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Ct 018 Analisis De Redes Con Componentes SiméTricas
 

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    Ct 018 Analisis De Redes Con Componentes SiméTricas Ct 018 Analisis De Redes Con Componentes SiméTricas Document Transcript

    • Cuaderno Técnico nº 018 Análisis de las redes trifásicas en régimen perturbado con la ayuda de las componentes simétricas Benoit de Metz-Noblat
    • La Biblioteca Técnica constituye una colección de títulos que recogen las novedades electrotécnicas y electrónicas. Están destinados a Ingenieros y Técnicos que precisen una información específica o más amplia, que complemente la de los catálogos, guías de producto o noticias técnicas. Estos documentos ayudan a conocer mejor los fenómenos que se presentan en las instalaciones, los sistemas y equipos eléctricos. Cada uno trata en profundidad un tema concreto del campo de las redes eléctricas, protecciones, control y mando y de los automatismos industriales. Puede accederse a estas publicaciones en Internet: http://www.schneiderelectric.es Igualmente pueden solicitarse ejemplares en cualquier delegación comercial de Schneider Electric España S.A., o bien dirigirse a: Centro de Formación Schneider C/ Miquel i Badia, 8 bajos 08024 Barcelona Telf. (93) 285 35 80 Fax: (93) 219 64 40 e-mail: formacion@schneiderelectric.es La colección de Cuadernos Técnicos forma parte de la «Biblioteca Técnica» de Schneider Electric España S.A. Advertencia Los autores declinan toda responsabilidad derivada de la incorrecta utilización de las informaciones y esquemas reproducidos en la presente obra y no serán responsables de eventuales errores u omisiones, ni de las consecuencias de la aplicación de las informaciones o esquemas contenidos en la presente edición. La reproducción total o parcial de este Cuaderno Técnico está autorizada haciendo la mención obligatoria: «Reproducción del Cuaderno Técnico nº 018 de Schneider Electric».
    • Cuaderno Técnico no 018 Análisis de las redes trifásicas en régimen perturbado con la ayuda de las componentes simétricas Benoit de METZ-NOBLAT Ingeniero ESE, trabajó en Saint Gobain como Ingeniero de investigación y después en la sección de pruebas y equipos nuevos en una empresa de producción. Entró en Merlin Gerin en 1 986, trabajando como Ingeniero en el servicio de estudios de redes, especializándose en el estudio de las sobretensiones, armónicos y la estabilidad dinámica de las redes. Trad.: E. Milà; J.M. Giró Original francés: diciembre 1 990 Versión española: marzo 2 000
    • Análisis de las redes trifásicas en régimen perturbado con la ayuda de las componentes simétricas La determinación de las dimensiones de una instalación y los materiales que la componen, la regulación de las protecciones y el análisis de los fenómenos eléctricos precisan, a menudo, el cálculo de las corrientes y las tensiones presentes en las redes. El desarrollo de este Cuaderno Técnico persigue, como finalidad primordial, la presentación o recordatorio de un método simple de cálculo (con la ayuda de las componentes simétricas) de todos los parámetros en las redes trifásicas en régimen perturbado. 1 Presentación p. 5 2 Repaso matemático de la 2.1 Representación vectorial de un fenómeno físico p. 6 teoría de vectores 2.2 Definición de base p. 6 2.3 Representación vectorial p. 7 2.4 Componentes simétricas p. 8 2.5 Descomposición de un sistema trifásico en p. 9 sus componentes simétricas 2.6 Cálculo de las componentes simétricas p. 10 2.7 Conclusión: aplicación a la electrotecnia p. 11 3 Aplicaciones elementales 3.1 Método de cálculo de los regímenes desequilibrados p. 12 3.2 Defecto fase-tierra (llamado defecto homopolar) p. 13 3.3 Defecto bifásico a tierra p. 15 3.4 Defecto trifásico p. 16 3.5 Red con cargas desequilibradas p. 17 3.6 Impedancias asociadas a las componentes simétricas p. 18 3.7 Formulario de recapitulación p. 20 4 Ejemplos resueltos 4.1 Ejemplo 1: Poder de corte de un interruptor automático p. 23 4.2 Ejemplo 2: Poder de corte de un interruptor automático p. 24 4.3 Ejemplo 3: Regulación de protecciones homopolares en una p. 28 red MT con neutro a tierra 4.4 Ejemplo 4: Medición de las componentes simétricas de p. 30 un sistema de tensión y de corriente Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 4
    • 1 Presentación Si consideramos el funcionamiento en régimen El método general, aplicando de las leyes de normal equilibrado simétrico, el estudio de las Ohm y de Kirchhoff, es posible, pero resulta redes trifásicas puede reducirse al estudio de largo y complicado. una red monofásica equivalente de tensiones El método de las componentes simétricas, iguales a las tensiones simples de la red, de descrito en el presente documento, simplifica corrientes iguales a las de la red e impedancias los cálculos y permite una solución mucho más iguales a las de la red, denominadas fácil que la superposición de tres redes impedancias cíclicas. monofásicas independientes. Después de Al aparecer una asimetría significativa en la repasar las nociones vectoriales, se aplica este configuración de la red, ya no es posible aplicar método a los diferentes tipos de cortocircuito, la simplificación, pues no podemos establecer acabando con unos ejemplos de casos las relaciones entre los diferentes conductores prácticos reales. con la ayuda de una impedancia cíclica para cada elemento de la red. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 5
