 4x2-3x+1
x5 + 5 x2 +1
x ∞ x ∞ x ∞
Otros ejemplos de cálculo de límites:
1 + x + x2 − 1 − x + x2
lim
x2 − x
x 0
En este ejemplo se observa que para x = 0 se presenta una indeterminación, como el límite del
numerado y del denominador existe para x = 0 , como funciones independientes, para eliminar la
indeterminación multiplicamos la fracción por la conjugada del numerador
1 + x + x2 − 1 − x + x2 1 + x + x + 1 − x + x
2 2
1 + x + x2 − 1 − x + x2
lim = lim . =
x2 − x x2 − x 1 + x + x2 + 1 − x + x2
x 0 x 0
Efectuando la resta, factorizando el denominador, simplificando y obteniendo f(0) se obtiene:
(1 + x + x 2 ) − (1 − x + x 2 ) 2x 2
= = = −1
( x − x )( 1 + x + x + 1 − x + x )
2 2 2
x( x − 1)( 1 + x + x + 1 − x + x )
2 2
− ( 2)
Por lo que el límite de la función es: -1
x
Ejemplo: Lim Como se observa en esta función al obtener F(0) presenta una
3
1 + x −1
x0 indeterminación, para eliminar la indeterminación es necesario
pensar el cómo esta expresión tenga raíz cúbica exacta, si se relaciona con una diferencia de
cubos será necesario multiplicar el numerador y el denominador por (3 1 + x ) 2 + 3 1 + x + 1) ello
origina una diferencia de cubos
x
Lim 3 =
1 + x −1
x 0
x ( 3 1 + x ) 2 + 3 1 + x + 1) x( 3 1 + x ) 2 + 3 1 + x + 1
[3 )( 3 = = 3
1 + x ) 2 + 3 1 + x + 1 =3 al hallar
1 + x − 1 ( 1 + x ) 2 + 3 1 + x + 1) 1+ x −1
f(0)
38
39. Este ejemplo también se puede realizar haciendo (1+x) = y3 --------(1)
Si x 0, y3 1 por lo tanto y 1, despejando a x de la expresión (1) se obtiene x = y3-1
Realizando el cambio de variable en la función inicial
x y 3 −1 y 3 − 1 ( y − 1)( y 2 + y + 1)
Lim = Lim 3 3 = = = ( y 2 + y + 1) = 1 + 1 + 1 = 3
3
1 + x −1 y −1 y −1 ( y − 1)
x 0 y 1
5
(1 + x)3 − 1
Aplicar el procedimiento al siguiente ejemplo: Lim
x
x 0
5
Si se hace y = 1+x--------------(1)
Si x 0 , y3 1 y despejando a x en (1) x = y3 -1 y se hace la sustitución de la variable se tiene
5
(1 + x)3 − 1 5
( y 5 )3 − 1 y 3 − 1 ( y − 1)( y 2 + y + 1) 1+1+1 3
Lim =Lim = 5 = = =
x y −1
5
y − 1 ( y − 1)( y + y + y + y + 1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 5
4 3 2
x 0 y 1
la factorización se ha realizado aplicando el criterio de división sintética y se ha determinado f(1) a
la función resultante. Por lo que el límite de la función inicial es: 3/5
2x + 3 ∞
Otro ejemplo: Lim esta función da una indeterminación de la forma ∞ , si se divide por
2x − 3
x ∞ la variable de mayor exponente se tiene
2x + 3 3
1+ x
2 x
= 2 = 1 + 0 = 1 aplicando la propiedad Lim C/V = 0 si v tiende a infinito.
2 −3 3
1− x 1+ 0
x
2x 2
Ejemplo: Lim x 2 + ax + b − x 2 + cx + d esta función presenta una indeterminación de la forma
x ∞ ∞-∞
Si se expresa como una fracción donde el denominador sea 1 y se multiplica el numerador y el
denominador por la conjugada del numerador, se racionaliza el numerador y dividiendo por la
variable de mayor exponente se obtiene:
ax + b − cx − d
dividiendo por la variable de mayor exponente (x) el numerador y el
x + ax + b + x 2 + cx + d
2
denominador; ya que la función tiende a infinito se obtiene como
a −c
límite comprueba estos resultados.
2
Ejemplo:
39
40. x
1
Lim 1 + =
x
x→ ∞
Si se le asignan valores a x cada vez más grandes el valor de la función se acerca a un número
cuyo valor está entre 2.7 y 2.8 .Compruébalo
n 10 100 1000 100000 1000000 x→ ∞
x
1
Lim 1 + e
x
Este valor es el número e = 2.718281828459045……….número creado por Euler y sirve de base al
sistema de logaritmos naturales o científicos, número que corresponde al conjunto de números
irracionales y que tiene aplicaciones en los intereses que se paga una cuenta bancaria. Supóngase
que un banco paga el 100% anual en una cuenta de inversión, de este modo un peso al año gana un
peso, si el interés se revisa cada semestre el banco paga (1+1/2)+(1+1/2)(1/2) =(1+1/2) 2, si la
revisión se hace cada mes se el banco paga por cada peso (1+1/12) 12, si la revisión se hace a diario,
un peso ganaría (1+1/365)365 ello conduce al resultado ya enunciado en la tabla si esta revisión se
hace cada minuto segundo etc.
Relacionados con este límite se pueden obtener límites de expresiones semejantes a
x
1
Lim 1 + = e
x
x→ ∞
2x
2
Ejemplo: Lim 1 + =
5x
x→ ∞
Para resolver este caso es necesario tratar de convertir la expresión a una expresión semejante a la
que arroja como límite el número “e” , utilizando para ello artificios matemáticos que permiten
convertir la expresión un una expresión equivalente.
Comparando la expresión con la expresión que tiene como límite e, se observa que estas
expresiones tienen el primer término igual, por lo que nos concentraremos en cambiar el segundo
término del binomio y el exponente. De este modo la fracción se puede simplificar sacando mitad.
2x
2
2x
2x
2 2 = Lim 1 + 1 ahora es necesario que el exponente y el
Lim 1 + = Lim 1 + 5x
x
5x 5x
2
2
→∞
denominador de la fracción sean iguales, si el exponente se multiplica por el denominador y su
recíproco (1) se tiene:
40
