SAPERE AUDE……¿y por qué no matemáticas? Sixto Romero Universidad de Huelva ¿Cómo crear contextos adecuado para poder enseñ...
OBJETIVO Analizar algunos de los principales dominios o ámbitos de educación matemática donde resulte pertinente proponer ...
ÍNDICE 1. ¿Innovación y/o Renovación?  2. Innovación en el dominio de:           a)  Diseño del currículo b)  La infraestr...
<ul><li>INNOVAR </li></ul><ul><li>* Mudar o alterar las cosas introduciendo  novedades  </li></ul><ul><li>RENOVAR </li></u...
<ul><li>¿En Educación  Matemática </li></ul><ul><li>innovar  o renovar?  </li></ul><ul><li>RENOVACIÓN </li></ul><ul><li>* ...
Aplicación de los dos conceptos  cuando hablamos de  enseñanza de las Matemáticas A) RENOVACIÓN  *Si hay fundamentales raz...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva La innovación, una natural  respuesta al inmovilismo en l...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Hay muchos dominios matemáticos casi inexplorados en la E...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva <ul><li>Teoría de grafos y Optimización </li></ul><ul><li...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Muchos de estos dominios pueden ser planificados de maner...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Pero no sólo podemos pensar en innovaciones en la direcci...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Este es otro dominio que se ha mantenido invariante por m...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva    Un ejemplo de innovación en el ámbito de la infraestru...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva <ul><li>  </li></ul><ul><li>La  radio  y el teatro matemá...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva <ul><li>NUEVO CURRICULO   </li></ul><ul><li>Competencias ...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN El  Proyecto Klein  es una iniciativa conj...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN En marzo y abril de 2004, se procedió a co...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN • Michèle Artigue, Universidad de Paris VI...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN LIBRO:  &quot; ¿Cuáles son los desarrollos...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva CAPÍTULOS DEL LIBRO •  Introducción   •  Capítulos temáti...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva <ul><li>PROYECTO KLEIN </li></ul><ul><li>•  Capítulos mis...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El aprendizaje de la geometría de...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de Ptolomeo y  Teorema de...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de las cuerdas secantes y...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de las cuerdas secantes y...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de Pitágoras Quizá ningún...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó Hábitat p...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó El refugi...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Sugerenc...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos ...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos ...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos ...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos ...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS Lo importante, a ...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS a ) Consideremos ...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS b) Consideremos o...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS ¡Otra vez el dich...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS <ul><li>A medida ...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS <ul><li>Las respu...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS Es el número natu...
Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS Se dice que un nú...
a ...         a ...         Desde hace algún tiempo se ha recurrido al cine como medio motivador de la divulgación de casi...
a ...         a ...         b) Otras veces el protagonista es matemático de profesión o alguien dotado de gran talento mat...
a ...         a ...         Pretendemos poner de manifiesto que se pueden promover actividades para llevar al aula, intera...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Si hay q...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Para gen...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Si “Inno...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   60 En re...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   ¿Muchas ...
a) Cuando viajamos en avión tenemos la oportunidad de observar las distintas  formas que la naturaleza y el hombre  han ge...
¿Dónde está diferencia? Hay que encontrarla en la geometría. Por un lado la geometría euclidiana trazada como si un tiralí...
<ul><li>Formas dibujadas </li></ul><ul><li>Por la Tierra </li></ul><ul><li>  </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica S...
<ul><li>Formas dibujadas </li></ul><ul><li>Por la Vida </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de...
<ul><li>Formas dibujadas </li></ul><ul><li>Por el Hombre </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad ...
Necesidad de medir: el origen de la geometría euclidiana ¿Por qué la humanidad le dio la espalda a las formas sinuosas y r...
Necesidad de medir: el origen de la geometría euclidiana ¿Por qué hemos roto el patrón natural que venía dibujando la piel...
a) El pintor Paul Cezanne:  &quot;Todo en la Naturaleza puede verse en términos de conos, cilindros y esferas&quot;.  Se t...
La réplica la pondría Mandelbrot al contestar:  &quot;Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no s...
SAPERE AUDE ,  GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
Midiendo longitudes y volúmenes     Una forma de medir la longitud de una curva es aproximarla a la longitud de una serie ...
Pero...  ¿qué ocurre si intentamos medir la &quot;longitud total&quot; de un cuadrado?  No su perímetro, sino la longitud ...
   Cuando hayamos repetido esta tediosa, pero expeditiva operación infinitas veces, podremos decir que hemos recubierto el...
Pero...  ¿qué ocurre si intentamos medir el volumen de un objeto geométrico?      Sixto Romero -Escuela Politécnica Superi...
   a) Nuestra primera aproximación será de nuevo un recubrimiento burdo: una sola caja cúbica que contiene al cuadrado com...
¡De modo que la longitud de un cuadrado es infinita y el volumen es cero! SAPERE AUDE ,  GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experienci...
Pero...  ¿qué ocurre si intentamos medir el perímetro del TRIÁNGULO DE SIERPINSKI?    Sixto Romero -Escuela Politécnica Su...
Pero...  ¿qué ocurre si intentamos medir el área de un triángulo por  aproximación? Sixto Romero -Escuela Politécnica Supe...
¿Sorpresa? El triángulo de Sierpinski es un objeto  geométrico de infinita longitud, aunque se encuentra en una región fin...
Definición de autosimilaridad Sea un segmento de longitud L=1. Podemos recubrirlo, por ejemplo, con:    2 segmentos de tam...