    • 2 Repaso matemático de la teoría de vectores 2.1 Representación vectorial de un fenómeno físico Un fenómeno físico vibratorio es senoidal n Recíprocamente, se puede hacer cuando la elongación de un punto vibrante es corresponder un vector giratorio a cualquier una función senoidal del tiempo función senoidal x = a cos (ωt + ϕ) x = a cos (ωt + ϕ). Esta aplicación es perfectamente conocida en Por convenio, se representa la función x por el uuuu r electrotecnia, donde tanto corrientes como vector OM en la posición que ocupa en el tensiones son fenómenos senoidales. instante inicial t = 0; el módulo del vector uuuu r representa lauuu uuuu amplitud, a, de la función senoidal, n Consideremos un vector uuu de módulo a, r r ( uuu OM r r ) girando sobre el plano Ox, Oy alrededor de su ( ) y el ángulo Ox, OM representa su fase inicial. origen O con una velocidad angular constante ω n Por tanto, el estudio de un fenómeno físico (figura 1). senoidal puede reducirse al estudio del vector uuu uuuu r r ( Si en el instante inicial t = 0, el ángulo Ox, OM ) que le corresponde, lo que es muy interesante, porque la utilización matemática de los vectores tiene un valor ϕ, en el instante t, tendrá un valor (ωt + ϕ). es accesible. Se aplica en particular al dominio uuuu r de los fenómenos eléctricos trifásicos en los que Proyectamos el vector corriente OM sobre el eje uuu r las tensiones y corrientes están representadas Ox . El valor algebraico de esta proyección es, por vectores giratorios. en el instante t x = a cos (ωt + ϕ). Con lo que: y o el movimiento de la proyección rdel extremo uuu del vector giratorio sobre el eje Ox es un M IaI movimiento senoidal de amplitud a, igual al t módulo de este vector, -a O x x +a o la pulsación ω del movimiento senoidal es igual a la velocidad angular del vector giratorio, o la fase inicial ϕ es igual al uuu ángulo formado por r el vector giratorio con el eje Ox en el Fig. 1. instante t = 0. 2.2 Definición de base ur n Sea un fenómeno eléctrico pulsatorio n El vector V , cuyo origen se sitúa en O, se senoidal, representado por un vector giratorio uur caracteriza esencialmente por: V (figura 2). ur o una amplitud V : en un instante dado, la n Se toma previamente sobre el plano: longitud del vector es numéricamente igual al uuu r módulo de la amplitud máxima del fenómeno, o un eje de referencia Ox de vector unitario uu uu r r o una fase ϕ: es, en un instante dado, el ángulo x : x = 1, uuu ur r ur ( ) Ox, V , que forma V con el eje de referencia o un sentido de rotación, convencionalmente uuu r definido como positivo en el sentido Ox , teniendo en cuenta el sentido de rotación antihorario + . adoptado. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 6
    • o una pulsación: es la velocidad de rotación constante del vector, en radianes por segundo. Se expresa habitualmente en revoluciones por segundo y en tal caso da la frecuencia del fenómeno expresada en Hz (1 Hz = 2 π rad/s). + V n Un sistema trifásico es un conjunto de 3 → → → vectores V1, V2, V3 con origen común, de igual O pulsación y que tengan cada uno una amplitud x x constante. n Un sistema eléctrico es lineal cuando presenta proporcionalidad de relación causa- efecto. Fig. 2. 2.3 Representación vectorial → El vector V se representa clásicamente en un sistema de ejes de coordenadas rectangulares y + (figura 3): ur uuuu uuur uuur r r r Y M V = OM = OX + OY = OX. x + OY . y n Operador «j» V Para facilitar las operaciones con los vectores, uur y V puede representarse de forma equivalente O x X x con un número complejo utilizando el operador «j». Fig. 3. «j» es un operador vectorial que consiste en girar el vector al que se aplicauuu ángulo de un uu r r + π/2; por tanto, en la figura, jx = y . aV + Por tanto, se ve que: 120o  π  j2 = −1  rotación de 2 x = π 120o V  2  120o  π 3π  j = − j  rotación de 3 x 3 =   2 2  a2 V  π  j4 = +1  rotación de 4 x = 2π  Fig. 4.  2  a2 hace girar un vector un ángulo: de donde: ur r uu r r 2π 4π 2π  ( V = OX. x + OY . j y = x OX + j OY ) 2x 3 = 3   equivalente a −  3  , n Operador «a» a3 hace girar un vector un ángulo: «a» es un operador vectorial que consiste en 2π 2π 3x = 2π (equivalente a 0 ) , aplicar un giro de + al vector sobre el que 3 3 3 3 , a = − 0,5 + j ; a2 = − 0,5 − j se realiza la operación (figura 4). 2 2 Vemos que: de donde: Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 7
    • a0 = a3 = a6 ... = 1 Esta última relación se verifica gráficamente a= a4 = a7 = ... constatando, sobre la figura, que la suma de los vectores representados es nula: a= a–2 = a–5 = ... ur ur ur V + a.V + a2 .V = 0 ur ( ) a2 = a5 = a8 = ... de donde V 1 + a + a2 = 0 , a2 = a–1 = a–4 = ... y, por tanto: a − a2 = j 3 1 + a + a2 = 0. y 1 + a + a2 = 0. 2.4 Componentes simétricas Sea un conjunto de tres vectores trifásicos n El «sistema inverso», todavía denominado senoidales que giran a la misma velocidad. Se por los anglosajones «secuencia negativa» consideran fijos unos respecto a los otros. (figura 6): uu uur uur r Existen tres disposiciones particulares que V1,V2,V3 : representan una simetría de los vectores entre sí y que se ha dado en calificarlas como o tienen la misma amplitud, «componentes simétricas». o están desfasados 120o, n El «sistema directo», todavía denominado por o están dispuestos de forma que un observador los anglosajones «secuencia positiva» en reposo vea desfilar los vectores en el orden uuur uuuu uuuu r r (figura 5): V1 , V2 , V3 : uu uur uuu r r V1,V3 ,V2; o tienen la misma amplitud, uur V1 o están desfasados 120o, uur uur V2 = a. V1 o están dispuestos de forma que un observador uur uur uur en reposo vea desfilar los vectores en el orden V3 = a2 .V1 = a. V2 . uuur uuuu uuuu r r V1 , V2 , V3 : uur V1 V2 uur uur uur V2 = a2 .V1 = a. V3 120o uur uur V1 V3 = a.V1 . 120o 120o V3 V3 120o Fig. 6: Sistema inverso. o 120 V1 120o V2 Fig. 5: Sistema directo. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 8
