LA LINEA RECTA

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LA LINEA RECTA

  1. 1. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO<br />DE QUINTANA ROO<br />CENTRO DE SERVICIOS NO. 16 EMSAD BLANCA FLOR<br />MATEMATICAS III<br />UNIDAD II. LA LINEA RECTA<br />ING. FELIPE DE JESÚS TOX PEREYRA<br />RUBRO 1.3.1.10<br />CLAVE: PE08-B/34-01-02<br />PERIODO DE APLICACIÓN: 2009-B<br />
  2. 2. UNIDAD II<br />La línea recta<br />Objetivo: <br />El estudiante resolverá problemas teóricos o prácticos que involucren de la línea recta, aplicando e integrando de manera crítica y reflexiva, los conceptos, técnicas y procedimientos básicos de la Geometría analítica, mediante el empleo de distintas formas de la ecuación de la recta y sus transformaciones, gráficas, ecuaciones y propiedades de la recta, así como las ecuaciones de rectas notables en un triángulo; que apliquen en distintos ámbitos del entorno físico en el que se desenvuelve; colaborando a generar un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad e interés científico.<br />
  3. 3. 2.1 ECUACIONES Y PROPIEDADES DE LA RECTA<br />2.1.1. Forma punto – pendiente<br /><ul><li>La recta como lugar geométrico</li></ul>Se llama línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2), el valor de la pendiente (m) es siempre la misma y puede calcularse a partir de la siguiente expresión:<br />Geométricamente es la distancia más corta entre dos puntos.<br /> Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables.<br />
  4. 4. Si de una recta se conocen las coordenadas de un punto P1(x1,y1) y el valor de su pendiente m, entonces la ecuación de la recta puede determinarse mediante la expresión: <br /> que se conoce como forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.<br />Ejemplo:<br /> Si m=2 y la recta pasa por el punto P(-1,2), entonces: <br />Esta expresión es la ecuación de la recta con las condiciones dadas.<br />
  5. 5. Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos<br />Si la recta pasa por dos puntos conocidos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), que pertenecen a una misma recta, entonces la ecuación de dicha recta puede determinarse a partir de la siguiente expresión:<br />Ejemplo: Si una recta pasa por los puntos A (5,-2) y B (-3,1), su ecuación se determina de la siguiente manera:<br />Esta expresión es la ecuación de la recta con las condiciones dadas.<br />
  6. 6. El caso especial de la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, en que se conoce el valor de la pendiente m y la ordenada al origen (intersección de la rectacon el eje Y), determinado por el punto P1(0,b), está dado por la expresión:<br /> a esta expresión se le conoce también como la forma Ordinaria o Común de la ecuación de la recta. <br />Gráficamente:<br />2.1.2 Forma pendiente ordenada al origen<br />Y<br />Ejemplo: Si la pendiente de una recta es m=-2 y su ordenada al origen es el punto A(0,-3), entonces la ecuación de dicha recta es:<br />P1(0,b)<br />P(x ,y )<br />X<br />
  7. 7. 2.1.3. FORMA SIMÉTRICA<br />Y<br />Si los puntos conocidos de una recta son las intersecciones de la misma con los ejes coordenado, entonces su ecuación puede determinarse a partir de la siguiente expresión:<br />A esta expresión también se le conoce como forma Canónica de la ecuación de la recta.<br />B(0,b)<br />A(a ,0 )<br />X<br />Ejemplo: si las intersecciones de una recta con los ejes coordenados son los puntos A(-3,0) y B(0,5), su ecuación tiene la forma:<br />
  8. 8. 2.1.4. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA<br />La forma General de la Ecuación de la Recta es una ecuación lineal en dos variables, generalmente x e y, representada como:<br />Características esenciales :<br /><ul><li>A, B y C son números reales cualesquiera.
  9. 9. El valor de A o B no puede ser cero.
  10. 10. El valor de C puede o no ser cero.