La relación      N= R -D  nos determina la  dimensión D del objeto geométrico .     Sixto Romero -Escuela Politécnica Supe...
¿Qué exponente D encontramos al aplicar este método al triángulo de Sierpinski? 3 triángulos de lado 1/2:N=3, R=1/2; (1/2)...
¿Qué exponente D encontramos al aplicar este método al triángulo de Sierpinski? (1/2 n ) -D  = 3 n   Despejando  D : D  ln...
Definición de autosimilaridad Así la dimensión de autosimilaridad D de un objeto, hecho de N copias exactas a él mismo y r...
<ul><li>Para la línea:  </li></ul><ul><li>Para el cuadrado:  </li></ul><ul><li>Para el cubo:  </li></ul><ul><li>Para el Tr...
Obtención de fractales Observa el monigote inicial  Llamémoslo  semilla inicial.  Sobre él vamos a ejercer una serie de tr...
a ...         a ...         Obtención de Fractales Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE...
<ul><li>Para  bola de papel arrugado </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUD...
Para  bola de papel arrugado Las bolas tienen dimensión fractal, igual a 2.5. Ni son esferas sólidas (dimensión 3) ni son ...
a ...         a ...         Desde hace algún tiempo se ha recurrido al cine como medio motivador de la divulgación de casi...
a ...         a ...         b) Otras veces el protagonista es matemático de profesión o alguien dotado de gran talento mat...
a ...         a ...         Pretendemos poner de manifiesto que se pueden promover actividades para llevar al aula, intera...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y C...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   ¿El esce...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Si hay q...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Para gen...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Si “Inno...
a ...         a ...         Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   En resum...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Sapere Aude... ¿y por qué no Matemáticas?

1,824 views
1,732 views

Published on

Transparencias de la conferencia impartida por Sixto Romero en la I Jornada del Profesorado de Matemáticas el 22 de mayo de 2010

Published in: Education, Business
0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,824
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
137
Actions
Shares
0
Downloads
15
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Sapere Aude... ¿y por qué no Matemáticas?

  1. 1. SAPERE AUDE……¿y por qué no matemáticas? Sixto Romero Universidad de Huelva ¿Cómo crear contextos adecuado para poder enseñar matematizando? Necesitamos problemas matemáticos que tengan un contexto significativo para los estudiantes. H. Freudenthal, 1983
  2. 2. OBJETIVO Analizar algunos de los principales dominios o ámbitos de educación matemática donde resulte pertinente proponer innovaciones y presentar algunos ejemplos concretos utilizando la expresión latina SAPERE AUDE Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 1
  3. 3. ÍNDICE 1. ¿Innovación y/o Renovación? 2. Innovación en el dominio de:          a) Diseño del currículo b) La infraestructura escolar 3. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 4. Experiencias 5. Conclusión Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 2
  4. 4. <ul><li>INNOVAR </li></ul><ul><li>* Mudar o alterar las cosas introduciendo novedades </li></ul><ul><li>RENOVAR </li></ul><ul><li>* Ponerse al día </li></ul><ul><li>* Aspectos emergentes creativos </li></ul><ul><li>no siempre positivos </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 1. Introducción 3
  5. 5. <ul><li>¿En Educación Matemática </li></ul><ul><li>innovar o renovar? </li></ul><ul><li>RENOVACIÓN </li></ul><ul><li>* Es empleada más en términos de proceso de cambio </li></ul><ul><li>INNOVACIÓN </li></ul><ul><li>*Se utiliza más en relación al producto relativo a los cambios </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 1. Introducción 4
  6. 6. Aplicación de los dos conceptos cuando hablamos de enseñanza de las Matemáticas A) RENOVACIÓN *Si hay fundamentales razones para la actualización B) INNOVACIÓN * Si queremos especificar los productos del cambio Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 1. Introducción 5
  7. 7. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva La innovación, una natural respuesta al inmovilismo en los procesos CAMBIOS EN EL ENTORNO PROPUESTA DE INNOVACIÓN ESTABILIDAD REITERADA BUSQUEDA DE INNOVACIONES PARA ASÍ DECIDIR LA REALIZACIÓN DE LOS OBJETIVOS 1. Introducción 6
  8. 8. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Hay muchos dominios matemáticos casi inexplorados en la Enseñanza Primaria y/o Secundaria que, organizados de una manera original y creativa, permitirían el diseño de actividades del aula enriquecedoras. 2.a. Innovación-Diseño Curricular 7
  9. 9. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva <ul><li>Teoría de grafos y Optimización </li></ul><ul><li>  Teoría del Caos </li></ul><ul><li>  Topología </li></ul><ul><li>Tratamiento de la Información </li></ul><ul><li>Teoría de códigos y criptografía </li></ul><ul><li>  Modelos matématicos </li></ul><ul><li>Fractales </li></ul><ul><li>Etc… </li></ul>2.a. Innovación-Diseño Curricular 8
  10. 10. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Muchos de estos dominios pueden ser planificados de manera que puedan transformarse en potentes generadores de importantes competencias, no sólo matemáticas, sino de carácter transversal.   2.a. Innovacion-Diseño Curricular 9
  11. 11. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Pero no sólo podemos pensar en innovaciones en la dirección de la selección del contenido (el QUÉ enseñar ), sino que también podemos distinguir amplias perspectivas de innovación en el PARA QUÉ enseñar , en el A QUIÉN ENSEÑAR y en el CUÁNDO ENSEÑAR . 2.a. Innovacion-Diseño Curricular 10
  12. 12. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva Este es otro dominio que se ha mantenido invariante por mucho tiempo y en el cual es posible y deseable pensar en algunas innovaciones 2.b. Innovación-Infraestructura Escolar 11