    • n El «sistema homopolar», denominado por los anglosajones «secuencia nula» (figura 7) V3 uu uur uur r V2 V1,V2,V3 : V1 o tienen la misma amplitud, o están en fase y por tanto son colineales; un observador en reposo los vería pasar al mismo tiempo. Fig. 7: Sistema homopolar. 2.5 Descomposición de un sistema trifásico en sus componentes simétricas Sea un sistemar trifásico cualquiera formado por uu uur uu uur r r uu uur uur V1 = Vd + Vi + Vo tres vectores V1,V2 ,V3 (definiciones de base); uur uur uu uur r se demuestra que este sistema es la suma de 3 V2 = a2 . Vd + a. Vi + Vo sistemas trifásicos equilibrados: directo, inverso uur uur uu uur r V3 = a. Vd + a2 . Vi + Vo y homopolar. uuur uuuu uuuu r r Sistema directo: Vd1, Vd2, Vd3 Se pueden calcular las componentes simétricas: uur uuu uuu r r Sistema inverso: Vi1, Vi2, Vi3 uur 1 uu r uur uur uuur uuuu uuuu r Sistema homopolar: Vo1, Vo2 , Vo3 . r Vd = 3 ( V + a. V 1 2 + a2 . V3 ) uu r 1 uu r uur uur Se verificará que: Vi = 3 (V + a 1 2 . V2 + a. V3 ) uu uuur uur uuur r uur 1 uu r uur uur V1 = Vd1 + Vi1 + Vo1 uur uuuu uuu uuuu r r r Vo = 3 ( V1 + V2 + V3 ) V2 = Vd2 + Vi2 + Vo2 uur uuuu uuu uuuu r r r V3 = Vd3 + Vi3 + Vo3 La construcción geométrica de las componentes simétricas se consigue teniendo en cuenta el Si elegimos los vectores con índice 1 como 2π  significado del operador «a»  rotación de  3  vectores de origen y hacemos intervenir el   operador «a» se tiene que: (figura 8). O V2 Vo V3 + O V2 O Vi V2 Vd V3 120o V1 aV3 O aV2 V1 V3 V1 uur 1 uu r uur uur 120o Vo = 3 ( V1 + V2 + V3 ) uur 1 uu r uur uur Vd = 3 ( V + a. V 1 2 + a2 . V3 ) a2 V 2 V1 uu r 1 uu r uur uur (V + a ) Sistema dado a2 V 3 Vi = 2 . V2 + a. V3 1 3 Fig. 8. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 9
    • De forma más práctica se pueden construir las baricentro del triángulo ABC; un cálculo sencillo componentes simétricas directamente sobre la (ver apartado siguiente) indica que: figura sin necesidad de relacionar los vectores uuuu r (figura 9). uur Ea Vd = En efecto, sean los puntos D y E tales que 3 BDCE sea un rombo compuesto de dos uuuur u uu DA r triángulos equiláteros BDC y BCE y siendo O' el Vi = 3 uur uuuuu r Vo = OO ' E V2 + Vd V3 B O V2 V3 C O O' Vo D V1 Vi V1 Sistema dado A Fig. 9: Sistema homopolar. 2.6 Cálculo de las componentes simétricas uuu r uuu uuu r r Sean los puntos D y E tales que (BDCE) sea un DA = a.BC + BA rombo compuesto de dos triángulos equiláteros uuur uuur uuur uuur u u (BDC) y (BCE). = a.BO + a.OC + BO + OA uuur uuur u uuur u uuu uuu uuu r r r n Sistema directo: EA = EB + BA, pero como = OA + OB ( −a − 1) + a.OC uuur u uuur uuur u uuu r uuu r = OA + a.2 OB + a.OC EB = a2 .BC , se tiene que: uu r uur uur uur = V1 + a2.V2 + a.V3 = 3Vi uuu r uuu uuu r r EA = a2 .BC + BA uuur uuur uuur uuur u u uuuur u = a2 .BO + a2 .OC + BO + OA uu DA r uuur uuur u uuuu r Vi = ( ) = OA + OB −a2 − 1 + a2 .OC 3 uuur u uuur uuur u = OA + a.OB + a2 .OC n Sistema homopolar: sea O' el baricentro del uuuuu uuuur uuuuu r u r uu r uur uur uur triángulo ABC. Se tiene: O ' A + O 'B + O ' C = 0 = V1 + a.V2 + a2 .V3 = 3Vd uu uur uur r uur V1 + V2 + V3 = 3Vo uuuur uuur uuur uuur u u uuu EA r = OA + OB + OC Vd = uuuuu uuuuu uuuuu uuuur uuuuu uuuuu r r r u r r 3 = OO ' + O ' A + OO ' + O 'B + OO ' + O ' C uuuuu uuuuu uuuur uuuuu r r u r uuuuu r uuu uuu uuu r r r = 3 OO ' + O ' A + O 'B + O ' C = 3 OO ' n Sistema inverso: DA = DB + BA , pero como uuu r uuu r uur uuuuu r DB = a.BC , se tiene que: Vo = OO ' Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 10
    • 2.7 Conclusión: aplicación a la electrotecnia El método expuesto en el párrafo anterior tiene pueden medirse tanto las impedancias un interés inmediato en la electricidad en caso simétricas de los materiales eléctricos (ver de redes trifásicas lineales y a frecuencia única. capítulo 3) como las componentes simétricas de En efecto, los sistemas trifásicos aplicados a las un sistema de tensiones o de corrientes redes eléctricas pueden estar desequilibrados (capítulo 4, ejemplo nº 4). por asimetría de la carga o por defectos. Es Notas evidente la simplicidad que ofrecen estos n por simplificación, en el texto que sigue, los cálculos, basados en la superposición de tres vectores tensión y corriente se escribirán sin la sistemas independientes, al permitir tratarlos flecha, separadamente, convirtiendo cada uno en un caso simple monofásico. n las componentes simétricas de tensiones y corrientes elegidas para la representación Observaremos que estas manipulaciones simple del sistema, son las de la fase 1: matemáticas corresponden, de hecho, a una realidad física de los fenómenos, puesto que V1 =Vd + Vi + Vo. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 11
