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Calcúlo 1   2º termo de papel e celulose
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Calcúlo 1 2º termo de papel e celulose

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  • 1. Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de MatemáticaCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof
  • 2. Cálculo Diferencial e Integral AULA 01 1 - FUNÇÕES1.1 - Conceito matemático de funçãoDefinição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variávelindependente.Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variáveldependente. Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntosnuméricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando alinguagem da teoria dos conjuntos. Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre doisconjuntos.Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se produtocartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais oprimeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .(Eq.1) A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }.Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B aqualquer subconjunto de A × B .(Eq.2) r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B .Exemplo: Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal quey =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r . Como x ∈ A : x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ; x =1 ⇒ y =2 ⇒ (1,2)∈ A × B ; x =2 ⇒ y =4 ⇒ (2,4)∈ A × B ; x =3 ⇒ y =6 ⇒ (3,6)∈ A × B . Então, r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}. y 10 9 A r 0 B 8 0 2 7 1 4 6 2 6 5 3 8 4 10 3 2 1 0 x 1 2 3[Fig.1]: Representação da relação por diagrama. [Fig.2]: Representação da relação por sistema cartesiano. 1
  • 3. Cálculo Diferencial e IntegralObs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos pares( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante uma lei de associação(no caso, y =2 x ).1.2 - Definição de funçãoDefinição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essarelação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associadoum e apenas um elemento y do conjunto B .Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique suaresposta e apresente o diagrama da relação.Exemplos:1) Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B expressapela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈ B . A 0 B 5 0 10 5 15 15 20 25 x =0 ⇒ y =5 ⇒ (0,5)∈ A × B ; x =5 ⇒ y =10 ⇒ (5,10)∈ A × B ; x =15 ⇒ y =20 ⇒ (15,20)∈ A × B .• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5 é uma função de A em B .2) Dados os conjuntos A ={−2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B expressapela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B . A B -2 0 0 2 2 5 5 10 20 x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ; x =2 ⇒ y =2 ⇒ (2,2)∈ A × B ; x =5 ⇒ y =5 ⇒ (5,5)∈ A × B .• O elemento −2 de A não está associado a nenhum elemento de B .Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B . 2
  • 4. Cálculo Diferencial e Integral3) Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa pela 2fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B . A B -3 1 -1 3 1 6 3 9 x =−3 ⇒ y =9 ⇒ (−3,9)∈ A × B ; x =−1 ⇒ y =1 ⇒ (−1,1)∈ A × B ; x =1 ⇒ y =1 ⇒ (1,1)∈ A × B ; x =3 ⇒ y =9 ⇒ (3,9)∈ A × B .• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x 2 é uma função de A em B .4) Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela 4fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B . A B -2 16 2 81 3 x =16 ⇒ y =−2 ou y =2 ⇒ (16,−2) e (16,2)∈ A × B ; x =81 ⇒ y =3 ⇒ (81,3)∈ A × B .• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .• O elemento 16 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B . Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .1.3 – Notação de Função Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:f : A → B (lê-se: função de A em B ) x a y (lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só valor y ∈ B ) A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc. Numa função g : R → R , dada pela fórmula y = x 2 −8, podemos também escrever g ( x )= x 2 −8.Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=−6. 3
  • 5. Cálculo Diferencial e Integral1.4 - Domínio, contradomínio e imagem de uma função Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por: f : A → B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B ) x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B ) O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio dafunção também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definirem que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x . O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É nocontradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio. Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que sãoimagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note queo conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma. f : A→B x a y= f (x) D = A , CD = B , Im ={ y ∈ CD / y é correspondente de algum valor de x }.Exemplos:1) Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem dafunção f : A → B definida por f ( x )= x +2. f (−3)=(−3)+2=−1 f (−1)=(−1)+2=1 f (0)=(0)+2=2 f (2)=(2)+2=4 A -1 B -3 0 -1 1 0 2 2 3 4Im ={−1,1,2,4}2) Dada a função f : R → R definida por f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R , calcular a e b , sabendoque f (1)=4 e f (−1)=−2. A lei de formação da função é f ( x )= a x + b ou y = a x + b . f (1)=4 ⇒ x =1 e y =4 ⇒ 4= a ⋅1+ b (i) f (−1)=−2 ⇒ x =−1 e y =−2 ⇒ −2= a ⋅(−1)+ b (ii) De (i) e (ii), temos: a + b = 4 −a + b = −2 2b = 2 ⇒ b =1 e a =3 a =3 e b =1 ⇒ f ( x )=3 x +1. 4
  • 6. Cálculo Diferencial e Integral1.5 – Função Composta 2 Tome as funções f : A → B , definida por f ( x )=2 x , e g : B → C , definida por g ( x )= x .Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g . f : A → B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B , tal que y =2 x . g : B → C : a cada y ∈ B associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 . Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A → C , que faz a composiçãoentre as funções f e g : A B C g f y z x h [Fig. 1]: Função composta h : A → C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 = ( 2 x ) 2 =4 x 2 . Essa função h de A em C , dada por h ( x )=4 x 2 , é denominada função composta de g ef. De um modo geral, para indicar como o elemento z ∈ C é determinado de modo único peloelemento x ∈ A , escrevemos: z = g ( y )= g ( f ( x ))Notação:A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f )(Eq.3) (g o f )( x )= g ( f ( x ))Exemplos:1) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 e g ( x )=2 x 2 −3.Determine:a) f ( g ( x )). f ( g ( x ))= f (2 x 2 −3)=2 x 2 −3+1=2 x 2 −2 f ( g ( x ))=2 x 2 −2.b) g ( f ( x )). g ( f ( x ))= g ( x +1)=2 ( x + 1) 2 −3=2( x 2 +2 x +1)−3=2 x 2 +4 x +2−3=2 x 2 +4 x −1 g ( f ( x ))=2 x 2 +4 x −1.c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x ))= g ( f ( x )). f ( g ( x ))= g ( f ( x )) 2 x 2 −2=2 x 2 +4 x −1 −2=4 x −1 4 x =1−2 1 x =− . 4 5
  • 7. Cálculo Diferencial e Integral2) Sendo f ( x )=3 x −1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ). Como f ( x )=3 x −1, então f ( g ( x ))=3⋅ g ( x )−1. Como f ( g ( x ))=6 x +8, então 3⋅ g ( x )−1=6 x +8. 3⋅ g ( x )−1=6 x +8 3⋅ g ( x )=6 x +8+1 6x + 9 g ( x )= 3 g ( x )=2 x +3.1.6 – Função InversaDefinição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condiçõesabaixo:• 1. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio.• 2. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa f −1 se for bijetora.1.6.1 – Determinação da Função Inversa Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a suainversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida“isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa. É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.Exemplo: −11) Obter a lei da função inversa f da função f dada por y = x +2. y = x +2 ⇒ função f . x = y +2 ⇒ trocando a variável x por y e y por x . y = x −2 ⇒ isolando y .Então, y = x −2 é a lei da função inversa da função dada por y = x +2.Logo: f ( x )= x +2 e f −1 ( x )= x −22) Construir os gráficos das funções f e f −1 do exercício anterior, num mesmo sistema decoordenadas. y f −1 Note que os gráficos 4 x f (x) x f (x) das funções f e 3 f -1 −1 1 1 −1 2 f −1 são simétricos 0 2 2 0 1 em relação à reta 1 3 3 1 que contém as x -2 -1 -1 0 1 2 3 4 bissetrizes do 1o e 3o 2 4 4 2 quadrantes. -2 6
  • 8. Cálculo Diferencial e Integral x+5 ⎧3⎫3) Determinar a função inversa g −1 da função g ( x )= , cujo domínio é D = R − ⎨ ⎬ . 2x − 3 ⎩2⎭ x+5 y= ⇒ função g . 2x − 3 y+5 x= ⇒ trocando a variável x por y e y por x . 2y −3 (2 y −3) x = y +5 ⇒ isolando y . 2 x y −3 x − y =5 y (2 x −1)=3 x +5 3x + 5 1 y= ⇒ 2 x −1≠0 ⇒ x ≠ . 2x −1 2 −1 ⎧1 ⎫ ⎧3⎫ 3x + 5Logo, g : R − ⎨ ⎬ → R − ⎨ ⎬ dada por y = é a função inversa procurada. ⎩2⎭ ⎩2⎭ 2x −1AULA 01 – EXERCÍCIOS 1 6) Sendo f ( x ) = , x ≠ 1 e g ( x) = 2 x − 4 , x −11) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x2 – ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ache o valor de f ( g ( 2)) + g ⎜ f ⎜ ⎟ ⎟ . ⎜ 2 ⎟ 4x + 3. Faça o diagrama de g e verifique ⎝ ⎝ ⎠⎠ se g é uma função de A em B. Em caso 1 afirmativo escreva o conjunto imagem. 7) Se f ( x ) = , qual o valor de x para que2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em x −1 R definida por f(x) = (x – 2)(x – 4). f(f(x)) = 1? Determine o seu conjunto imagem. 2x + 63) Sejam f e g funções reais definidas, para 8) Dada a função f ( x ) = com x ≠ 5. x −5 todo o número real não nulo, por: calcule: ⎛ 5⎞ f ( x ) = ⎜ 3 x − 8 + ⎟( x − 2 ) e a) f-1(x) ⎝ x⎠ b) f-1(4) 5⎛ 3⎞ ( g ( x ) = ⎜1 − ⎟ x 2 − 3 x + 2 3⎝ x ⎠ ) Se a e b são números reais distintos tais que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + Respostas: b 1) sim, Im{0, 3}4) Considere a função f(x) real, definida por 2) Im = {-1, 0, 3} f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. 3) 3 Determine o valor de f(0) 4) 295) Determine o domínio das seguintes 5) a) D = R funções: b) D = R – {-1, 1} a) f ( x) = 4 x − 5 ⎧ 1⎫ c) D = ⎨ x ∈ R | x ≤ ⎬ b) f ( x ) = 3 ⎩ 2⎭ x −1 d) D = {x ∈ R | −3 < x < 4, e, x ≠ 2} 2 c) y = 1 − 2 x 6) – 9 x +1 1 7x 7) x = 3 d) f ( x ) = + − x+3 4− x x−2 2 5x + 6 8) a) b) 13 x−2 7
  • 9. Cálculo Diferencial e Integral AULA 02 2- FUNÇÃO POLINOMIALDefinição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquelacuja formulação matemática é expressa por um polinômio.2.1 - Função polinomial do 1o grau A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por umpolinômio de grau 1. Representação da função polinomial do 1o grau: f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R ( a ≠0). a e b são os coeficientes e x a variávelindependente.Exemplo: Em uma função polinomial do 1o grau, y = f ( x ), sabe-se que f (1)=4 e f (−2)=10. Escreva a ⎛ 1⎞função f e calcule f ⎜ − ⎟. ⎝ 2⎠ Se f é polinomial do 1o grau, então podemos escrever: y = a x + b . Usando os dados do problema: f (1)=4 ⇒x =1 e y =4. Então, a ⋅1+ b =4 ⇒ a + b =4 (i). f (−2)=10 ⇒ x =−2 e y =10. Então, a ⋅(−2)+ b =10 ⇒ −2 a + b =10 (ii). Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii): (i) a + b = 4 a + b = 4 (ii) −2 a + b = 10 ⋅(−1) 2a − b = −10 3a = −6 ⇒ a =−2 Se a =−2, então −2+ b =4 ⇒ b =6. A função f é dada por f ( x )=−2 x +6. ⎛ 1⎞ Cálculo de f ⎜ − ⎟: ⎝ 2⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ f ⎜ − ⎟ =−2⋅ ⎜ − ⎟ +6=1+6=7 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 1⎞ A função é f ( x )=−2 x +6 e f ⎜ − ⎟ =7. ⎝ 2⎠2.1.1 - Função linear Seja a função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b . No caso de b =0, temos f ( x )= a x , eela recebe o nome especial de função linear.Obs.: Se, em uma função linear tivermos a =1, teremos f ( x )= x ou y = x , que se dá o nome defunção identidade. 8
  • 10. Cálculo Diferencial e Integral2.1.2 – Gráfico de uma função polinomial do 1o grau Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do domínioà variável x e calculamos as respectivas imagens.Exemplo: Construir o gráfico da função real f dada por y =2 x −1. x y Par ordenado −2 −5 (−2,−5) −1 −3 (−1,−3) 0 −1 (0,−1) 1 1 (1,1) 2 3 (2,3) 3 5 (3,5) y 5 4 3 2 1 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -3 -4 -5Definição 9: O gráfico da função linear y = a x ( a ≠0) é sempre uma reta que passa pela origemdo sistema cartesiano.Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1o grau y = a x + b ( a ≠0) intercepta o eixo dasordenadas no ponto (0, b ).2.1.3 – Determinação de uma função a partir do gráfico Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x )= a x + b .Exemplo:1) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é: y 5 4 3 2 1 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -3 -4 -5 9
  • 11. Cálculo Diferencial e IntegralSabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que: x =−1 e y =−1 ⇒ −1= a ⋅(−1)+ b ⇒ − a + b =−1 (i). x =1 e y =3 ⇒ 3= a ⋅(1)+ b ⇒ a + b =3 (ii). (i) −a + b = −1 (ii) a + b = 3 2b = 2 b =1 ⇒ Se b =1, então a + b =3 ⇒ a +1=3 ⇒ a =2 Logo: A função é f ( x )=2 x +1.2) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é: y 5 4 3 2 1 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -3 -4 -5Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que: x =1 e y =1 ⇒ 1= a ⋅(1)+ b ⇒ a + b =1 (i). x =2 e y =−2 ⇒ −2= a ⋅(2)+ b ⇒ 2 a + b =−2 (ii). (i) a + b = 1 ⋅(−1) −a − b = −1 (ii) 2a + b = −2 2a + b = −2 a = −3 ⇒ a =−3 Se a =−3, então −3+ b =1 ⇒ ⇒ b =4 Logo: A função é f ( x )=−3 x +4.2.1.4 - Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x )= a x + b . Podemos determinar que:• i) A função f é crescente se o coeficiente a >0;• ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0.Exemplo: 10
  • 12. Cálculo Diferencial e Integral Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir: i) f ( x )=2 x +1 ii) g ( x )=−2 x +1 y y 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 i) Aumentando os valores atribuídos ii) Aumentando os valores a x , aumentam também os valores atribuídos a x , diminuem os valores correspondentes da imagem f ( x ). correspondentes da imagem g ( x ).2.1.5 - Estudo do sinal da função polinomial do 1o grauDefinição 11: Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x temosf ( x )>0, f ( x )<0 ou f ( x )=0.2.1.5.1 - Zero de uma função polinomial do 1o grauDefinição 12: Denomina-se zero ou raiz da função f ( x )= a x + b o valor de x que anula afunção, isto é, torna f ( x )=0.Definição 13: Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b , a ≠0, é aabscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .Exemplo: Dada a lei de formação da função y =−2 x −4, construir o gráfico e determinar os valoresreais de x para os quais: a) y =0; b) y >0 e c) y <0. y 5 4 Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0. 3 O zero da função é: −2 x −4=0 ⇒ −2 x =4 ⇒ 2 x =−4 ⇒ 2 x =−2. 1 Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa x =−2. -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x -2 A solução do problema é: -3 -4 • a) f ( x )=0 ⇒ { x ∈ R ; x =−2}; -5 • b) f ( x )>0 ⇒ { x ∈ R ; x <−2}; • c) f ( x )<0 ⇒ { x ∈ R ; x >−2}. 11