  13. 13. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva   Un ejemplo de innovación en el ámbito de la infraestructura puede ser el diseño y mantenimiento de Laboratorios de Matemática Creativa donde estudiantes y profesores diseñan y validan prototipos de materiales de diversa clase que sirvan para apoyar el estudio de la matemática, para modelar diferentes situaciones y para realizar actividades creativas. 2.b. Innovación-Infraestructura Escolar 12
  14. 14. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva <ul><li>  </li></ul><ul><li>La radio y el teatro matemáticos </li></ul><ul><li>Matemáticas y fotografía </li></ul><ul><li>Poesía y pintura matemáticas </li></ul><ul><li>Videos de matemáticas </li></ul><ul><li>Matemáticas y cine </li></ul><ul><li>Matemáticas y otras disciplinas </li></ul><ul><li>Matemáticas y cocina </li></ul><ul><li>Etc… </li></ul>2.b. Innovación-Infraestructura Escolar 13
  15. 15. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva <ul><li>NUEVO CURRICULO </li></ul><ul><li>Competencias :…… matemática </li></ul><ul><li>Los métodos pedagógicos </li></ul><ul><li>Los contenidos a desarrollar en la enseñanza de las Matemáticas: </li></ul><ul><li>* Contenidos comunes </li></ul><ul><li>* Números </li></ul><ul><li>* Álgebra </li></ul><ul><li> * Geometría </li></ul><ul><li>* Funciones y gráficas </li></ul><ul><li>*Estadística y probabilidad. </li></ul>3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 14
  16. 16. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN El Proyecto Klein es una iniciativa conjunta de IMU/ICMI para desarrollar una versión actualizada (en la forma y en el fondo) del hito que supuso la publicación, en 1908, del libro del catedrático de la Universidad de Göttingen, el Profesor Félix Klein, titulada Matemática elemental desde un punto de vista superior 3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 15
  17. 17. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN En marzo y abril de 2004, se procedió a constituir La Comisión Klein formada por ocho personas, cuatro propuestas por el comité ejecutivo ICMI, cuatro por el comité ejecutivo IMU, con un coordinador –W. Barton, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Auckland, Nueva Zelanda– 3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 16
  18. 18. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN • Michèle Artigue, Universidad de Paris VII, Francia • Ferdinando Arzarello, University de Turín, Italia • Graeme Cohen, Universidad Tecnológica, Sydney, Australia • William McCallum, Universidad de Arizona, USA • Tomás Recio , Universidad de Cantabria, España • Christiane Rousseau, Universidad de Montreal, Canadá • Hans-Georg Weigand, Universidad de Wurzburg, Alemania 3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 17
  19. 19. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva PROYECTO KLEIN LIBRO: &quot; ¿Cuáles son los desarrollos matemáticos del Siglo XX que los profesores de secundaria deberían conocer, y cómo se les pueden hacer accesibles? Centro Internacional de Encuentros Matemáticos de Castro Urdiales (Santander) organizará la segunda el 2 y 3 de junio de 2010, 3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 18
  20. 20. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva CAPÍTULOS DEL LIBRO • Introducción • Capítulos temáticos - Aritmética - Lógica - Algebra y Estructuras - Geometría - Funciones y Análisis - Matemática Discreta y Algorítmica - Matemáticas de la Computación - Probablidad y Estadística 3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 19
  21. 21. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva <ul><li>PROYECTO KLEIN </li></ul><ul><li>• Capítulos misceláneos </li></ul><ul><li>Interdisciplinariedad </li></ul><ul><li>Las matemáticas como disciplina viva en la ciencia y la sociedad </li></ul><ul><li>¿Cómo trabajan los matemáticos? </li></ul>3.a. Nuevo Curriculo-Proyecto Klein 20
  22. 22. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El aprendizaje de la geometría debe ofrecer continuas oportunidades para construir, dibujar, realizar modelos, medir o clasificar de acuerdo con criterios libremente elegidos. Su estudio ofrece excelentes oportunidades de establecer relaciones con otros ámbitos, como la naturaleza o el mundo del arte, que no debería quedar al margen de atención. 4.a. Experiencias-Geometría 21
  23. 23. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de Ptolomeo y Teorema de Pitágoras A B D En un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos, se tiene:   AC. BD= AB.CD+AD.BC AC. AC= AB.AB+BC.BC AC 2 = AB 2 +BC 2 4.a. Experiencias-Geometría C http://ualmat.wordpress.com/videos-matematicos http://video.google.es/videoplay?docid=513442171440946116# http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm 22 A B D
  24. 24. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de las cuerdas secantes y Teorema de Pitágoras Cuando dos cuerdas se cortan en un círculo, el producto, el producto de las medidas de los segmentos de una de ellas es igual al producto de los segmentos de la otra , se tiene que AF. FC=DF.FE C F B E A D G O 4.A. Experiencias-Geometría 23
  25. 25. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de las cuerdas secantes y Teorema de Pitágoras Se tiene, en nuestro caso: AF. FC=DF.FE=(DO-FO).(FO+OE) (b/2).(b/2)= (c/2-a/2)(a/2+c/2) b 2 /4=c 2 /4-a 2 /4 Se deduce que c 2 = b 2 +a 2 C F B E A D G O 4.A. Experiencias-Geometría 24
  26. 26. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA Teorema de Pitágoras Quizá ningún teorema de la extensa Matemática haya recibido tantas demostraciones diversas como el Teorema de Pitágoras. Bien puede decirse, por ello, que este teorema y la multitud de demostraciones del mismo que se han dado a lo largo de la historia constituyen una prueba fehaciente de que hay muchos caminos para alcanzar la verdad. http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm 4.A. Experiencias-Geometría 25
  27. 27. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó Hábitat para pájaros (Casita) Croquis del hábitat 4.A. Experiencias-Geometría 26
  28. 28. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó El refugio ha de adosarse a un tronco cilíndrico, con las medidas que aparecen, hallar el radio mínimo del tronco al que puede adherirse el refugio de modo que su altura sea de por lo menos de 8 centímetros . 4.A. Experiencias-Geometría 27