    • 3 Aplicaciones elementales 3.1 Método de cálculo de los regímenes desequilibrados Principio de superposición Vamos a examinar el comportamiento de una Zd red trifásica lineal y simétrica, es decir, E compuesta de impedancias constantes e d idénticas para las tres fases (que es el caso Vd práctico) que no produce más que fuerzas Zi electromotrices (f.e.m.) equilibradas pero cuyas corrientes y tensiones pueden estar i desequilibradas debido a la conexión a una zona Vi asimétrica D. Zo Las f.e.m. constituyen por naturaleza los o sistemas directos, si los sistemas inverso y Vo homopolar son nulos. Se interpreta el funcionamiento de la red como la superposición de tres regímenes que Fig. 10. corresponden, cada uno, a uno de los sistemas directo, inverso y homopolar. En efecto, en esta red lineal y simétrica, las Método de resolución práctica corrientes de cada sistema se relacionan sólo con las tensiones del mismo sistema y El método resumido a continuación se recíprocamente por medio de las impedancias desarrollará con detalle en el ejemplo del párrafo del sistema considerado. Téngase presente que siguiente (defecto monofásico a tierra): estas impedancias Zd, Zi y Zo son función de las n la red se divide en 2 zonas: impedancias reales y también de las o una zona asimétrica D (red desequilibrada), inductancias mutuas. o una zona simétrica S (red equilibrada), Para una red que presente una sola f.e.m. y con las componentes simétricas de tensión y de n se escriben las ecuaciones que relacionan las corriente situadas respectivamente en el lado D corriente y tensiones: de la asimetría Vd, Vi, Vo, Id, Ii, Io, las relaciones o en la zona D (componentes reales), que definen a los tres regímenes son: o en la zona S (componentes simétricas), E = V d + Zd . I d o continuidad en la frontera D-S, 0 = Vi + Z i . I i o funcionamiento en la zona S, 0 = Vo + Zo . Io, n la resolución matemática de las ecuaciones representadas esquemáticamente en la permite calcular los valores de las componentes figura 10. simétricas y de las componentes reales de las Para las redes con varias fuentes (generadores) corrientes y tensiones de las zonas D y S. estas ecuaciones son válidas con la condición Hay que indicar que los esquemas de considerar E y Zd, Zi, Zo, respectivamente representativos de los sistemas simétricos como la f.e.m. y como las impedancias internas ofrecen la posibilidad de calcular directamente del generador equivalente de Thévenin. los valores de las componentes simétricas. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 12
    • 3.2 Defecto fase-tierra (llamado defecto homopolar) Se supone que el circuito está sin carga. Planteamiento de las ecuaciones E fase 1 n Aislamiento de la zona de asimetría a2E fase 2 (figura 11) n Ecuaciones de las componentes reales aE fase 3 en (D) d, i, o  I 2 = I3 = 0 Vd ,Vi , Vo  zona S  V1 = Z I1 3 2 1 Estas ecuaciones describen el caso examinado V3 V2 V1 y son las únicas que corresponden a la figura. Z zona D n Ecuaciones de las componentes simétricas en (S). Fig. 11. I1 = I d + Ii + Io  I 2 = a . I d + a. Ii + Io 2 Estas tres ecuaciones se encuentran  I3 = a. I d + a . Ii + Io 2 sistemáticamente en todos los casos de cálculo  de regímenes desequilibrados con una sola  V1 = Vd + Vi + Vo fuente de tensión.   V2 = a .Vd + a.Vi + Vo 2 Resolución de las ecuaciones  V = a.V + a2. V + V  3 d i o n Los valores de las componentes simétricas de las corrientes y de las tensiones: Estas ecuaciones relacionan respectivamente E + 0 + 0 = Vd + Vi + Vo + Zd.Id + Zi.Id + Zo.Io las corrientes reales y las tensiones reales con = 3 Z.Io + ( Zd + Zi + Zo). Io sus componentes simétricas. Se encontrarán de forma idéntica en todos los cálculos de siendo: regímenes desequilibrados. Se deducen de las E definiciones anteriores (capitulo 2). Io = Id = Ii = Zd + Zi + Zo + 3Z n Continuidad en la frontera D-S Por combinación entre las ecuaciones de las E componentes reales en (D) y las ecuaciones de Vd = E − Zd . Id = E − Zd Zd + Zi + Zo + 3Z las componentes simétricas en (S), se obtiene: a2.I d + a. Ii + Io = 0 Zi + Zo + 3Z  Vd = E  Zd + Zi + Zo + 3Z a.Id + a . Ii + Io = 0 2  V + V + V = Z. I  d  i o 1 V i = – Z i .I i E  I1 Vi = − Zi I = Ii = Io = Zd + Zi + Zo + 3Z ⇒ d 3  V + V + V = 3 Z. I  d i o o V o = – Z o .I o n Ecuaciones del funcionamiento de S E Vo = − Zo Zd + Zi + Zo + 3Z E = Vd + Zd . Id  0 = Vi + Zi + Ii 0 = V + Z . I  o o o Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 13
    • n Esquema de la red, según las componentes   Z + a. Zi + a2 . Zo simétricas (figura 12). V3 = a.E  1 − d   Zd + Zi + Zo + 3Z    n Valores de las tensiones y de las corrientes reales: Nota: I 1 = Id + I i + Io  Zd + a.Zi + a 2 .Zo  3E El término  1 − Z + Z + Z + 3Z   se llama factor  I1 =  d i o  Zd + Zi + Zo + 3Z de «defecto a tierra». Su valor varía entre 1 y I2 = 0 1,8. Casos particulares I3 = 0 n Con defecto franco, Z = 0, la corriente de defecto fase-tierra toma el valor: V1 = Z.I1 3E I1 = V1 = 3Z E Z d + Zi + Z o Zd + Zi + Zo + 3Z n Con defecto impedante a tierra, 3Z >> Zd + Zi + Zo, la corriente de defecto de fase-tierra se define por la impedancia de V2 = a2 . Vd + a. Vi + Vo = defecto: Zi + Zo + 3Z = a2.E − E Zd + Zi + Zo + 3Z I1 = . Z Zi − a.E − Zd + Zi + Zo + 3Z Zo Vd −E = Zd + Zi + Zo + 3Z d ( ) ( ) E Zi a − a + Zo a − 1 + 3a . Z 2 2 2 Vi Zd =E Zd + Zi + Zo + 3Z i Zi Vo  Z + a2.Zi + a. Zo  o V2 = a2 .E  1 − d   Zd + Zi + Zo + 3Z  Zo   d = i= o 3Z V3 = a. Vd + a2 . Vi + Vo = Fig. 12. Zi + Zo + 3Z = a.E − Zd + Zi + Zo + 3Z Zi − a2 .E − Zd + Zi + Zo + 3Z Zo −E = Zd + Zi + Zo + 3Z =E ( ) Zi a − a 2 + Zo (a − 1) + 3a. Z Zd + Zi + Zo + 3Z Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 14
