UDMA125

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Unidad Didáctica
MA 125 Matemática Elemental
Grupos 04 y 07
I Ciclo 2013

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UDMA125

  1. 1. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasMatem´atica ElementalLuis Fernando Ram´ırez OviedoUniversidad de Costa RicaEscuela de Matem´atica2013Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  2. 2. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasDatos GeneralesInstituci´on: Universidad de Costa Rica.Curso: Matem´atica Elemental MA0125.Autor: Luis Fernando Ram´ırez Oviedo.Periodo: I Ciclo, 2013.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  3. 3. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasMen´u1. N´umeros Reales2. Polinomios3. Ecuaciones e Inecuaciones4. Funciones5. Funci´on Exponencial y Logar´ıtmica6. Trigonometr´ıaLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  4. 4. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasMen´u1. N´umeros Reales2. Polinomios3. Ecuaciones e Inecuaciones4. Funciones5. Funci´on Exponencial y Logar´ıtmica6. Trigonometr´ıaLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  5. 5. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesSesi´on 1N´umeros RealesMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  6. 6. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesSesi´on 1N´umeros RealesMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  7. 7. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesPropiedades de la suma y multiplicaci´on en R. Sean a, b, c, x, y, zn´umeros reales cualesquiera.Propiedad conmutativa: x + y = y + x, x · y = y · x.Propiedad Asociativa:x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z.Propiedad distributiva: x(y + z) = xy + xz.Existencia de elementos neutros. Existen dos n´umerosreales distintos, que se indican por 0 y 1 tales que para cadan´umero real x se tiene:x + 0 = 0 + x = x y 1 · x = x · 1 = x.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  8. 8. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesExistencia de negativos (inverso aditivo): Para cadan´umero real x existe un n´umero real y tal quex + y = y + x = 0.Existencia del rec´ıproco: Para cada n´umero real x existe unn´umero real z tal quexz = zx = 1.Cerradura con respecto a la suma y el producto: Six, y ∈ R entoncesx + y ∈ R y xy ∈ RLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  9. 9. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesM´as adelante observemos algunos ejemplos en los cualesutilizaremos las propiedades de los n´umeros reales, ahoraestablezcamos las leyes que rigen el ´algebra elemental:Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  10. 10. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesSimplificaci´on para la suma: Si a + b = a + c, entoncesb = c.Dados dos reales cualesquiera a y b existe un ´unico real x talque a + x = b. La x se designa por b − a.b − a = b + (−a).−(−a) = a.a(b − c) = ab − ac.0 · a = a · 0 = 0.Si ab = ac y a = 0 entonces b = c.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  11. 11. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesDados dos reales cualesquiera a y b, con a = 0, existe un´unico real x tal que ax = b. La x se designa por ba . Enparticular 1a se escribe como a−1.Si a = 0 entonces ba = b · a−1.Si a = 0 entonces (a−1)−1 = a.Si ab = 0 entonces a = 0 ∨ b = 0.(−a)b = −(ab) y (−a)(−b) = ab.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  12. 12. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros Realesab + cd = ad+bcbd con b = 0 y d = 0.ab · cd = acbd con b = 0 y d = 0.ab ÷ cd = adbc con b = 0, d = 0 y c = 0.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  13. 13. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesProblema:Dados tres reles a, b, c, todos diferentes entre si(a = b, b = c, a = c); pruebe que:a2(a − b)(a − c)+b2(b − c)(b − a)+c2(c − a)(c − b)= 1Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  14. 14. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesAlgunas anotaciones acerca de las potenciasDado un n´umero natural n se tiene que:an = a · a · a · a · · · an−vecesa−n = 1ana1/n = n√a con a ≥ 0 si n es parSi m y n son n´umeros naturales am/n = n√am con am ≥ 0 sin es parLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  15. 15. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesAlgunas propiedades de las potenciasap · aq = ap+qap ÷ aq = ap−q con a = 0(ab)p = ap · bp(ap)q = apqabp= apbp con b = 0Donde p y q son n´umeros naturales.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  16. 16. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesAlgunas propiedades de los radicalesn√ab = n√a n√bn ab =n√an√bm n√a = mn√an√an = |a|, si n es parn√an = a, si n es imparLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  17. 17. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesValor AbsolutoGeom´etricamente: el valor absoluto de un n´umero real, es lamedida del segmento que lo une con el cero (a partir de larepresentaci´on de R en la recta).Anal´ıticamente: se define el valor absoluto de un n´umero real acomo|a| =a si a ≥ 0−a si a < 0Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  18. 18. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasN´umeros RealesPropiedades del Valor Absoluto|a| = 0 si y solo si a = 0| − a| = |a||ab| = |a||b|Si c ≥ 0 entonces |a| ≤ c si y solo si −c ≤ a ≤ c−|a| ≤ a ≤ |a|Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  19. 19. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosSesi´on 2PolinomiosMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  20. 20. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosSesi´on 2PolinomiosMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  21. 21. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosDefinici´on Una expresi´on algebraica es una combinaci´on den´umeros reales con letras, operaciones, signos de agrupaci´on, entreotros.Definici´on Un polinomio de grado n en la variable x es unaexpresi´on de la forma:anxn+ an−1xn−1+ an−2xn−2+ · · · + a2x2+ a1x + a0;Donde an, an−1, an−2, · · · , a2, a1, a0 ∈ R, an = 0Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  22. 22. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosOperaciones con polinomiosSumaRestaMultiplicaci´onDivisi´on (Algoritmo de la divisi´on euclideana)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  23. 23. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosRealicemos algunos ejercicios con polinomios para comprendermejor su aritm´eticaEfectue las operaciones indicadas con los siguientes polinomios−(7x2 + 3x − 4) + (8 − x2 + 5x3) − (2x3 + 3x2 − 5 + 8x)(11x3 − x + 7) − (2x − 4x3 − 6) + (7x2 − 9x + 4)(x2 + 2xy + 4y2)(x − 2y)5a3b2(ab2 − b + 4a) − (8a3b3 − 10a4b4)(19x2 − 10x3 + x5 − 14x + 6) ÷ (x2 + 1 − 2x)(2x3 − 31x + 35 − x2) ÷ (2x − 7)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  24. 24. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosFactorizaci´on de PolinomiosFactorizar un polinomio consiste en expresarlo como el producto demonomios o polinomios, existen varios m´etodos para factorizarpolinomios, sin embargo no todos se ajustan a cada polinomio enparticular. En esta secci´on estudiaremos algunos de los m´etodosconocidos y m´as utilizados en el ´algebra de polinomios.Factor com´unF´ormulas notablesInspecci´onF´ormula generalTeorema del Residuo y del factor.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  25. 25. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosFactor Com´un: es el monomio o polinomio, por el cual es divisiblecada uno de los terminos del polinomio.Trabajemos algunos ejemplos24x3y5z4 − 18x2y3z2 − 36y6x3ab(a − b) − 3a + 3b2a3b5c3 + 3a2b5c22 − a4b5Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  26. 26. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosF´ormulas Notables(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a − b)2 = a2 − 2ab + b2(a + b)(a − b) = a2 − b2(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  27. 27. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosUtilicemos las f´ormulas notables para factorizar los siguientespolinomios9x2 + 30x + 25x2 − 8x + 1616 − x225 − 16y2m4 − 818x3 − 27(x + 1)3 + y3Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  28. 28. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosFactorizaci´on por agrupaci´on:Esta factorizaci´on se realiza siguiendo el proceso que se describe acontinuaci´on:Se agrupan los t´erminos que tienen factores comunes.Se factoriza por factor com´un los grupos efectuados en elpaso anterior.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  29. 29. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosUtilicemos el m´etodo de agrupaci´on para factorizar los siguientespolinomioswx − wy + px − pyx2y + y − xy2 − x(x − y)2 − 3x + 3y2x6y + 2x3y4 − 2x4y3 − 2xy63x3 − 3y3 + x(2x − 2y)2 − x(x2 − y2)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  30. 30. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosFactorizaci´on por f´ormula generalSe consideran polinomios de la forma ax2 + bx + c , donde a, b y cson reales, con a = 0. Las soluciones de este polinomio est´andeterminadas por el discriminate = b2 − 4ac, el cu´al se˜nala:Si > 0 entonces el polinomio posee dos ceros realesdistintosSi = 0 entonces el polinomio posee dos ceros reales igualesSi < 0 entonces el polinomio NO posee ceros reales. (Nofactorizable en R)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  31. 31. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosEn los casos que ≥ 0 se tiene quex1 =−b +√2a; x2 =−b −√2aObteniendose la factorizaci´onax2+ bx + c = a(x − x1)(x − x2)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  32. 32. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosUtilicemos la f´ormula general para factorizar los siguientespolinomiosm2 + 5m + 6−x2 − 4x + 21Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  33. 33. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosFactorizaci´on por inspecci´onSe consideran polinomios de la forma ax2n + bxn + c , dondea, b y c son reales, la forma general de expresar la factorizaci´on deun trinomio de esta forma est´a dada por;ax2n + bxn + c = (pxn + q)(rxn + s) donde p, q, r, s son reales.Esta factorizaci´on no siempre es posible.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  34. 34. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosUtilicemos el m´etodo de inspecci´on para factorizar los siguientespolinomiosm2 + 5m + 64x6 − x3 − 3−x2 − 4x + 21x2 − 6x + 8x2 + 3x − 10Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  35. 35. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosTeorema de ResiduoSi un polinomio P(x) se divide por un binomio de la forma(x − α), α ∈ R, entonces el residuo de la divisi´on es P(α)Observemos un ejemplo:Calcule el residuo de (2x4 + 2x2 − x + 6) ÷ (x − 2)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  36. 36. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosTeorema del FactorUn polinomio P(x) tiene un factor de la forma (x − α), α ∈ Q,sii P(α) = 0EjemploCompruebe que (x − 5) es un factor del polinomioP(x) = x3 − 35 + 12x − 6x2Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  37. 37. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosProblema: Determine el residuo que se obtienen al efectuar(x78− 5x17+ 11) ÷ (x + 1)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  38. 38. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosCalcule el cociente y el residuo utilizando divisi´on sint´etica(x3 − 3x2 + 4x − 5) ÷ (x − 2)(x4 − 3x3 + 7x2 + 6x + 2) ÷ (x + 1)(x5 − 4ax − 4x2) ÷ (ax + 1)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  39. 39. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasPolinomiosPrueba CortaFactorice cada uno de los siguientes polinomios(x2 − 7x + 1)2 − (x2 + 5x − 3)22x4 − 5x3 − 11x2 + 20x + 12Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  40. 40. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFracciones AlgebraicasDefinici´on: Dados dos polinomios P(x) y Q(x) con Q(x) = 0 laexpresi´on P(x)Q(x) se denomina fracci´on algebraica.Teniendo en cuenta las restricciones del denominador, podemosoperar sobre las fracciones algebraicas siguiendo las leyes delalgebra. Trabajaremos algunos ejemplos sobres las siguientesoperacionesSuma-RestaMultiplicaci´on-Divisi´onRacionalizaci´onLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  41. 41. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFracciones AlgebraicasSimplifique las siguientes expresiones algebraicas(3x−5)2−4x24x2−(x+1)222x+3 · 4x2−92x+4x3−y35x ÷ x2+xy+y25x+10yu2−2uv2−v· uv−uv2u2−1÷ u2u+16xx2−y2 + 2xxy+y2 + 32y−2xLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  42. 42. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasRacionalizaci´onRacionalizaci´on de expresiones algebraicasEs el proceso de transformar expresiones fraccionarias en las queaparecen radicales en el numerador o denominador en una nuevaexpresi´on no tenga el radical en el numerador o denominador seg´unsea el caso.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  43. 43. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasRacionalizaci´onTrabajemos con tres casos para comprender como funciona dichoproceso:Expresiones de la formakn√am , m < na√b±ca√b±√cLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  44. 44. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasRacionalizaci´onTrabajemos con algunos ejemplos14√5x4√x215a4√25x3√a+b−√a−b√a+b+√a−bh√x+h−√xx−11−√xx−83√x−2Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  45. 45. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuaciones e InecuacionesSesi´on 3Ecuaciones e InecuacionesMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  46. 46. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuaciones e InecuacionesSesi´on 3Ecuaciones e InecuacionesMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  47. 47. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesDefinici´on: Una ecuaci´on es una igualdad entre dos expresionesalgebraicas con una o m´as variablesCuando resolvemos una ecuaci´on nos enfrentamos a la tarea dehallar los valores reales que satisfacen la igualdad. Al conjunto detodas las soluciones de una ecuaci´on le llamamos conjuntosoluci´on.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  48. 48. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesTrabajaremos en este apartado con diferentes tipos de ecuaciones,pero en todos los casos, ecuaciones con en una variable.LinealesCuadr´aticasPolinomialesRacionalesRadicalesCon Valor AbsolutoLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  49. 49. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesEcuaci´on lineal: Una ecuaci´on de primer grado con una inc´ognitatiene la formaax + b = 0, a, b ∈ R, a = 0Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  50. 50. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesDetermine el conjunto soluci´on para las siguientes ecuaciones3x+12 = 3 − x−133x − 5 = 2x − (4 − x) − 112x − 5 = 2x − (4 − 10x)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  51. 51. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesDefinici´on: Un sistema de dos ecuaciones lineales en lasinc´ognitas x e y o “sistema 2 × 2” es una expresi´on de la forma:ax + by = ecx + dy = fdonde a, b, c, d, e, f son n´umeros reales. Una Soluci´on delsistema 2 × 2 es un un par ordenado (x0, y0), x0 , y0 ∈ R quesatisface ambas ecuaciones simultuneamente.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  52. 52. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesTrabajaremos con tres m´etodos para hallar soluciones de lossistema 2 × 2M´etodo de Igualaci´onM´etodo de Sustituci´onM´etodo de Suma y RestaLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  53. 53. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesHallar el conjunto soluci´on del siguiente sistema2x + 3y = 15x + 4y = 2Para resolver este sistema utilizaremos los tres m´etodos.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  54. 54. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesAhora observemos la representaci´on gr´afica del sistema anterior enel plano, para ello utilizaremos GeoGebraLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  55. 55. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesHallar el conjunto soluci´on del siguiente sistema3x − 2y = 16x + 4y = 16Para resolver este sistema utilizaremos los tres m´etodos.