  29. 29. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Sugerencias a la RDP El alumno deberá decidir en algunos casos qué radios convienen más, de este modo traducirá criterios como que las dimensiones de las casitas tienen que adaptarse al tamaño de los pájaros, a restricciones matemáticas. Esto permite además que el problema se pueda presentar con distintos niveles de dificultad. 4.A. Experiencias-Geometría 28
  30. 30. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos de RDP MODELO 1. Utilización del teorema de Pitágoras En el triángulo OC’B’, llamamos a B’C’= L. Como OO’= r-d y B’O’=L/2 se tiene Una primera restricción L=12 y d=3 determina el radio del tronco en que se sitúa la casita del croquis 4.A. Experiencias-Geometría 29
  31. 31. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos de RDP Considerando a r como una función de dos variables L y d , se trata de una función escalar   de dos variables reales definidas en todo excepto para d=0 (¡que justifica el hecho de la imposibilidad de construir una casita con un solo punto de tangencia con el árbol. ¡Se tendría una casita inestable!). MODELO 2. Utilización del Cálculo Diferencial 4.A. Experiencias-Geometría 30
  32. 32. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos de RDP MODELO 2. Utilización del Cálculo Diferencial A partir de aquí podemos pensar en niveles superiores de enseñanza, por ejemplo en un primer curso de Universidad, y hacer ver a nuestros alumnos como a partir de un ejercicio sencillo de la vida real, caso u objeto, podemos llegar a introducirnos en estudio detallado de EXISTENCIA DE EXTREMOS (Máximos y mínimos) en CAMPOS ESCALARES 31 4.A. Experiencias-Geometría
  33. 33. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA El problema de DobögóKó: Modelos de RDP MODELO 2. Utilización del Cálculo Diferencial a) Comprobación de los teoremas que permiten determinar los puntos críticos de un campo escalar b) Teorema de Taylor de segundo orden c) Formas cuadráticas y matriz Hessiana d) Método de los mínimos cuadrados e) Calcular los extremos relativos de una función escalar 4.A. Experiencias-Geometría 32
  34. 34. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS Lo importante, a nivel de secundaria y en todos los niveles, no son sólo las destrezas de cálculo y los algoritmos de lápiz y papel, sino una comprensión de las operaciones que permita el uso razonable de las mismas, en paralelo con el desarrollo de la capacidad de estimación y cálculo mental que facilite ejercer un control sobre los resultados para detectar posibles errores. 4.B. Experiencias-Números 33
  35. 35. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS a ) Consideremos el número 6174, reordenemos sus dígitos para construir con ellos el mayor número posible; es decir, coloquémoslo en orden decreciente. Reordenémoslo también para construimos el menor número posible y restemos. Obtenemos así: 7641-1467=6174 que es el número con el que empezamos Joyita 1. Un número curioso, el 6174 4.B. Experiencias-Números 34
  36. 36. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS b) Consideremos otro número por ejemplo 4959. Obtenemos, 9954-4599=5355 Hasta aquí no parece que haya sucedido nada interesante. Hagamos lo mismo con la diferencia 5355   5553-3555=1998. Nada especial. Seguimos con 1998: 9981-1899=8082 8820-0288=8532 8532-2358=6174. Joyita 1. Un número curioso, el 6174 4.B. Experiencias-Números 35
  37. 37. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS ¡Otra vez el dichoso número! Con respecto a este problema, surgen las siguientes preguntas: ¿Siempre será así? ¿Habrá restricciones al problema? Las respuestas a estos dos interrogantes las comenzará a vislumbrar el estudiante al notar que esto siempre ocurre, con la única condición que los cuatro dígitos no sean iguales. Joyita 1. Un número curioso, el 6174 4.B. Experiencias-Números 36
  38. 38. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS <ul><li>A medida que el estudiante se introduzca en la resolución del problema, pueden surgir interrogantes como el siguiente: </li></ul><ul><li>Si ello siempre ocurre, ¿cuál es el número máximo de restas necesarias para obtener el número 6174? </li></ul><ul><li>b) Dado cualquier entero de cuatro dígitos, ¿se puede saber cuántos pasos son necesarios para obtener el 6174? </li></ul>Joyita 1. Un número curioso, el 6174 4.B. Experiencias-Números 37
  39. 39. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS <ul><li>Las respuestas a estos interrogantes las dan las siguientes afirmaciones. </li></ul><ul><li>Siempre es posible llegar al 6174. </li></ul><ul><li>2. El número máximo de pasos es siete. </li></ul><ul><li>3. El número de pasos está determinado por la relación entre los dígitos y no por la forma de ellos. </li></ul>Joyita 1. Un número curioso, el 6174. Operación de Krapekar 4.B. Experiencias-Números 38
  40. 40. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS Es el número natural más pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes: 1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 . Joyita 2. El número de Hardy-Ramanujan: 1729 4.B. Experiencias-Números 39
  41. 41. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS Se dice que un número es el enésimo número taxicab si es el menor número que se puede descomponer como n sumas distintas de dos cubos positivos Joyita 4. Los números taxicab 4.B. Experiencias-Números 40
  42. 42. a ...     a ...     Desde hace algún tiempo se ha recurrido al cine como medio motivador de la divulgación de casi cualquier disciplina o asunto. La presencia de las Matemáticas en el cine se produce a muy diferentes niveles: a) En ocasiones se trata sólo de una escena  centrada en un aspecto matemático (así sucede, por ejemplo, en El crimen desorganizado , Jungla de cristal 3 , 1492 La conquista del Paraíso, El día de la Bestia,  Amanece que no es poco o El enigma de Kaspar Hauser ) o incluso varias escenas ( El Código Da Vinci ). Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C .Experiencias-Sociedad 41
  43. 43. a ...     a ...     b) Otras veces el protagonista es matemático de profesión o alguien dotado de gran talento matemático. c) Las Matemáticas están en el núcleo de una historia de gente corriente, que además es real y con fuerte contenido social. d) Hay títulos de divulgación cuya puesta en escena o su fin de entretenimiento hacen que sobrepasen el género documental y pasen a lo cinematográfico . ……… . Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad 42
