Algebra de Boole

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Propiedas y Teoremas del Agebra Booleana.

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Algebra de Boole

  1. 1. CIRCUITOS DIGITALES I ALGEBRA BOOLEANA ING. FERNANDO A. URBANO M. 1
  2. 2. DIAGRAMA DE PINES PARA LA SERIE 74 2
  3. 3. DISPLAYS DE 7 SEGMENTOS Un problema común de un circuito digital es convertir el lenguaje máquina a números decimales (o en algunas ocasiones a hexadecimal). 3
  4. 4. DISPLAYS DE 7 SEGMENTOS (2) Se habla de 7 segmentos ya que internamente estan formado por esta cantidad de Diodos Emisores de Luz (LED). Ánodo Común (pin común a Vcc) Cátodo Común (pin común a GND) 4
  5. 5. DISPLAYS DE 7 SEGMENTOS (3) Estos LED dentro del despliegue van marcados de la letra ”a” a la “g” 5
  6. 6. DISPLAYS DE 7 SEGMENTOS (4) 6
  7. 7. DISPLAYS DE 7 SEGMENTOS (5) Cada línea del despliegue debe tener una resistencia, para controlar la corriente que pasa por cada uno de los LEDs. V=RI -> R=V/I R= 5V/15 mA. R= 330 Ω. 7
  8. 8. ALGEBRA DE BOOLE v En 1854: George Boole demostró que la lógica es matemática, no solo filosofía. Es una estructura algebraica que rigoriza las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones, unión, intersección y complemento. En la actualidad, se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables. 8
  9. 9. ALGEBRA DE BOOLE (1) Claude Shannon: v • Ingeniero Electricista y Matemático (1936) • Investigador Asistente del MIT (1936) • Laboratorios Bell (1937) • En su tesis de maestría en el MIT, demostró cómo el álgebra booleana se podía utilizar en el análisis y la síntesis de la conmutación y de los circuitos digitales (1938). 9
  10. 10. IMPLEMENTACIÓN DE EXPRESIONES Representar con compuertas digitales las siguientes expresiones: a) AB + C b) A (C + D ) + BE   10
  11. 11. AXIOMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA 0⋅0 = 0 1+1 = 1 1 ⋅1 = 1 0+0 = 0 0 ⋅1 = 1 ⋅ 0 = 0 1+ 0 = 0 +1 = 1 Si X = 0, entonces X = 1 Si X = 1, entonces X = 0 11
  12. 12. TEOREMAS DE UNA SOLA VARIABLE X ⋅0 = 0 X +1 = 1 X ⋅1 = X X +0= X X+X =X X ⋅X = X X ⋅X =0 X + X =1 X=X 12
  13. 13. PROPIEDADES DE DOS Y TRES VARIABLES X ⋅Y = Y ⋅ X Conmutativa X +Y = Y + X X ⋅ (Y ⋅ Z ) = ( X ⋅ Y ) ⋅ Z Asociativa X + (Y + Z ) = ( X + Y ) + Z X ⋅ (Y + Z ) = X ⋅ Y + X ⋅ Z Distributiva X + (Y ⋅ Z ) = ( X + Y ) ⋅ ( X + Z ) X + X ⋅Y = X Absorción 13
  14. 14. PROPIEDADES DE DOS Y TRES VARIABLES X ⋅( X + Y ) = X X ⋅Y + X ⋅Y = X Combinación ( ) ( X +Y )⋅ X +Y = X X ⋅Y = X + Y Teorema de DeMorgan X + Y = X ⋅Y X + X ⋅Y = X + Y ( ) X ⋅ X + Y = X ⋅Y 14
  15. 15. PROPIEDADES DE DOS Y TRES VARIABLES Consenso X ⋅Y + Y ⋅ Z + X ⋅ Z = X ⋅Y + X ⋅ Z ( X + Y ) ⋅ (Y + Z ) ⋅ ( X + Z ) = ( X + Y ) ⋅ ( X + Z ) Demuestre la validez de la ecuación lógica: ( X1 + X 3 ) ⋅ ( X1 + X 3 ) = X1 ⋅ X 3 + X1 ⋅ X 3 15

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