  11. 11. Si se despeja la variable y se llega a la ecuación ordinaria de la recta, por lo que es posible conocer el valor de pendiente y la ordenada al origen.</li></li></ul><li>No toda ecuación de la forma : puede representar una recta. Para ello es necesario analizar su comportamiento, estableciendo los posibles casos de relación entre los coeficientes A, B y C, como se muestra a continuación:<br />Conclusiones:<br />De los valores de A y B, por lo menos uno debe ser diferente de cero.<br />La recta queda determinada por dos condiciones:<br /> <br />cuando se conocen dos de sus puntos y<br />cuando se conocen un punto y la dirección de ella (pendiente).<br />
  12. 12. 2.2 CONVERSIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA A LA FORMA GENERAL Y VICEVERSA.<br />Cada una de las formas de representar la ecuación de una recta proporciona información sobre las características de dicha recta en particular, así tenemos que:<br />
  13. 13. La ecuación de la recta en su forma general puede transformarse a cualquiera de las otras formas: común u ordinaria y simétrica o canónica y viceversa.<br /><ul><li>Conversión de Ax+By+C=0 en y=mx+b
  14. 14. Para convertir la ecuación de la recta de la forma general a la ordinaria o común, basta con despejar el valor de y, como sigue:</li></ul>Sustituyendo se obtiene:<br />Que es la forma ordinaria de la ecuación de la recta.<br /><ul><li> De lo anterior se sabe que: </li></ul> El valor de la pendiente es:<br /> La ordenada al origen es: <br />
  15. 15. Conversión de la forma general a la forma simétrica o canónica.<br />Para transformar la ecuación general de la recta a su forma simétrica, a partir del siguiente procedimiento:<br /><ul><li>Las intersecciones de la recta con los ejes coordenados son:
  16. 16. La Intersección con el eje X es:
  17. 17. La intersección con el eje Y es: </li></ul>Sustituyendo, se obtiene:<br />
  18. 18. Ejemplo: Transformar la ecuación general de la recta 4x+5y+20=0 a su forma ordinaria y simétrica. <br />
  19. 19. Gráficamente: <br />
  20. 20. La línea recta y la ecuación general de primer grado<br />La ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos variables.<br />Toda ecuación de la forma Ax+By+C=0, donde A y B no son simultáneamente cero, representa una línea recta.<br />Identificación de recta en la ecuación de primer grado:<br /><ul><li>Ax+By+C=0 Con
  21. 21. Ax+By=0 Pasa por el origen
  22. 22. Ax+C=0 Recta vertical
  23. 23. By+C=0 Recta horizontal</li></ul> En cada caso los coeficientes escritos son distintos de cero y los que no están son cero. <br />
  24. 24. 2.1.5. FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA<br />La forma normal de la ecuación de la recta se expresa en términos de las funciones seno y coseno, como sigue:<br /><ul><li>Donde:</li></ul>p es un número positivo, numéricamente igual a la longitud de la recta normal (perpendicular), trazada desde el origen a la recta.<br />ω es el ángulo positivo menor de 360º medido a partir de la parte positiva del eje X a la recta normal.<br />Ejemplo. En un círculo con centro en el origen y radio igual a 5 hallar la ecuación, en su forma normal, de la recta tangente en el punto (3,4).<br />Solución: <br />De la figura se sabe que p=5; <br />Por lo tanto, la ecuación de la recta en su forma normal, es:<br />
  25. 25. Obtención de la forma normal a partir de la forma general<br />Para transformar una ecuación de la recta dada en su forma general a la forma normal, basta con dividirla entre , es decir:<br /><ul><li>Donde </li></ul> A y B son los coeficientes lineales de la Ecuación de la recta en su forma general.<br /><ul><li>Además el signo del radical se escoge de acuerdo a lo siguiente:
  26. 26. Si C≠0, el radical es de signo contrario a C.
  27. 27. Si C=0 y B≠0, el radical y B tienen el mismo signo.
  28. 28. Si C y B son cero y A≠0, el radical y A tienen el mismo signo.</li></ul>Ejemplo: Transformar la recta 3x+4y+2=0 a la forma normal.<br />De la ecuación general se sabe que A=3, B=4 y C=2, además C≠0 y positivo, por lo tanto el signo del radical r es negativo, según el primer criterio. Entonces:<br />Por lo tanto la ecuación de la recta en su forma normal es:<br />
  29. 29. Normal a una recta y distancia al Origen<br />La distancia de un punto P(x1,y1) a una recta L, se define como la longitud perpendicular trazada desde dicho punto hasta la recta.<br />Si la esta distancia d se considera absoluta, entonces, ésta puede determinarse sustituyendo las coordenadas de dicho punto en la ecuación de la recta en su forma normal; es decir:<br />2. Si la esta distancia d se considera dirigida, entonces, ésta puede determinarse sustituyendo las coordenadas del punto dado en la siguiente expresión: <br />
  30. 30. Criterios para calcular la distancia dirigida, por la posición de la recta dada: <br />Si la recta dada no pasa por el origen del sistema coordenado, entonces la distancia es:<br />Positiva cuando el punto dado P1(x1,y1) y el origen estén en lados opuestos de la recta.<br />Negativa cuando el punto dado P1(x1,y1) y el origen estén del mismo lado de la recta.<br />Si la recta dada pasa por el origen, la distancia es:<br />Positiva si el punto dado P1(x1,y1) por arriba de la recta.<br />Negativa si el punto se encuentra por debajo de la recta<br />(1)<br />(2)<br />(3)<br />(4)<br />