  44. 44. a ...     a ...     Pretendemos poner de manifiesto que se pueden promover actividades para llevar al aula, interactivas, para trabajar con lápiz y papel, calculadoras, etc., tomando como base algunas escenas de una película, intentando fomentar el gusto por las Matemáticas a través del cine. ¡Puede parecer extraño! Hemos elegido el film La jungla de cristal III! Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad 43
  45. 45. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad <ul><li>Escena : Tomamos la escena que se sitúa entre los minutos 55:30 y 59:50 del film </li></ul><ul><li>Nivel : Cualquier curso de ESO. </li></ul><ul><ul><li>Tópico : Álgebra. </li></ul></ul><ul><ul><li>¿Qué hacer en el aula? : Este conocido problema aparece en casi todas las colecciones de textos de ESO, sin que corresponda a uno u otro curso. Por eso, tras resolverlo en clase, resulta muy curioso y divertido para el/la estudiante ver los apuros que se pasa frente al problema de un héroe cinematográfico. </li></ul></ul><ul><li>http://www.catedu.es/matematicas_mundo/CINE/cine_Jungla.htm </li></ul>44
  46. 46. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Argumento y contextualización La película La Jungla de Cristal III pone de manifiesto que la matemática puede resolver situaciones perversas : neutralizar una bomba a través de la resolución de un enigma. Simon Zeus-Mclane 45
  47. 47. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Argumento y contextualización Una de esas pruebas consiste en desactivar una bomba que está en una fuente de un parque y explotará en 5 minutos a menos que McCLane consiga depositar sobre ella exactamente 4 galones de agua. Para ello dispone de dos garrafas sin graduar: una de 3 galones y otra de 5. 46
  48. 48. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 1 : Se llena el bidón A de 3 litros y se vierte el contenido en el bidón B de 5 litros:   A B 47
  49. 49. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 2 : Se llena de nuevo el bidón A, y se vierte el contenido en el bidón B hasta el momento en que se llene. ¿Cuál es la situación ahora? En el bidón A hay 1 litro, y el bidón B está lleno.   A B 48
  50. 50. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 3 : Se vacía el bidón B y se vierte el contenido de 1 litro que hay en el bidón A al bidón B   A B A B 49
  51. 51. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 4 : Se rellena de nuevo el bidón de 3 litros y se vierte en el bidón de 5 litros. Obtenemos entonces los 4 litros solicitados.   A B A B 50
  52. 52. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema Con el bidón A, de 3 litros, se pueden obtener 3,6,9,…, 3a litros Con el bidón B, de 5 litros, se obtienen 5,10,15, …, 5b litros 51
  53. 53. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema Si se quiere obtener 4 litros, es, es necesario utilizar los dos bidones y cómo es necesario verter el agua de un bidón a otro. Esto demuestra la necesidad de utilizar números enteros negativos en la resolución del problema. Por eso la solución adoptada en la película por B. Willis y S.L. Jackson, se puede escribir como:   Es decir a=3 ; b=-1 52
  54. 54. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema ¿Se puede obtener cualquier número de litros de agua? El hecho de obtener un litro manipulando los dos bidones de la forma es un resultado interesante, porque permite, reiterando el proceso, obtener un número cualquiera de litros L: 53
  55. 55. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C.Experiencias-Sociedad <ul><li>Profundizando en el problema </li></ul><ul><li>Está claro que no es la solución más económica, por lo que si se solicita menos manipulaciones es necesario un recipiente suplementario que permita almacenar los litros de agua que se vayan midiendo. </li></ul><ul><li>Es evidente que existe infinidad de otras maneras de obtener 4 litros </li></ul><ul><li>¡Este es el momento para proponer en clase que se intente obtener otras soluciones! </li></ul>54
  56. 56. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad <ul><li>Profundizando en el problema </li></ul><ul><li>A partir de este resultado podemos profundizar en el modelo matemático, a través de la teoría de números, que aparece en el problema de los bidones: </li></ul><ul><li>Teorema de Bézout </li></ul><ul><li>Algoritmo de Euclides </li></ul><ul><li>Máximo común divisor </li></ul><ul><li>Teorema de Lamé </li></ul><ul><li>Ecuaciones diofánticas: ax+by=c </li></ul><ul><li>Fracciones continuas </li></ul>55
  57. 57. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Teoremas de Películas La mayor parte de las experiencias audiovisuales que se ha llevado a cabo en las clases de matemáticas han consistido en la visualización de una película o un documental sobre el que luego se intentará trabajar de acuerdo a unas cuestiones. Un resumen magnífico es el trabajo de Pilar Bayent de la Universidad de Cantabria titulado TEOREMAS DE PELÍCULA 56
  58. 58. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Si hay que administrar nuevas cosas en Educación Matemática ... Capacidad de transformar la educación y la sociedad 57 La innovación, clave para el éxito
  59. 59. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Para generar una cultura de la innovación 58 Nuevo lenguaje de la innovación El lenguaje es fundamental para compartir Sin lenguaje es posible pensar, es difícil conocer y es imposible comprender Jorge Wagensberg
  60. 60. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Si “Innovar es introducir novedades en alguna cosa” El reto podría ser pasar de 59 La innovación como suceso La innovación como proceso
  61. 61. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   60 En resumen, la innovación se inspira en ATREVERSE, superar los miedos y cambiar de perspectiva “ El miedo nos indica que estamos entrando en un territorio desconocido, el miedo es la membrana que separa lo nuevo de lo conocido y constituye, así, un interesante indicador de que estamos a punto de abrirnos a algo superior al mundo que estamos acostumbrados. Kornfield, J .