  • 13. Cálculo Diferencial e Integral2.1.5.2 – Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b , a ≠0 b Zero da função: a x + b =0 ⇒ x =− a a >0 a <0 b x b x a a f (x ) <0 f (x ) >0 f (x ) >0 f (x ) <0 b x b x a a b b f ( x )= 0 ⇒ x = − f ( x )= 0 ⇒ x = − a a b b f ( x )> 0 ⇒ x > − f ( x )> 0 ⇒ x < − a a b b f ( x )< 0 ⇒ x < − f ( x )< 0 ⇒ x > − a a2.2 – Inequações do 1o grauDefinição 14: Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode serreduzida a uma das formas:• a x + b ≥0;• a x + b >0;• a x + b ≤0;• a x + b <0. com a , b ∈ R e a ≠0.Exemplo: 2 Verificar se 4( x −1)− x ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau. 2 4( x −1)− x ≥3 x − x ( x +1) 2 2 4 x −4− x ≥3 x − x − x 4 x −3 x + x −4≥0 2 x −4≥0 2 Logo, 2 x −4 é um polinômio do 1o grau, então 4( x +1)− x ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau.2.2.1 - Resolução de inequações do 1o grauDefinição 15: Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades dasdesigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S). 12
  • 14. Cálculo Diferencial e IntegralExemplos: 21) Resolver a inequação seguinte: 4( x −1)− x ≥3 x − x ( x +1). Represente a solução na reta real. 2 4( x −1)− x ≥3 x − x ( x +1) 2 2 4 x −4− x ≥3 x − x − x 4 x −3 x + x −4≥0 2 x ≥4 x ≥2 x S={ x ∈ R ; x ≥2} 2 x − 1 4(1 − x ) x 2 − x2) Resolver a inequação seguinte: + > + . Represente a solução na reta real. 3 2 4 6 x − 1 4(1 − x ) x 2 − x + > + 3 2 4 6 Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum: 4 x − 4 + 24 − 24 x 3x + 4 − 2 x > 12 12 Simplificando: −20 x +20> x +4 −20 x − x >−20+4 −21 x >−16 Multiplicando por (−1): 21 x <16 16 x< 21 16 S={ x ∈ R ; x < } 21 x 16 212.2.2 - Sistemas de inequações do 1o grauDefinição 16: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecçãodos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.Exemplo: Resolver a inequação −1<2 x −3≤ x . Apresente o conjunto solução S e represente na reta real. Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema: (i) −1 < 2 x −3 (i) x > 1 (ii) 2 x −3 ≤ x (ii) x ≤ 3 (i) x (ii) x (i) ∩ (ii) x 1 3 S={ x ∈ R ; 1< x ≤3} 13
  • 15. Cálculo Diferencial e Integral2.2.3 - Inequação-produto e inequação-quociente 2 Uma inequação do 2o grau do tipo x +2 x −8≥0 pode ser expressa por um produto deinequações do 1o grau, fatorando o 1o membro da desigualdade: x 2 +2 x −8≥0 ⇒ ( x −2)⋅( x +4)≥0.Definição 17: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente,fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1o grau envolvidas. A seguir,determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais doproduto e do quociente de números reais.Exemplos: 21) Resolver a inequação ( x + x −2)⋅(− x +2)≤0. 2 ( x + x −2)⋅(− x +2)≤0 ⇒ ( x +2)⋅( x −1)⋅(− x +2)≤0f(x) = x +2 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −2 a > 0g(x) = x −1 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 1 a > 0h(x) = − x +2 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 2 a < 0 f (x ) g(x ) h(x )f (x ) g(x ) h(x ) -2 1 2 S={ x ∈ R ; −2≤ x ≤1 ou x ≥2} − 3x + 12) Resolver a inequação ≥0. x−2f(x) = −3 x +1 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = 1/3 a<0g(x) = x −2 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 2 a<0 f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) 1 2 3 1 S={ x ∈ R ; ≤ x <2} 3 14
  • 16. Cálculo Diferencial e Integral x2 − 93) Resolver a inequação ≤0. x−2 x2 − 9 ( x + 3) ⋅ ( x − 3) ≤0 ⇒ ≤0 x−2 x−2f(x) = x +3 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −3 a > 0g(x) = x −3 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 3 a > 0h(x) = x −2 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 2 a > 0 f (x ) g(x ) h(x ) f (x ) g(x ) h(x ) -3 2 3 S={ x ∈ R ; x ≤−3 ou 2< x ≤3} x2 + 2x − 34) Determine o domínio da função y= . x −5 x2 + 2x − 3 ( x + 3) ⋅ ( x − 1) ≥0 ⇒ ≥0 x −5 x −5f(x) = x +3 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −3 a > 0g(x) = x −1 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 1 a > 0h(x) = x −5 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 5 a > 0 f (x ) g(x ) h(x ) f (x ) g(x ) h(x ) -3 1 5 D={ x ∈ R ; −3≤ x ≤1 ou x >5} 15
  • 17. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 02 – EXERCÍCIOS 9) João possui um terreno de 1000m2, no qual pretende construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine: impõe as seguintes condições: a área a) f(2) destinada ao lazer (piscina, churrasqueira, b) o valor de x para que f(x) = 0 etc) deve ter 200m2, e a área interna da casa2) Em uma função polinomial do 1o grau, y = mais a área de lazer devem ultrapassar 50%f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. da área total do terreno; além disso, o custo para construir a casa deverá ser de, no ⎛ 1⎞Escreva a função f e calcule f ⎜− ⎟ máximo, R$ 200.000,00. Sabendo que o ⎝ 2⎠ metro quadrado construído nessa região3) Um vendedor recebe mensalmente um custa R$ 500,00, qual é a área interna dasalário composto de duas partes: uma parte casa que o engenheiro poderá projetar?fixa, no valor de R$900,00 e uma variável,que corresponde a uma comissão de 8% do 10) Determinar o domínio da funçãototal de vendas que ele fez durante o mês. x −1 a) Expressar a lei da função que y=representa seu salário mensal − x+3 b) Calcular o salário do vendedor quedurante um mês ele vendeu R$ 50.000,00em produtos4) Num determinado país, o gastogovernamental com educação, por aluno emescola pública, foi de 3.000 dólares no ano de1985, e de 3.600 dólares em 1993.Admitindo que o gráfico do gasto por alunoem função do tempo seja constituído depontos de uma reta: a) Obtenha a lei que descreve o gasto poraluno (y) em função do tempo (x),considerando x = 0 para o ano de 1985, x =1 para o ano de 1986, x = 2 para o ano de1987 e assim por diante. b) Em que ano o gasto por aluno será o Respostas:dobro do que era em 1985? 1) a) 8 b) 2/55) Considere as funções f e g definidas em R 2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x 3) a) y = 900 + 0,08x a) Ache as raízes das funções f e g b) R$ 4900,00 b) Sabendo que os gráficos de f e g são 4) a) y = 75x + 3000retas concorrentes, calcule as coordenadas b) 2025do ponto de intersecção. 5) a) 8 e 0 b) (2, 6)6) Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x)≤ 0 ⎧ 1⎫ 6) S = ⎨x ∈ R | x ≥ ⎬ ⎩ 2⎭7) Determinar o conjunto verdade da ⎧ 16 ⎫ x − 1 4(1 − x) x 2 − x 7) S = ⎨ x ∈ R | x < ⎬inequação: + > + ⎩ 21⎭ 3 2 4 6 8) S = {x ∈ R | x ≥ 3} ⎧2 x − 1 ≥ 58) Resolver o sistema ⎨ 9) entre 300m2 e 400m2 ⎩− x − 3 < 0 10) D = {x ∈ R | 1 ≤ x < 3} 16
  • 18. Cálculo Diferencial e Integral AULA 032.3 - Função polinomial do 2o grau 2Definição 18: A função f : R → R dada por f ( x )= a x + b x + c , com a , b e c reais e a ≠0,denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a =0 temos uma função do 1o grau ou umafunção constante.Exemplo: f do 2o grau, em que f (0)=5, f (1)=3 e f (−1)=1. Escreva a lei de Considere a funçãoformação dessa função e calcule f (5).Resolução Tome f ( x )= a x 2 + b x + c , com a ≠0. f (0) = 5 ⇒ a (0)2+ b (0)+ c = 5 ⇒ c = 5 c = 5 f (1) = 3 ⇒ a (1)2+ b (1)+ c = 3 ⇒ a +b = −2 i) 2 f (−1) = 1 ⇒ a (−1) + b (−1)+ c = 1 ⇒ a −b = −4 ii) Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):(i) a + b = −2(ii) a − b = −4(i)+(ii) 2a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1 2 A lei de formação da função será f ( x )=−3 x + x +5 2 f (5)=−3(5) +(5)+5 f (5)=−65.2.3.1 - Gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função polinomial do 2o grau ou quadrática é uma curva aberta chamadaparábola. Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boarepresentação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da funçãoquadrática: (i) (ii) (iii) Concavidade Zeros ou raízes Vértice2.3.2 - Concavidade A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f ( x )= a x 2 + b x + cdo 2o grau depende do sinal do coeficiente a : 17
  • 19. Cálculo Diferencial e Integral a >0: concavidade para CIMA a <0: concavidade para BAIXO[Fig.4]: Concavidade de uma função quadrática.2.3.3 - Zeros de uma função quadráticaDefinição 19: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x )= a x 2 + b x + c são as raízes da 2equação do 2o grau a x + b x + c =0, ou seja: − b ± b 2 − 4acRaízes: x = . 2a 2Considerando Δ= b −4 a c , pode-se ocorrer três situações: −b+ Δ −b− Δ• i) Δ>0 ⇒ as duas raízes são reais e diferentes: x1 = e x2 = . 2a 2a b• ii) Δ=0 ⇒ as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): x1 = x2 =− . 2a• iii) Δ<0 ⇒ não há raízes reais. 2Obs.: Em uma equação do 2o grau a x + b x + c =0, a soma das raízes é S e o produto é P tal que: b cS= x1 + x2 =− e P= x1 ⋅ x2 = . a aDefinição 20: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2o grau são asabscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x .2.3.4 - Vértice da parábola Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( xV , yV ) em cada uma: y Eixo de simetria y V( xV , yV ) x1 x2 x1 x2 x x V( xV , yV )[Fig.5]: Vértice de parábolas (Δ>0 para as duas). 18
  • 20. Cálculo Diferencial e IntegralUma forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é: x1 + x2• xV = , já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola; 2 2• yV = a xV + b xV + c , já que o xV foi obtido acima.Outra forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é aplicando as fórmulas: b Δ• xV =− e yV =− . 2a 4a2.3.5 - Gráfico de uma parábola Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar commais facilidade o gráfico de uma função quadrática.Exemplos:1) Construir o gráfico da função y = x 2 +2 x , determinando sua imagem. a =1>0 ⇒ concavidade voltada para cima. y Zeros da função: x 2 +2 x =0 ⇒ x ( x +2)=0 ⇒ x1 =0 e x2 =−2. 5 4 Ponto onde a 3 parábola corta o x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0) 2 eixo y : 1 b 2 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x Vértice da xV =− =− =−1 V -2 parábola: 2a 2 -3 ⇒ V (−1,−1) Δ 4 -4 yV =− =− =−1 -5 4a 4 Imagem: y ≥−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≥−1}2) Construir o gráfico da função y =− x 2 +4 x −5, determinando sua imagem. a =−1<0 ⇒ concavidade voltada para baixo. y Zeros da função: − x 2 +4 x −5=0 ⇒ Δ=−4. ∃ zeros reais. / 5 4 Ponto onde a 3 parábola corta o x =0 ⇒ y =−5 ⇒ (0,−5) 2 eixo y : 1 b 4 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x Vértice da xV =− =− =2 V parábola: 2a − 2 -2 ⇒ V (2,−1) -3 Δ −4 -4 yV =− =− =−1 -5 4a − 4 Imagem: y ≤−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≤−1} 19
  • 21. Cálculo Diferencial e Integral2.3.6 - Estudo do sinal da função quadráticaOs valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem serdados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo. f ( x )= a x 2 + b x + c com ( a , b e c ∈ R e a ≠0) a >0 a <0 x1 x2 x x1 x2 x f ( x )>0 para x < x1 ou x > x2 f ( x )<0 para x < x1 ou x > x2 f ( x )<0 para x1 < x < x2 f ( x )>0 para x1 < x < x2 f ( x )=0 para x = x1 ou x = x2 f ( x )=0 para x = x1 ou x = x2 x1 x2 x x1 x2 x f ( x )>0 para x ≠ x1 f ( x )<0 para x ≠ x1 f ( x )<0 ∃ x real / f ( x )>0 ∃ x real / f ( x )=0 para x = x1 = x2 f ( x )=0 para x = x1 = x2 x x f ( x )>0 ∀ x real f ( x )<0 ∀ x real f ( x )<0 ∃ x real / f ( x )>0 ∃ x real / f ( x )=0 ∃ x real / f ( x )=0 ∃ x real /2.4 - Inequações do 2o grauDefinição 21: Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode serreduzida a uma das formas:• a x 2 + b x + c ≥0;• a x 2 + b x + c >0;• a x 2 + b x + c ≤0;• a x 2 + b x + c <0. com a , b , c ∈ R e a ≠0. 20
  • 22. Cálculo Diferencial e Integral2.4.1 - Resolução de inequações do 2o grauDefinição 22: Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades dasdesigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).Exemplo: 21) Resolver a inequação x −3 x +2>0.ResoluçãoEstudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 −3 x +2. a =1>0 ⇒ Concavidade para cima. x 2 −3 x +2=0 Duas raízes reais Δ=1>0 ⇒ diferentes. 3±1 x1 =1 1 2 x x= 2 x2 =2 S={ x ∈ R ; x <1 ou x >2}. Obs: somente valores positivos. 22) Resolver a inequação x −10 x +25≥0.Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 −10 x +25. Concavidade para a =1>0 ⇒ cima. x 2 −10 x +25=0 Δ=0 ⇒ Raiz dupla (única). 10 x x1 = x2 = 5 2 x =5 S= R . Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero. 23) Resolver a inequação −2 x +5 x −6≥0.Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( x )=−2 x 2 +5 x −6. a =−2<0 ⇒ Concavidade para baixo. 2 x −2 x +5 x −6=0 Δ=−23<0⇒ Não possui zeros reais. ∃ x real /S=∅. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero.2.4.2 - Sistemas de inequações do 2o grauDefinição 23: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecçãodos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. 21
  • 23. Cálculo Diferencial e IntegralExemplo: ⎧2 x 2 + 8 ≥ x 2 − 6 x1) Resolver o sistema de inequações ⎨ . ⎩x + 5 < 0Resolução 2 2 2 2 2 (i) ⇒ 2 x +8≥ x −6 x ⇒ 2 x +8− x +6 x ≥0 ⇒ x +6 x +8≥0. (ii) ⇒ x +5<0.Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 +6 x +8. a =1>0 ⇒ Concavidade para cima. x 2 +6 x +8=0 Δ=4>0 ⇒ Duas raízes reais diferentes. −6±2 x1 =−4 x x= -4 -2 2 x2 =−2 -4 -2 xS(i)={ x ∈ R ; x ≤−4 ou x ≥−2}. Reta real:Resolução de (ii): x +5<0 ⇒ x <−5. -5 x S(ii)={ x ∈ R ; x ≤−5}. Reta real: Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii): (i) -4 -2 x (ii) -5 x (i) ∩ (ii) -5 x S={ x ∈ R ; x ≤−5}. 22) Resolver a inequação x −4< x −4≤ x +2.Resolução 2 2 2 (i) ⇒ x −4< x −4 ⇒ x −4− x +4<0 ⋅(−1) ⇒ x − x >0. 2 2 2 (ii) ⇒ x −4≤ x +2 ⇒ x −4− x −2≤0 ⇒ x − x −6≤0.Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 − x . a =1>0 ⇒ Concavidade para cima. x 2 − x =0 x ( x −1)=0 ⇒ Zeros={0,1}. Duas raízes reais Δ=1>0 ⇒ diferentes. 1± 1 x1 =0 0 1 x x= 2 x2 =1 0 1 x S(i)={ x ∈ R ; x <0 ou x >1}. Reta real: 22
  • 24. Cálculo Diferencial e IntegralResolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( x )= x 2 − x −6. a =1>0 ⇒ Concavidade para cima. x 2 − x −6=0 Δ=25>0 ⇒ Duas raízes reais diferentes. 1± 5 x1 =−2 x x= -2 3 2 x2 =3 -2 3 x S(ii)={ x ∈ R ; −2≤ x ≤3}. Reta real: Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii): (i) 0 1 x (ii) -2 3 x (i) ∩ (ii) -2 0 1 3 x S={ x ∈ R ; −2≤ x <0 ou 1< x ≤3}.2.4.3 - Inequação-produto e inequação-quocienteDefinição 24: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente,fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal doproduto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente denúmeros reais.Exemplos: 2 2 1) Resolver a inequação ( x −2 x −3)⋅(− x −3 x +4)>0.Resolução f(x) = x 2 −2 x −3 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=16 > 0 ⇒ x1 -1 3 = e x2 = g(x) = 2 − x −3 x +4 ⇒ a < 0 ⇒ Δ=25 > 0 ⇒ x1 1 = −4 e x2 = f(x) g(x) -4 1 x -1 3 x -1 3 x -4 1 x 23
  • 25. Cálculo Diferencial e Integral f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) -4 -1 1 3 S={ x ∈ R ; −4< x <−1 ou 1< x <3}. x 2 − 5x + 62) Resolver a inequação ≥0. x 2 − 16Resoluçãof(x) = x 2 −5 x +6 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=1 > 0 ⇒ x1 = 2 e x2 = 3g(x) = x 2 −16 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=64 > 0 ⇒ x1 = −4 e x2 = 4 f(x) g(x) 2 3 x -4 4 x 2 3 x -4 4 x f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) -4 2 3 4 S={ x ∈ R ; x <−4 ou 2≤ x ≤3 ou x >4}. x 2 − 3x − 103) Determine o domínio da função f ( x )= . x−6Resolução x 2 − 3 x − 10f só representa um número real se ≥0. x−6f(x) = x 2 −3 x −10 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=49 > 0 ⇒ x1 = −2 e x2 = 5g(x) = x −6 ⇒ a > 0 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 6 f(x) g(x) -2 5 x 6 x -2 5 x 6 x 24
