Paradojas y contradicciones matemáticas. Un enfoque histórico

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Conferencia impartida por Concepción Valdés el 11 de mayo de 2012 en el marco de los Viernes Científicos, actividad organizada por la Facultad de Ciencias Experimentales de la Universidad de Almería

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Paradojas y contradicciones matemáticas. Un enfoque histórico

  1. 1. METAPARADOJAS DE LA MATEMÁTICA “¿Cómo es que hay tantos espíritus que se niegan acomprender las matemáticas? ¿No hay en ello algo de paradójico? Si la matemática se sustenta sobre principios sencillos y un razonamiento lógico que apela al sentido H. Poincaré (1854-1912)común ¿por qué la mayoría la encuentra oscura?” (1908)
  2. 2. METAPARADOJAS DE LA MATEMÁTICA“Es paradójico que, mientras la Matemática tienereputación de ser una de las materias que no tolera lascontradicciones, en realidad posee una prolongada historia de coexistencia exitosa con las P.J. Davis 1923 contradicciones.” (1965)
  3. 3. ¿PORQUÉ SURGEN ESTAS CONTRADICCIONES? “[…]no me mostrabansuficientemente por qué las cosas eran así y cómo se había llegado a descubrirlas. No me extrañaba pues, que muchos hombres inteligentes e instruidos despuésde haber comenzado el estudio delas matemáticas, las olvidaran por R. Descartes pueriles y vacías, o se detuvieran (1596-1650) en su estudio por creerlas muy difíciles y embrolladas.”
  4. 4. ¿PORQUÉ SURGEN ESTAS CONTRADICCIONES?“Las matemáticas presentadasa la manera euclidianaaparecen como una cienciasistemática, deductiva; pero lasmatemáticas en vía deformación aparecen como unaciencia experimental, inductiva” G. Polya (1887-1985)
  5. 5. BORIS GNEDENKO (1912-1995) NuevosProblemas Métodos yConcretos Resultados NUEVA Conceptos TEORÍA Abstractos
  6. 6. ¿DÓNDE BUSCAR UNA SOLUCIÓN?Génesis de conceptos y teoremasEjemplos y contraejemplos notablesPapel del razonamiento lógico- deductivo HISTORIA DE LA MATEMÁTICA Problemas y Selección y situaciones adecuación paradójicas
  7. 7. Paradoja (en sentido amplio) Una afirmación verdadera que parecefalsa, o una afirmación falsa que parece ser verdaderaEl descubrimiento de un contraejemplo a una idea ampliamente aceptada
  8. 8. PARADOJASRELACIONADAS CON EL INFINITO
  9. 9. PARADOJA DEL MOVIMIENTO (ZENÓN) A B A1 A2 A3 1 1 1 1/26 1 + + 2 + ... + n + ... = 2 1/25 2 2 2 1/2 1/24 0,333… = 1/3 1/23 0,9999… = 1 1/22
  10. 10. Discursos yDemostraciones Matemáticas Galileo Galilei 1638
  11. 11. E D M L F N K C LA H I O P Y Z T A B Q X SRUEDA DEGALILEO
  12. 12. LA TROMPETA DE TORRICELLI ∞ ∞ dy ∫ dy A( F ) = ∫ 1 y =∞ V =π 2 =π 1 y x=1/y   y>1   F1 1
  13. 13. “…tratamos con infinitos eindivisibles, los cualesnuestra mente finita nopuede entender debido ala inmensidad de unos y lapequeñez de los otros“ Galileo Galilei (1638) Thomas Hobbes (1672) “para entender el sentido de esto, no se requiere que el hombre sea un lógico o un geómetra, sino que deberá estar demente”.
  14. 14. PARADOJASRELACIONADAS CON EL AZAR
  15. 15. “La teoría de probabilidades contiene consideraciones tan delicadas, que no es sorprendente que con los P.S. Laplacemismos datos dos personas (1749-1827) encuentren resultadosdiferentes, sobre todo en las cuestiones muy complicadas.
  16. 16. REPARTICIÓN EQUITATIVA DE LA APUESTASe juega hasta 6 ptos. con apuesta de 22 ducados. Se suspende el juegocuando los jugadores tienen 5 y 3 ptos. ¿Cómo repartir la apuesta? “Proporcional a juegos ganados” (1494) 58 y 38G. Cardano L. Pacioli1501-1576 1445-1517 “Lo importante no son las partidas jugadas, sino las que quedan” (1539) 67 y 17
  17. 17. J1: falta ganar 1 J2: faltan ganar 2J1: “Si gano la próxima partida lo recibotodo, si pierdo estamos en igualdad decondiciones y me corresponde la mitad.Así que debo recibir 3a / 4.”J1: 1 J1: n (2 n − 1) 2 n y 12 n B. Pascal 1654 1623-1662 n=3: 7/8 y 1/81 1 1 1 1 2 + 3 partidas imaginarias1 2 1 1 2 22 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 P. Fermat 1601-1665
  18. 18. PARADOJAS DE BERTRAND J.L. Bertrand (1822-1900) 1888
  19. 19. LOS COFRES DE BERTRAND A 1. Se selecciona un cofre D D 2. Se abre una de sus I II gavetas ! moneda D B ¿Probabilidad de que la D P R1 otra moneda sea P ? I II Probabilidad =1/2 C A o BR2 ¡¿?! P I P II AI , AII , BI Probabilidad =1/3 Probabilidad Condicional
  20. 20. LA TRAMPA DE MONTY HALL 1 2 3 M ¿Desea cambiar a la puerta 2 o se queda con la 1? Carro (1/3) M escoge cualquieraP1 Cabra A (1/3) M escoge cabra B Cabra B (1/3) M escoge cabra A Carro en P2 (Pob. = 2/3)
  21. 21. PARADOJA DE LA CUERDA Encontrar la probabilidad de que una cuerda,tomada al azar en una circunferencia, sea mayorque el lado del triángulo equilátero inscrito en ella.1. Extremo fijo 1 2. Dirección fija 1 p= p= 60º 3 2 60º 60º ¡Mal propuesto! 1 1/2Ángulo dist. unif. Centro cuerda dist. unif.
  22. 22. ¿Qué se puede lograr? Modificación paulatina de las creencias acerca de qué es la matemática y cómo se desarrolla Significativa humanización de la matemática y los matemáticos. Cultura del “debate” y la “crítica” matemática ¿Cuáles son la dificultades? Ausencia de textos y materiales adecuadosFormación tradicional de profesores y matemáticos

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