  62. 62. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   ¿Muchas gracias por la atención! 61 [email_address] http://www.uhu.es/18208
  63. 63. a) Cuando viajamos en avión tenemos la oportunidad de observar las distintas formas que la naturaleza y el hombre han generado sobre la piel de la superficie de la Tierra. b) También si nos subimos a un mirador notamos cómo la naturaleza y los humanos “conciben” de diferentes maneras los infinitos elementos que conforman el paisaje. ¿Dónde está diferencia? Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  64. 64. ¿Dónde está diferencia? Hay que encontrarla en la geometría. Por un lado la geometría euclidiana trazada como si un tiralínea se tratara por las máquinas creadas por el hombre, y por otro, la geometría de la curva. Podemos decir que es una lucha de titanes entre dos estilos distintos. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  65. 65. <ul><li>Formas dibujadas </li></ul><ul><li>Por la Tierra </li></ul><ul><li>  </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  66. 66. <ul><li>Formas dibujadas </li></ul><ul><li>Por la Vida </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  67. 67. <ul><li>Formas dibujadas </li></ul><ul><li>Por el Hombre </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  68. 68. Necesidad de medir: el origen de la geometría euclidiana ¿Por qué la humanidad le dio la espalda a las formas sinuosas y ramificadas de la naturaleza y se decantó por la línea recta, el círculo y la esfera? Cuando aparece sobre la tierra, tan sólo tenía tres ejemplos de esa geometría en los que basarse, varias formas que eran distintas a todas las demás: a) La línea del horizonte, una recta interminable y los círculos perfectos en el ocaso del sol y la luna… b) El iris de los ojos de sus congéneres cuando le miraban. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  69. 69. Necesidad de medir: el origen de la geometría euclidiana ¿Por qué hemos roto el patrón natural que venía dibujando la piel de la tierra desde su formación hace cuatro mil años? Una sola respuesta: para medir. La geometría euclidiana es uno de los hitos del pensamiento deductivo que basándose en cinco axiomas crea un sistema de descripción del mundo que colmó las necesidades de las ciencias de la naturaleza, de la historia natural hasta bien entrado el siglo XIX. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  70. 70. a) El pintor Paul Cezanne: &quot;Todo en la Naturaleza puede verse en términos de conos, cilindros y esferas&quot;. Se trata de una sentencia programática en referencia a su estilo pictórico y  nos viene al pelo como descripción de una visión euclidiana de la Naturaleza. SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  71. 71. La réplica la pondría Mandelbrot al contestar: &quot;Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son suaves y nada, excepto la luz, viaja en línea recta &quot;. Si el mensaje de Mandelbrot es que la Naturaleza responde mejor a otro tipo de descripción , sería conveniente que pudiésemos comprobarlo más allá de la simple intuición .  SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  72. 72. SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  73. 73. Midiendo longitudes y volúmenes Una forma de medir la longitud de una curva es aproximarla a la longitud de una serie de pequeñas rectas que la recubren. A ese procedimiento se llama rectificación . Cuanto más pequeñas sean las rectas escogidas para el recubrimiento, más exacta será nuestra medida.     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  74. 74. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir la &quot;longitud total&quot; de un cuadrado? No su perímetro, sino la longitud del cuadrado  por este método de rectificación. ¿Tiene, siquiera, sentido tal pregunta?     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  75. 75.   Cuando hayamos repetido esta tediosa, pero expeditiva operación infinitas veces, podremos decir que hemos recubierto el cuadrado con líneas. No existirá ni un solo punto por el que no pase una línea, ni por ninguno de ellos pasará a la vez más de una. Para hallar matemáticamente el valor de la longitud de la línea que recubre al cuadrado empleamos el límite:     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  76. 76. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el volumen de un objeto geométrico?   Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  77. 77.   a) Nuestra primera aproximación será de nuevo un recubrimiento burdo: una sola caja cúbica que contiene al cuadrado como sección transversal. Así, V 1 = 1·1·1 = 1. b) Dividamos el cuadrado en cuatro pedazos idénticos y sobre cada uno repitamos el proceso anterior: recubrámoslos con cubos de arista correspondiente. Ahora tenemos 4 cubos de volumen 1/2·1/2·1/2 = 1/8. La nueva aproximación será V 2 = 4·(1/2) 3 = 1/2. c) Si volvemos a dividir: V 3 = 16·(1/4) 3 = 1/4. V4 = 64·(1/8) 3 = 1/8 . Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  78. 78. ¡De modo que la longitud de un cuadrado es infinita y el volumen es cero! SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  79. 79. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el perímetro del TRIÁNGULO DE SIERPINSKI?   Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  80. 80. Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir el área de un triángulo por aproximación? Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  81. 81. ¿Sorpresa? El triángulo de Sierpinski es un objeto geométrico de infinita longitud, aunque se encuentra en una región finita del plano, cosa que implica dimensión mayor que uno. Pero a la vez tiene área nula, que indica dimensión menor que 2.    ¿Pero entonces, qué dimensión tiene? Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  82. 