  • 26. Cálculo Diferencial e Integral f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) -2 5 6 D ={ x ∈ R ; −2≤ x ≤5 ou x >6}.AULA 03 – EXERCÍCIOS f(5) = - 65 2) 41) Considere a função f do 20 grau, onde f(0) 3) 5 e -1= 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de 4) 1/3formação dessa função e calcule f(5). 5) 522) Determine o valor de m para que a ⎛ 3 11 ⎞parábola que representa graficamente a 6) V ⎜ ,− ⎟função y = 3x2 – x + m passe pelo ponto (1, ⎝ 10 20 ⎠6) 7) a = 1 e b = - 83) Determinar os zeros da função y = x2 – 4x ⎧ 1⎫ 8) Im = ⎨ y ∈ R / y≥− ⎬–5 ⎩ 4⎭4) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 3k. 9) O valor mínimo da função é y = - 25/4Sabendo que essa função possui dois zeros 10) O retângulo que terá a maior área será oreais iguais, determine o valor real de k. de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas será de 400 cm2.raízes reais, m e n, de modo que ⎧ 1⎫1 1 5 11) ⎨ p ∈ R /p> ⎬ + = . Determine o valor de f(-1) ⎩ 4⎭m n 12nessa função 12) S = {x ∈ R | x ≤ −1, ou , x ≥ 1}6) Determinar as coordenadas do vértice V 13) S = Rda parábola que representa a função f(x) = - 14) S = {x ∈ R | −2 ≤ x < 0 ou 1 < x ≤ 3}5x2 + 3x – 1. 15) S = {x ∈ R| x < - 3 ou -1< x <2}7) Determinar a e b de modo que o gráficoda função definida por y = ax2 + bx – 9 tenhao vértice no ponto (4, - 25)8) Determinar o conjunto imagem da funçãof(x) = x2 – 3x + 29) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valormáximo ou valor mínimo? Qual é esse valor?10) Considerar todos os possíveis retângulosque possuem perímetro igual a 80 cm. Dentreesses retângulos, determinar aquele que teráárea máxima. Qual será essa área?11) Determinar p de modo que a funçãof(x)= px2 + (2p – 1)x + p assuma valorespositivos para todo x real.12) Resolver a inequação –x2 + 1 ≤ 013) Determinar o conjunto solução dainequação x2 – 10x + 25 ≥ 014) Resolver a inequação x – 4 <x2 – 4 ≤x+2 x2 +115) Resolver a inequação <1 x+3Respostas1) f(x) = - 3x2 + x + 5 25
  • 27. Cálculo Diferencial e Integral AULA 043 – FUNÇÃO EXPONENCIAL3.1 – Revisão de Potenciação3.1.1 - Potências com expoente natural Sendo a um número real e n um número natural, com n ≥2, definimos:(Eq.4) a n = a ⋅ 4243 . 1a ⋅ a ⋅K ⋅ a n fatores Para n =1 e n =0 são definidos:(Eq.5) a1 = a .(Eq.6) a 0 =1 ( a ≠0).3.1.2 - Potências com expoente inteiro Se a é um número real não-nulo ( a ≠0) e n um número inteiro e positivo, definimos: 1(Eq.7) a −n = . an3.1.3 - Potências com expoente racional m Se a é um número real positivo e um número racional, com n inteiro positivo, ndefinimos: m n(Eq.8) a n = am .3.1.4 -Potências com expoente realPodemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos números 2reais. Temos, por exemplo: 10 =25,954553519470080977981828375983.3.1.4.1 - PropriedadesPara as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias:• am ⋅ an = am+n .• a m : a n = a m − n ( a ≠0).• ( a m )n = a m⋅n .• ( a ⋅ b )n = a n ⋅ b n . n ⎛ a ⎞ an• ⎜ ⎟ = n ( b ≠0). ⎝b⎠ b 26
  • 28. Cálculo Diferencial e IntegralExemplos 3 6 101) Dê o resultado mais simples de ( 5 ⋅ 5 ): 5 .Resolução Usando as propriedades, temos: 3 6 10 3+6 10 9 10 9−10 −1 1 ( 5 ⋅ 5 ): 5 =( 5 ): 5 = 5 : 5 = 5 =5 = . 5 −2 3 ⎛2⎞ ⎛1⎞2) Calcule o valor da expressão ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ −6 . 0 ⎝3⎠ ⎝2⎠Resolução −2 3 2 3 ⎛2⎞ ⎛1⎞ 0 ⎛3⎞ ⎛1⎞ 9 1 18 + 1 − 8 11 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ − 6 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ −1= + −1= = . ⎝3⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 4 8 8 8 2 x +5 − 2 x + 23) Simplifique . 2xResolução 2 x +5 − 2 x + 2 2 x ⋅ 25 − 2 x ⋅ 2 2 2 x ⋅ (25 − 2 2 ) 5 2 = = = 2 − 2 =28. x x x 2 2 2 44) Calcule 8 3 .Resolução 4 3 4• Primeira resolução: 8 3 = 8 = 3 4096 =16. 4 3 4 3⋅ 4 4• Segunda resolução: 8 3 = ( 2 )3 = 2 3 = 2 =16. 0,7 0,25) Determine o valor de 81 : 81 .Resolução 810,7 : 810, 2 = 810,7−0, 2 = 810,5 = (34 ) 0,5 = 32 =9. 2 2 510) Qual o valor de (10 ) : ( 0,1) ?Resolução 2⋅ 2 −1 5 (10 2 ) 2 5 : ( 0,1) = 10 : (10 ) = 10 2 : 10 −5 = 10 2−( −5) = 10 7 =10000000.3.2 - Equações exponenciaisDefinição 25: Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente.Exemplo:• 2 x =16.• 3 x +1 + 3 x −2 =9. 27
  • 29. Cálculo Diferencial e Integral• 3 x −1 =27. 2x 2x• 10⋅ 2 −5⋅ 2 −1=0.3.2.1 -Resolução de equações exponenciais Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potênciasde mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições epropriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato: x pDefinição 26: Se a >0, a ≠1 e x é a incógnita, a solução da equação a = a é x= p.Exemplos:1) Resolver a equação 4 x =512.Resolução Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1o e 2o membros da equação empotências de mesma base: 9 4 x =512 ⇒ ( 2 2 ) x = 29 ⇒ 2 2 x = 29 ⇒ 2 x =9 ⇒ x = . 2 ⎧9 ⎫ S= ⎨ ⎬ . ⎩2⎭2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando umaumento anual de produção de 50%, pergunta-se:• a) Qual a produção P dessa empresa t anos depois?• b) Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?Resolução 50• a) Obs: 50%= =0,5 100 Um ano depois: 8000+0,5⋅8000=8000⋅(1+0,5)=8000⋅1,5 2 Dois anos depois: (8000⋅1,5)⋅1,5=8000⋅ (1,5) 2 3 Três anos depois: (8000⋅ (1,5) )⋅1,5=8000⋅ (1,5) Produção P, t anos depois: P=8000⋅ (1,5)t• b) Fazendo P=40500, na fórmula anterior, obtemos a equação: t 40500=8000⋅ (1,5) Resolvendo a equação: t 40500=8000⋅ (1,5) 40500 3 ⇒ (1,5)t = . Obs: 1,5= . 8000 2 t ⎛ 3 ⎞ 81 ⇒ ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 16 t ⎛3⎞ 3 4 ⇒ ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 24 t 4 ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ t =4. ⎝2⎠ ⎝2⎠ Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos. 28
  • 30. Cálculo Diferencial e Integral x+23) Determine o conjunto solução da equação 81 =1 no universo dos números reais.Resolução Sabendo que 810 =1, temos: 81x+ 2 =1 ⇒ 81x+ 2 = 810 ⇒ x +2=0 ⇒ x =−2. S={−2}.3.2.2 - Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumastransformações e artifícios.Exemplos:1) Resolver a equação 4 x −5⋅ 2 x +4=0.Resolução Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: 4 x −5⋅ 2 x +4=0 ⇒ ( 2 2 ) x −5⋅ 2 x +4=0 ⇒ ( 2 x ) 2 −5⋅ 2 x +4=0. Fazendo 2 x = y , temos a equação do 2o grau em y : 5 ± 25 − 16 y 2 −5 y +4=0 ⇒ y = ⇒ y1 =4 e y 2 =1. 2 x Voltando à igualdade 2 = y : y1 =4: 2 x = y ⇒ 2 x =4 ⇒ 2 x = 2 2 ⇒ x =2. y 2 =1: 2 x = y ⇒ 2 x =1 ⇒ 2 x = 2 0 ⇒ x =0. S={0,2}. x 2− x2) Determine o conjunto solução da equação 5 − 5 =24.Resolução Preparando a equação, temos: 1 25 5 x − 5 2− x =24 ⇒ 5 x − 5 2 ⋅ 5 − x =24 ⇒ 5 x −25⋅ x =24 ⇒ 5 − x =24. 5 5x x Fazendo 5 = y , temos: 25 2 2 ⎧ y1 = 25 y− =24 ⇒ y −25=24 y ⇒ y −24 y −25=0 ⇒ ⎨ y ⎩ y2 = −1 x Voltando à igualdade 5 = y : y1 =25: 5 x = y ⇒ 5 x =25 ⇒ 5 x = 5 2 ⇒ x =2. y 2 =−1: 5 x = y ⇒ 5 x =−1 ⇒ Esta equação não tem raiz em R , pois 5 x >0, para todo x real. S={2}.3.3 - Função exponencialDefinição 27: A função f : R → R dada por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1) é denominada funçãoexponencial de base a . 29
  • 31. Cálculo Diferencial e Integral3.3.1 - Gráfico da função exponencial no plano cartesiano Dada a função f : R → R , definida por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1), temos dois casos paratraçar seu gráfico: (i) a >1 e (ii) 0< a <1.• (i) a >1.1) Traçar o gráfico de f ( x )= 2 x . x f ( x )= 2 x 1 y −2 4 8 1 7 −1 2 6 5 0 1 4 1 2 3 2 2 4 1 3 8 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x xOBS.1: Quanto maior o expoente x , maior é a potência a , ou seja, se a >1 a função f ( x )= a x écrescente.• (ii) 0< a <1. x ⎛1⎞2) Traçar o gráfico de f ( x )= ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ x ⎛1⎞ x f ( x )= ⎜ ⎟ ⎝2⎠ y −3 8 8 −2 4 7 6 −1 2 5 0 1 4 3 1 1 2 2 1 1 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 4 30
  • 32. Cálculo Diferencial e Integral xObs.2: Quanto maior o expoente x , menor é a potência a , ou seja, se 0< a <1 a funçãof ( x )= a x é decrescente.Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:3.3.2 - Características da função exponencial Seja f : R → R , definida por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1).• Domínio da função f são todos os números reais ⇒ D = R . ∗• Imagem da função f são os números reais positivos ⇒ Im = R+ .• A curva da função passa pelo ponto (0,1).• A função é crescente para a base a >1.• A função é decrescente para a base 0< a <1.3.4 - Inequações exponenciaisDefinição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.3.4.1 - Resolução de inequações exponenciaisPara resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:• 1) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;• 2) Verificar a base da exponencial, a >1 ou 0< a <1, aplicando as propriedades abaixo. Caso (i): a >1 Caso (ii): 0< a <1 am > an ⇒ m > n am > an ⇒ m < n As desigualdades têm mesmo As desigualdades têm sentidos sentido diferentesExemplos:1) Resolva a inequação 2 x >32.Resolução Como 25 =32, a inequação pode ser escrita: 2 x > 25 ⇒ Caso (i): a >1. ⇒ x >5. S={ x ∈ R ; x >5}. 2 +2 x2) Resolva a inequação ( 3 )3 x ≥1.Resolução 2 +2 x 2 +2 x ( 3 )3 x ≥1 ⇒ ( 3 )3 x ≥( 3) 0 ⇒ Caso (i): a >1. 2 ⇒ 3 x +2 x ≥0 Tome f ( x )=3 x 2 +2 x ⎧ 2 2⎪ x1 = − f ( x )=0 ⇒ 3 x +2 x =0 ⇒ ⎨ 3 ⎪ x2 = 0 ⎩ 2 0 x 3 S={ x ∈ R ; x ≤−2/3 ou x ≥0}. 31
  • 33. Cálculo Diferencial e Integral x +3 2 x −7 ⎛1⎞ ⎛1⎞3) Resolva a inequação ⎜ ⎟ <⎜ ⎟ . ⎝2⎠ ⎝2⎠Resolução x +3 2 x −7 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ <⎜ ⎟ ⇒ Caso (ii): 0< a <1. ⎝2⎠ ⎝2⎠ x +3>2 x −7 ⇒ − x >−10 ⋅(−1) ⇒ x <10. S={ x ∈ R ; x <10}.AULA 04 – EXERCÍCIOS Respostas:1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, 1) a) 800 bactériasreproduz-se em condições ideais. Supondo b) 9 horasque, por divisão celular, cada bactéria dessa 2) a) 3/2cultura dê origem a duas outras bactérias b) 4idênticas por hora. 3) a) {0, 3} a) Qual a população dessa cultura após 3 b) {2, 3}horas do instante inicial? c) {1, 2} b) Depois de quantas horas a população 4) x = 0dessa cultura será de 51.200 bactérias? 5) a) 0,59m32) Resolva as equações: b) f(n) = 1 . (0,9)n a) 2 1+ x + 8 = 72 6) a) {x ∈ R / x ≤ −1, ou , x ≥ 4} 3x b){x ∈ R / x > 3} x−4 b) 4 − =0 c) {x ∈ R / x < 0} 813) Determine o conjunto solução das 7) {x ∈ R / x ≥ 2}seguintes equações: a) 3 2 x − 28.3 x + 27 = 0 b) 2 + 32 = 12.2 2x x 16 x + 64 c) = 4 x +1 54) Se f(x) = x2 + x e g(x) = 3x, determine xpara que f(g(x)) = 2.5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% deóleo de um tanque. A capacidade do tanque éde 1 m3 e, inicialmente, esta cheio. a) Após o 5o golpe, qual o valor maispróximo para o volume de óleo quepermanece no tanque? b) Qual é a lei da função que representa ovolume de óleo que permanece no tanqueapós n golpes?6) Resolva as inequações: a) ( 5) x 2 −3 x ≥ ( 5) 4 3 x −1 x +5 ⎛1⎞ ⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ <⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ 2 X +2 C) 2 − 0,75 ⋅ 2 x + 2 < 17) Determine o domínio da funçãoy = 2 x−2 − 1 32
  • 34. Cálculo Diferencial e Integral AULA 054 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA4.1 – Definição de LogaritmoDefinição 29: Dados dois números reais positivos, a e b , com a ≠1, existe um único número realx de modo que a x = b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e indica-selog a b . Podemos então, escrever:(Eq.9) a x = b ⇔ x = log a b (1≠ a >0 e b >0). Na igualdade x = log a b , temos:• a é a base do logaritmo;• b é o logaritmando ou antilogaritmo;• x é o logaritmo.Exemplos: Calcular o valor de x nos exercícios seguintes:1) log 2 32 = x . 2 x =32 ⇒ 2 x = 25 ⇒ x =5.2) log 4 16 = x . 4 x =16 ⇒ 4 x = 4 2 ⇒ x =2.3) log 8 x =1. 81 = x ⇒ x =8.4) log 3 81 = x . 3 x =81 ⇒ 3 x = 34 ⇒ x =4.5) log 5 1 = x . 5 x =1 ⇒ 5 x = 50 ⇒ x =0.OBS. 1: log b ⇒ significa log10 b . Quando não se indica a base, fica subentendido que abase é 10.4.2 - Conseqüências da definição Tome 1≠ a >0, b >0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-severificar que: 33
  • 35. Cálculo Diferencial e Integral• 1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. log a 1 =0, pois a 0 =1.• 2) O logaritmo da própria base é igual a 1. log a a =1, pois a1 = a .• 3) O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. log a a m = m , pois a m = a m .• 4) O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b . a log a b = b , pois a x = b ⇔ x = log a b .4.3 - Propriedades dos logaritmos• 1) Logaritmo de produto log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y (1≠ a >0, x >0 e y >0).• 2) Logaritmo de quociente ⎛x⎞ log a ⎜ ⎟ = log a x − log a y (1≠ a >0, x >0 e y >0). ⎜ y⎟ ⎝ ⎠• 3) Logaritmo de potência log a x m = m ⋅ log a x (1≠ a >0, x >0 e m ∈ R ).4.4 - Cologaritmo Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1≠ a >0) é o logaritmo do inverso dessenúmero b na base a . ⎛1⎞(Eq.10) co log a b = log a ⎜ ⎟ ⇒ co log a b =− log a b (1≠ a >0 e b >0). ⎝b⎠Exemplo: Sabendo que log 3= a e log 5= b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b .• a) log 15 log 15= log (3⋅5)= log 3+ log 5= a + b .• b) log 675 log 675= log ( 33 ⋅ 5 2 )= log 33 + log 5 2 =3 log 3+2 log 5=3 a +2 b .• c) log 2 log 2= log 10 = log 10− log 5=1− b . 54.5 - Mudança de base As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, emmuitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma únicabase. A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base. 34
  • 36. Cálculo Diferencial e Integral Seja: log a b = x ⇒ a x = b . Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos: log c blog c a x = log c b ⇒ x ⋅ log c a = log c b ⇒ x = , mas x = log a b . log c aEntão: log c b(Eq.11) log a b = (1≠ a >0, 1≠ c >0 e b >0). log c aExemplos:1) Sendo log 2=0,3 e log 3=0,4, calcule log 2 6 . log 6 log( 2 ⋅ 3) log 2 + log 3 0,3 + 0,4 0,7 7 log 2 6 = = = = = = . log 2 log 2 log 2 0,3 0,3 32) Resolva a equação log 2 x + log 4 x + log16 x =7. A condição de existência é x >0. Transformando para a base 2: log 2 x + log 4 x + log16 x =7 log 2 x log 2 x log 2 x + + =7 log 2 4 log 2 16 log 2 x log 2 x log 2 x + + =7 2 4 4 log 2 x + 2 log 2 x + log 2 x 28 = 4 4 7 log 2 x =28 log 2 x =4 24 = x x =16 ⇒ 16 satisfaz a condição de existência. Logo, o conjunto solução é:S={16}.3) Resolva a equação log 2 ( x +2)+ log 2 ( x −2)=5. Condições de existência são: x +2>0 e x −2>0 ⇒ x >−2 e x >2. Então: x >2. log 2 ( x +2)+ log 2 ( x −2)=5 log 2 [( x +2)⋅( x −2)]=5 5 ( x +2)⋅( x −2)= 2 x 2 −4=32 x 2 =36 x 2 =±6 ⇒ −6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz. Logo, o conjunto solução é: S={6}. 35
  • 37. Cálculo Diferencial e Integral4.6 - Função logarítmica ∗ x A função exponencial g : R → R+ definida por g ( x )= a (com 1≠ a >0) é bijetora. Nesse caso,podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo. ∗Definição 30: A função f : R+ → R definida por f ( x )= log a x (com 1≠ a >0) é chamada funçãologarítmica de base a .4.6.1 - Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantesímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráficoda função exponencial. Seja f : R+ → R , tal que y = log a x e f −1 : R → R+ , tal que y = a x . Os gráficos de f e f −1 ∗ ∗serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal.• (i) a >1. y y =x 8 7 6 5 4 3 y =loga x 2 1 y= ax -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Gráfico da função logarítmica e exponencial ( a >1).• (ii) 0< a <1. y y =x 8 y= ax 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y =loga x Gráfico da função logarítmica e exponencial (0< a <1). 36
