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  • 1. Tema: 7 Geometría y UNIVERSIDAD DE ALMERÍA Visualización en los ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIORDEPARTAMENTO DE INGENIERÍA RURAL sistemas CAD
  • 2. Geometría y Visualización en los sistemas CAD1 Entidades 2D y 3D2 Creación del modelo 3D3 Curvas de interpolación y aproximación4 Curvas de forma libre: Splines, Bezier, B-splines y NURBs5 Generación de superficies de forma libre6 Representación fotorrealista
  • 3. 1 Entidades 2D y 3D Concepto. Son las formas elementales con las queEntidades u Objetos el software compone la geometría final También se denominan primitivas geométricas Pueden dibujarse y modificarse individualmente Son almacenadas en formato vectorial como un todo
  • 4. 1 Entidades 2D y 3D Simples:1 Punto, línea, circunferencia, eli pse, arco, rectángulo, polígono s regulares de n lados, curvas cónicas, curvas libres... línea polilínea punto Compuestas:2 Polilínea, malla, sólido, bloque, polígonos regulares de n lados... (se pueden descomponer en entidades simples)
  • 5. 1 Entidades 2D y 3D Descomposición.Prisma Sólido Caras Aristas
  • 6. 2 Creación del modelo 3D Modelo Wireframe Modelo de Superficies Modelo Sólido
  • 7. 2 Creación del modelo 3D Modelo Wireframe. Modelo muy simplificado: Usa arcos, líneas y puntos principalesCaracterísticas:• Muy rápido en la representación.• Útil en edición y creación inicial comoformato de visualización (no dedescripción del objeto 3D) Inconvenientes: • Ambigüedad en la representación • No distingue líneas vistas y ocultas • No permite el cálculo de intersecciones complejas • No diferencia entre espacio interior y exterior. No delimita contorno aparente • Geometría inadecuada para la generación de elementos finitos CAE o rendering • No existe volumen, no se pueden calcular propiedades másicas
  • 8. 2 Creación del modelo 3DModelo Wireframe.
  • 9. 2 Creación del modelo 3D Modelo de Superficies. Modelo de descripción 3D que emplea puntos aritas y caras (patches) planos o alabeadosCaracterísticas:• Rápido en la representación. Depende de la resolución• Potente geométricamente en función de las superficiesque es capaz de generar (extrusiones, revoluciones,regladas, cónicas, interpoladas, aproximadas, etc.) o losmétodos matemáticos que emplean para representarlas(cónicas, cuádricas, Coons, Bezier, B-splines, NURBs,splines)• Permite mostrar contornos aparentes. Proyección inmediata sobre cualquier plano• Distingue líneas vistas y ocultas• Permite el cálculo de intersecciones que serán siempre curvas• Definición unívoca del objeto. Posibilidad de rendering• Geometría inadecuada para la generación de elementos finitos CAE• No existe volumen, no se pueden calcular propiedades másicas
  • 10. 2 Creación del modelo 3D Modelo de Superficies. Aplicaciones• Generación de superficies complejas.Automoción, aeronáutica, sectores naval yaeroespacial.•Geometría para máquinas de control numérico• Representación de terrenos y entornos 3D enrealidad virtual
  • 11. 2 Creación del modelo 3D Modelo de Superficies. Revolución EJEGeneratriz
  • 12. 2 Creación del modelo 3D Modelo de Superficies. Superficies cilíndricas DirectrizGeneratriz EXTRUSIÓN BARRIDOS O DESLIZAMIENTOS
  • 13. 2 Creación del modelo 3D Modelo de Superficies. Superficies Regladasdirectriz 1 r directriz 2
  • 14. 2 Creación del modelo 3D Modelo de Superficies. Superficies Esculpidas. RecubrimientosLofted objects (objetos solevados)
  • 15. 2 Creación del modelo 3DModelo de Superficies. Superficiesde Coons
  • 16. 2 Creación del modelo 3D Modelo de Superficies. Superficies de Forma Libre• Splines• Bezier• B-splines• NURBs
  • 17. 2 Creación del modelo 3D Modelo de SólidosEl modelado de sólidos 3D describe el objeto CAD facilitando losdatos e información necesaria para su visualización, proyecciónnormalizada, rendering, análisis y validación del diseño medianteherramientas CAE, fabricación (CNC) y prototipado virtual• Descomposición (volumen)• Modelado BRep• Modelado CSG• Modelado basado en Features Modelado paramétrico Modelado variacional
  • 18. 2 Creación del modelo 3D Modelado de Sólidos por Descomposición (modelo de volumen)Relleno del espacio R3 mediante voxeles (cubos o tetraedrosuniformes o irregulares). Operaciones morfológicas (erosión, dilatación, etc.) permiten operar sobre el modelo Implementación costosa en el ordenador. Consumo de recursos. Se emplea en medicina, geología, dinámica computacional de fluidos, etc.
