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Metodo de imagenes
 

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Método de imágenes

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    Metodo de imagenes Metodo de imagenes Document Transcript

    • FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 27 MÉTODO DE LAS IMÁGENESIdeado por Lord Kelvin en 1848. El método de imágenes, es de uso frecuente para deter-minar  , E , D y  debidos a cargas en presencia de conductores. Este métodoprescinde de la ecuación de Poisson o Laplace, pues se fundamenta en el supuesto deuna superficie conductora equipotencial. Aunque no es aplicable a cualquier problemaelectrostático, puede simplificar problemas muy complejos.La teoría de las imágenes establece que una configuración de carga dada sobre un planoconductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la propiaconfiguración de carga, su imagen y una superficie equipotencial en sustitución del planoconductor.En la figura (a), se muestran ejemplos comunes de distribuciones de carga puntual, lineal yvolumétrica, mientras que en la figura (b), aparecen sus correspondientes configuracionesde imagen. Q   Q   Q   a bLa aplicación del método de imágenes, exige invariablemente el cumplimiento de doscondiciones:1. La carga o cargas de imágenes deben situarse en la región conductora.2. La carga o cargas de imágenes deben situarse de tal forma que en la superficie o superficies conductoras el potencial sea de cero o constante.La primera condición es necesaria para satisfacer la ecuación de Poisson, en tanto que lasegunda garantiza la satisfacción de las condiciones en la frontera.Apliquemos la teoría de las imágenes al caso de una carga puntual sobre un planoconductor a tierra.En la siguiente figura se esquematizan las líneas de campo para la carga original y para elconjunto de carga original + carga imagen. Las líneas de campo son perpendiculares a lasuperficie límite donde se induce una carga.
    • FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 28Carga Puntual sobre un plano conductor a tierraConsideremos la existencia de una carga puntual Q colocada a una distancia h de un planoconductor perfecto de extensión infinita, tal como se observa en la figura a . Laconfiguración de imágenes es mostrada en la figura  b  . Líneas de campo eléctrico h h h a bSe requiere determinar el campo E y el potencial eléctrico  producido por dicha cargapuntual en un punto de estudio M  x, y, z  . Adicionalmente, se determinará la densidad decarga superficial inducida por sobre el plano conductor. E  M   E  M   E  M  1 Q r1 1 Q r2 E M    4 | r1 | 4 | r2 |3 3 M x, y , z r1 Q  0, 0, h  r2 Q  0, 0, h 
    • FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 29 Donde los vectores r1 y r2 están dados por: r1   x, y, z    0, 0, h    x, y, z  h   x x  y  y   z  h   z r2   x, y, z    0, 0, h    x, y, z  h   x  x  y  y   z  h   z   Q  x x  y  y   z  h   z x x  y  y   z  h  z  E M      4   x 2  y 2   z  h 2  3/ 2  x 2  y 2   z  h 2  3/ 2       Nótese el hecho de que cuando z  0 , E  M  solo cuenta con la componente z , lo queconfirma que el campo eléctrico es normal a la superficie conductora, tal como se aprecia enla siguiente figura.A continuación pasaremos a determinar el potencial aplicando nuevamente el principio desuperposición, es decir: Q Q   M     M     M    4 | r1 | 4 | r2 |   Q  1 1  , donde   x, y, z   0 si z  0  M    4  x2  y 2   z  h  2 x2  y 2   z  h  2    Para obtener la densidad de carga inducida en el plano conductor infinito, dicha densidad puede ser determinada por aplicación del Teorema de Gauss a un cilindro recto de altura muy pequeña y bases paralelas a la frontera, una a cada lado, tal como se muestra en la siguiente figura. Alternativamente, también puede ser determinada mediante la segunda condición de frontera.
    • FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 30 | Dsale |  | Dhinca |  Libre   Q  2h   Libre   | Dhinca |z 0   | E |z 0   4   x 2  y 2  h 2 3/ 2    Qh  Libre    C /m 2    2  x  y  h 2 2  2 3/ 2Nótese que la densidad de carga inducida es negativa, porque el campo y la normal a lasuperficie gaussiana tienen sentidos opuestos. La siguiente figura esquematiza la ecuaciónde la densidad superficial de carga inducida sobre el plano conductor infinito,A continuación, vamos a comprobar que la carga inducida en el plano conductor infinito esidéntica a la carga inductora pero con signo opuesto. y  x  Qh dx dy Qind    Libre dS     2  x 2  y 2  h 2  3/ 2 A y  x Haremos el siguiente cambio de variable para facilitar la obtención de la integral: r 2  x 2  y 2 , z  0, dx dy  r dr d , resultando
    • FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 31 y  2 r  r  r  Qh r dr d Qh r dr r dr Qind      2    Qh  2 r  2 3/ 2 2 r  2 3/ 2 r  h2  3/ 2  0 r 0 2 h r 0 2 h r 0 2 Qh r  Qind  | r 0  Q  l.q.q.d . r 2  h22.4 Una carga puntual Q se localiza en el punto  a, 0, b  entre dos planos conductoressemiinfinitos que intersecan en ángulo recto, tal como se muestra en la figura. Determine elpotencial eléctrico producido en el punto M  x, y, z  y la fuerza que actúa sobre Q . z a Q b xLos diagramas correspondientes para la determinación del potencial eléctrico y la fuerzaeléctrica, se aprecian en los esquemas  a  y  b  siguientes.
    • FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 32 z z M  x, y , z  F3 r2 r1 F2Q Q Q Q F1 b r3 b r4 x x a aQ Q Q Q a bLa configuración de imágenes se muestra en el esquema  a  , donde se aprecian que trescargas imagen son necesarias para satisfacer las condiciones enunciadas en el presentecapítulo. El potencial eléctrico en el punto de observación M  x, y, z  es la superposiciónde los potenciales producidos por las cuatro cargas puntuales, es decir: Q  1 1 1 1   M        , donde: 4 o  | r1 | | r2 | | r3 | | r4 |  1/ 2 | r1 |  x  a   y 2   z  b   2 2   1/ 2 | r2 |  x  a   y 2   z  b   2 2   1/ 2 | r3 |  x  a   y 2   z  b   2 2   1/ 2 | r4 |  x  a   y 2   z  b   2 2  Para la determinación de la fuerza que actúa sobre Q , se tomará como referencia la figuramostrada en el esquema  b  , de donde: FR  F1  F2  F3
    • FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO ING. ALBERTO TAMA FRANCO - ESPOL 33 Q2 Q2 Q2 FR   z     x    2ax  2bz  4 o  2b  4 o  2a  2 2 3/ 2 4 o  2a    2b   2 2   Q2 Q2 Q2 FR   z    x    2ax  2bz  16 ob 2 16 o a 2 32 o  a 2  b 2  3/ 2     Q2  1 1 a b FR   2 z  2 x  x  z  16 o  b  a 2  b2   a 2  b2   3/ 2 3/ 2 a         Q2   a 1  b 1  FR    2 x   2 z  16 o    a 2  b 2  3/ 2 a    a 2  b2 3/ 2 b        Se deja como ejercicio para el lector, la obtención de la intensidad de campo eléctricoproducido en el punto de observación M  x, y, z  , así como también la determinación de lacarga inducida en los planos conductores.En general, cuando la metodología de las imágenes se aplica a un sistema consistente enuna carga puntual entre dos planos conductores semiinfinitos inclinados en un ángulo  ,medido en grados, el número de imágenes N está dado por: Q  360o  N   1Q Q      60o En la gráfica anexa, se muestra una carga puntual Q contenida entre dos paredes conductoras semiinfinitas e inclinadas entre sí en un ángulo   60o . Se aprecia que elQ Q número de cargas imagen son cinco. Q