  • 38. Cálculo Diferencial e Integral4.7 - Inequações logarítmicas Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a incógnitaaparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.Exemplos:1) Resolva a inequação log 1 ( x −3)≥ log 1 4. 2 2 Condição de existência: x −3>0 ⇒ x >3 (i). Base: (0< a <1). Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos. x −3≤4 ⇒ x ≤3 (ii). A solução da inequação deve satisfazer as duas condições: (i) 3 x (ii) 7 x (i) ∩ (ii) x 3 7 S={ x ∈ R ; 3< x ≤7}. 22) Resolva a inequação log 4 ( x − x )≥ log 4 (2 x +10). 1a Condição de existência: x 2 − x >0 ⇒ x <0 ou x >1 (i). 2a Condição de existência: 2 x +10>0 ⇒ x >−5 (ii). Base: ( a >1). x 2 − x ≥2 x +10 ⇒ x 2 − x −2 x −10≥0 ⇒ x 2 −3 x −10≥0 ⇒ x ≤−2 ou x ≥5 (iii). A solução da inequação deve satisfazer as três condições: (i) x 0 1 (ii) x -5 (iii) x -2 5 (i) ∩ (ii) ∩ (iii) x -5 -2 0 1 S={ x ∈ R ; −5< x ≤−2 ou x ≥5}. 37
  • 39. Cálculo Diferencial e Integral3) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quantotempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Uselog10 2=0,3) t ⎛8⎞ p = p0 (1−0,2) ⇒ p = p0 (0,8) ⇒ p = p0 ⎜ ⎟ ⇒ t t ⎝ 10 ⎠ p Procura-se p = 0 , logo: 2 t 1 ⎛ 23 ⎞ t p0 ⎛8⎞ −1 −t ⎜ ⎟ ⇒ ( p0 ≠0) ⇒ = ⎜ ⎟ ⇒ 2 = 2 ⋅ 10 3t = p0 2 ⎝ 10 ⎠ ⎜ 10 ⎟ 2 ⎝ ⎠ Aplicando log10 em ambos os membros, temos: log10 2 −1 = log10 ( 23t ⋅ 10 −t ) log10 2 −1 = log10 ( 23t ⋅ 10 −t ) log10 2 −1 = log10 23t + log10 10 −t − log10 2=3 t log10 2− t log10 10 −0,3=3 t ⋅0,3− t −0,3=0,9 t − t −0,3=−0,1 t t =3O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de 3 anosAULA 05 – EXERCÍCIOS a) log3(5x – 1) > log3 4 b) log2(x – 4) > 11) Resolva as seguintes equações: c) log12(x – 1) + log12(x – 2) ≤ 1 a) log2 (x – 4) = 3 b) logx (3x2 – x) = 2 c) (log3x)2 – log3x – 6 = 0 Respostas: d) log5(log3x) = 1 1) a) 12 b) ½2) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = c) {1/9, 27} d) 2430,477, calcule: 2) a) 0,778 b) 0,699 a) log 6 b) log 5 c) 0,398 d) 0,2385 3) a) 1 b) 100 c) log 2,5 d) log 3 4) {x ∈ R / x < −3, ou , x > 4, e, x ≠ 5}3) Qual o conjunto solução da equação 5) a) S = {x ∈ R / x > 1} a) log 2 (3 x − 1) − log 4 ( x + 1) = 1 2 b) S = {x ∈ R / x > 6} b) log10 x + log100 x = 2 c) S = {x ∈ R / 2 < x ≤ 5}4) Determine o campo de existência dafunçãof ( x) = log 3 ( x 2 − x − 12) − log 3 ( x 2 − 10 x + 25)5) Resolva as inequações: 38
  • 40. Cálculo Diferencial e Integral AULA 06 5 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS5.1 - Seno e cosseno de um arco: Tome o arco α dado na figura abaixo: P N α O MA [Fig.5] Arco α para o conceito de seno e cosseno. Seno de um arco é a ordenada do ponto P.(Eq.12) sen α= ON = MP . Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P.(Eq.13) cos α= OM = NP .5.1.1 – Conseqüências: Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que −1nem maiores que +1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre −1 e+1, o que nos permite concluir:(Eq.14) −1 ≤ sen α ≤ 1 e −1 ≤ cos α ≤ 15.1.2 - Função seno e função cosseno Função seno é a função que associa a cada arco x ∈ R o número sen x ∈ R , ou y = sen x . Função cosseno é a função que associa a cada arco x ∈ R o número cos x ∈ R , ouy = cos x .5.1.3 - Gráfico das funções seno e cosseno Para estudar a função seno ( y = sen x ) e a função cosseno ( y = cos x ) vamos variar x nointervalo [0,2π].5.1.3.1 - Função seno:y = sen x y 1 3π 2 2π O A O π π π π π x 6 4 3 2 1 [Fig.6]Gráfico da função seno. 39
  • 41. Cálculo Diferencial e Integral5.1.3.2 - Conclusões• O domínio da função y = sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D = R .• A imagem da função y = sen x é o intervalo [−1,+1], isto é, −1≤ sen x ≤+1.• Toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x , a função seno assume o mesmo valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = sen x é p =2π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arcox. Quando adicionamos 2 k π ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois afunção seno é periódica de período 2π.(Eq.15) sen x = sen ( x +2 k π), k ∈ Z (Inteiros).5.1.3.3 - Seno é função ímpar No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e − x têm imagenssimétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm omesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen (− x )=− sen x . Quando uma função f é tal que f (− x )=− f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemosque f é uma função ímpar. Como sen (− x )=− sen x , para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.5.1.3.4 - Função cossenoy = cos x y 1 3π 2 2π O A O π π π π π x 6 4 3 2 1 [Fig. 2]: Gráfico da função cosseno.5.1.3.5 - Conclusões• O domínio da função y = cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D = R .• A imagem da função y = cos x é o intervalo [−1,+1], isto é, −1≤ cos x ≤+1.• O período da função y = cos x é p =2π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arcox. Quando adicionamos 2 k π ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois afunção cosseno é periódica de período 2π.(Eq.16) cos x = cos ( x +2 k π), k ∈ Z (Inteiros).5.1.3.6 - Cosseno é função par No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e − x têm imagenssimétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa.Então, cos (− x )= cos x . 40
  • 42. Cálculo Diferencial e Integral Quando uma função f é tal que f (− x )= f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos quef é uma função par. Como cos (− x )= cos x , para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par.Exemplos:1) Construa o gráfico da função y =2 sen x , dando o domínio, a imagem e o período. x sen x 2 sen x y 0 0 2⋅0 0 y 2 π 1 2⋅1 2 1 2 3π 2 2π π π π 0 2⋅0 0 O 2 x 1 3π −1 2⋅(−1) −2 2 2 2π 0 2⋅0 0 Observando o gráfico, temos: D = R , Im =[−2,2], e p =2π. x2) Construa o gráfico da função y = cos , dando o domínio, a imagem e o período. 2 x x y x cos 2 2 0 0 1 1 π y π 0 0 1 2 3π 4π O π 2π x π 2π −1 −1 1 3π 3π 0 0 2 2π 4π 1 1 Observando o gráfico, temos: D = R , Im =[−1,1], e p =4π.5.2 - Tangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo: eixo das tangentes N P T α A O M [Fig. 3]: Arco α para o conceito de tangente. 41
  • 43. Cálculo Diferencial e Integral Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT).(Eq.17) tan α= AT .5.2.1 - Conseqüências• O eixo vertical, suporte de AT , é chamado eixo das tangentes. π• Podemos dizer que tan α só é definida se α∈ R e α≠ + k π ( k ∈ Z ). 25.2.2 - Função tangente π Função tangente é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ + k π ( k ∈ Z ), o 2número tan x ∈ R , ou y = tan x .5.2.3 - Gráfico da função tangente Para estudar a função tangente ( y = tan x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. y 1,73 1 0,58 2π O A O π π π π π 3π x 6 4 3 2 2 0,58 1 1,73 [Fig. 4]: Gráfico da função tangente.5.2.4 - Conclusões π• O domínio da função y = tan x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ + k π ( k ∈ Z ), 2 π isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ + k π, k ∈ Z }. 2• A imagem da função y = tan x é o conjunto dos números reais.• Toda vez que somamos k π a um determinado valor de x , a função tangente assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = tan x é p =π.(Eq.18) tan ( x + k π)= tan x , k ∈ Z .5.2.5 - Tangente é uma função ímpar π Como tan (− x )=− tan x , para todo x real, com x ≠ + k π ( k ∈ Z ), podemos afirmar que a 2função tangente é ímpar. 42
  • 44. Cálculo Diferencial e Integral5.3 - Cotangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo: B C eixo das P cotangentes N α A O M [Fig. 5]: Arco α para o conceito de cotangente. Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC).(Eq.19) cot α= BC .5.3.1 - Conseqüências• O eixo horizontal, suporte de BC , é chamado eixo das cotangentes.• Podemos dizer que cot α só é definida se α∈ R e α≠ k π ( k ∈ Z ).5.3.2 - Função cotangenteFunção cotangente é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈ Z ), o númerocot x ∈ R , ou y = cot x .5.3.3 - Gráfico da função cotangente Para estudar a função cotangente ( y = cot x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. y 1,73 1 0,58 O A O π π π π π 3π 2π x 6 4 3 2 2 0,58 1 1,73 [Fig. 6]: Gráfico da função cotangente.5.3.4 - Conclusões• O domínio da função y = cot x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈ Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ k π, k ∈ Z }.• A imagem da função y = cot x é o conjunto dos números reais.• Toda vez que somamos k π a um determinado valor de x , a função cotangente assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = cot x é p =π. cot ( x + k π)= cot x , k ∈ Z . 43
  • 45. Cálculo Diferencial e Integral5.3.5 - Cotangente é uma função ímparComo cot (− x )=− cot x , para todo x real, com x ≠ k π ( k ∈ Z ), podemos afirmar que a funçãocotangente é ímpar.5.4 - Secante e cossecante de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo: D P N α O MA S [Fig. 7]: Arco α para o conceito de secante e cossecante. Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo dasabscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.(Eq.20) sec α= OS .(Eq.21) cos sec α= OD .5.4.1 - Função secante e cossecante π Função secante é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ + k π ( k ∈ Z ), o 2número sec x ∈ R , ou y = sec x Função cossecante é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈ Z ), onúmero cos sec x ∈ R , ou y = cos sec x .5.4.2 - Gráfico da função secante Para estudar a função secante ( y = sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. y 2 1,41 1,15 1 π 3π 2 π 2 O A O π π π 2π x 6 4 3 1 1,15 1,41 2 [Fig. 8]: Gráfico da função secante. 44
  • 46. Cálculo Diferencial e Integral5.4.3 - Conclusões π• O domínio da função y = sec x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ + k π ( k ∈ Z ), 2 π isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ + k π, k ∈ Z }. 2• A imagem da função y = sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈ R / y ≥1 ou y ≤−1}.• Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função secante assume o mesmo valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = sec x é p =2π.(Eq.22) sec ( x +2 k π)= sec x , k ∈ Z .5.4.4 - Gráfico da função cossecante Para estudar a função cossecante ( y = cos sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. y 2 1,41 1,15 1 3π 2 2π O A O π π π π π x 6 4 3 2 1 1,15 1,41 2 [Fig. 9]: Gráfico da função cossecante.5.4.5 - Conclusões• O domínio da função y = cos sec x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈ Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ k π, k ∈ Z }.• A imagem da função y = cos sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈ R / y ≥1 ou y ≤−1}.• Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função cossecante assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = cos sec x é p =2π.(Eq.23) cos sec ( x +2 k π)= cos sec x , k ∈ Z .5.5 - Relações trigonométricas Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas têmmuitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos comobase o ciclo trigonométrico e um ângulo α dado. 45
  • 47. Cálculo Diferencial e Integral eixo das tangentes D eixo das B C cotangentes PT N α O MA S [Fig. 10]: Funções trigonométricas no ciclo. Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo α: sen α= ON ; cos α= OM ; tan α= AT ; cot α= BC ; sec α= OS e cos sec α= OD . Analisando as funções no ciclo e fixando inicialmente o ângulo α, podemos fazer as seguintesmudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas: s ecα cos F α BD se c senα tanα α O AC E cosα cotα 1 unidade [Fig. 11]: Funções adaptadas no ciclo. Com as novas adaptações, temos as seguintes funções: sen α= AB ; cos α= OA ; tan α= CD ; cot α= OE ; sec α= OD e cos sec α= OF . Daí tiram-se três triângulos semelhantes:Δ OAB ≡Δ OCD ≡Δ OEF . F D α B sec α cos 1 1 senα se c tanα α α α O cosα A O 1 C O cotα E 1 2 3 [Fig. 12]: Triângulos semelhantes.5.5.1 - Usando o teorema de Pitágoras• sen 2α+ cos 2α=1;• tan 2α+1= sec 2α;• cot 2α+1= cos sec 2α.5.5.2 - Usando semelhança entre triângulos 46
  • 48. Cálculo Diferencial e Integral Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os triângulos: 2 1 sec α 1 1 Razões do triângulo para : = ⇒ sec α= ; 1 cos α cos α tan α senα senα = ⇒ tan α= . 1 cos α cos α 3 1 cos sec α 1 1 Razões do triângulo para : = ⇒ cos sec α= ; 1 senα senα cot α cos α cos α = ⇒ cot α= . 1 senα senα 3 2 cos sec α sec α sec α Razões do triângulo para : = ⇒ cos sec α= ; 1 tan α tan α cot α 1 1 = ⇒ cot α= . 1 tan α tan αExemplos: Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que seguemabaixo:1) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo 1 para 2 . tan α sen α= ; sec α 1 cos α= . sec α2) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo 1 para 3 . 1 sen α= ; cos sec α cot α cos α= . cos sec α3) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo 2 para 3 . cos sec α sec α= ; cot α 1 tan α= . cot α5.5.3 - Identidades trigonométricas A igualdade sen 2α+ cos 2α=1 é verdadeira para qualquer α pertencente aos domínios dasfunções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica. Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova, ouseja, após uma demonstração. Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadasacima, que são identidades. 47
  • 49. Cálculo Diferencial e Integral5.5.3.1 - Processo para demonstrar identidades Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razãoequivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a umamesma expressão.Exemplos: Nos exercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades:1) tan 2α⋅ sen 2α= tan 2α− sen 2α F D α B sec α cos 1 1 senα se c tanα α α α O cosα A O 1 C O cotα E 1 2 3Levar do triângulo 2 para 1 : tan 2α⋅ sen 2α= tan 2α− sen 2α sen 2 α sen 2 α ⋅ sen 2α= − sen 2α cos α 2 cos α 2 sen α sen α − sen 2 α cos 2 α 4 2 = cos 2 α cos 2 α sen 4 α sen 2 α(sen 2 α ) = cos 2 α cos 2 α sen 4 α sen 4 α = ⇒ C.Q.D. (como queríamos demonstrar). cos 2 α cos 2 α2) (1+ cot α)2+(1− cot α)2=2⋅ cos sec 2α F D α B sec α cos 1 1 senα se c tanα α α α O cosα A O 1 C O cotα E 1 2 3 Todas as funções já se encontram no triângulo 3 , basta desenvolver: (1+ cot α)2+(1− cot α)2=2⋅ cos sec 2α (1+ cot α)2+(1− cot α)2=2⋅ cos sec 2α 1+2 cot α+ cot 2α+1−2 cot α+ cot 2α=2⋅ cos sec 2α 2+2 cot 2α=2⋅ cos sec 2α 2⋅(1+ cot 2α)=2⋅ cos sec 2α 2⋅ cos sec 2α=2⋅ cos sec 2α ⇒ C.Q.D.3) sec 2α+ cos sec 2α= sec 2α⋅ cos sec 2α F D α B sec α cos 1 1 senα se c tanα α α α O cosα A O 1 C O cotα E 1 2 3 48
  • 50. Cálculo Diferencial e Integral Levar do triângulo 3 para 2 : sec 2α+ cos sec 2α= sec 2α⋅ cos sec 2α sec 2 α sec 2 α sec 2α+ = sec 2α⋅ tan 2 α tan 2 α sec 2 α tan 2 α + sec 2 α sec 4 α = tan 2 α tan 2 α sec 2 α ⋅ (tan 2 α + 1) sec 4 α = tan 2 α tan 2 α sec 2 α ⋅ (sec 2 α ) sec 4 α = tan 2 α tan 2 α sec 4 α sec 4 α = ⇒ C.Q.D. tan 2 α tan 2 α senα cos α4) =1− cos sec α sec α F D α B sec α cos 1 1 senα se c tanα α α α O cosα A O 1 C O cotα E 1 2 3 Levar dos triângulos 3 e 2 para 1 : senα cos α =1− cos sec α sec α senα cos α =1− 1 1 senα cos α sen 2α=1− cos 2α sen 2α= sen 2α ⇒ C.Q.D. cos sec α − senα5) = cot 3α sec α − cos α F D α B sec α cos 1 1 senα se c tanα α α α O cosα A O 1 C O cotα E 1 2 3 49