    • 3.3 Defecto bifásico a tierra (figura 13) −E Zi Io = x = Escritura de las ecuaciones Zi ( Zo + 3Z ) Zi + Zo + 3Z Zd + n En la zona (D) Zi + Zo + 3Z − E Zi I1 = 0  =  Z d .Zi + ( Z d + Zi ) (3Z + Zo )  V2 = V3 = Z ( I2 + I3 )  n En la zona (S) E Zi ( Zo + 3Z ) Vd = Vi = x Zi ( Z o + 3Z ) Zi + Zo + 3Z Zd + I1 = I d + Ii + Io Zi + Zo + 3Z  I 2 = a . I d + a. Ii + Io 2  E Zo .Zi I3 = a. I d + a . Ii + Io 2 Vo = x  Zi ( Zo + 3Z ) Zi + Zo + 3Z  V1 = Vd + Vi + Vo Zd +  Zi + Zo + 3Z  V2 = a .Vd + Vi + Vo 2  V = a.V + a2. V + V I1 = 0  3 d i o Zo + 3Z − a.Zi n Continuidad en la frontera (D) - (S) I2 = − j 3 E Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z )  I d + Ii + I o = 0   Vd = Vi Zo + 3Z − a2 .Zi  V = V + 3 Z. I I3 = j 3 E  o d o Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z ) n Funcionamiento de (S) 3Zi ( Zo + 2Z ) V1 = E Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z ) E = Vd + Zd . I d  0 = Vi + Zi . Ii − 3Z. Zi 0 = V + Z + I V2 = V3 = E  o o o Zd .Zi + ( Zd + Zi ) ( Zo + 3Z ) Resolución de las ecuaciones E fase 1 E Id = = a2E fase 2 Zi ( Zo + 3Z ) Zd + Zi + Zo + 3Z aE fase 3 Zi + Zo + 3Z =E Zd .Zi + (3Z + Zo )( Zd + Zi ) d, i, o, Vd ,Vi , Vo zona S 3 2 1 −E Zo + 3Z Ii = x = Zi ( Zo + 3Z ) V3 V2 V1 Zi + Zo + 3Z Zd + Z zona D Zi + Zo + 3Z −E ( Zo + 3Z ) = Zd .Zi + ( Zd + Zi ) (3Z + Zo ) Fig. 13. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 15
    • n Esquema de la red según las componentes Vd simétricas (figura 14) . d Casos particulares E Zd n Defecto franco, con Z = 0: la corriente del defecto fase-tierra tomará el valor: Vi 3E.Zi i I 2 + I3 = − Zd .Zi + Zi .Zo + Zd .Zo Zi 3Z n Defecto bifásico aislado, con Z = ∞, la o corriente de defecto de fase vale entonces: Zo I 2 = − I3 =E (a 2 −a ) = − jE 3 Vo Fig. 14. Z d + Zi Z d + Zi 3.4 Defecto trifásico (Figura 15). E fase 1 Escritura de las ecuaciones a2E fase 2 n En la zona (D) V 1 = V 2 = V 3 = Z ( I1 + I2 + I3 ) fase 3 aE n En la zona (S) Vd ,Vi ,Vo I1 = I d + Ii + Io zona S  I 2 = a . I d + a.Ii + Io 2 d i o  I3 = a.I d + a . Ii + Io 2 V3 V2 V1   V1 = Vd + Vi + Vo Z zona D   V2 = a .Vd + a.Vi + Vo 2  V = a.V + a2 .V + V  3 d i o Fig. 15. Vd = 0 n Continuidad en la frontera (D) - (S)  Vo I1 + I 2 + I3 = 3 Io = Z  d  Vd = Vi = 0 E V = V = V = V Zd  1 2 3 o   Zi n Funcionamiento de (S) E = Vd + Zd . Id Zo  0 = Vi + Zi . Ii 0 = V + Z . I Fig. 16.  o o o Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 16
    • Resolución de las ecuaciones E I3 = a Zd E Id = y Ii = I o = 0 Zd V1 = V2 = V3 = 0 Vd = Vi = Vo = 0 Los resultados son independientes de los valores de Z, Zi y Zo. E I1 = n Esquema de la red según las componentes Zd simétricas (figura 16). E I 2 = a2 Zd 3.5 Red con cargas desequilibradas (Figura 17). n Continuidad en la frontera (D) - (S) Escritura de las ecuaciones I o = 0  n En la zona (D)  I d = Ii V − V = Z . I I1 = 0  d i c d V3 − V2 = I3 . Zc = − I2 . Zc n Funcionamiento de (S) n En la zona (S) E = Vd + Zd . Id  0 = Vi + Zi . Ii I1 = I d + Ii + Io 0 = V + Z . I  o o o  I 2 = a . I d + a. Ii + Io 2  Resolución de las ecuaciones I3 = a. I d + a . Ii + Io 2   V1 = Vd + Vi + Vo Id = E  Z d + Zi + Zc  V2 = a . Vd + a. Vi + Vo 2  V = a. V + a2. V + V  3 d i o E Ii = − Zd + Zi + Zc Io = 0 E fase 1 E ( Zi + Z c ) a2E fase 2 Vd = Z d + Zi + Z c aE fase 3 d , i, o, E.Zi Vd ,Vi ,Vo Vi = zona S Z d + Zi + Zc 2 1 3 Vo = 0 V3 Zc V2 V1 zona D I1 = 0 E 3 I2 = − j Fig. 17. Zd + Zi + Zc Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 17
    • jE 3 I3 = Z d + Zi + Zc Vd E ( 2 Zi + Zc ) V1 = d Z d + Zi + Z c E Zd V2 = ( E a2.Zc + Zi ) Vi Zc Z d + Zi + Zc i E (a.Zc − Zi ) Zi V3 = Z d + Zi + Zc n Esquema de la red según las componentes Zo simétricas (figura 18). Casos particulares Fig. 18. n Carga de baja potencia, siendo Zc → ∞ : n Cortocircuito bifásico aislado, con Zc = 0. I1 e I3 → 0 y V1, V2 y V3 La corriente de defecto es, en este caso: tienden hacia los valores de red simétrica, es E 3 decir, hacia E, a2E, a.E. I3 = − I 2 = j Z d + Zi 3.6 Impedancias asociadas a las componentes simétricas En este párrafo, se pasa revista a los elementos n La reactancia inversa es inferior a la principales que pueden intervenir en una red reactancia directa transitoria. eléctrica. n La reactancia homopolar no se toma en Para las máquinas rotativas y los consideración salvo que el neutro del alternador transformadores, los órdenes de magnitud de esté conectado a la tierra directamente o a las impedancias son idénticos en porcentaje: través de una bobina o de una resistencia.   Su valor es del orden de la mitad de la S  z% = 100 Z n  2   reactancia subtransitoria.  Un  Máquinas sincrónicas Las generatrices provocan el nacimiento de la componente directa de la potencia. Los defectos Reactancia polos entrehierro son los creadores de las componentes inversa y % salientes constante homopolar que se dirigen desde el punto de defecto hacia los elementos equilibrados, subtransitoria 30 20 atenuándose progresivamente. transitoria 40 25 n Después de una perturbación, la reactancia síncrona 120 200 directa de una máquina pasa del valor subtransitorio al valor síncrono. En el cálculo del defecto, se pueden tomar los valores en % Fig. 19. (figura 19). Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 18