  • 19. 2 Creación del modelo 3D Modelado de Sólidos BRep Tecnología de modelado orientada a la representación de lassuperficies que encierran a los sólidos (Boundary Representation) mediante la construcción de tablas y relaciones topológicas Almacenan información geométrica y topológica sobre las caras de la superficie del objeto (fronteras). Las caras están determinadas por aristas que también son fronteras Permite transformaciones geométricas como rotación, traslación, simetría, etc., así como representaciones fotorrealísticas
  • 20. 2 Creación del modelo 3D Modelado de Sólidos BRep Modelado laborioso que requiere equipos potentes, aunque muy indicado para trabajar con superficies complejas Caras Vértices Aristas V1-V2.V3-V4 X Y Z N V1-V2 V8 V7 V2-V6-V7-V3 0 0 0 1 V2-V3 V5-V6-V7-V8 1 0 0 2 V3-V4V4 V3 V1-V5-V8-V4 1 1 0 3 V4-V1 V4-V3-V7-V8 0 1 0 4 V2-V6 V1-V2-V6-V5 0 0 -1 5 V6-V7 1 0 -1 6 V3-V7 1 1 -1 7 V7-V8 V5 0 1 -1 8 V4-V8 V6 V1-V5 V5-V8V1 V2 V5-V6
  • 21. 2 Creación del modelo 3D Modelado de Sólidos CSG (Constructive Solid Geometry) Primitivas geométricas 3D de biblioteca(esfera, cono, cilindro, toro...) + Operaciones Booleanas (Unión, diferencia, intersecció n) Sólidos Complejos
  • 22. 2 Creación del modelo 3D Modelado de Sólidos FeaturesA partir de formas básicas se definen características (objetos oelementos de modelado creados por nosotros mismos) a partir de geometría y operaciones como extrusiones, taladros, vaciados, redondeos, chaflanes, etc. El sólido es una entidad compuesta por características que pueden ser editadas independientemente arrojando resultados diferenciados
  • 23. 2 Creación del modelo 3D Modelado de Sólidos Features. Modelado paramétrico Los modelos sólidos se definen por atributos (forma, dimensión yposición) de cada característica y operación. La altura y anchura del IPN y la longitud de la correa se almacenan en variables editables (se parametrizan) para obtener familias de productos R h a
  • 24. 2 Creación del modelo 3D Modelado de Sólidos Features. Modelado variacionalLas técnicas basadas en geometría variacional permiten al diseñador realizar una primera aproximación al modelo en base a los requerimientos del objeto diseñado, sin especificar ningunadimensión inicial (restricciones geométricas dadas por ecuaciones o condiciones de paralelismo, concentricidad, etc.) Permiten captar la intención de diseño del ingeniero para después ir refinando la solución en función de la validación y análisis del diseño
  • 25. 3 Curvas de interpolación y aproximaciónSistemas CAD emplean líneas rectas, arcos de circunferencia, curvas cónicas
  • 26. 3 Curvas de interpolación y aproximaciónPara diseños complejos de ingeniería, se recurre a lascurvas de forma libre, ligadas desde sus comienzos a Sistemas CAD/CAM Curvas Suaves Interpolación Aproximación Vértices de Control
  • 27. 3 Curvas de interpolación y aproximación • Algoritmos recursivos (Neville) • Polinomios de HermiteCurvas de interpolación • Polinomios de Lagrange • Splines • Regresión polinomial • Curvas de BézierCurvas de aproximación • Curvas B-splines • Curvas NURBs
  • 28. 4 Curvas de forma libre Requisitos.• Formulación analítica (sistemas CAM ).• Formulaciones de base polinómica por su fácil manejo.• Mejor representación paramétrica que explícita o implícita (difícil cálculo detangentes, no es invariante a transformaciones geométricas, x y (sólo uno) ) X x (t ) Y y (t ) si 0 t 1 parametriz ación natural Z z (t )• Grado de polinomio: n=1: no se controlan las derivadas en los extremos n=2: curvas coplanarias (definidas por 3 puntos). La 2ª derivada es constante. n>3: Formulaciones inestables (oscilaciones). Excesivos grados de libertad.