  • 51. Cálculo Diferencial e IntegralLevar dos triângulos 1 e 2 para 3 : cos sec α − senα = cot 3α sec α − cos α 1 cos sec α − cos sec α = cot 3α cos sec α cot α − cot α cos sec α cos sec α − 1 2 cos sec α = cot 3α ⇒ Obs: cos sec 2α−1= cot 2α cos sec 2 α − cot 2 α cot α cos sec α cot 2 α cot α cos sec α ⋅ = cot 3α cos sec α cos sec 2 α − cot 2 α cot 3 α cos sec α 1 ⋅ = cot 3α cos sec α 1 + cot α − cot α 2 2 1 cot 3α⋅ = cot 3α 1+ 0 cot 3α= cot 3α ⇒ C.Q.D.AULA 06 - EXERCÍCIOS1) Dado sen x = 3/4 , com 0<x< π /2, Respostas:calcular cos x. 72) Para que valores de a temos, 1) cos x =simultaneamente, senx=a + 1 e cos x = a? 4 2) a = 0 ou a = -1 3 π3) Dado cos x = − , com < x<π , 3) tgx = − 2 3 2 4) sec αcalcule tg x. tgα + cot gα4) Simplifique a expressão . sec α ⋅ cot gα5) Demonstre as seguintes identidades: a) (1 + cotg2x)(1 – cos2x) = 1 b) tg x + cotgx = tg x. Cossec2x sen2 x cos x x c) ⋅ = tg 1 + cos 2 x 1 + cos x 2 50
  • 52. Cálculo Diferencial e Integral AULA 07 6 - LIMITES6.1 - Noção Intuitiva: Seja a função f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita(valores maiores que 1) e pela sua esquerda (valores menores que 1) e calcular o valorcorrespondente de y. x y = 2x + 1 x y = 2x + 1 1,01 0,6 1,02 0,7 1,03 0,9 1,04 0,95 1,1 0,98 1,2 0,99 Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de ______, ou seja, quandox tende para 1 (x → 1), y tende para _____ (y → _____), ou seja: lim x →1 (2 x + 1) = 3 De forma geral, escrevemos: lim x →a f ( x) = b6.1.1 - Propriedades: 1. lim x →a [ f ( x) ± g ( x)] = lim x → a f ( x) ± lim x →a g ( x) 2. lim x →a [ f ( x) ⋅ g ( x)] = lim x →a f ( x) ⋅ lim x → a g ( x) f ( x) lim x →a f ( x) 3. lim x → a = g ( x) lim x →a g ( x) 4. lim x → a f ( x ) = (lim x → a 0 f ( x ) ) , n ∈ N n n * 5. lim x → a n f ( x) = n lim x →a f ( x) , n ∈ N * 6. lim x → a sen( f ( x)) = sen(lim x →a f ( x) )Exemplos:1) lim x →1 ( x + 3 x ) = 2 32) lim x →π ( x cos x) = 3 cos x3) lim x →0 = x 2 + 10 51
  • 53. Cálculo Diferencial e Integral4) lim x →1 ( x + 3) = 2 25) lim x →2 x3 + x2 −1 =6) lim x →1 sen( x + 3 x ) = 27) lim x →2 ( 2 x + 3 x − 4) = 2 x2 − 48) lim x →2 = x−2 x 2 − 4x + 39) lim x →3 = x2 − 9 x 2 − 5x + 410) lim x →1 = x −1 x 3 − 3x + 211) lim x →1 = x2 −1 x+3− 312) lim x →0 = x13) lim x →−1 ( x + 3 x + 4) = 314) lim x →0 (cos x + senx) = 52
  • 54. Cálculo Diferencial e Integral x3 − 815) lim x →2 = x2 − 4 h −116) lim h→1 = h −1 25 + 3t − 517) lim t →0 = t (4 + t ) 2 − 1618) lim t →0 = t x 2 + 3x + 219) lim x → −1 = x2 −1 1+ x − 1− x20) lim x →0 = x x4 −121) lim x →1 = x5 −1 53
  • 55. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 07 - EXERCÍCIOS Respostas 1) 81) lim x →1 ( x + x + 5 x + 1) = 3 2 2) 4 3) −6 2 −52) lim x →−1 ( x − 2 x − 4 x + 3) = 3 2 4) -103) lim x → − 2 (4 x 3 − 2 x 2 − 2 x − 1) = 5) -3 6) -4 x 2 + 5x − 44) lim x → 2 = 7) − 1 x2 − 5 3 8) 12 x 2 − 7 x + 105) lim x → 2 = 9) 80 x−2 10) 2 x 2 + 2x − 3 11) 06) lim x → −3 = 12) 4 x+3 13) 4 x3 − 4x + 3 −17) lim x →1 5 = 14) 4 x − 2x + 1 15) 2 x 2 − 368) lim x →6 = 16) 4 x−6 3 x 5 + 32 17) 59) lim x → −2 = 14 x+2 x 4 − 8 x 3 + 18 x 2 − 2710) lim x →3 4 = x − 10 x 3 + 36 x 2 − 54 x + 27 x−211) lim x → 2 = 2x − 4 x−412) lim x → 4 = x −2 x13) lim x →0 = 2− 4− x 2− 3+ x14) lim x →1 = x −1 x15) lim x →0 = x +1 −1 1 + 2x − 316) lim x → 4 = x −2 2 x 2 − 3x + 2 − 217) lim x → 2 = 3x 2 − 5 x − 1 − 1 54
  • 56. Cálculo Diferencial e Integral AULA 086.2 - LIMITES INFINITOS: Quando os valores assumidos pela variável x são tais que |x|> N, sendo N tão grandequanto se queria, então se diz que o limite da variável x é infinito. lim x →+∞ x = +∞ ou lim x →−∞ x = −∞6.2.1 - Igualdades Simbólicas:6.2.1.1 – Tipo Soma: a. (3) + ( ± ∞ ) = ± ∞ b. (+ ∞ ) + (+ ∞ ) = + ∞ c. - ∞ + (- ∞ ) = - ∞ d. ∞ - ∞ = indeterminado6.2.1.2 – Tipo Produto: a. 5 x ( ± ∞ ) = ± ∞ b. (-5) x ( ± ∞ ) = m ∞ c. (+ ∞ )x(+ ∞ ) = + ∞ d. (+ ∞ )x(- ∞ ) = - ∞ e. ± ∞ x 0 = indeterminado6.2.1.3 – Tipo Quociente: c a. =0 ∞ ∞ b. =∞ c 0 c. =0 ∞ 0 ∞ d. e = indeterminado 0 ∞6.2.1.4 – Tipo Potência: a. c +∞ = +∞ (c>1) +∞ b. c = 0 (0<c<1) ∞ c. 0 = 0 −∞ d. c = 0 +∞ e. ( +∞) = +∞ f. ( −∞) = −∞ (se c for ímpar) c g. ( −∞) = +∞ (se c for par) c −∞ h. ( +∞) = 0 −c i. ( ±∞) = 0 j. 00 = indeterminado k. ( ±∞) = indeterminado 0 ±∞ l. 1 = indetermindado 55
  • 57. Cálculo Diferencial e IntegralObs.: O limite de uma função polinomial quando x tende ao infinito, é o limite do termo de maiorgrau.Exemplos:1) lim x ←+∞ ( x + 3 x − 1) = 2 5x − 4 x 2 + 2 x − 12) lim x →+∞ = 2 x 2 + 3x − 4 3x 2 + 4 x − 53) lim x →−∞ = x2 − x + 3 2x54) lim x →−∞ 3 = x4 + 6 18 x 4 + x5) lim x →+∞ = 2 x 4 + 3x − 16) lim x →+∞ ( x + x + 1 − x 2 − x − 1) = 2 56
  • 58. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 08– EXERCÍCIOS1) lim x →+∞ (5 x − 3 x − 2 x − 1) = 3 22) lim x →−∞ ( 2 x − x + 2 x − 1) = 5 4 23) lim x → −∞ ( −3 x + 2 x − 1) = 4 24) lim x → +∞ (3 x + 5 x + 8) = 4 25) lim x →−∞ ( −5 x + 3 x − 2) = 36) lim x →+∞ ( − x + 3 x − 2) = 2 2 x 3 − 3x 2 + x − 17) lim x →+∞ = x2 + x − 3 2x 2 + 18) lim x →−∞ 2 = x −1 3x9) lim x →−∞ 2 = x −3 3x 3 − 5 x 2 + 2 x + 110) lim x →−∞ = 9 x 3 − 5x 2 + x − 3 2x 3 + 5x 2 − 811) lim x →−∞ = 4 x 5 − 8x + 7 5x 3 − 2 x 2 + 112) lim x →−∞ = x+7 x2 + x +113) lim x →−∞ = ( x + 1) 3 − x 3 Respostas: x + x +1 2 1) + ∞14) lim x →+∞ = 2) - ∞ x +1 3) - ∞ x2 + x +1 4) + ∞15) lim x → −∞ = 5) + ∞ x +1 6) - ∞ 2 x 2 − 3x − 5 7) + ∞16) lim x →+∞ = x4 +1 8) 2 9) 0 2 x 2 − 3x − 517) lim x → −∞ = 10) 1 x4 +1 3 11) 018) lim x →+∞ ( x 2 + 3x + 4 − x) = 12) +∞19) lim x → −∞ ( x 2 + 3x + 4 − x) = 13) 1 3 14) 1 15) -1 16) 2 17) 2 18) 3 2 19) +∞ 57
  • 59. Cálculo Diferencial e Integral AULA 096.3 – LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: senx lim x →0 =1 x Demonstrando o limite fundamental por tabela temos que: Usando valores de x → 0 em radianos, obtemos valores x Senx iguais ou muito próximos. 0,008 0,008 0,006 0,006 0,004 0,004 0,002 0,002 Exemplos: 0,001 0,001 sen3x 1) lim x →0 = x 1 − cos x2) lim x →0 = x2 sen5 x3) lim x →0 = sen2 x sen5 x + senx4) lim x →0 = sen2 x + sen4 x 3x + sen2 x5) lim x →0 = x + sen9 x 58
  • 60. Cálculo Diferencial e Integral tgx6) lim x → 0 = x 1 − cos x7) lim x →0 = x senmx8) lim x →0 = sennxAULA 09 – EXERCÍCIOS cos 5 x − cos 3 x 12) lim x →0 = sen4 x sen3 x sen3x − sen2 x1) lim x →0 = 13) lim x →0 = 2x senx senx sen( x + a ) − sena2) lim x →0 = 14) lim x →0 = 4x x tg 2 x 1 − cos 2 x3) lim x →0 = 15) lim x →0 = 3x 3x 2 sen4 x4) lim x →0 = sen3 x Respostas: tg 3x 1) 3/25) lim x →0 = 2) ¼ tg 5 x 3) 2/3 1 − cos x 4) 4/36) lim x →0 = 5) 3/5 xsenx 6) ½ 1 − sec x7) lim x →0 = 7) – ½ x2 8) 2 tgx + senx 9) -18) lim x →0 = 10) 0 x 11) 0 senx − cos x 12) 09) lim x →0 = 1 − tgx 13) 1 tgx − senx 14) cos a10) lim x →0 = 15) 2/3 sen 2 x x − senx11) lim x →0 = x + senx 59
  • 61. Cálculo Diferencial e Integral AULA 106.4 – LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: x ⎛ 1⎞ lim x→∞ ⎜1 + ⎟ =e (1) ⎝ x⎠ Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se donúmero irracional e, cujo valor aproximado é 2,7182818 x ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ x X ⎜1 + ⎟ Nota-se que a medida que x → ∞ , ⎜1 + ⎟ → e ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 1 2 2 2,25 1 De forma análoga, efetuando a substituição =y e 3 2,3703 x 1 10 2,5937 x= y 100 2,7048 temos: 1 1000 2,7169 lim y →0 (1 + y ) y =e (2) 10000 2,7181 100000 2,7182 Ainda de forma mais geral, temos: l(3) lim y →0 (1 + ky ) = e kl y lx ⎛ k⎞(4) lim x →∞ ⎜1 + ⎟ = e kl ⎝ x⎠ a x −1(5) lim x →0 = ln a x ex −1(6) lim x →0 =1 xExemplos: 4x ⎛ 3⎞1) lim x →∞ ⎜1 + ⎟ = ⎝ x⎠ 32) lim x →0 (1 + 2 x) x = 60
  • 62. Cálculo Diferencial e Integral 3x − 13) lim x →0 = 2x ex −14) lim x →0 = sen2 x 2x ⎛ 5⎞5) lim x →∞ ⎜1 + ⎟ = ⎝ x⎠6) lim x →0 (1 + 2 x ) 2 x = 2x −17) lim x →0 = x sen3x8) lim x →0 = ex −1 e3x − 19) lim x →0 = sen4 x 35 x − 110) lim x →0 = sen2 x 3 − 1 − 4x11) lim x →−2 log = 6+ x −2 61
  • 63. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 10 – EXERCÍCIOS 2 15) lim x →0 (1 − 3 x ) x = x +3 x2 −4 ⎛ x−4⎞1) lim x → 2 3 x−2 = 16) lim x → +∞ ⎜ ⎟ = ⎝ x −1 ⎠ x −1 x22) lim x →1 e x −1 = ⎛ x2 +1 ⎞ 17) lim x → +∞ ⎜ 2 ⎜ x − 3⎟⎟ = x 2 −5 x + 4 ⎝ ⎠ ⎛1⎞ x −23) lim x → 4 ⎜ ⎟ = ⎛ 2x + 3 ⎞ x ⎝e⎠ 18) lim x → +∞ ⎜ ⎟ = x 2 + 3x + 2 ⎝ 2x + 1 ⎠4) lim x → −1 log 3 = ln(1 + x) x 2 + 5x + 4 19) lim x →0 = x−3 2x5) lim x →3 ln = ln(1 + 2 x) x +1 − 2 20) lim x →0 = 3x x − x3 Respostas6) lim x →0 log 2 = x +x 2x 1) 81 ⎛ 1⎞ 2) e27) lim x → +∞ ⎜1 + ⎟ = ⎝ x⎠ 3) e-12 x 4) -1 ⎛ 1⎞ 3 5) ln48) lim x → −∞ ⎜1 + ⎟ = ⎝ x⎠ 6) 0 x+2 7) e2 ⎛ 1⎞ 8) e1/39) lim x → +∞ ⎜1 + ⎟ = ⎝ x⎠ 9) e x −3 10) e ⎛ 1⎞ 11) e410) lim x → +∞ ⎜1 + ⎟ = ⎝ x⎠ 12) e6 x 13) e-6 ⎛ 4⎞ 14) e411) lim x → −∞ ⎜1 + ⎟ = ⎝ x⎠ 15) e-6 3x 16) e-3 ⎛ 2⎞ 17) e412) lim x → +∞ ⎜1 + ⎟ = ⎝ x⎠ 18) e 3x 19) ½ ⎛ 2⎞ 20) 2/313) lim x → −∞ ⎜1 − ⎟ = ⎝ x⎠ 114) lim x →0 (1 + 4 x) x = 62
  • 64. Cálculo Diferencial e Integral AULA 116.5 – LIMITES LATERAIS: Consideramos uma função y = f(x), da qual queremos achar os limites laterais para xtendendo a a, ou seja, queremos calcular: y lim x → a+ f ( x ) = ? ? a x Limite lateral à direita y lim x →a− f ( x) = ? ? a x Limite lateral à esquerdaVejamos como proceder em cada caso: Limite a direita (quando x → a+) Fazemos a seguinte troca de variável: x = a + h, com h > 0 x → a, devemos ter h → 0 Exemplo: lim x →2+ (3 x + 4) = Limite a esquerda (quando x → a-) Fazemos a seguinte troca de variável: x = a – h, com h > 0 x → a devemos ter h → 0 Exemplo: lim x →2− (3x + 4) = O Limite de uma função existe quando lim x →a− f ( x) = lim x→a+ f ( x) 63
  • 65. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 11 – EXERCÍCIOS ⎧2 x 2 - 3x - 1 se x<2 ⎪1) lim x → 2 + (3 x − x − 1) = 2 c) f ( x) = ⎨1 se x=2 3x − 4 ⎪ 22) lim x →3+ = ⎩- x + 6x - 7 se x > 2 x+2 lim f ( x) e lim f ( x) 5 x 2 − 3x + 2 x → 2+ x → 2−3) lim x →1− = 3x − 1 Respostas: 5 x 2 − x + 104) lim x →3− 2 = x − 3x + 2 1) 9 2) 15) lim x →3+ (1 + x − 3 ) = 3) 2 x 4) 266) lim x → 2 + = 5) 1 x−2 6) ∞7) lim x → 2 − ( x + 3 x) = 2 7) 10 8) 108) lim x → 2 + ( x + 3 x ) = 2 9) - ∞ 3x 10) + ∞9) lim x → 2 − = 11) 0 x−2 12) + ∞ 3x10) lim x → 2 + = 13) 4 x−2 14) 0 1 15) a) 1 e 511) lim x →0 − 2 x = b) 1 e -3 1 c) 1 e 112) lim x →0 + 2 x = 413) lim x →0 − 1 = 1+ 2 x 414) lim x →0 + 1 = 1+ 2 x15) Calcule os limites lateraissolicitados. ⎧3 x − 2 se x >1 ⎪a) f ( x ) = ⎨2 se x=1 ⎪4x + 1 se x < 1 ⎩ lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) x → 1+ x → 1− x →1 ⎧1 − x 2 se x < 2 ⎪b) f ( x) = ⎨0 se x = 2 ⎪x - 1 se x > 2 ⎩ lim f ( x) e lim f ( x) x → 2+ x → 2− 64
  • 66. Cálculo Diferencial e Integral AULA 12 7 - ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS7.1 – INTRODUÇÃO: Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotashorizontais e verticais do gráfico, caso elas existam. Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a função, onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não "toca " esta reta, pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função7.2 – ASSÍNTOTA VERTICAL Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos umadas afirmações seguintes for verdadeira: i. lim x→a + f ( x) = ∞ ii. lim x →a + f ( x) = −∞ iii. lim x→ a − f ( x) = ∞ iv. lim x→a − f ( x) = −∞7.3 – ASSÍNTOTA HORIZONTAL Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos umadas afirmações seguintes for verdadeira: i. lim x →+∞ f ( x) = b ii. lim x →−∞ f ( x) = bExemplos: 21) Seja a função f ( x) = . Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela ( x − 1)existirem. 65
  • 67. Cálculo Diferencial e Integral 42) Considere a função f ( x) = 3 − . Encontre a equação das assíntotas horizontais e ( x − 2) 2verticais, se ela existirem. 66
  • 68. Cálculo Diferencial e Integral 8 – FUNÇÕES CONTÍNUAS8.1 – DEFINIÇÃO: Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes condições: i. ∃ f (a) ii. ∃ lim x→ a f ( x) iii. lim x →a f ( x) = f (a)Exemplos: Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado:1) f ( x) = 2 x − 5 + 3x em x = 4 | x−2|2) f ( x) = em x = 2 2 67
  • 69. Cálculo Diferencial e Integral ⎧ x 2 − 1 se x < 3 ⎪3) f ( x ) = ⎨ 2 se x = 3 em x = 3 ⎪ 3 − x se x > 3 ⎩ ⎧ x 2 − 5 x + 1 se x ≥ 2AULA 12 – EXERCÍCIOS 9) f ( x ) = ⎨ em x = 2 ⎩ x−3 se x < 2Escreva a equação das assíntotas das funçõesabaixo, faça um esboço do gráfico da função: 51) y = x−3 3x + 12) y= Respostas x −1 1) x = 3 é a equação da assíntota 2 vertical e y = 0 é a assintota3) y= x horizontal 2 2) x = 1 é a equação da assíntota4) y= vertical e y = 3 é a assintota ( x − 1) 2 horizontal 3 3) x = 0 é a equação da assíntota5) y = −1 + vertical e y = 0 é a assíntota x−2 horizontal 4) x = 1 é a equação da assíntotaVerifique se as funções abaixo são contínuas vertical e y = 0 é a assíntotanos pontos indicados horizontal 5) x = 2 é a equação da assíntota ⎧| x − 3 | vertical e y = - 1 é a assíntota ⎪ se x ≠ 36) f ( x ) = ⎨ x − 3 em x = 3 horizontal ⎪ 1 ⎩ se x = 3 6) a função não é contínua 7) a função é continua x2 − 9 8) a função é contínua7) f ( x) = em x = 3 x−3 9) a função não é contínua8) f ( x) = 3 x − 5 em x = 2 68
  • 70. Cálculo Diferencial e Integral AULA 13 9 – DERIVADAS9.1 – INTRODUÇÃO: O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logode início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos àMatemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nasciências naturais como humanas. O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora darealidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral naresolução de problemas cotidianos.9.2 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AOGRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTEGRÁFICO: Seja f uma função representada no gráfico abaixo: y f(x) x x Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinadoponto, vamos supor P(x, f(x)). Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim,devemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (x, f(x)). y f(x) x x 69
  • 71. Cálculo Diferencial e Integral Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferençaentre as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando osconceitos de trigonometria no triângulo retângulo. Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q. f(x) y s Q f(x+h) P f(x) R x x+h x Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado pr QR m PQ = m s = tgα = PR f ( x + h) − f ( x ) ms = (i) inclinação da reta secante h Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3, Q5,....Qn cada vez mais próximos de P, a retas(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero. f(x) y s Q f(x+h) Q1 Q2 P Q3 f(x) R x x+h x Logo: mt = lim x →0 m s f ( x + h) − f ( x ) mt = lim x →0 honde m representa o coeficiente angular da reta tangente. Esse limite quando existe é chamado Derivada de t 70
  • 72. Cálculo Diferencial e Integral9.3 – DEFINIÇÃO: Seja uma função f: D → R, e seja D’ o conjunto de todos os valores x tal que exista f’(x). Chama-se função derivada de f a função f’ : D’ → R tal que: f ( x + Δx ) − f ( x ) f ( x ) = lim Δx →0 ΔxExemplo:1) Se f(x) = x2 determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa x = 2 71
  • 73. Cálculo Diferencial e Integral1) Seja a função f: R → R tal que f(x) = x2. Obter a função derivada de f:2) Utilizando a definição calcule a derivada da função f(x)=x39.3.1 – Outras notações para a função derivada: y’ (lê-se: derivada de y) y’x (lê-se: derivada de y em relação a x) dy (derivada de y em relação a x) dx Df (derivada de f) 72