    • Máquinas asíncronas o líneas con 2 conductores por fase (400 kV) La componente directa genera, en los motores, Rd = Ri ≈ 0,04 Ω /km los campos rotativos en el sentido directo Xd = Xi ≈ 0,32 Ω /km (par útil). Cd = Ci ≈ 12 nF/km La componente inversa produce los campos n La impedancia homopolar vale aproximada- rotativos generadores de pares de frenado. mente tres veces la impedancia directa. n Usualmente podemos considerar la La capacidad homopolar se puede valorar en reactancia directa como una impedancia pasiva unas seis veces la capacidad directa. U2 / (P-jQ). n La reactancia inversa varía entre el 15 y el Cables 30%. Es aproximadamente igual a la reactancia n La reactancia y la capacidad directas e de arranque. inversas dependen de la geometría de los n La reactancia homopolar es muy baja. cables. Transformadores Rd = Ri Xd = Xi ≈ 0,1 a 0,15 Ω /km La circulación de una corriente homopolar por los arrollamientos de un transformador precisa Cd = Ci ≈ 120 a 320 nF/km una conexión con un punto neutro unido a tierra n Las características homopolares de un cable o a un conductor de neutro. no se deducen fácilmente de las características n Los transformadores presentan, a las directa e inversa. En general son despreciables corrientes de los sistemas directo e inverso, una ante las de los transformadores que alimentan impedancia igual a su impedancia de dichos cables. cortocircuito, del orden del 4 al 15%. n La reactancia homopolar depende de la conexión de los arrollamientos y de la naturaleza del circuito magnético. La tabla de la figura 20 resume los diferentes casos detallados en las figuras 22 a y b. Transformador Reactancia Lineas aéreas (visto lado secundario) homopolar Consideremos las líneas transpuestas. Sin neutro ∞ n La impedancia y la capacidad directas e Yyn o Zyn flujo libre ∞ inversas dependen de la geometría de la línea. flujo forzado 10 a 15 Xd o líneas con 1 conductor por fase (63, 90, 150 y Dyn o YNyn Xd 225 kV) primario zn 0,1 a 0,2 Xd Rd = Ri ≈ 0,16 Ω /km Xd = Xi ≈ 0,4 Ω /km Fig. 20. Cd = Ci ≈ 9 nF/km Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 19
    • 3.7 Formulario de recapitulación Parámetros empleados: n Tensión eficaz compuesta de la red trifásica U U n tensión eficaz simple de la red trifásica V= 3 n corriente de cortocircuito, en módulo Icc n corriente de defecto a tierra, en módulo Itierra n impedancias simétricas Zd, Zi, Zo n impedancia de cortocircuito Zc n impedancia de tierra Z La tabla de la figura 21 resume los valores de las corrientes, en módulos, en los diferentes casos de asimetría. Tipo de asimetría Asimetría impedante Asimetría franca (Z = 0 y/o Zc = 0) U 3 U 3 Cortocircuito monofásico Icc = Icc = Zd + Zi + Zo + 3Z Z d + Zi + Z o U 3 Zi U 3 Zi Itierra = Itierra = Cortocircuito bifásico a tierra Zd .Zi + ( Zd + Zi ) ( Zo + 3Z ) Zd .Zi + Zi .Zo + Zd .Zo (Zc = 0) U U Cortocircuito bifásico aislado Icc = Icc = Z d + Zi + Z c Z d + Zi (Z = ∞) U U Cortocircuito trifásico Icc = Icc = Z d + Zc 3 Zd 3 (Z cualquiera) Fig. 21. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 20
    • Conexión Valor de la reactancia homopolar Esquema unifilar del transformador, vista desde: primario secundario terciario equivalente los bornes bornes bornes primarios 1 secundarios 2 terciarios 3 1 2 infinito infinito 1 2 1 2 infinito infinito 1 2 Flujos libres Flujos libres infinito 1 X11 2 infinito Flujos forzados Flujos forzados 1 2 X11 = 10 a 15 1 2 infinito veces Xcc 1 2 X12 = Xcc X12 = Xcc 1 infinito infinito 1 2 1 2 X12 X12 = Xcc infinito 1 2 1 2 1 2 infinito infinito 1 2 X 22 1 2 infinito X22 = 1% de Sn 2 1 Flujos libres infinito Flujos libres 1 X11 2 infinito Flujos forzados 1 2 X11 = 10 a 15 Flujos forzados 1 2 veces Xcc infinito Fig. 22 (a). Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 21
    • Conexión Valor de la reactancia homopolar Esquema unifilar del transformador, vista desde: primario secundario terciario equivalente los bornes los bornes los bornes primarios 1 secundarios 2 terciarios 3 X 22 1 2 infinito X22 = 1% de Xn 1 2 Flujos libres Flujos libres X22 infinito X22 = 1% en X n 1 2 Flujos forzados Flujos forzados X22 X11 = 10 a 15 X = 1% de X 1 2 22 n 1 2 veces Xcc 1 2 infinito infinito 1 2 Flujos libres X11 infinito 2 Flujos forzados 1 infinito infinito X11 = 10 a 15 1 2 3 3 veces X12 2 X2 X02 ( x2 + x02 )( x3 + x03 ) ( x1 + x01 )( x2 + x02 ) X01 X1 x1 + x3 + x 2 + x 3 + x 02 + x 03 x1 + x 2 + x01 + x02 1 2 1 3 X3 X03 ( x1 + x01)( x3 + x03 ) 3 x2 + x1 + x 3 + x 01 + x 03 2 X2 X1 x 2 x3 1 x1 + infinito infinito X3 x 2 + x3 1 2 3 3 2 x 2 ( x 3 + x 03 ) x 2 ( x1 + x 01 ) X2 X1 X01 x1 + x3 + 1 x 2 + x 3 + x 03 infinito x1 + x 2 + x 01 X3 1 2 3 X03 3 2 X2 X1 1 X33 X1 + X2 = X12 infinito X 33 = 1% de Xn 1 2 3 3 Fig. 22 (b). Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 22
    • 4 Ejemplos resueltos 4.1 Ejemplo 1: Poder de corte de un interruptor automático Esquema de la figura 23 Problema 100MVA ¿Qué poder de ruptura ha de tener, como mínimo, el interruptor automático? 2500 MVA 17 kV Solución 8% 36 kV Cuando interviene el interruptor automático, la X'd = 35% componente aperiódica está latente en el interior X'i = 25% de la red pero no en los devanados del alternador. Fig. 23. n Impedancias: o del alternador, referidas al secundario del transformador: o monofásico 2 35 36 36 3 Za directa: x = j0,18 Ω = = 18 kA 100 2500 1,22 + 1,17 + 1,0 25 362 o bifásico aislado Za inversa: x = j0,13 Ω 100 2500 U 36 Icc = = = 15 kA Zd + Zi 1,22 + 1,17 Za homopolar: despreciable. o del transformador, referida al secundario del o bifásico a tierra transformador: U Z o − a Zi 8 362 Icc = Zt directa: x = j1,04 Ω Zd Zi + Zi Zo + Zo Zd 100 100 36 . 1,915 = = 17,6 kA Zt inversa: j1,04 Ω 3,91 Zt homopolar = j1,04 Ω n el interruptor automático deberá cortar una o totales corriente de cortocircuito de 18 kA o, lo que es Z directa = j1,22 Ω lo mismo, su potencia de ruptura deberá ser de: Z inversa = j1,17 Ω 18 x 36 3 = 1122 MVA . Zt homopolar = j1,04 Ω n corrientes de cortocircuito: o trifásico U/ 3 36 / 3 Icc = = = 17 kA Zd 1,22 Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 23