82. Definición de autosimilaridad Sea un segmento de longitud L=1. Podemos recubrirlo, por ejemplo, con:    2 segmentos de tamaño 1/2: N=2, R=1/2; (1/2) -1 =2 4 segmentos de tamaño 1/4: N=4, R=1/4; (1/4 )-1= 4 8 segmentos de tamaño 1/8: N=8, R=1/8; (1/8 )-1= 8 Observa que el exponente -1 cambiado de signo coincide con la dimensión 1 de una recta.    Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  83. 83. La relación     N= R -D  nos determina la dimensión D del objeto geométrico .    Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  84. 84. ¿Qué exponente D encontramos al aplicar este método al triángulo de Sierpinski? 3 triángulos de lado 1/2:N=3, R=1/2; (1/2) -D = 3 9 triángulos de lado 1/4:N=9, R=1/4; (1/4) -D = 9 27 triángulos de lado 1/8:N=27, R=1/8; (1/8) –D =27 ……………………………………………… . 3 n triángulos de lado 1/2n:N=3n , R=1/2 n ; (1/2 n ) -D = 3 n   Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  85. 85. ¿Qué exponente D encontramos al aplicar este método al triángulo de Sierpinski? (1/2 n ) -D = 3 n Despejando D : D ln 2 n = ln 3 n Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  86. 86. Definición de autosimilaridad Así la dimensión de autosimilaridad D de un objeto, hecho de N copias exactas a él mismo y reducidas en un factor R, es:    Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  87. 87. <ul><li>Para la línea: </li></ul><ul><li>Para el cuadrado: </li></ul><ul><li>Para el cubo: </li></ul><ul><li>Para el Triángulo de Sierpinski: </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  88. 88. Obtención de fractales Observa el monigote inicial Llamémoslo semilla inicial. Sobre él vamos a ejercer una serie de transformaciones. Creamos tres copias reducidas a 1/3 y las situamos como se observa en la segunda celda. Repetimos el procedimiento con cada nuevo monigote y ... Observa las sucesivas aproximaciones a ... Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  89. 89. a ...     a ...     Obtención de Fractales Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales                                                                                                                                                                            
  90. 90. <ul><li>Para bola de papel arrugado </li></ul>Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales M.A.F. Gomes, “ Fractal geometry in crumpled paper balls ,” American Journal of Physics J. Güémez, “ Talleres de Matemáticas 2005-2006. Dimensiones Fractales ,” Dpto. Física Aplicada, Universidad de Cantabria,
  91. 91. Para bola de papel arrugado Las bolas tienen dimensión fractal, igual a 2.5. Ni son esferas sólidas (dimensión 3) ni son hojas planas (dimensión 2). “Debido a que las esferas no son homogéneas, son superficies autoevitantes, el diámetro de las bolas arrugadas crece más deprisa de lo que aumentaría si fuesen esferas homogéneas.” El valor experimental de la dimensión fractal se puede estimar fácilmente de forma teórica. Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , GEOMETRÍA FRACTAL 4.B. Experiencias-Fractales
  92. 92. a ...     a ...     Desde hace algún tiempo se ha recurrido al cine como medio motivador de la divulgación de casi cualquier disciplina o asunto. La presencia de las Matemáticas en el cine se produce a muy diferentes niveles: a) En ocasiones se trata sólo de una escena  centrada en un aspecto matemático (así sucede, por ejemplo, en El crimen desorganizado , Jungla de cristal 3 , 1492 La conquista del Paraíso, El día de la Bestia,  Amanece que no es poco o El enigma de Kaspar Hauser ) o incluso varias escenas ( El Código Da Vinci ). Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad
  93. 93. a ...     a ...     b) Otras veces el protagonista es matemático de profesión o alguien dotado de gran talento matemático. c) Las Matemáticas están en el núcleo de una historia de gente corriente, que además es real y con fuerte contenido social. d) Hay títulos de divulgación cuya puesta en escena o su fin de entretenimiento hacen que sobrepasen el género documental y pasen a lo cinematográfico ……… . Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad
  94. 94. a ...     a ...     Pretendemos poner de manifiesto que se pueden promover actividades para llevar al aula, interactivas, para trabajar con lápiz y papel, calculadoras, etc., tomando como base algunas escenas de una película, intentando fomentar el gusto por las Matemáticas a través del cine. ¡Puede parecer extraño! Hemos elegido el film La jungla de cristal III! Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad
  95. 95. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad <ul><li>Escena : Tomamos la escena que se sitúa entre los minutos 55:30 y 59:50 del film </li></ul><ul><li>Nivel : Cualquier curso de ESO. </li></ul><ul><ul><li>Tópico : Álgebra. </li></ul></ul><ul><ul><li>¿Qué hacer en el aula? : Este conocido problema aparece en casi todas las colecciones de textos de ESO, sin que corresponda a uno u otro curso. Por eso, tras resolverlo en clase, resulta muy curioso y divertido para el/la estudiante ver los apuros que se pasa frente al problema de un héroe cinematográfico. </li></ul></ul><ul><li>http://www.catedu.es/matematicas_mundo/CINE/cine_Jungla.htm </li></ul>
  96. 96. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Argumento y contextualización La película La Jungla de Cristal III pone de manifiesto que la matemática puede resolver situaciones perversas : neutralizar una bomba a través de la resolución de un enigma. Simon Zeus-Mclane
  97. 97. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Argumento y contextualización Una de esas pruebas consiste en desactivar una bomba que está en una fuente de un parque y explotará en 5 minutos a menos que McCLane consiga depositar sobre ella exactamente 4 galones de agua. Para ello dispone de dos garrafas sin graduar: una de 3 galones y otra de 5.