  • 74. Cálculo Diferencial e Integral9.4 – SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um móvelem um instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou seja, a expressãoque nos dá o espaço (posição) em função do tempo, s=f(t). Quantitativamente a velocidade exprime em geral, a razão de variação do espaço emrelação ao tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou seja, se omóvel percorre um espaço ΔS em um intervalo de tempo Δt , a velocidade é dada pelo quociente ΔSv= , que é uma razão constante. Δt Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaçosdiferentes em tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média davelocidade instantânea. Se um automóvel percorre 120 km em 2 horas, não podemos concluir deste fato que suavelocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao velocímetroconstataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora para menos. Portanto avelocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 120km pelo tempo de 2 horas gastos empercorrê-los é o que chamamos de velocidade média. A velocidade que observamos a cadainstante no velocímetro do veículo denominamos velocidade instantânean. Consideremos um móvel de equação horária s = f(t) que se desloca sobre uma trajetóriaretilínea de origem O e que em um instante t1 ocupe uma posição S1 e num instante t2 ocupe umaposição S2. 0 S1 S2 Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é ΔS = S 2 − S1 ouΔS = f (t 2 ) − f (t1 ) e que o tempo gasto para percorrê-lo é Δt = t 2 − t1 . Logo, sua velocidade média neste percurso é: ΔS S 2 − S1 f (t 2 ) − f (t1 ) Vm = = = Δt t 2 − t1 t 2 − t1 Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo tendendo a zeropodemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t1, dada por: ΔS f (t 2 ) − f (t1 ) V = lim Δt →0 = lim Δt t 2 − t1 Mas t 2 − t1 = Δt ⇒ t 2 = t1 + Δt e considerando t1 um instante genérico t, temos t 2 = t + Δt ,logo: f (t + Δt ) − f (t ) V = lim Δt →0 Δtque é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja: Se S = f(t) então S’(t) = v Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do móvel, v=f(t), o que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração do móvel em uminstante qualquer, isto é: Se v = f(t) então v’(t) = aOnde a é a aceleração instantânea do móvel. 73
  • 75. Cálculo Diferencial e Integral9.5 – REGRAS DE DERIVAÇÃO: Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo dasderivadas.1) f(x) = c f’(x) = 02) f(x) = xn f’(x) = n.xn-13) f(x) = u.v f’(x) = u’v + uv’4) f(x) = u.v.w f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’ u u v − uv5) f ( x) = f ( x) = v v26) f(x) = un f’(x) = n.un-1.u’7) f(x) = au f’(x) = au.ln a.u’8) f(x) = eu f’(x) = eu.u’ u9) f(x) = ln u f ( x) = u u10) f(x) = log a u f ( x) = u. ln a11) f(x) = cos u f’(x) = - u’.sen u12) f(x) = sen u f’(x) = u’.cos u13) f(x) = tg u f’(x) = u’.sec2 u14) f(x) = cotg u f’(x) = - u’.cossec2u15) f(x) = sec u f’(x) = u’.sec u. tg u16) f(x) = cossec u f’(x) = - u’.cossec u. cotg u17) f(x) = uv f’(x) = v.uv-1.u’ + uv.v’.ln u v f ( x) = u v (v ln u + .u ) u u18) f(x) = arc sen u f ( x) = 1− u2 −u19) f(x) = arc cos u f ( x) = 1− u2 u20) f(x) = arc tg u f ( x) = 1+ u2 74
  • 76. Cálculo Diferencial e Integral9.5.1 – Derivada de função Algébrica:Exemplos:1) y = 4x2 – 2x 7x2 32) y = − − 5 73) y = x2 3 2x4) y = x +15) y = ( 2 x + 3)(1 − x + x ) 26) y = ( x + 3) 2 57) y = 1 − x 2 28) y = 4x + 3 75
  • 77. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 13 – EXERCÍCIOS Respostas: 1) y’ = 20x3 – 9x2 + 4x + 31) y = 5X4 – 3X3 + 2X2 + 3X + 5 2) y’ = 28x3 – 6x2 + 82) y = 7x4 -2x3 + 8x 3) y’ = 2x2 + 5x – 4 2 x 3 5x 2 213) y = + − 4x 4) y = − 3 2 x4 204) y = 7 5) y = − 6 x3 x 4 4x 2 + x5) y = 6) y = x5 2x6) y = x2 + x 2 3 7) y = − 4 + 4x 3 5 3 5 x 4 x7) y = x − x +x 5 2 4 3 4 38) y = 12 x + 6 x 3 8) y = 18 x + x 1 −39) y = 3x − 5 9) y = 2 9 x − 30 x + 25 3x + 5 − 3110) y = 2x − 7 10) y = ( 2 x − 7) 2 2x + 311) y = 2 − 2 x 2 − 6 x + 25 x − 5x + 5 11) y = x 2 − 3x + 2 ( x 2 − 5 x + 5) 212) y = 2 x −x+2 2x 2 − 4 12) y =13) y = (1 + 4x3)(1 + 2x2) ( x 2 − x + 2) 214) y = (x2 – 1)(1 – 2x)(1 – 3x2) 13) y’ = 40x4 + 12x2 + 4x15) y = (2x2 – 4x + 8)8 14) y’ = 30x4 – 12x3 – 24x2 + 8x + 216) y = (3a- 2bx)6 15) y’ = (32x – 32)(2x2 – 4x + 1)717) y = 3 a + bx 3 16) y’ = -12b(3ª-2bx)5 bx 218) y = 3 (2 − 5 x 2 ) 2 17) y = 3 (a + bx 3 ) 219) y = (a + x ) a − x − 20 x20) y = x 5 x + 4 18) y = 2x − 5 33 2 − 5 x 221) y = a − 3x 6x3 + 5 19) y = 2 a−x x +122) y = 15 x + 8 x 2 + 2x + 4 20) y = 2 5x + 4 1+ x − 6 x 3 + 45 x 2 + 1023) y = 21) y = 1− x (6 x 2 + 5) 3 a+ x24) y = 3 a− x 22) y = ( x 2 + 2 x + 4) 3 1 23) y = 1 − x 2 (1 − x) a 24) y = x (a − x ) 2 76
  • 78. Cálculo Diferencial e Integral AULA 149.5.2 – Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas: Exemplos:1) y = 3 x2) y = e x x2 +2 x3) y = e4) y = x ⋅ e 2 ax ex −15) y = x e +16) y = log 3 x7) y = log a ( x + 1) 2 e x − e−x8) y = e x + e−x 77
  • 79. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 14 – EXERCÍCIOS Respostas: 1) y = 3x 1) y = 3 ln 3 x 2) y = e – x −x 2) y = −e 3) y = e x8 3) y = 8 x .e 7 x8 x 2 + x +1 4) y = e x 2 + x +1 4) y = e .(2 x + 1) x2 +2 x 5) y = 7 x2 +2 x 5) y = 7 . ln 7.(2 x + 2) ex 6) y = e ( x − 1) x x 6) y = x2 7) y = ( x + 1) x x −1 7) y = x ( x + 1) + ( x + 1) x ln( x + 1) x 3 +1 8) y = ( x + 1) +1 8) y = ( x 3 + 1)( x + 1) x + ( x + 1) x .3x 2 . ln( x + 1) 3 3 9) y = ln x 3 ln 2 x 10) y = 4 log x 3 9) y = 3 x x2 12 11) y = ln 10) y = 1+ x2 x ln 10 1+ x 2 12) y = ln 11) y = 1− x x(1 + x 2 ) 13) y = ln 9 − 2 x 2 2 12) y = 14) y= 1 (1 − x) 2 x ln x − 2x 15) y = e x ln x 13) y = 9 − 2x 2 16) y = x 2 ln x 2 − ln x − 1 14) y = ln x ( x ln x) 2 17) y= x ⎛ 1⎞ 15) y = e x ⎜ ln x + ⎟ ⎝ x⎠ 16) y = 2 x(ln x + 1) 2 1 − ln x 17) y = x2 78
  • 80. Cálculo Diferencial e Integral AULA 159.5.3 – Derivada de Funções Trigonométricas: Exemplos:1) y = sen 5x2) y = 3cos 2x3) y = tg 3x4) y = sec 4x5) y = tg x36) y = tg2 x7) y = cotg(1 – 2x2)8) y = x2cosx9) y = sen2x.cosx cos x10) y = x x11) y = arccos 2−x 79
  • 81. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 15 – EXERCÍCIOS 1) y = cossec 7x Respostas 2) y = sen3x + cos2x 1) y’ = -7cossec7x.cotg7x 3) y = sen5x 2) y’ = 3cos3x-2sen2x 4) y = 5sen3x 3) y’ = 5sen4x.cosx 4) y’ = 15sen2x.cosx 5) y = 3 tg 3x tg 3 x 3 6) y = sen 2 x + 1 5) y = cos 3 x.sen3 x cos x 7) y = cos 2 x + 1 xe x 6) y = 8) y = (cos x ) x 2x + 1 − x( senx + cos x) − cos x senx 7) y = 9) y = x 2e x cos x 8) y = (cos x) (ln cos x − xtgx) x 10) y = e x senx + 4x 3 9) y = sec x 2 11) y = sec 3 x 10) y = e ( senx + cos x) + 12 x x 2 12) y = x 2 senx.e x 3 13) y = arcsen3x 11) y = sec 3 x .tg x 2 x 1 14) y = arctg 12) y’ = xex(2senx+xcosx+xsenx) x 3 15) y = arcsen(3 x − 2) 13) y = 1 − 9x 2 16) y = arctg 2x 2 −1 17) y = arcsen(5 − 2 x 3 ) 14) y = 2 x +1 18) y = arc cot g (1 − x 2 ) 3 15) y = 19) y = arc sec x 3 − 9 x + 12 x − 3 2 20) y = arccos sec( x − 1) 4x 16) y = 21) y = x 2 + arcsenx 1 + 4x 4 22) y = x.arctgx − 6x 2 23) y = ln arccos x 17) y = − 4 x 6 + 20 x 3 − 24 2x 18) y = 2 − 2x 2 + x 4 3 19) y = x x6 −1 −1 20) y = ( x − 1) x 2 − 2 x 1 21) y = 2 x + 1− x2 x 22) y = arctgx + 1+ x2 −1 23) y = arccos x. 1 − x 2 80
  • 82. Cálculo Diferencial e Integral AULA 169.6 – DERIVADAS SUCESSIVAS Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A ⊂ I. Vimosque a derivada de f em A denotamos por f’ . Se f’ é derivável em um intervalo B, B ⊂ A, a estaderivada de f’ denotamos por f” denominamos derivada segunda de f. Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas.Exemplo:1) Obtenha até a derivada de 5a ordem da função f(x) = 5x5 – 3x32) Dada a função f(x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, pede-se calcular f”(-1) e f(6)(15)9.7 – REGRAS DE L’HOSPITAL 0 ∞ Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo ou . 0 ∞Esse método é dado pelas regras de L’Hospital. Regras de L’Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I.Suponhamos que g’(x) ≠ 0 para todo x ≠ a em I. f ( x) i). Se lim x → a f ( x) = lim x → a g ( x) = 0 e lim x → a = L então: g ( x) f ( x) f ( x) lim x →a = lim x →a =L g ( x0 g ( x) 81
  • 83. Cálculo Diferencial e Integral f ( x) ii). Se lim x → a f ( x) = lim x → a g ( x ) = ∞ e lim x → a = L então: g ( x) f ( x) f ( x) lim x →a = lim x →a =L g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) Obs.: A regra de L’Hospital continua válida se lim x → a = +∞ ou lim x →a = −∞ . Ela g ( x) g ( x)também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito.Exemplos: Determinar 2x1) lim x →0 e −1 x senx2) lim x →0 x 1 − cos x3) lim x →0 x x −24) lim x → 4 x−4 x2 + x − 65) lim x → 2 x 2 − 3x + 2 82
  • 84. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 16 – EXERCÍCIOS 17) Obter a derivada segunda das seguintes funções: x2 −1 x21) lim x →1 a) y= x −1 a+x b) y = ex.cosx x 3 − 3x + 22) lim x →1 3 x − x2 − x +1 x33) lim x →∞ x e ln x4) lim x →1 x −1 x − senx5) lim x →0 3x 2 1 − x − e−x6) lim x → +∞ 2x3 e x − e37) lim x →3 x−3 tgx − x8) lim x →0 Respostas x − senx e x − e−x − x2 1) 29) lim x →0 2 x − senx 2) 3 2 1− x2 3) 010) lim x →1 senπx 4) 1 x 5) 0 1 − sen 6) 011) lim x →π 2 7) e3 π −x 8) 2 x − senx 9) 212) lim x →0 x3 10) 2 π ax − bx 11) 013) lim x →0 x 12) 1 6 1 − sen 3 x14) lim x →π a 2 x −π 13) ln 2 b e −1 x2 14) 015) lim x →0 15) -2 cos x − 1 16) a) 6 b) 0 c) 016) Obter a derivada terceira das seguintes d) -120x-6funções: e) -27cos3x f) 8e2x a) f(x) = x3 + 2x2 + 1 b) f(x) = 5x2 – 3x +2 2a 2 1 17) a) y" = c) f ( x) = −1 (a + x) 3 2x d) f(x) = 2x-3 b) y” = -2exsenx e) f(x) = sen3x f) f(x) = e2x 83
  • 85. Cálculo Diferencial e Integral AULA 179.8 – APLICAÇÃO DAS DERIVADAS9.8.1 – Taxas de Variação Relacionadas Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de umaterceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual dependemtambém estarão. dy dy dx Exemplo: Se y depende de x e x depende de t, temos: = ⋅ dt dx dtExemplos: 1) Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa de variação de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 15cm. 2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5cm/s. Achar a taxa de variação de seu volume no instante em que sua aresta mede 10cm. 84
  • 86. Cálculo Diferencial e Integral Profa Paula Francis Benevides3) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4m? 85
  • 87. Cálculo Diferencial e Integral9.8.2 – Máximos e Mínimos9.8.2.1 – Introdução: Suponha que o gráfico abaixo tenha sido feito por um instrumento registrador usado paramedir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos xrepresenta o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x). Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão,corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de um produtoquímico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc. Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela édecrescente. y P M N a b c d e x A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c,d[ e decrescente de ]d, e[. Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade atingiuseu máximo (maior valor) em d e seu mínimo em c. Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos. O ponto M da curva, de abscissa x = b, situa-se exatamente no ponto onde a função passade crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x =b, ou que f(b) é um máximo local da função. Isto é, o valor de f(b) é o maior valor que a funçãoassume para valores de x, próximos de b. Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o ponto mais altodos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo “local”. Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. Oponto N da curva situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente paracrescente e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe sãopróximos. Dizemos que a função apresenta ai um mínimo local, ou que f(c) é um mínimo local def. O valor de f(c) é o menor valor que a função assume para valores próximos de x, próximos de b. Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais.Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então: i). f(x) é máximo de f em l se f(x) ≤ f(c) para todo x em l ii). f(x) é mínimo em f em l se f(x) ≥ f(c) para todo x em lDefinição 2: Seja c um valor do domínio de uma função f i). f(c) é máximo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) ≤ f(c) para todo x em (a,b) ii). f(c) é mínimo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) ≥ f(c) para todo x em (a,b)Teorema: Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f’(c) = 0 ou f’(c) não existe. 86
  • 88. Cálculo Diferencial e Integral Suponha que uma função f seja derivável, neste caso o seu gráfico admite tangente emcada ponto, conforme o gráfico abaixo. B A No ponto B, de máximo local, e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma retahorizontal, paralela ao eixo x. Logo f’(a) = f’(b) = 0 pois o coeficiente angular da retatangente é a derivada da função no ponto. Se f é uma função derivável e xo ponto tal que f’(xo) = 0 ou não exista, dizemos que x0 éum ponto crítico da função f. Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máximos e mínimos locais de umafunção ocorrem em pontos críticos da função. A condição f’(x) = 0 é necessária para que haja máximo ou mínimo local no pontox, mas não é suficiente. Seja por exemplo a função f(x) = x3. Derivando temos: f’(x) = 3x2, logo f’(x) = 0 e oponto de abscissa x = 0 não é nem máximo local nem mínimo local da função.Definição 3: Um ponto (número) c do domínio de uma função f é ponto crítico de f se, ou f’(c)=0ou f’(c) não exista.Exemplo: Determine os pontos críticos da função f(x) = 4x2 – 3x + 2 87
  • 89. Cálculo Diferencial e Integral9.8.2.2 – Determinação dos Máximos e Mínimos locais: 1º) Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f’(x)=0, cujas raízes são as abscissas dos pontos críticos de f. 2º) Examinamos cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de extremo ou não. Para isso, utilizaremos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda.9.8.2.3 – Crescimento e Decrescimento de funções:Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervaloaberto (a, b). i). Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a, b] ii). Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a, b]9.8.2.4 – Teste da Derivada Primeira: Suponhamos que para x = x0 a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muitopróximos de x0 tais que a<x0<b, então: i). Se tivermos que f’(a) > 0 e f’(b) < 0, então, nesse caso a função passa de crescente a decrescente e podemos afiram que f(x0) é um máximo local da função. ii). Se tivermos que f’(a) < 0 e f’(b) > 0, então, nesse caso a função passa de decrescente a crescente e podemos afirmar que f(x0) é um mínimo local da função.Exemplos: 1) Seja a função f(x) = x2 -4. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se existirem. 88
  • 90. Cálculo Diferencial e Integral 2) Seja a função f(x) = - x3 + 8x2 + 12x – 5. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se existirem.9.8.2.5 – Concavidade e Teste da Derivada Segunda:Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c,então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é: i). Côncavo para cima se f”(c) > 0 ii). Côncavo para baixo se f”(c) <0Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e f’(c)=0. i). Se f”(c) < 0, então f tem máximo local em c ii). Se f”(c) > 0, então f tem mínimo local em c Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta sejacontínua no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico eclassificá-lo. Seja x0 a abscissa de um ponto crítico, se f”(x0) > 0, o gráfico de f côncavo para cima parax próximo de x0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f(x0) é um mínimo local def. 89