    • 4.2 Ejemplo 2: Poder de corte de un interruptor automático Esquema de la figura 24. Solución Problema n Esquema global directo o inverso (reducción a 60 kV) (figura 25) En una red de 60 kV, determinar el poder de ruptura de los interruptores automáticos de los U2 25 60 2 25 centros C y E, que alimentan a la línea de 15 km. a=j x = x = j 22,5 Ω Pcc 100 40 100 La reactancia de cortocircuito de los transformadores de grupo y de red es del 10% y U2 10 602 la de los otros transformadores, del 8%. b = jUcc = x = j9 Ω Pcc 100 400 Para una línea de 60 kV la reactancia es de 0,4 Ω/km en régimen directo e inverso y de C1 = j0,40 x 60 = j24 Ω 3 x 0,40 Ω/km en régimen homopolar. C2 = j0,40 x 50 = j20 Ω Los grupos presentan una reactancia directa o inversa de 25%. C3 = j0,40 x 40 = j16 Ω Las cargas de potencia activa P presentan C4 = j0,40 x 40 = j16 Ω una reactancia equivalente estimada de j.0,6 U 2 /P. 40 MVA 40 MVA 30 MW A 40 km 60 km 15 MVA 40 MVA 8 MW 12 MVA 15 km 20 MVA 14 MW 10 MW B C E 10 MW 15 MVA 50 MVA 40 km 50 km red 150 kV D 1500 MVA 20 MVA 20 MVA Fig. 24. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 24
    • U2 8 602 U2 25 602 25 d = jUcc = x = j19,2 Ω k=j x = x = j 45 Ω Pcc 100 15 Pcc 100 20 100 U2 602 U2 8 60 2 e=j x 0,6 = x 0,6 = j216 Ω I = jUcc = x = j7,2 Ω P 10 Pcc 100 40 U2 8 602 U2 602 f = jUcc = x = j24 Ω m=j x 0,6 = x 0,6 = j72 Ω Pcc 100 12 P 30 U2 602 U2 602 g= j x 0,6 = x 0,6 = j270 Ω n = jUcc x = 10 x = j7,2 Ω P 8 Pcc 100 50 U2 8 602 h = jUcc = x x19,2 = Ω U2 602 Pcc 100 15 o=j = = j 2,4 Ω Pcc 1500 U2 602 p = j0, 4 x15 = j 6 Ω i= j x 0,6 = x 0,6 = j216 Ω P 10 U2 8 602 2 2 q = jUcc = x = j14,4 Ω U 10 60 Pcc 100 20 j = jUcc = = j18 Ω Pcc 100 20 U2 602 r=j x0,6 = x0,6 = j154 Ω P 14 a b A d m c4 c1 e g l f E B C p q r n i c3 c2 o h D j k Fig. 25. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 25
    • n Esquema global homopolar (reducción a 60 kV) (figura 26). esquema directo/inverso Los transformadores del centro de C j6 E j168,4 transformación detienen las corrientes homopolares en sus arrollamientos en triángulo. b’ = b = j9 Ω j6,45 c’1 = 3c1 = j72 Ω c’2 = 3c2 = j60 Ω c’3 = 3c3 = j48 Ω esquema homopolar c’4 = 3c4 = j48 Ω C j18 E d’ = ∞ f’ = ∞ j6,09 h’ = ∞ j’ = j = j18 Ω l’ = ∞ Fig. 27. n’ = n = j7,2 Ω p’ = 3p = j18 Ω esquema directo q’ = ∞ j6 j168,4 C E n Esquemas reducidos Para el estudio que nos interesa se pueden reducir los esquemas a lo indicado en C y E (figura 27). n Dimensionamiento del interruptor automático de línea, lado C: esquema homopolar Caso 1: defecto lado barras (figura 28) C j18 E Zd = j6 + j168,4 = j174,4 Ω ¥ Zo = ∞ Fig. 28. b' A d' c'4 c'1 l' f' E B C p' q' n' c'3 c'2 h' D j' Fig. 26. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 26
    • o Icc trifásica es igual a: U 60 = = 0,195kA esquema directo Zd 3 174,4 3 C línea abierta con lo que: j6,45 Pcc = U I 3 = 20,7MVA o Icc monofásica es igual a: U 3 =0 esquema homopolar Z d + Zi + Z o C línea abierta con lo que Pcc = 0. j6,09 Caso 2: Defecto lado línea (figura 29) Zd = j6,45 Ω Zo = j6,09 Ω Fig. 29. o Icc trifásica es igual a: U 60 = = 5,37kA Zd 3 6,45 3 esquema directo con lo que: C j6 E Pcc = UI 3 = 558,1 MVA j6,45 o Icc monofásica es igual a: U 3 60 3 = = 5,47 kA Zd + Zi + Z o 18,99 esquema homopolar con lo que: C j18 E Pcc = UI 3 = 568,7MVA j6,09 El interruptor automático de línea en el punto C deberá estar dimensionado para 570 MVA. n dimensiones del interruptor automático de Fig. 30. línea, lado E: Caso 1: Defecto lado barras (figura 30) Zd = j6 + j6,45 = j12,45 Ω esquema directo Zo = j18 + j6,09 = 24.09 Ω j168,4 E o Icc trifásica es igual a U 60 = = 2,782 kA Zd 3 12, 45 3 con lo que Pcc = UI 3 289,2MVA esquema homopolar o Icc monofásica es igual a: E U 3 60 3 = = 2,121 kA Zd + Zi + Zo 48,99 Fig. 31. con lo que Pcc = UI 3 = 220,5MVA Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 27
    • Caso 2: Defecto lado línea (figura 31) o Icc monofásica es igual a: Zd = j168,4 Ω U 3 =0 Zo = ∞ Z d + Zi + Z o o Icc trifásica es igual a: con lo que: Pcc = 0 U 60 = = 0,206 kA El interruptor automático de línea, en el punto E, Zd / 3 168, 4 3 deberá estar dimensionado para 290 MVA. con lo que: Pcc = UI 3 = 21,4MVA 4.3 Ejemplo 3: Regulación de protecciones homopolares en una red MT con neutro a tierra Esquema de la figura 32. Problema n ¿Cual deberá ser la regulación de intensidad de los relés homopolares de las diferentes Con derivaciones? Solución i HT / MT Se parte de las fórmulas del párrafo de defecto fase-tierra; se aprecia que la impedancia de tierra Rn es equivalente a tres impedancias de valor 3 Rn situadas cada una sobre una fase de Rn la red puesta a tierra directamente. La corriente homopolar en el punto del defecto a tierra se 2 divide en dos caminos paralelos: C02 n el primero corresponde a la impedancia de neutro 3.Rn, en serie con la impedancia 1 homopolar del transformador y del trozo de cable comprendido entre el defecto y el transformador. O sea: 3.Rn + ZOT + ZOL, C01 I1 Zdefecto n el segundo corresponde a la puesta en paralelo de los circuitos capacitivos del conductor −j n ∑ Coi ω Fig. 32. 1 Si se opera con el máximo rigor, se deben tener 3E I1 = a través de en cuenta las impedancias del transformador y Zd + Zi + Zo + 3Z de las líneas, que prácticamente son despreciables ante las impedancias capacitivas. Ro = (3Rn + ZOT + ZOL) en paralelo con j La corriente de defecto a tierra I1 (ver defecto − fase-tierra) ∑ (Coi ) ω , o sea: Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 28