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  56. 56. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesAhora observemos la representaci´on gr´afica del sistema anterior enel plano, para ello utilizaremos GeoGebraLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  57. 57. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesEcuaci´on cuadr´atica:Una ecuaci´on de segundo grado con una inc´ognita es una igualdadde la formaax2+ bx + c = 0, cona, b, c ∈ R a = 0Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  58. 58. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesLas soluciones de una ecuaci´on cuadr´atica est´an determinadas porel discriminate = b2 − 4ac, el cu´al se˜nala:Si > 0 entonces el polinomio posee dos soluciones realesdistintasSi = 0 entonces el polinomio posee dos soluciones realesigualesSi < 0 entonces el polinomio NO posee soluciones reales,sus soluciones son complejas.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  59. 59. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesEn los casos en que ≥ 0 se tiene quex1 =−b +√2a; x2 =−b −√2aObteniendose el conjunto soluci´onS = {x1, x2}Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  60. 60. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesResuelva las siguientes ecuaciones cuadr´aticas−x2 − 3 = x − 8 − 3x227x2 + 12x − 8 = 0x4 − 5x2 − 6 = 0Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  61. 61. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesobservemos lo que pasa con las siguientes ecuaciones cuadr´aticasen el plano−x2 − 3 = x − 8 − 3x227x2 + 12x − 8 = 0x4 − 5x2 − 6 = 0Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  62. 62. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesEcuaciones PolinomialesUna ecuaci´on polinomial es una ecuaci´on de la formaanxn+ an−1xn−1+ an−2xn−2+ · · · + a2x2+ a1x + a0 = 0;∀ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , nLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  63. 63. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesResuelva en R las siguientes ecuacionesx4 + x3 − x = 7x2 − 6x3 + 27 = 0(x2 − 1)(x + 3) = 0Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  64. 64. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesEcuaci´on RacionalSean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x) = 0. La ecuaci´onP(x)Q(x) = 0 se denomina ecuaci´on racional.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  65. 65. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesResuelva en R las siguientes ecuaciones(3x−5)2−4x24x2−(x+1)2 = 11x+1 − 2x+2 = 32x+2 − 42x+4xx−2 + x−2x = 52Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  66. 66. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesEcuaci´on con RadicalesUna ecuaci´on radical es de la forma np(x) = q(x) o que puedellevarse a esta formacon p(x) y q(x) expresiones algebraicas en x, n ∈ N − 1Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  67. 67. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesResuelva en R las siguientes ecuaciones√x + 2 − 2 = 03√x + 1 = −5√x + 3 +√x − 2 = 5Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  68. 68. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesEcuaci´on con Valor AbsolutoTrabajaremos con tres tipos de ecuaciones con valor absoluto.Sean p(x) y q(x) expresiones algebraicas y a ∈ R|p(x)| = a|p(x)| = q(x)|p(x)| ± |q(x)| = aLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  69. 69. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasEcuacionesResuelva en R las siguientes ecuaciones|3x + 2| = 5|x − 2| = 3 − x2 − |5 − x| = 3x + 42|2x − 5| − 3|7 − x| = 2x − 1|x2 − 5x + 6| = 0|x3 − 8| = 0Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  70. 70. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasInecuacionesDefinici´on: Una inecuaci´on es la comparaci´on entre dosexpresiones algebraicas con una o m´as variablesLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  71. 71. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasInecuacionesTrabajaremos en este apartado con diferentes tipos deinecuaciones, pero en todos los casos, inecuaciones con en unavariable.LinealesPolinomialesRacionalesCon Valor AbsolutoLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  72. 72. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasInecuacionesIncuaci´on lineal: Determine el conjunto soluci´on para la siguienteinecuaci´on−5(x + 3) ≥ 3 − (x + 2)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  73. 73. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasInecuacionesInecuaciones PolinomialesUna inecuaci´on polinomial en una inc´ognita es una desigualdad dela forma:p(x) < 0, p(x) > 0 p(x) ≤ 0 p(x) ≥ 0donde p(x) es un polinomio en xLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  74. 74. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasInecuacionesDetermine el conjunto soluci´on en R las siguientes inecuacionesx2 − x + 6 < 0−x2 − x + 1 < 0x4 + x3 − x < 7x2 − 6Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  75. 75. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasInecuacionesInecuaci´on RacionalSean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x) = 0. La inecuaci´onP(x)Q(x) < 0, P(x)Q(x) > 0, P(x)Q(x) ≤ 0, P(x)Q(x) ≥ 0 se denomina inecuaci´onracional o fraccionaria.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  76. 76. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasInecuacionesDetermine el conjunto soluci´on en R las siguientes inecuaciones2x(x+3)−x2+11x−10≤ 0x+12−x > 2Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  77. 77. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasInecuacionesInecuaci´on con Valor AbsolutoTrabajaremos con tres tipos de inecuaciones con valor absoluto.Sean p(x) y q(x) expresiones algebraicas y a ∈ R|p(x)| < a ´o |p(x)| > a|p(x)| < q(x) ´o |p(x)| > q(x)|p(x)| ± |q(x)| < a ´o |p(x)| ± |q(x)| > aLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  78. 78. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasInecuacionesDetermine el conjunto soluci´on en R las siguientes inecuaciones|2x − 3| < 5|3x − 4| > 6|x − 11| > 1 − 5x3|x + 2| − 2|5 − x| < 20|x + 7| > |3x − 1| + 2x − 31 < |3x − 2| ≤ 4Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  79. 79. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasInecuacionesTareaDetermine el conjunto soluci´on en R las siguientes inecuaciones|3x + 7| < 4|2x − 3| < x − 4|x − 2| < x − 4|x + 2| + |2x − 1| < 0|3x − 2| < |2x − 7|Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  80. 80. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasSesi´on 4FuncionesMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  81. 81. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasSesi´on 4FuncionesMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  82. 82. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesEstudiemos primero el concepto de funci´on utilizando diagramaspara luego establecer una definici´on anal´ıtica.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  83. 83. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesDefinici´onDados dos conjuntos A y B, una funci´on f de A en B, es unacorrespondencia tal que asigna a cada elemento x de A un ´unicoelemento de y de B.Se denota f : A → B y tal que f(x) = y.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  84. 84. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesDefinici´onSean A y B conjuntos. Una funci´on f de A en B, es un conjuntof de pares ordenados en A × B tal que para cada a ∈ A existe unab ∈ B ´unica con (a, b) ∈ f; es decir, si (a, b) ∈ f y (a, b ) ∈ f,entonces b = b .Al conjunto A de los elementos que pertenecen al primercomponente del par ordenado se le llama Dominio de f y sedenota por D(f).Al conjunto de todos los elementos de B que aparecen comosegunda componente se le conoce como Codominio de f un ´unicoelemento de y de B.Se denota f : A → B y tal que (a, b) = (a, f(a)) ∈ fLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  85. 85. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunciones¿En que forma podemos establecer una correspondencia entre dosconjuntos?Estudiemos algunos ejemplos de funciones y observemos suselementosLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  86. 86. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesEjemplosObservemos en los siguientes ejemplos los cuatro aspectosfundamentales que describen una funci´on real de variable realf : R → R tal que f(x) = 3x − 1g : Z → N tal que g(x) =2x + 1 si x ≥ 0−2x si x < 0p : R+ → R con p(x) = 3x5 − 46x2 + 9Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  87. 87. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesPodemos establecer otros elementos de las funcionesPreimagen: los elementos del dominio se denominanpreimagenes de la funci´onImagen: Los elementos del codominio que se encuentranrelacionados con alg´un elemento del dominio se denominanimagenesRango: El conjunto formado por todas las imagenes de lafunci´on se denomina Rango de la funci´on.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  88. 88. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesEjemplosObservemos en los siguientes ejemplos los elementos relacionadosal concepto de funci´onf : R → R tal que f(x) = 3x − 1p : R+ → R con p(x) = 3x5 − 46x2 + 9r : R+ → R+ con r(x) =√xLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  89. 89. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasMonoton´ıa de funcionesDefinici´on: Una funci´on f : A → B es estrictamentecreciente en un intervalo [a, b] ⊆ A sii para cualquier par deelementos x y en [a, b] tales que x < y, se cumple quef(x) < f(y).Definici´on: Una funci´on f : A → B es estrictamentedecreciente en un intervalo [a, b] ⊆ A sii para cualquier par deelementos x y en [a, b] tales que x < y, se cumple quef(y) < f(x).Definici´on: Una funci´on f : A → B es constante en unintervalo [a, b] ⊆ A sii para cualquier par de elementos x y en[a, b] tales que x < y, se cumple que f(x) = f(y).Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  90. 90. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesEjemplosObservemos en los siguientes ejemplos relacionados a la monoton´ıade las funcionesf : R → R tal que f(x) = 3x − 1f : R → R tal que f(x) = −x3 + 1h : R → R con h(x) = x2p : R+ → R con p(x) = 3x5 − 46x2 + 9r : R+ → R+ con r(x) =√xLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  91. 91. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesDominio M´aximoDefinici´on: El m´aximo dominio real es el mayor subconjunto de Ren el que la expresi´on f(x) est´a definida.Trabajaremos con dos casos particulares en esta ocasi´on,en loscuales las funciones de variable real se pueden indefinir.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  92. 92. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesDominio M´aximoPara los siguientes criterios, determine el m´aximo dominio en elcual la funci´on se encuentre bien definidaf(x) =√xg(x) =√x2 − 9h(x) = x2+x3x2−6x+8p(x) =√x+102−√5−xLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  93. 93. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesInyectividadDefinici´on: Una funci´on f : A → B es inyectiva si cualquierelemento del ´Ambito f(A) es imagen de una ´unica preimagen deA.Otra formaDados f(a) y f(b) elementos del ´Ambito de f, si f(a) = f(b)entonces a = bLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  94. 94. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesInyectividadObservemos algunos ejemplosf : R+ → R+, f(x) =√xg : R → R, g(x) = 3x + 1h : [3, ∞[→ R, h(x) =√x2 − 9Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  95. 95. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesTeoremaSea f una funci´on real de variable realSi f es estrictamente creciente en su dominio, entonces f esinyectivaSi f es estrictamente decreciente en su dominio, entonces fes inyectivaLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  96. 96. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasObservemos los ejemplos anteriores y sus gr´aficas para comprendermejor el teoremaf : R+ → R+, f(x) =√xg : R → R, g(x) = 3x + 1h : [3, ∞[→ R, h(x) =√x2 − 9Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  97. 97. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesSobreyectividadDefinici´on: Una funci´on f : A → B es sobreyectiva si todoelemento del codominio B es imagen al menos de un elemento deldominio A.Es decir, una funci´on f : A → B es sobreyectiva si f(A) = BLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  98. 98. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesSobreyectividadObservemos los ejemplos anteriores y establezcamos si lasfunciones son sobreyectivasf : R+ → R+, f(x) =√xg : R → R, g(x) = 3x + 1h : [3, ∞[→ R, h(x) =√x2 − 9Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  99. 99. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesBiyectividadDefinici´on: Una funci´on f : A → B es biyectiva si es inyectiva ysobreyectiva.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  100. 100. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesbiyectividadObservemos los ejemplos anteriores y establezcamos si lasfunciones son biyectivasf : R+ → R+, f(x) = 2x + 1g : [0, ∞[→ [1, ∞[, g(x) = x2 + 1h : Z → N tal que h(x) =2x + 1 si x ≥ 0−2x si x < 0Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  101. 101. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesOperaciones con funcionesSumaRestaProductoCocienteComposici´onLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  102. 102. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesSuma de funcionesDefinici´on: Sean f : A1 ⊆ R → R y g : A2 ⊆ R → R funciones;Se denota f + g una nueva funci´on que asocia a cada x ∈ A1 ∩ A2con un ´unico elemento f(x) + g(x)f + g : A1 ∩ A2 → R tal que (f + g)(x) = f(x) + g(x)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  103. 103. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesResta de funcionesDefinici´on: Sean f : A1 ⊆ R → R y g : A2 ⊆ R → R funciones;Se denota f − g una nueva funci´on que asocia a cada x ∈ A1 ∩ A2con un ´unico elemento f(x) − g(x)f − g : A1 ∩ A2 → R tal que (f − g)(x) = f(x) − g(x)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  104. 104. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesProducto de funcionesDefinici´on: Sean f : A1 ⊆ R → R y g : A2 ⊆ R → R funciones;Se denota f · g una nueva funci´on que asocia a cada x ∈ A1 ∩ A2con un ´unico elemento f(x) · g(x)f · g : A1 ∩ A2 → R tal que (f · g)(x) = f(x) · g(x)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  105. 105. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesCociente de funcionesDefinici´on: Sean f : A1 ⊆ R → R y g : A2 ⊆ R → R funciones;Se denota fg una nueva funci´on que asocia a cadax ∈ A1 ∩ A2 − {x ∈ R : g(x) = 0} con un ´unico elemento f(x)g(x)fg: A1 ∩ A2 − {x ∈ R : g(x) = 0} → R tal quefg(x) =f(x)g(x)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  106. 106. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesEjemploConsidere las siguientes funciones definidias en su dominio m´aximo.f(x) = x2− 3x; g(x) = 2x2− 5x − 3Defina cada una de las siguientes funciones f + g, f − g, f · g y fgLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  107. 107. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesComposici´on de funcionesDefinici´on: Sean f : A ⊆ R → B ⊆ R y g : B ⊆ R → C ⊆ R dosfunciones; la funci´on compuesta g ◦ f : A → C est´a definida comola funci´on(g ◦ f)(x) = g(f(x))El dominio de (g ◦ f) se define como Dg◦f = {x ∈ Df /f(x) ∈ Dg}Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  108. 108. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesEjemploPara cada caso determine el dominio y el criterio de f ◦ gf(x) = x3 − 4; g(x) = 3x − 7f(x) = −3x2 +√5; g(x) = 8x + 2√5f(x) = 5x − 7 +√5; g(x) = 3x2 − x + 2Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  109. 109. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesAunque para cada correspondencia de una funci´on podamosencontrar una relaci´on inversa, esta relaci´on no necesariamente esuna funci´onTeoremaSea f : A ⊆ R → B ⊆ R, la funci´on inversa de f existe sii f esbiyectivaLa funci´on inversa de f se denota como f−1Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  110. 110. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesEjemploPara cada caso determine la funci´on inversah : [−1, 4] → [−3, 7] con h(x) = −2x + 5f :] − ∞, 5] → [−16, ∞[ con f(x) = x2 − 10x + 9g : [−3, ∞[→] − ∞, 16] con h(x) = −x2 − 6x + 7Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  111. 111. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesFunci´on linealDefinici´on: Sean m, b n´umeros reales. La funci´on f : R → R conf(x) = mx + b se llama funci´on lineal.Veamos algunos ejemplosLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  112. 112. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesFunci´on linealEjemplos:f : R → R con f(x) = 3x + 4g : R → R con g(x) = −10x + πh : R → R con h(x) = −3x4 + 11Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  113. 113. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesFunci´on linealElementos y propiedades de la funci´on linealDominio, Codominio, ´Ambito, gr´aficaPendiente e intersecciones con los ejes coordenados en surepresentaci´on gr´aficaMonoton´ıaEcuaci´on de recta punto pendienteDos rectas (no verticales) son paralelas sii tienen la mismapendienteDos rectas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares siim1 · m2 = −1Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  114. 114. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesFunci´on Cuadr´aticaDefinici´on: Sean a, b, c n´umeros reales, con a = 0. La funci´onf : R → R con f(x) = ax2 + bx + c se llama funci´on cuadr´atica.Veamos algunos ejemplosLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  115. 115. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesFunci´on Cuadr´aticaEjemplos:f : R → R con f(x) = 2x2 + 3x − 27g : R → R con g(x) = −3x2 + 4h : R → R con h(x) = −x22 + 3xLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  116. 116. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFuncionesFunci´on Cuadr´aticaElementos y propiedades de la funci´on cuadr´aticaDominio, Codominio, ´Ambito, gr´aficaDiscriminante e intersecciones con los ejes coordenados en surepresentaci´on gr´aficaMonoton´ıa y concavidadV´ertice, m´aximos y m´ınimosLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  117. 117. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasSesi´on 5Funci´on Exponencial yLogar´ıtmicaMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  118. 118. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasSesi´on 5Funci´on Exponencial yLogar´ıtmicaMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  119. 119. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunci´on Exponencial y Logar´ıtmicaFunci´on ExponencialSea a un n´umero real positivo. Se define la funci´on exponencial debase a por:f : R → R, f(x) = axVeamos algunos ejemplosLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  120. 120. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunci´on Exponencial y Logar´ıtmicaFunci´on ExponencialEjemplosf : R → R, f(x) = 3xg : R → R, g(x) = 25xLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  121. 121. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunci´on Exponencial y Logar´ıtmicaFunci´on ExponencialElementos y propiedades de la funci´on exponencial, se debenconsiderar 3 casosa > 1, a = 1, 0 < a < 1Dominio, Codominio, ´Ambito, gr´aficaInyectividad, sobreyectividad, biyectividadIntersecciones con los ejes coordenados en su representaci´ongr´afica (As´ıntotas)Monoton´ıa y concavidadLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  122. 122. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunci´on Exponencial y Logar´ıtmicaFunci´on ExponencialQu´e tal si componemos la funci´on exponencial con funciones talescomo la funci´on una lineal.En cada caso obtenga f ◦ hh : R → R, con h(x) = mx + b; f : R → R+, f(x) = axcon m, b ∈ Rh : R → R, con h(x) = −x; f : R → R, f(x) = 3xh : R → R, con h(x) = x − 1; f : R → R, f(x) = 25xLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  123. 123. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunci´on Exponencial y Logar´ıtmicaFunci´on Logar´ıtmicaLa funci´on f : R → R, f(x) = ax con a > 0 es una funci´onbiyectiva, por lo tanto posee una funci´on inversa.La funci´on inversa se llama funci´on logar´ıtmica de base a y sedefine por:f : R+→ R, f(x) = LogaxSe cumple que y = Logax ⇐⇒ ay = xLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  124. 124. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunci´on Exponencial y Logar´ıtmicaFunci´on Logar´ıtmicaEjemplosf : R+ → R, f(x) = Log3xg : R+ → R, g(x) = Log25xLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  125. 125. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunci´on Exponencial y Logar´ıtmicaFunci´on ExponenciaElementos y propiedades de la funci´on logar´ıtmica, se debenconsiderar 3 casosa > 1, a = 1, 0 < a < 1Notaci´onDominio, Codominio, ´Ambito, gr´aficaInyectividad, sobreyectividad, biyectividadIntersecciones con los ejes coordenados en su representaci´ongr´afica (As´ıntotas)Monoton´ıa y concavidadLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  126. 126. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunci´on Exponencial y Logar´ıtmicaFunci´on ExponenciaOtras propiedades de los logaritmosLoga(M · N) = LogaM + LogaNLoga(MN ) = LogaM − LogaNLoga(Mr) = r · LogaM, r ∈ QLoga(1) = 0Loga(a) = 1Cambio de base Logb(x) = Loga(x)Loga(b)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  127. 127. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunci´on Exponencial y Logar´ıtmicaEcuaci´on ExponencialDetermine el conjunto soluci´on de las siguientes ecuacionesexponenciales7x+6 = 73x−467−x = 62x+132x+3 = 3x22−100x = (0, 5)x−432−3x = 42x+1Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  128. 128. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasFunci´on Exponencial y Logar´ıtmicaEcuaci´on Logar´ıtmicaDetermine el conjunto soluci´on de las siguientes ecuacioneslogar´ıtmicasln(x2) = −2log(x2) = −4log6(2x − 3) = log6(12) − log6(3)log(x) − log(x + 1) = 3log(4)ln(−4 − x) + ln(3) = ln(2 − x)log3(x + 3) + log3(x + 5) = 1Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  129. 129. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasSesi´on 6Trigonometr´ıaMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  130. 130. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasSesi´on 6Trigonometr´ıaMen´uLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  131. 131. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficas¿Qu´e es la trigonometr´ıa?La trigonometr´ıa es la rama de la matem´atica que estudia lasrelaciones entre los lados y los ´angulos de los tri´angulos. Suetimolog´ıa proviene de trigono tri´angulo y metr´ıa medida.Si visitas el blog FERMATH CRhttp://fermathcr.blogspot.com/ podr´as conocer algunoselementos importantes acerca del desarrollo hist´orico de esta ramade la matem´atica.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  132. 132. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaAntes de abordar estrictamente el tema de trigonometr´ıa,recordemos algunos conceptos importantes. Para ello consideremosalgunas de las siguientes preguntas generadoras.¿Qu´e es un ´angulo?¿Qu´e unidades de medida conoce para medir ´angulos?¿Cu´anto suman las medidas de los ´angulos internos de untri´angulo?¿Recuerda que nombre recibe cada uno de los lados de untri´angulo rect´angulo?¿Qu´e son ´angulos coterminales?¿Qu´e es el ´angulo de referencia?Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  133. 133. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaConversi´on de grados a radianes:x = x ·π180radianes.Conversi´on de radianes a grados:y radianes = y ·180πgradosLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  134. 134. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaEjemploColoque cada uno de los siguientes ´angulos en posici´on estandar ydetermine dos ´angulos coterminales positivos y dos negativos.Adem´as convierta cada uno de grados a radianes o viceversa6517π4−503π2Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  135. 135. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaRazones trigonom´etricasUtilizaremos un tri´angulorect´angulo para establecerlas razones trigonom´etricasSeno (Sin), Coseno (Cos) yTangente (Tan) del ´angulo βLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  136. 136. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaRazones trigonom´etricasSin(β) =Cateto opuestohipotenusa=acCos(β) =Cateto adyacentehipotenusa=bcTan(β) =Cateto opuestoCatetoadyacente=abLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  137. 137. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaRazones trigonom´etricasSec(β) =1cosβ=cbCsc(β) =1Senβ=caCot(β) =1Tanβ=baInicialmente definimos las razones trigonom´etricas con tri´angulosrect´angulos, lo cu´al indica que funcionan solo para ´angulos agudos.Mas adelante se extender´a el estudio para el ´angulo recto y´angulos obtusos.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  138. 138. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaRazones trigonom´etricasEstudiemos los valores de las razones trigonom´etricas en lostri´angulos especialesLuis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  139. 139. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaC´ırculo trigonom´etricoEl c´ırculo trigonom´etrico es un c´ırculo en el plano cartesianocentrado en el origen cuyo radio mide 1.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  140. 140. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaC´ırculo trigonom´etricoEstudiemos las razones trigonom´etricas en el c´ırculo trigonom´etricoy sus signos.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  141. 141. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaC´ırculo trigonom´etricoEstudiemos las razones trigonom´etricas en el c´ırculo trigonom´etricoy sus signos.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  142. 142. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaLa Funci´on SenoAhora podemos establecer una nueva funci´on llamada seno, paraesta vamos a establecer algunos de sus elementos y caracter´ısticasDominio, codominio, criterio, ´ambito, gr´afica.Signo, Monoton´ıa y ConcavidadPeriodicidadInyectividad, sobreyectividad, biyectividadPautas para su gr´afica.Relaci´on y funci´on inversa.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  143. 143. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasTrigonometr´ıaLa Funci´on Senof : R → [−1, 1], f(x) = Sin(x)Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental
  144. 144. Unidad Did´acticaReferencias Bibliogr´aficasReferencias Bibliogr´aficasArias, F & Poveda, W. (2011). Matem´atica Elemental. SanJos´e, Costa Rica. Edit. UCR.D´ıaz, P.(2007). N´umeros Reales y Fundamentos de ´Algebra.San Jos´e, Costa Rica. CONARE-RAMAFigueroa, N & Ram´ırez, V. Notas para el Curso MA − 0230Matem´atica para Ciencias Econ´omicas I. Universidad de CostaRica. San Jos´e, Costa Rica.M´endez, H. (2000). T´opicos de Matem´atica Elemental. SanJos´e, Costa Rica. Edit. EUNED.Luis Fernando Ram´ırez Oviedo Matem´atica Elemental

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