  31. 31. Distancia perpendicular desde el origen hacia una recta<br />Para el caso particular en que el punto dado es el origen: P1(x1,y1)=(0,0), la distancia d, se obtiene a partir de:<br />Esta distancia puede también determinarse a partir de la ecuación de la recta en su forma normal: <br />Ejemplo: Determinar la distancia de la recta 2x+3y-4=0 hacia el origen.<br />Como la distancia es absoluta, tenemos que:<br />Nota: Si la distancia fuera dirigida, entonces el signo de la distancia seria negativo, porque el punto se encuentra por debajo de la recta.<br />
  32. 32. Distancia entre dos rectas paralelas<br />Para calcular la distancia entre dos recta que son paralelas, se consideran dos casos:<br />Si el origen se encuentra entre las dos rectas como se muestra en la figura, entonces la distancia total es la suma:<br />d= d1+d2<br /> d1 y d2, se calculan aplicando la expresión para la distancia del origen a cada una de la rectas.<br />2. Si el origen no se encuentra entre la rectas paralelas, se determinan las intersecciones con los ejes coordenados de la recta L1, como se ve en la figura: M(0,y) y N(x,0). <br /> La distancia se calcula sustituyendo cualquiera de las intersecciones y los coeficientes de la recta L2, en la expresión que corresponde a la distancia de un punto a una recta. <br />(1)<br />(2)<br />
  33. 33. 2.2. ECUACIONES DE RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO<br />Ecuación de la Bisectriz<br /> La bisectriz es el segmento de recta que divide al ángulo en dos partes iguales.<br /><ul><li>La ecuación de la bisectriz se determina mediante las siguientes consideraciones:
  34. 34. La distancia desde el punto Q hacia cada una de las rectas es la misma: PQ=QR.
  35. 35. El signo de la distancia RQ es negativa, puesto que Q se sitúa por debajo de la recta AC.</li></ul> Por lo tanto la ecuación de la bisectriz se determina a partir de: <br />Este planteamiento se repite para cada bisectriz de cada ángulo del triángulo y las relaciones con sus respectivos lados.<br />
  36. 36. Ecuación de la Mediatriz<br />La mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento<br />Consideraciones para determinar la ecuación de la mediatriz para el lado BC del triángulo:<br />Se determinan las coordenadas del punto medio Pm(xm,ym) del lado del triángulo a partir de:<br />Se determina la pendiente mBC del lado BC, a partir de la ecuación de dicho lado, es decir:<br />Como el lado AB y la mediatriz son perpendiculares entonces la pendiente de la mediatriz (mM) es recíproca y negativa de mBC , por lo que:<br />La ecuación de la mediatriz se determina a partir de forma punto-pendiente de la recta con las coordenadas del punto medio y la pendiente ya conocida, es decir:<br />Este planteamiento se repite para cada uno de los lados del triángulo y su mediatriz y punto medio.<br />
  37. 37. Ecuación de la Altura<br />La altura es el segmento que se traza perpendicularmente desde un lado del triángulo y pasa por el vértice opuesto a éste.<br />Para determinar la ecuación de la altura (perpendicular al lado AB) del triangulo, de la figura, se procede como sigue:<br />Se determina la ecuacióndel lado AB del triangulo: Ax+By+C=0; usando la expresión para la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.<br />Se determina la pendiente del lado AB, como:<br />Como el lado AB y la altura son perpendiculares entonces la pendiente de la altura (mh) es recíproca y negativa de mAB , por lo que:<br />La ecuación de la altura se determina a partir de la forma punto-pendiente de la recta, con el valor de la pendiente mh y las coordenadas del vértice por donde pasa la altura, es decir:<br />El procedimiento se repite para cada uno de los lados del triángulo y su respectiva altura y vértice opuesto. <br />
  38. 38. Ecuación de la mediana<br />La mediana en un triángulo es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto. <br />Para determinar la ecuación de la mediana AP del triángulo de la figura, se procede como sigue: <br />Determinarlas coordenadas del punto medio, Pm(xm,ym), del segmento BC.<br />Usar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, usando las coordenadas de A y P, es decir:<br />Realizar las operaciones para obtener la ecuación de la Mediana.<br />El procedimiento se repite para cada uno de los lados del triángulo y su respectivas medianas y puntos medios.<br />Nota: otro procedimiento consiste en calcular la pendiente de la mediana, y usar la forma punto-pendiente de la recta, usando indistintamente el punto A ó Pm . <br />
  39. 39. BIBLIOGRAFÍA <br />Salazar Vázquez Pedro, Cuellar M.L. Matemáticas III. México, Ed. Nueva Imagen, 2007.<br />Ortiz Campos Francisco. Matemáticas III, Geometría Analítica. México Ed. Publicaciones Cultural. Primera Edición, 2005.<br />Lehmann, Charles. Geometría Analítica. México. Ed. Limusa. 2006<br />Garza Olvera, Benjamín. Matemáticas III, Geometría Analítica. México. Colección DGTI.1998. <br />

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