  98. 98. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 1 : Se llena el bidón A de 3 litros y se vierte el contenido en el bidón B de 5 litros:   A B
  99. 99. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 2 : Se llena de nuevo el bidón A, y se vierte el contenido en el bidón B hasta el momento en que se llene. ¿Cuál es la situación ahora? En el bidón A hay 1 litro, y el bidón B está lleno.   A B
  100. 100. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 3 : Se vacía el bidón B y se vierte el contenido de 1 litro que hay en el bidón A al bidón B   A B A B
  101. 101. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Solución Paso 4 : Se rellena de nuevo el bidón de 3 litros y se vierte en el bidón de 5 litros. Obtenemos entonces los 4 litros solicitados.   A B A B
  102. 102. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema Con el bidón A, de 3 litros, se pueden obtener 3,6,9,…, 3a litros Con el bidón B, de 5 litros, se obtienen 5,10,15, …, 5b litros
  103. 103. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema Si se quiere obtener 4 litros, es, es necesario utilizar los dos bidones y cómo es necesario verter el agua de un bidón a otro. Esto demuestra la necesidad de utilizar números enteros negativos en la resolución del problema. Por eso la solución adoptada en la película por B. Willis y S.L. Jackson, se puede escribir como:   Es decir a=3 ; b=-1
  104. 104. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Profundizando en el problema ¿Se puede obtener cualquier número de litros de agua? El hecho de obtener un litro manipulando los dos bidones de la forma es un resultado interesante, porque permite, reiterando el proceso, obtener un número cualquiera de litros L:
  105. 105. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad <ul><li>Profundizando en el problema </li></ul><ul><li>Notas: </li></ul><ul><li>Está claro que no es la solución más económica, por lo que si se solicita menos manipulaciones es necesario un recipiente suplementario que permita almacenar los litros de agua que se vayan midiendo. </li></ul><ul><li>b) Es evidente que existe infinidad de otras maneras de obtener 4 litros </li></ul><ul><li>¡Este es el momento para proponer en clase que se intente obtener otras soluciones! </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  106. 106. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad <ul><li>Profundizando en el problema </li></ul><ul><li>A partir de este resultado podemos profundizar en el modelo matemático, a través de la teoría de números, que aparece en el problema de los bidones: </li></ul><ul><li>Teorema de Bézout </li></ul><ul><li>Algoritmo de Euclides </li></ul><ul><li>Máximo común divisoR </li></ul><ul><li>Teorema de Lamé </li></ul><ul><li>Ecuaciones diofánticas </li></ul><ul><li>Fracciones continuas </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  107. 107. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva SAPERE AUDE , MATEMATICAS Y CINE 4.C. Experiencias-Sociedad Teoremas de Películas La mayor parte de las experiencias audiovisuales que se ha llevado a cabo en las clases de matemáticas han consistido en la visdualización de una película o un documental sobre el que luego se intentará trabajar de acuerdo a unas cuestiones. Un resumen magnífico es el trabajo de Pilar Bayent de la Universidad de Cantabria titulado TEOREMAS DE PELÍCULA  
  108. 108. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   ¿El escenario actual? ¿Sucede con frecuencia que existen profesores que afirman que esto de las competencias es lo mismo de siempre, que sólo cambian los nombres, pero que ya está todo inventado y no hay nada nuevo? ¿Habría que utilizar argumentos para convencer a esos compañeros de que las competencias básicas suponen un cambio en los planteamientos educativos?
  109. 109. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Si hay que administrar nuevas cosas en Educación matemática ... Capacidad de transformar la educación y la sociedad La innovación, clave para el éxito
  110. 110. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Para generar una cultura de la innovación necesitamos Nuevo lenguaje de la innovación El lenguaje es fundamental para compartir Estamos rodeados de códigos, lenguajes… Sin lenguaje es posible pensar, es difícil conocer y es imposible comprender Jorge Wagensberg
  111. 111. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   Si “Innovar es introducir novedades en alguna cosa” El reto podría ser pasar de La innovación como suceso La innovación como proceso
  112. 112. a ...     a ...     Sixto Romero -Escuela Politécnica Superior-Universidad de Huelva 5. Reflexión Final   En resumen, la innovación se inspira en ATREVERSE, superar los miedos y cambiar de perspectiva “ El miedo nos indica que estamos entrando en un territorio desconocido, el miedo es la membrana que separa lo nuevo de lo conocido y constituye, así, un interesante indicador de que estamos a punto de abrirnos a algo superior al mundo que estamos acostumbrados. Kornfield, J .

×