  • 91. Cálculo Diferencial e Integral Se f”(x0) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo pra x próximo de x0, isto é, f temconcavidade voltada pra baixo, e nesse caso, f(x0) é um máximo local de f. Resumindo: ⎧ f ( x0 ) = 0 Mínimo Local: ⎨ ⎩ f " ( x0 ) > 0 ⎧ f ( x0 ) = 0 Máximo Local: ⎨ ⎩ f " ( x0 ) < 0Exemplo: Determinar os pontos máximos ou mínimos da função f(x) = - x3 – 3x2 + 9x – 5, seexistirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA. 90
  • 92. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 17 – EXERCÍCIOS 5π 1) cm 2 / min 21) Ao aquecer um disco circular de metal, 4seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min. a) m / minQuando o diâmetro esta com 5 metros, a que 2) πtaxa esta variando a área de uma face? 1 b) m / min2) Um tanque em forma de cone com vértice 4πpara baixo mede 12 m de altura e tem notopo um diâmetro de 12 m. Bombeia-se água a )10,8πm 2 / sà taxa de 4m3/min. Ache a taxa com que o 3) b)21,6πm 2 / snível da água sobe: a) quando a água tem 2 m de a)t = 5 e − 2profundidade. 3 b) quando a água tem 8 m de 4) b) x = − 3 e 7profundidade. 2 3 c) w = 23) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca 5) a) máx x = -2 e min x = 1/3uma série de ondulações concêntricas. Se o b) máx x = 7raio r da onda exterior cresce uniformemente c) máx x = 7/9à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com quea área de água perturbada está crescendo: 6) a) máx x = 3 e min x = 5 a) quando r = 3m b) máx x = -3/4 e min x = 5 b) quando r = 6m c) máx x = 3 e min x = - 94) Determine as abscissas dos pontos críticos 7) P(2,- 20)das funções abaixo: a) s(t) = 2t3 + t2 – 20t +4 b) f(x) = 4x3 – 5x2 – 42x + 7 c) g(w) = w4 – 32w5) Determine os pontos de máximo, demínimo e de inflexão das seguintes funçõesse existires, UTILIZANDO O TESTE DADERIVADA PRIMEIRA. a) y = 6x3 + 15x2 – 12x -5 4 2 b) f ( x ) = − x + 8x − 8 7 c) f(x) = - 9x2 + 14x +156) Determine as abscissas dos pontosmáximos ou mínimos das seguintes funções,UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADASEGUNDA. a) f(x) = x3 – 12x2 + 45x +30 b) y = 8x3 – 51x2 -90x +1 c) y = -x3 – 9x2 + 81x – 67) Imagine que a trajetória de uma pedralançada ao ar seja um trecho da paráboladada por y = 5x 2 – 2 0x (x e y em metros),determine o ponto máximo da função.Respostas: 91
  • 93. Cálculo Diferencial e Integral AULA 18 10 – INTEGRAIS10.1 – INTRODUÇÃO: Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir deagora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada? A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ouanti-derivada.Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se F’(x)= f(x) para todo x em lExemplo: Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1. F(x) = x4 + x2 + x é a anti-derivada da função f, pois F’(x0 =f(x). Mas não existe uma única integral, note por exemplo que: G(x) = x4 + x2 + x + 5 também éuma anti-derivada de f pois G’(x) = f9x0 Na verdade,qualquer função definida por H(x) = x4 + x2 + x + c onde x é uma constantequalquer, será uma integral de f.10.1.1 – NOTAÇÃO: A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de umafunção encontrada. O símbolo ∫ denota a operação de integral, e escrevemos: ∫ f ( x)dx = F ( x) + C onde F ( x) = f ( x) A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos aexpressão antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressãoIntegração Indefinida. Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temosalgumas regras, que veremos a seguir.10.2 – INTEGRAIS IMEDIATAS x n +1∫ x dx = n + 1 + c n ∫ x dx = 51) dx2) ∫x 2 = dx3) ∫ 3 x2 = 92
  • 94. Cálculo Diferencial e Integral4) ∫ (1 − x) x dx = 2 ⎛ 2 1 ⎞5) ∫ ⎜ x + ⎟ dx = ⎝ x⎠ 3 ( x 3 + 5 x 2 − 4)6) ∫ x2 dx = ∫ (x + 2) 2 .3 x 2 dx = 37) v n +1∫ v dv = +c n n +18) ∫ a 2 + b 2 x 2 .xdx = dv∫ v = ln v + c dx9) ∫ (2 x − 3) = 93
  • 95. Cálculo Diferencial e Integral x 2 dx10) ∫ = 1 − 2 x3 av∫ a dv = +c ∫ e dv = e +c v v v ln a 1 e x11) ∫ 2 dx = x ∫ 3 e dx = x x12) (a x − bx ) 213) ∫ a xb x dx =∫ tgv.dv = − ln cos v + c ou ∫ tgv.dv = ln sec v + c14) ∫ tg2 xdx =∫ cos sec vdv = ln(cos sec v − cot gv) + c15) ∫ cos sec xdx = 94
  • 96. Cálculo Diferencial e Integral∫ sec vdv = tgv + c 2 ∫x sec 2 x 3dx = 216)∫ sec vdv = ln(sec v + tgv) + c dx17) ∫ sec x x =∫ sec x.tgx.dx = sec x + c senx18) ∫ cos 2 x dx =∫ cos sec xdx = − cot gx + c 2 dx19) ∫ 1 + cos x = 95
  • 97. Cálculo Diferencial e Integral dv v dv v∫ a2 − v2 = arcsen + c a ou ∫ a2 − v2 = − arccos + c a dx20) ∫ 16 − 9 x 2 = dv 1 v dv 1 v∫a 2 +v 2 = arctg + c a a ou ∫a 2 +v 2 = − arc cot + c a a dx21) ∫ 4x 2 +9 = dv 1 v dv 1 v∫v v2 − a2 = a arc sec + c a ou ∫v v2 − a2 = − arccos sec + c a a dx22) ∫x 4x 2 − 9 = 96
  • 98. Cálculo Diferencial e Integral dv 1 a+v∫a 2 − v2 = 2a ln a−v +c dx23) ∫ 9x 2 −1 = dv 1 v−a dv∫v 2 −a 2 = ln 2a v + a +c ∫ v ±a 2 2 = ln(v + v 2 ± a 2 ) + c dx24) ∫ 3x 2 + 4x − 7 = 97
  • 99. Cálculo Diferencial e IntegralAula 18- Exercícios cos3 x 17) ∫ dx sen 4 x 8x21) ∫ 3 dx ( x + 2)3 ∫ tg 4 18) x.dx ( x + 3) ∫ (x ∫ (tg 2 x + sec 2 x) dx 22) dx 19) 1 2 + 6 x) 3 ∫ (tgx + cot gx) 2 20) dx ∫ x − 2 x dx 2 43) ax (2 + ln x) 21) ∫x 4 + b4 dx4) ∫ x dx dt (1 + x) 2 22) ∫ 4 − 9t 25) ∫ x dx cos θ .dθ 23) ∫ 4 − sen θ ∫ (e 26) x + 1)3 .e x dx dx7) ∫ sen2 x.cos 2 x.dx 2 24) ∫x x 4 −1 2 ⎛ sec x ⎞ arccos2 x8) ∫ ⎜ ⎜ 1 + tgx ⎟ dx ⎟ 25) ∫ dx ⎝ ⎠ 1 − x2 3ax x29) ∫ b2 − c 2 x 2 dx 26) ∫ 5 − x6 dx dx dx10) ∫ x.ln x 27) ∫ (1 + x )arctgx 211) ∫ tg 2 x.dx dx 28) ∫e x + e− x dx12) ∫ (e 2x 2 sec x.tgx ) 29) ∫ 9 + 4 sec 2 x dx senx + cos x13) ∫ dx dx cos x 30) ∫x 2 + 2x + 5 cot gx14) ∫ sen x dx dx ∫ 2 31) 3x − x 2 − 2 ∫ (sec 4 x − 1) dx 215) 3dx sec x.tgx 32) ∫ (2 x + 1) x2 + x − 216) ∫ dx a + b sec x arccos x − x 33) ∫ 1 − x2 dx 98
  • 100. Cálculo Diferencial e Integral (cot gx) 2 13) ln(sec x) + x + c l 14) − +c 2x − 3 234) ∫ 2 dx 1 1 3x + 4 x − 7 15) tg 4 x − ln(sec 4 x + tg 4 x) + x + c 4 2 xdx 1 1 1 ln(a + b sec x) + c 17) − +c35) ∫ 27 + 6 x − x 2 16) b senx 3sen3 x tg 3 x 18) − tgx + x + c 19) tg 2 x + sec 2 x − x + c dx 336) ∫ 1 + x + x2 a x2 20) − cot gx + tgx + c 21) arctg 2 + c 2b 2 b 3x − 1 1 ⎛ 2 + 3t ⎞ 1 ⎛ 2 + senθ ⎞37) ∫ 4x2 + 9 dx 22) ln⎜ 12 ⎝ 2 − 3t ⎠ ⎟+c 23) ln⎜ 4 ⎝ 2 − senθ ⎠ ⎟+c 1 − arccos3 x 2x + 3 24) arc sec x 2 + c 25) +c38) ∫ 9x 2 − 12 x + 8 dx 2 3 1 ⎛ 5 + x3 ⎞ 26) ln⎜ ⎟ + c 27) ln(arctgx) + c sen2 x 6 5 ⎜ 5 − x3 ⎟ ⎝ ⎠39) ∫ 1 + sen 2 x dx 1 ⎛ 2 sec x ⎞ 28) arctge + c arctg ⎜ ⎟+c x 29) 6 ⎝ 3 ⎠ e 2 x dx ⎛ x + 1⎞40) ∫ 1 2 + e2 x 30) arctg ⎜ ⎟ + c 31) arcsen(2 x − 3) + c 2 ⎝ 2 ⎠ dx (2 x + 1) + c ∫x 32) arc sec41) 3 1 − ln 2 x arccos2 x 33) − + 1 − x2 + c dx 242) ∫ 2sen x + 3 cos 2 2 x 1 13 ⎛ 3x − 3 ⎞ 34) ln(3 x 2 + 4 x − 7) − ln⎜ ⎟+c 3 30 ⎝ 3x + 7 ⎠43) ∫ x. 3x + 2dx 3 35) − 27 + 6 x − x 2 + 3arcsen (x − 3) + c 6 36) ln( x + 1 + 1 + x + x 2 ) + c 2Respostas: 3 1 −4 3( x 2 + 6 x) 2 3 37) 4 x 2 + 9 − ln(2 x + 4 x 2 + 9 ) + c1) +c 2) +c 4 2 3( x + 2) 2 3 4 1 13 1 3x − 2 3 38) ln(9 x 2 − 12 x + 8) + . arctg +c (1 − 2 x ) 2 2 (2 + ln x) 2 9 9 2 23) − +c 4) +c 39) 2 1 + sen 2 x + c 6 2 3 5 1 ex 4x 2 2x 2 1 (e x + 1) 4 40) arctg +c5) 2 x + 2 + +c 6) +c 2 2 3 5 4 ln x (cos 2 x)3 −1 41) arcsen +c7) − +c 8) +c 1 6 1 + tgx 1 ⎛ 2 ⎞ − 3a 42) arctg ⎜ tgx ⎟ + c9) ln(b 2 − c 2 x 2 ) + c 10) ln(lnx) + c ⎜ 3 ⎟ 2c 2 6 ⎝ ⎠ −1 (3 x + 2) 3 − (3x + 2) 3 1 1 7 1 411) ln(sec 2 x) + c 12) +c 43) 2 4e 4 x 21 6 99
  • 101. Cálculo Diferencial e Integral AULA 1910.3 - INTEGRAIS POR PARTES ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du ∫ x.e dx = x1) ∫ x .ln x.dx = 22)3) ∫x 3 x + 2dx = 3 100
  • 102. Cálculo Diferencial e Integral4) ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx = ∫e sen2 xdx = senx5) 101
  • 103. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 19 – EXERCÍCIOS Respostas:1) ∫ arcsenxdx = 1) x.arcsenx + 1 − x + c 2 ∫ sen xdx = 22) x sen2 x 2) − +c 2 4 ∫ sec xdx = 33) 1 1 3) sec x.tgx + ln(sec x + tgx) + c ∫ x .senx.dx = 2 2 24) 4) − x . cos x + 2 xsenx + 2 cos x + c 2 ∫ x .e .dx = 3 x25) 1 x2 2 5) e ( x − 1) + c ∫ x .e .dx = 2 3 2x6) 3 2x ⎛ 4 3 ⎞7) ∫ x.arctgx.dx = 6) 8 .e .⎜ x − 2 x 2 − 2 x + 1⎟ + c ⎝3 ⎠ xdx ∫ arcsenx. = 7) arctgx(1 + x ) − x + c 28) (1 − x ) 2 3 arcsenx 1 ⎛1+ x ⎞ 8) − ln⎜ ⎟+c ∫ tg x.sec x.dx = 1 − x2 2 ⎝ 1 − x ⎠ 2 39) 1 3 1 110) ∫ x.arctg x 2 − 1dx = 9) 4 sec xtgx − sec xtgx − ln(sec x + tgx) + c 8 8 ln x.dx11) ∫ ( x + 1) 2 = 10) 1 2 2 x arctg x 2 − 1 − 1 2 2 x −1 + c x ln x ⎛ x ⎞12) ∫ arcsen x +1 dx = 11) − ( x + 1) + ln⎜ ⎟+c ⎝ x + 1⎠ x x +c 12) xarcsen − x + arctg x +1 102
  • 104. Cálculo Diferencial e Integral AULA 2010.4 – INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais trigonométricas dopresente capítulo: i). sen 2 x + cos 2 x = 1 ii). 1 + tg 2 x = sec 2 x iii). 1 + cot g 2 x = cos sec 2 x 1 iv). sen 2 x = (1 − cos 2 x) 2 1 v). cos 2 x = (1 + cos 2 x) 2 1 vi). senx ⋅ cos x = sen2 x 2 senx ⋅ cos y = [sen( x − y ) + sen( x + y )] 1 vii). 2 senx ⋅ seny = [cos( x − y ) − cos( x + y )] 1 viii). 2 cos x ⋅ cos y = [cos( x − y ) + cos( x + y )] 1 ix). 2 1 x). 1 − cos x = 2 sen 2 x 2 1 xi). 1 + cos x = 2 cos 2 x 2 ⎛1 ⎞ xii). 1 ± senx = 1 ± cos⎜ π − x ⎟ ⎝2 ⎠Exemplos: ∫ sen xdx = 21) ∫ cos 3 xdx = 22) 103
  • 105. Cálculo Diferencial e Integral ∫ sen xdx = 33) ∫ cos xdx = 64) ∫ sen x cos 2 xdx = 25) 104
  • 106. Cálculo Diferencial e Integral6) ∫ sen3x.sen2 xdx =7) ∫ sen3x. cos 5x.dx =8) ∫ cos 4 x. cos 2 x.dx = ∫ (1 + cos 3x ) 39) 2 .dx = 105
  • 107. Cálculo Diferencial e Integral10) ∫ 1 − cos x dx = dx11) ∫ 1 − sen2 x = ∫ tg x.dx = 412) ∫ cot g 2 xdx = 313) 106
  • 108. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 20 – EXERCÍCIOS Respostas: 2 1 1) senx − sen 3 x + sen 5 x + C ∫ cos xdx = 51) 3 5 3 1 12) ∫ sen xdx = 2) x − sen2 x + sen4 x + C 4 8 4 323) ∫ cos 2 x.sen 3 2 x.dx = 4 1 1 3) cos 7 2 x − cos 5 2 x + C4) ∫ sen 3 x. cos 5 3 xdx = 14 10 3 1 15) ∫ sen 4 x. cos 4 xdx = 4) cos 8 3x − cos 6 3x + C 24 18 sen 3 x 1 ⎛ sen8 x ⎞6) ∫ cos 4 x 3 dx = 5) 128 ⎝ ⎜ 3x − sen4 x + 8 +C⎟ ⎠ 37) ∫ tg xdx = − 1 5 6) 3 cos 3 x + cos 3 x + C 5 5 ∫ sec 2 xdx = 48) 4 tg x tg x 2 7) − + ln sec x + C9) ∫ sec x.tg xdx = 4 3 4 2 1 3 110) ∫ tg 2 x. sec 2 xdx = 8) tg 2 x + tg 2 x + C 3 3 6 211) ∫ tg x. sec xdx = 4 4 4 6 tg x tg x sec 6 x sec 4 x 9) + + C ou − +C12) ∫ cot g 3 xdx = 4 6 6 4 4 1 1 10) sec 5 2 x − sec 3 2 x + C 10 6 5 7 tg x tg x 11) + +C 5 7 1 1 12) − cot g 3 x + cot g 3 x + x + C 3 9 3 107
  • 109. Cálculo Diferencial e Integral AULA 2110.5 – INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma p( x)R( x) = , onde p e q são polinomiais e o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A ídéia é q ( x)desdobrar o integrando R(x) em uma soma de funções racionais mais simples, que podem serintegradas. É fácil verificar que: 2 1 −1 = + x −1 x −1 x +1 2 2 A expressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de . x −1 2 2 Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de . x −1 2 Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo: 2 1 −1 ∫x 2 −1 dx = ∫ x −1 dx + ∫ x +1 dx O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes:CASO 1: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores distintos do 1o grau. Nestecaso, a cada fator da forma (ax + b), a ∈ ℜ e , b ∈ ℜ , que aparece no denominador, corresponde * Auma fração da forma . (ax + b)Exemplos: 2 2 = x( x − 1) x( x − 1)( x + 1) 2 2 A B C = + + x( x − 1) x ( x − 1) ( x + 1) 2 4 x 2 + 13x − 9Calcule ∫ x 3 + 2 x 2 − 3x dx = 108
  • 110. Cálculo Diferencial e IntegralCASO 2: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores repetidos do 1o grau. A cadafator da forma (ax + b) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de nfrações da forma: A1 A2 An + + ... + ax + b (ax + b) 2 (ax + b) nExemplos: 1+ x 1+ x = ( x + 1) ( x − 2 x + 1) 2 2 2 ( x + 1)( x + 1)[( x − 1) 2 ] 2 1+ x 1 = ( x + 1) ( x − 2 x + 1) 2 2 2 ( x + 1)( x − 1) 4 1+ x A1 A2 A3 A4 A5 = + + + + ( x + 1) ( x − 2 x + 1) 2 2 2 ( x + 1) ( x − 1) ( x − 1) 2 ( x − 1) 3 ( x − 1) 4 3x 3 − 18 x 2 + 29 x − 4Calcule ∫ dx = ( x + 1)( x − 2) 3 109
  • 111. Cálculo Diferencial e IntegralCASO 3: O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da formaq(x) = ax2 +bx + c com a ≠ 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1o grau. A cada Ax + Bfator q(x) que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma q (x)Exemplo: 1 A x + B1 A x + B2 = 21 + 22 ( x + x + 1)( x + 1) ( x + x + 1) ( x + 1) 2 2 x 2 − x − 21Calcule ∫ 2 x 3 − x 2 + 8 x − 4 dx = 110
  • 112. Cálculo Diferencial e IntegralCASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da formaq(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1o grau. A cadafator de q(x) que aparece repetido no denominador, corresponde uma soma de frações da A1 x + B1 A2 x + B2 A x + Bnforma + 2 + ... + n q( x) [q ( x)] [q ( x)]n 5 x 3 − 3x 2 + 7 x − 3Calcule ∫ ( x 2 + 1) 2 dx = 111
  • 113. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 21 – EXERCÍCIOS 5 x − 121) ∫ x( x − 4)dx = 37 − 11x2) ∫ ( x + 1)( x − 2)( x − 3) dx = 6 x − 113) ∫ ( x − 1) 2 dx = x + 164) ∫x + 2x − 8 2 dx = 5 x 2 − 10 x − 85) ∫ dx = x3 − 4x 2 x 2 − 25 x − 336) ∫ dx = ( x + 1) 2 ( x − 5)Respostas:1) 3 ln | x | +2 ln | x − 4 | +C2) 4 ln | x + 1 | −5 ln | x − 2 | + ln | x − 3 | +C 53) 6 ln | x − 1 | + +C x −14) − 2 ln | x + 4 | +3 ln | x − 2 | +C5) 2 ln | x | − ln | x − 2 | +4 ln | x + 2 | +C 16) 5 ln | x + 1 | − − 3 ln | x − 5 | +C x +1 112
  • 114. Cálculo Diferencial e Integral AULA 2210.6 – INTEGRAL DEFINIDA:Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma função tal bque g’(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]. Então ∫ a f ( x)dx = g (b) − g (a ) . b A expressão ∫ a f ( x)dx é chamada de Integral Definida de f de a até b. Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f, então aintegral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) – g(a). Os valores de a e b são chamados de limites de integração.Exemplos: 31) Calcule ∫ 1 x 2 dx = 32) Calcule ∫ 5dx = 1 73) Calcule ∫0 xdx = 113
  • 115. Cálculo Diferencial e Integral10.6.1 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: Vamos agora interpretar geometricamente os exemplos 2 e 3.1) Seja f(x) = 5 (exemplo 2). Tomemos a região delimitada por (x), o eixo x e as retas x = 1 e x= 3. y X=1 X=3 x Temos um retângulo de base 2 e altura 5, cuja área é dada por: A1 = b.h = 2x5 = 10u.a (como no exemplo 2)2) Seja f(x) = x (exemplo 3). Tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x) = x e asretas x = 0 e x = 7. y f(x)=x 7 3 1 x 1 3 7 7 ⋅ 7 49 Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por A2 = = u.a . 2 2 Os fatos observados nestes exemplos não são mera coincidência. Na verdade, se f(x)>0 bpara x ∈ [a,b], então ∫a f ( x)dx nos fornece a área limitada por f(x) pelas retas x =a e x = b e oeixo x. 114
  • 116. Cálculo Diferencial e Integral3) Tomemos agora um exemplo em que f(x) < 0 em [a, b] −1 x2 −1 ⎡ (− 1)2 ⎤ ⎡ (− 3)2 ⎤∫−3 ( x + 1)dx = 2 + x −3 = ⎢ ⎣ 2 + (−1)⎥ − ⎢ ⎦ ⎣ 2 + (−3)⎥ = −2 ⎦ A região delimitada por y = (x+1), pelo eixo x e as retas x = - 3 e x = - 1 é apresentadaabaixo: y 1 -3 -1 x -1 -2 2⋅2 Note que A3 é um triângulo de base 2 e altura 2, assim, A3 = u.a. 2 −1 Assim, vemos que A3 = ∫−3 f ( x)dx . Em geral se f(x)<0 em [a, b] a área delimitada por f(x), o eixo x e as retas x = a e x=b é bdada por A = ∫ a f ( x)dx .10.6.2 – PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS 1. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma constantequalquer, então: b b ∫a k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx aExemplo: 3 Calcule o valor da integral ∫ 5xdx = 0 115