    • 3Rn + ZOT + ZOL Zo =  n  V3 E3 1 + j (3Rn + ZOT + ZOL )  ∑ Coi  ω (5500 V) (3175 V)  1    Vo 120o y por sustitución, se tiene la expresión de la 120o Vd (3175 V) figura 33. 120o E1 Si, como es habitual, Zd, Zi, ZOT, ZOL son 120o (3175 V) prácticamente despreciables respecto al valor de 3 Rn y el defecto es franco (Z = 0), entonces se tiene: V2 E2 (5500 V) (3175 V) E  n  I1 ≈ + j3  ∑ Coi  ωE Rn  1    Fig. 34. La contribución de cada derivación sana a la corriente de tierra es, pues, de 3Coi ω E (en módulo). Aplicación numérica y representación gráfica Para evitar disparos intempestivos, la regulación (figura 34) del relé homopolar de cada una de las Se supone que se produce un defecto franco en derivaciones ha de ser superior a la corriente una red de 5 500 V, 50 Hz, con neutro capacitiva mencionada. impedante, con: Esta corriente depende de la naturaleza y de la Rn = 100 Ω, longitud de los conductores. Co = 1 µF, Por ejemplo: Z = Zd = Zi = ZOT = ZOL = 0, o para una línea de 15 kV, la capacidad homopolar es de alrededor de 5 nF/km, lo que E = 5500 / 3 = 3175 V representará una corriente de: Zo = 3 Rn /(1 + j3Rn.Co.ω), 3 x 5.10−9 x 314 x15000 / 3 = 0,04 A / km I1 = (3 175/ 100) + j3 x 3175 x 10-6 x 314 ≈ o sea, una corriente de 4 A para 100 km, ≈ (32 + j3) A, o para un cable tripolar de 15 kV, la capacidad I2 = I3 = 0, homopolar es de unos 200 nF/km, lo que V1 = 0, provoca la circulación de una corriente de:  3  3 x 200.10−9 x 314 x15000 / 3 = 1,63 A / km V2 = ja.E 3 = −3175  1,5 + j   voltios,   2  o sea, de unos 2 A/km,  3  o estos valores de corriente capacitiva deben V3 = E (a − 1) = 3175  −1,5 + j   voltios. compararse con los de la corriente que atraviesa  2  la impedancia de neutro y que alcanza varias decenas e incluso centenas de amperios.   n   3E 1 + j (3Rn + ZOT + ZOL )  ∑ Co i  ω   1       I1 =   n   ( Zd + Zi + 3Z ) 1 + j (3Rn + ZOT + ZOL )  ∑ Coi  ω + 3 (Rn + ZOL + ZOT  1        Fig. 33. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 29
    • 4.4 Ejemplo 4: Medición de las componentes simétricas de un sistema de tensión y de corriente Sistema de tensión El transformador auxiliar T1 genera una corriente proporcional a (I1 - I3) que circula a n La componente homopolar se mide con la través de Z, igual a: – a2.R. ayuda de tres transformadores de tensión (TT) cuyos primarios están conectados entre fase y La tensión en los bornes del voltímetro es neutro y los secundarios en serie para alimentar proporcional a: ( I3 − I2 ) + ( I1 − I3 ) ( − a2 ) un voltímetro (figura 35) V = 3 Vo . k siendo k la relación de transformación. = I3 − I2 − a2. I1 + a2. I3 n La componente directa se mide con la ayuda ( ) = − a2 I1 + a. I2 + a2 . I3 = −3 a2 . Id de 2 TT montados entre V1 y V2 por una parte y V2 y V3 por otra (figura 36). El primer TT está V1 cargado con una resistencia pura R. El segundo, con una inductancia y una resistencia de valor V2 tal que: V3 jπ / 3 Z = − a.R = R.e Z está formada por la serie de una resistencia transformación V3 V2 V1 (R/2) y una reactancia ( R 3 / 2 ). de tensión Los dos circuitos están en paralelo sobre un relación k amperímetro que medirá una corriente proporcional a: ( V1 − V2 ) +  − a2 ( V2 − V3 )   kV3 kV2 kV1 ( ) = V1 − V2 1 + a2 + a2.V3 kV1 + kV2 + kV3 =V = 3 Vo .k V = V1 + a.V2 + a2.V3 = 3 Vd Fig. 35. n La componente inversa se mide de la misma V1 manera que la directa, pero con la inversión de V2 polaridad entre los bornes 2 y 3. V3 ( V1 − V3 ) +  − a2 ( V3 − V2 )   ( = V1 − a2.V2 − V3 1 + a2 ) = V1 + a2 .V2 + a.V3 = 3 Vi Sistema de corriente Z R n La componente directa se mide con la ayuda A de tres transformadores de corriente (TC) según se indica en el esquema de la figura 37. El transformador auxiliar T2 genera una corriente proporcional a (I3 - I2) que circula a Fig. 36. través de R. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 30
    • 1 V1 1 V1 2 V2 2 V2 3 V3 3 V3 T1 T2 T1 T2 1 3 3 2 1 3 3 2 Z Z R R R/2 R 3/2 R 3 /2 R/2 V V Fig. 37. Fig. 38. n La componente inversa se mide también con 1 1 la ayuda de tres transformadores de corriente 2 2 conectados según el esquema de la figura 38. Con idéntico razonamiento al caso anterior se 3 3 deduce que la tensión en los bornes del voltímetro es proporcional a: ( ) I1 − I3 + ( I3 − I2 ) − a2 A = I1 − a . I2 − I3 2 (a + 1) 2 = I1 + a2. I2 + a. I3 = 3 I i Fig. 39. n La componente homopolar es igual a un tercio de la corriente de neutro que circula directamente por la conexión de puesta a tierra (neutro distribuido). Tres transformadores puestos en paralelo permiten su medida en el amperímetro A I1 + I2 + I3 = Ih (figura 39). Un transformador toroidal abrazando la totalidad de conductores activos permite la medida anterior por la suma vectorial de las corrientes de fase. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 31