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segundo parcial

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  • SEGUNDO PARCIAL DE MATEMATICA I 7-9amProfesor: Fabio Valencia M1)Haciendo todo el procedimiento, calcular, cada uno de los siguientes límitesi) 2x 5 lim √x 4x 2x 5 2x 5 2x 5 5 2x 5 |x| 2 lim lim lim x lim x x lim x √x 4x √x 4x √x 4x x 4x x 4x |x| √x x x x= 5 1 2 2 5 lim 2 5 0 x x lim 2 4 1 1 4 0 1 1 4 lim x xRecuerden que lim 0___________________________________________________________________________ii) x 3x 1 x 3 x 2x 3 x 3 x 1 lim lim lim x 4x 5x 2 x 4x 5x 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 lim lim ∞ x 1 x 2 x 1 x 2Recuerde que lim 3x 1 2 y la factorización x 4x 5x 2 aplicando divisiónsintética1 -4 +5 -2 L1 x 4x 5x 2 =(x-1) ( x 3x 2 )= x 2 x 1 _1_ -3_ 2____1 -3 2 0 reemplazando x 3x 2 x 2 x 1
  • Aplicamos el teorema que afirma que si lim se tiene que lim f x c c>0 y =0 tal que x g(x) 0 por valores positivos entonces ∞____________________________________________________________________________iii) π sen 3x lim 2 π x 6Hacemos un cambio de variable t= x cuando x t→0 π π π π π π sen 3 t sen 3t 3 sen 3t lim 6 2 lim 6 2 lim 2 2 → t → t → t sen 3t π sen3tcosπ senπcos3t sen3t 1 0 cos3t lim lim lim → t → t → t sen3t sen3t lim 3 lim 3 → t → 3t
  • 2)Considere la función f cuya gráfica se ilustra.Utilizando la gráfica de f hallar si existen cada uno de los siguientes límites. Justifiqueclaramente cada respuesta, en el caso de que no exista el límitei)lim f x)= -1 ii)lim f x)=2 iii) lim f x)= 1 iv) lim f x) = ∞v) lim f x) = no existeporque los límites por la derecha y por la izquierda deben existir y ser igualesvii) i)lim f x)= 5/2 porque f x) es la recta y=mx b que pasa por los puntos 1,4) y 3,1) calculamos y-4= x-1) se tiene y=f x)=-3/2 x-1) 4 lim 3/2 x 1) 4=5/2viii) lim f x)= 1 ix) lim f x)=-∞x)lim f x) no existe los límites por la dercha y por la izquierda deben existir y ser igualesxi) lim f x)=2 xii) lim f x)=1
  • )= si x 2 3)Sea x ax a si 2 xi)Escriba las condiciones que debe cumplir la función f para que se continua en x=2a).Debe existir f(2) b) debe existir el límite lim f(x) c) lim f(x) = f(2)ii)Halle los valores de la constante a tales que la función f dada es continua en x=2Como la función es continua en dos por hipótesis se cumple a) b) y si el límite existedebe ser igual por la derecha y por al izquierda (3x 6)(3x 1) 3x 5x 2 3 (x 2)(3x 1) lim f(x) = lim = lim = lim x 2 x 2 x 2 (x 2)(3x 1) lim = lim 3x 1=7 x 2 lim x ax a =4 2a aIgualamos 4 2a a =7 a 2a 3=0Factorizando tenemos a 2a 3 = (a 3)(a 1) = 0De donde a=3 y a = -1 para que la función f sea continua en x=2
  • 4) Sea f x)=√x 1 2 i) Utilizar la definición para hallar en el punto a,f a)) f(x + h) f(x) √x + h 1 + 2 (√x 1 + 2) lim = lim h h
  • √x h 1 2 √x 1 2 √x h 1 √x 1 lim lim → h → hMultiplicamos y dividimos por √x h 1 √x 1 √x h 1 √x 1 √x h 1 √x 1 √x h 1 √x 1 lim lim h h √x h 1 √x 1 √x h 1 √x 1 x h 1 x 1 lim lim h √x h 1 x 1 h √x h 1 x 1 h 1 1 lim lim h √x h 1 x 1 √x h 1 x 1 2√x 1Esta es la derivada en cualquier punto, la calculamos en a,f a calculada en a, f a es √ii La ecuación de la recta tangente a la curva f x √x 1 2 tiene pendiente √pero también podemos calcular su pendiente con los dos puntos a,f a y 0,2 y y 2 f a 2 f a x x 0 a aIgualamos las dos pendientes calculamos f a √a 1 2 √ 1 √a 1 2√a 1 a-a 2 √a 1 tenemos -a 2 a-1 entonces -a 2a-2 de donde a 2 y f a 3El punto a,f a es 2,3
  • 5 Haciendo todo el procedimiento verificar que D = = ) ) x 1 1 x 1 1 x 1 x 1 D x 1 3 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 D x 1 3 x 1 x 1 x 1 1 x 1 2 D x 1 3 x 1 x 1 x 1 1 x 1 2 1 x 1 D 2 x 1 x 1 3 x 1 x 1 3 x 1 x 1 1 x 1 2 1 x 1 D 2 x 1 x 1 3 x 1 x 1 3 x 1 x 1 1 x 1 2 x 1 D 2 x 1 x 1 3 3 x 1 x 1B)Calcule la siguiente derivada D (sen (5x 4x
  • D sen 5x 4x 2 sen 5x 4x 3 sen 5x cos 5x 5 4 D sen 5x 4x 2 sen 5x 4x 15sen 5x cos 5x 4