  • 117. Cálculo Diferencial e Integral 2. Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f + g éintegrável em [a, b] e: b b b ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ a a f ( x)dx + ∫ g ( x)dx aExemplo: ⎡ 2 1⎤ 5 Calcule o valor da integral ∫3 ⎢ ⎣ x + ⎥ dx = x⎦3. Se a função f é integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então: b c b ∫ a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a cExemplo: 3 Calcule o valor da integral ∫−2 xdx =AULA 22 – EXERCÍCIOS Respostas:Encontre o valor das integrais definidas abaixo: 21) ∫ 0 x 2 dx = 1) 8 3 22) ∫ x 3 dx = 15 1 2) 4 43) ∫ ( x 2 + 4 x + 5)dx = 3) 66 1 2 4) 44) ∫ ( x 3 + 1)dx = 6 −2 5) 1 ⎛ x 4 3 + 4 x 13 ⎞dx = 75) ∫−1 ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ 35 4 6)6) ∫ ( x + 2)dx = 2 [ ] −3 2 2 5 dx 7) 7 −17) ∫1 3x − 1 = 3 4374 3 8)8) ∫−3 (t 6 − 3t )dt = 7 9) 2 4 xdx9) ∫0 x2 + 9 = 10) 38 3 510) ∫ 0 x + 4dx = 11) 3 1 511) ∫ 8 x 7 dx = 3 0 116
  • 118. Cálculo Diferencial e Integral AULA 2310.6.3 – APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA10.6.3.1 – CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f(x) ≥ 0 para todo x em [a,b], então temos que o número que expressa a área da região limitada pela curva y = f(x), o eixo xe as retas x = a e x = b é dada por, em unidades quadradas: b A = ∫ f ( x)dx a Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até b. y Área = R x a bExemplos:1) Encontre a área limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2. y x=1 x=2 x 117
  • 119. Cálculo Diferencial e Integral2) Encontre a área limitada pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas y = - 2 e x = 2 y -2 2 x -43) Calcule a área limitada pelas curvas y = x2 + 1, y = - x2 - 1 e as retas x = -1 e x = 3. y 10 A1 -1 3 x A2 -10 118
  • 120. Cálculo Diferencial e Integral4) Calcule a área da região definida pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas x = -4 e x = 2 y 12 A1 x -4 -2 2 A2 -4 119
  • 121. Cálculo Diferencial e Integral10.6.3.1.1 – ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: Nesta seção, consideraremos a região que esta entre os gráficos de duas funções. Se f e g são contínuas em f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], então a área A da regiãoR, limitada pelos gráficos de f, g, x =a e x = b, pode ser calculada subtraindo-se a área da regiãosob o gráfico de g (fronteira inferior de R ) da área da região sob o gráfico de f (fronteira superiorde R): b b A = ∫ f ( x) xdx − ∫ g ( x)dx a a ou b ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a Suponha que desejamos calcular a área A delimitada por duas curvas f(x) e g(x) e as retasx = a e x = b, como ilustra a figura abaixo: y f(x) g(x) a b x Note que a área pode ser obtida pela diferença das áreas A1 – A2 y f(x) y g(x) a b x a b x b bSendo A1 = ∫ a f ( x)dx e A2 = ∫ g ( x)dx a A = A1 – A2 b b A= ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx a a b A = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx aAssim verificamos que é válido o teorema a seguir: 120
  • 122. Cálculo Diferencial e IntegralTeorema: se f e g são contínuas e f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], então a área A daregião delimitada pelos gráficos de f, g, x = a e x = b é: b A = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx aDiretrizes pra encontrar a área de uma região R limitada por duas funções: Esboçar a região, designando por y = f(x) a fronteira superior e por y = g(x) a fronteira inferior. Encontrar os pontos de intersecção (a e b) entre as duas funções (sistema de equações) b Calcular a integral A = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx aExemplos:1) Encontre a área A limitada pela curva f(x) = x2 + 2 e g(x) = 1 no intervalo de [-2, 3] 121
  • 123. Cálculo Diferencial e Integral2) Encontre a área A da região limitada pelas curvas y = x2 e y = -x2 + 4x.AULA 23 – EXERCÍCIOS 10) y = x2 e y = xEncontre a área delimitada pelas curvas e as Respostas:retas dadas. 1) y = 4x – x2, o eixo x, as retas x = 1 e 22 128 1) u.a 2) u.a.. x=3. 3 3 2) y = 8x-x2, o eixo x, as retas x= 0 e 32 32 x=4. 3) u.a 4) u.a 3) y = x2 + 1 e y =5 3 3 4) y = x2 e y = 4x 9 5) u.a 6) 1 u.a. 5) y = 1 – x2 e y = x – 1 2 π 7) 4 u. a 8) 4 u. a 6) y = senx, o eixo x, x = 0 e x = rad 2 1 9) 1 u. a. 10) u.a. 7) y = senx, o eixo x, x = 0 e x = 2 π rad 3 8) y = cosx, o eixo x, x = 0 e x = 2 π rad 9) y = x e y = x2 com 0 ≤ x ≤ 2 122
  • 124. Cálculo Diferencial e Integral AULA 2410.6.3.2 – VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO:Definição 1: Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região do plano emtorno de uma reta no plano, chamada de eixo de revolução.Exemplo: Ao girarmos o triângulo abaixo em torno do eixo y, obtemos um cone de revolução. y y x xDefinição 2: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se S for o sólido obtidopela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = ae x = b e se V for o número de unidades cúbicas do volume de S, então: b V = π ∫ [ f ( x)] 2 dx aExemplo: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região plana limitada pela curva y=x2 eas retas x = 2 e x = 3 em torno do eixo x. 123
  • 125. Cálculo Diferencial e IntegralDefinição 3: Seja uma região R do plano limitada pelos gráficos de x = a, x = b e pelos gráficosde duas funções contínuas f e g, com f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x em [a, b]. Então o volume dosólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x é dado por: b [ ] V = ∫ π f ( x) 2 − g ( x) 2 dx aExemplo: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitadapela parábola y = x2 + 1 e a reta y = x + 3 b) y = 2x, y = 6, x = 0AULA 24 – EXERCÍCIOS x c) y = , y = 4, x = 1 21) Seja f(x) = x2 + 1, determine o volumedo sólido gerado pela rotação em torno doeixo x, da região do plano limitada por f(x), Respostas:pelo eixo x e as retas x = -1 e x = 1. 56π 1 1) u.v.2) Seja f ( x ) = , determine o volume do 15 x 2πsólido gerado pela rotação em torno do eixo 2) u.v.x, da região limitada por f(x), pelo eixo x e 3as retas x = 1 e x = 3. 512π3) Seja f(x) = x2 – 4x, determine o volume 3) u.v. 15do sólido gerado pela rotação em torno doeixo x, da região do plano limitada por f(x) e 64 2π 4) a) u.v.pelo eixo x. 34) Em cada um dos exercícios abaixo esboce b) 72π u.v.a região R delimitada pelos gráficos dasequações dadas e determine o volume do 833π c) u.v.sólido gerado pela rotação de r em torno do 12eixo x. a) y = x2, y = 4 – x2 124
  • 126. Cálculo Diferencial e Integral AULA 25 11 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS11.1 – INTRODUÇÃO:Definição: Toda equação cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma derivadaou diferencial destas funções, denomina-se equação diferencial.Exemplos: dy1) = 3x − 1 dx2) xdy − ydx = 0 d2y3) +y=0 dx 2 ∂2Z ∂2Z4) + =0 ∂x 2 ∂y 2Classificação: A função y é denominada incógnita de uma variável independente de x. Quandoexiste apenas uma variável independente, a equação é denominada ordinária, quando há mais deuma variável livre, equação diferencial de derivadas parciais (4o exemplo).Ordem: A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem da derivada de mais altaordem contida na equação.Grau: Supondo-se a equação escrita sob forma racional inteira em relação às derivadas, o grauda equação é o maior dos expoentes a que esta elevada a derivada de mais alta ordem contidana equação.Exemplos: 2 d3y y ⎛ d3y ⎞ d3yx 3 − 3 =1 ⇒ x⎜ 3 ⎟ − y = 3 ⎜ dx ⎟ ⇒ 3a ordem e 2o grau dx d y ⎝ ⎠ dx dx 3 dy dy 1 dy dyLg − Lg x 2 = y ⇒ Lg dx = y ⇒ . = ey ⇒ = x 2e y ⇒ 1a ordem e 1o grau dx x2 2 x dx dx Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediatoquanto a ordem e grau. 125
  • 127. Cálculo Diferencial e IntegralResolução: Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam aequação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-anuma identidade. dyExemplo: = 3x − 1 dx Solução geral: solução que contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação. Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, atribuindo-se valores particulares as constantes arbitrárias. Solução singular: solução que não pode ser deduzida da equação geral.Curvas Integrais: A solução geral de uma ED representa uma família de curvas. Essa soluçãodenomina-se primitiva ou integral da ED.Exemplo: dy1) Seja a equação = 2x dx 126
  • 128. Cálculo Diferencial e Integral2) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial demenor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. 3x 2a) y = −x+6 2b) y = C1 sen x + C2 cos xc) y = C1 x2 + C2d) y = C1 e3x + C2 e- 2x 127
  • 129. Cálculo Diferencial e Integral11.2 - EQUAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São equações de 1a ordem e 1o grau: dy = F ( x, y ) ou Mdx + Ndy = 0 dxem que M = M(x,y) e N = N(x,y). Estas funções tem que ser contínuas no intervalo considerado ( - ∞, ∞)10 TIPO: EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Uma equação do tipo Mdx + Ndy = 0 em que M e N pode ser: a) Funções de apenas uma variável: b) Produtos com fatores de uma só variável ou c) Constantes.é denominada equação de variáveis separáveis.Exemplos: Resolver as seguintes equações: dy1) = 3x − 1 dx2) y dx – x dy = 0 128
  • 130. Cálculo Diferencial e Integral 4− x3) xdx − dy = 0 y4) tgx.sec ydx − tgy sec xdy = 0 129
  • 131. Cálculo Diferencial e Integral5) ( x − 1) 1 − y dx − x dy = 0 2 2 26) (x – 1) dy – y dx = 0 130
  • 132. Cálculo Diferencial e Integral dy 1 + y27) = dx (1 + x 2 ) xy8) (1 + x2)dy – xydx = 0 131
  • 133. Cálculo Diferencial e Integral dy 1 + y 29) = dx 1 + x 2 dy10) + y cos x = 0 dx 132
  • 134. Cálculo Diferencial e Integral11) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 – a2)(y2 – b2)dy = 012) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0 133
  • 135. Cálculo Diferencial e Integral ⎛ dy ⎞ dy13) a⎜ x + 2 y ⎟ = xy ⎝ dx ⎠ dx14) (1 + x2) y3 dx + (1 – y2) x3 dy = 0 134
  • 136. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 25 – EXERCÍCIOS Respostas:Sendo dadas as curvas seguintes, determinar 1) xdx + ydy =0para cada uma delas a equação diferencialde menor ordem possível que não contenha dynenhuma constante arbitrária. 2) −y=01) x2 + y2 = C2 dx2) y = C ex dy 3) 3 y − x = 2 xy 2 2 dx3) x3 = C (x2 – y2)4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x d2y 4) + 4y = 0 dx 25) y = (C1 + C2x) ex + C3 d3y d 2 y dy6) y = C1 e2x + C2 e- x 5) −2 2 + =0 dx 3 dx dxResolver as equações abaixo: d 2 y dy 1 dy 6) − − 2y = 07) − tgy. = 0 dx 2 dx x dx8) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 7) x cos y = C 1 8) 2 Lg ( x + 1) − =C 29) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0 y10) xy dx – (1 + x2) dy = 0 9) (2 + y)(3 – x) = C 10) C y2 = 1 + x2 dy e −2 y − arctg x =C = 2 2y11) 11) e dx x + 4 2 135
  • 137. Cálculo Diferencial e Integral AULA 2611.3 - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS São as da forma Mdx + Ndy = 0, onde M e N são funções homogêneas em x e y e domesmo grau.Exemplos:1) (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0 136
  • 138. Cálculo Diferencial e Integral2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 137
  • 139. Cálculo Diferencial e Integral3) (x2 + y2) dx – xy dy = 0 138
  • 140. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 26 – EXERCÍCIOS1) (x – y) dx – (x + y) dy = 02) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 03) (x + y) dx + (y – x) dy = 0Respostas: 1) y2 + 2xy – x2 = K 2) y3 + 3xy2 + x3 = k y 3) LgC1 x + y = arctg 2 2 x 139
  • 141. Cálculo Diferencial e Integral AULA 2711.4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS Uma equação do tipo M dx + N dy = 0 é denominada diferencial exata, se e somente se: ∂M ∂N = → condição necessária ∂y ∂x ⎛ ∂P ⎞ U = ∫ Mdx + ∫ ⎜ N − ⎟dy = C ⎜ ⎝ ∂y ⎟ ⎠onde, P = ∫ MdxExemplos:1) (x2 – y2)dx – 2xy dy = 02) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0 140
  • 142. Cálculo Diferencial e Integral3) ey dx + ( xey – 2y) dy = 011.4.1 - FATOR INTEGRANTE: ∂M ∂N Quando a expressão Mdx + Ndy não é diferencial exata, isto é, ≠ , mostra-se que ∂y ∂xhá uma infinidade de funções F ( x, y ) , tais que F ( Mdx + Ndy ) é uma diferencial exata. A esta função F ( x, y ) , dá-se o nome de fator integrante.F(x): F(y): 1 ⎛ ∂M ∂N ⎞ 1 ⎛ ∂M ∂N ⎞ R( x) = ⎜ − ⎟ R( y) = − ⎜ ∂y − ∂x ⎟ ⎜ N ⎜ ∂y ⎝ ∂x ⎟ ⎠ M ⎝ ⎟ ⎠ F ( x) = c.e ∫ F ( y ) = c.e ∫ R ( x ) dx R ( y ) dyExemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fatorintegrante.1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0 141
  • 143. Cálculo Diferencial e Integral2) (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0AULA 27 – EXERCÍCIOS1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 Respostas: dx dy xdy x42) + = 1) + y 2 x + seny = K x2 + y 2 y y x2 + y 2 43) 2xy dx + x2 dy = 0 2) x + x2 + y 2 = K4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy 3) x2y = K −2θ5) e (rdr − r 2 dθ ) = 0 4) coshycosy = K −2θ6) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy 5) e r2 = K7) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 6) x2 cos y + x4 = C8) seny dx + cos y dy = 0 7) e tgy = C x2Encontre a solução particular em: 8) seny.e = C x 2 29) 2xy dy = (x + y ) dx para y(1) = 210) 3y2 dx + x dy = 0 para y(1) = 1/2 9) y = x 2 + 3x 1 10) y = 3 ln x + 2 142
  • 144. Cálculo Diferencial e Integral AULA 2811.5 - EQUAÇÕES LINEARES dy Equações lineares são aquelas da forma + Py = Q onde P e Q são funções de x ou dxconstantes. Se Q = 0, a equação é denominada linear homogênea ou incompleta.1o Método: Substituição ou de Lagrange y = e ∫ ⎡∫ e∫ .Q.dx + C⎤ − Pdx Pdx ⎢ ⎣ ⎥ ⎦2o Método: Fator Integrante dyDado + Py = Q dx (Py – Q) dx + dy = 0 e∫ Pdxmultiplica-se tudo por transformando a equação diferencial em exata.Exemplos: dy y1) Resolver a equação − = x − 2 por: dx xa. Lagrange 143
  • 145. Cálculo Diferencial e Integralb. Fator integrante: 144
  • 146. Cálculo Diferencial e Integral dy2) − ytgx = senx dx 145
  • 147. Cálculo Diferencial e Integral3) (x + seny – 1)dy – cosy.dx = 0 146
  • 148. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 28 – EXERCÍCIOS dy y cot gx1) + − =0 dx x x dy2) (1 + x ) + y = arctgx 2 dx dy3) = tgx. y + cos x dx dy y4) − =x dx x dy 2 y5) + = x3 dx x6) Achar a solução particular para y = 0 e x dy 1= 0 em − ytgx = dx cos xRespotas:1) y = 1 [ln(senx) + C ] x − arctgx2) y = arctgx − 1 + C.e ⎛1 1 ⎞3) y = ⎜ x + sen2 x + C1 ⎟ sec x ⎝2 4 ⎠4) y = Cx + x 2 1 4 C5) y = x + 2 6 x x6) y = cos x 147
  • 149. Cálculo Diferencial e Integral AULA 2911.6 - EQUAÇÃO DE BERNOULLI dyEquação da forma: + Py = Qy n (1) para n ≠ 1 e n ≠ 0 dxPois, se:n=0 ⇒ y’ + P(x)y = g(x) ⇒ caso anteriorn=1 ⇒ y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 ⇒ caso anterior e homogênea Transformação de variável:Substitui por y 1− n = tDeriva-se em relação a x: dy dt (1 − n) y − n = (2) dx dxSubstituindo (1), que é: dy dy + Py = Qy n ⇒ = Qy n − Py dx dxem (2) temos: ( (1 − n) y − n Qy n − Py = ) dt dx (1 − n )(Q − Py1− n ) = dt dx 1− ncomo y = t , temos: dt (1 − n)(Q − Pt ) = dx dt + [(1 − n) P ]t = (1 − n)Q dxTornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. 148
  • 150. Cálculo Diferencial e IntegralExemplos: dy 2 y1) − = 3xy 2 dx x 149
  • 151. Cálculo Diferencial e Integral dy2) − 2 xy = xy 3 dx 150
  • 152. Cálculo Diferencial e IntegralAULA 29 – EXERCÍCIOS dy1) + xy = x 3 y 3 dx dy2) x + y = y 2 ln x dx dy3) x + y = x3 y 3 dx dy 44) = y+x y dx x dy5) 2 xy − y2 + x = 0 dxRespostas: 11) y= x 2 + 1 + C.e x 2 12) y = ln( x.e) + Cx3) − 2 x y + C.x y = 1 3 2 2 2 2 ⎛1 ⎞4) y = x ⎜ ln x + C ⎟ 4 ⎝2 ⎠ C5) y = x. ln 2 x 151