  • 29. 4 Curvas de forma libre Características. a) Continuidad b) Comportamiento local o global c) Suavidad de las curvas (control de tangencia y curvatura) d) Ponderación. Duplicidad t3 x (t ) ax bx cx dx t2Grado del polinomio 3 Q (t ) y (t ) ay by cy dy t z (t ) az bz cz dz 1
  • 30. 4 Curvas de forma libre Continuidad. L1 L1 tangente L1 P 3 2 P (1 y ) 2 P R y L2 L2 tangente L2Continuidad C0 Continuidad C1 Continuidad C2 dQ dQ d 2Q d 2Q Co izq der C0 C1 izq der dt dt dt 2 dt 2
  • 31. 4 Curvas de forma libre Interpolación de Hermite. Pi+1, Ri+ Pi, Ri 1 3 2  3 2  3 2  3 2 r (t ) (2t 3t 1) Pi ( 2t 3t ) Pi 1 (t 2t t ) Ri (t t ) Ri 1
  • 32. 4 Curvas de forma libre Interpolación de Lagrange. Y B C A Polinomio de grado n-1. Inestabilidad si n elevado X ( x x2 )( x x3 ) ( x x1 )( x x3 ) ( x x1 )( x x2 )y f ( x) y1 y2 y3 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 x1 )( x3 x2 )
  • 33. 4 Curvas de forma libre Splines.Curvas CAD fragmentadas y suaves (mínima energía de deformación) que pasan por todos los puntos de control (interpolación) Curva Global = Curva 1 + Curva 2 + Curva 3 + .....+ Curva n Grado del polinomio interpolador = 3
  • 34. 4 Curvas de forma libre Splines.Spline Polígono Director Para cada tramo i: fi(x) = aix3 + bix2 + cix + di n+1 puntos de control: n tramos con 4n incógnitas Tangentes punto inicial y final (Splines sujetadas)
  • 35. 4 Curvas de forma libre Splines.Ecuaciones disponibles:• Igual valor en nodos intermedios: 2(n-1) ecuaciones• X0 pertenece a f1 y Xn pertenece a fn: 2 ecuaciones• Continuidad C1: n-1 ecuaciones• Continuidad C2: n-1 ecuaciones 4n-2 ecuacionesLas 2 ecuaciones que faltan: f”(x0) = 0 y f”(xn) = 0 luego Radio curvatura en x0 = y Radio curvatura en xn = (Spline natural). 3 (1 y 2 ) 2 Rc y"
  • 36. 4 Curvas de forma libre Curvas de Bèzier. y(t) N = n+1 puntos de controlPierre Bézier r2 r1 (1961) Renault r0 r3 r(t) x(t)  n  n i Funciones de R(t ) ri i (t ); (t) t (1 t )n i i Bernstein i 0
  • 37. 4 Curvas de forma libre Curvas de Bèzier. Ponderación según las funciones de mezcla B02 B2 2 B1 2 t tFunciones de mezcla grado 2 Funciones de mezcla grado 3 EJEMPLO GRÁFICO
  • 38. 4 Curvas de forma libre Curvas de Bèzier. PropiedadesEl polinomio de aproximación será de grado n (N-1)Sólo pasa por el primer punto y el último (la curva quedainscrita en el polígono de control)Curva tangente a los lados inicial y finalComportamiento global de la curva.Cierta inestabilidad cuando se eleva el número de vérticesde control y el polígono de control no es convexo. => No seaconseja en superficies complejasInvariante a las transformaciones afines
  • 39. 4 Curvas de forma libre Curvas B-splines (Basis Splines).Curvas de aproximación compuestas de tramos polinómicos interconectadosentre sí de grado n definidas por m puntos de control (siendo m el ordenmáximo del polinomio con n < m). Suelen ser de grado 3: B-splines cúbicas. B-spline Polígono Director Tangentes punto inicial y final
  • 40. 4 Curvas de forma libre Curvas B-splines (Basis Splines). Formulación i n  kr (t ) ri i (t ); i 1 i 0 k (t ni ) ik 1 (t ) (ni k t) k 1 i 1 (t ) i (t ) ni k 1 ni ni k ni 1 k 1 i (t ) 1 si n i t ni 1 k 1 i (t ) 0 en todos los demás casosOrden de la curva = k; Grado de la curva = k-1Variación de k: k>=2 y k<=n+1 0<=t<=n-k+2k=2: recta que une x0 y xnk=n+1: Curva de Bézier de grado n
  • 41. 4 Curvas de forma libre Curvas B-splines (Basis Splines). Formulación El vector de nodos controla, junto con los vértices de control, la forma de la curva. Determina los puntos en los que cambia la ecuación de la curva (transiciones entre segmentos) y la continuidad con que lo hace ni 0 si i k - 1 Vector de nodos típico (n0, n1, ....., ) ni i k 1 si k - 1 i n ni<=ni+1 n i; 0≤i≤n+k ni n k 2 si i nEjemplo:n+1 = 4 vértices de control; k=3 (grado del polinomio 2)vector de nodos: Continuidad = C(k-1-r)n0 = 0; n1 = 0; n2 = 0; n3 = 1; n4 = 2; n5 = 2; n6 = 2 donde r es la multiplicidad del nodo (vértice repetido) 0<=t<=2
  • 42. 4 Curvas de forma libre Curvas B-splines (Basis Splines).• Pasan por el primer vértice y el último.• Tangentes al polígono de control en el punto inicial y final.• Control local de la curva.• Existe continuidad C2, C1 o C0 dependiendo de la multiplicidad de lospuntos de control.• B-splines uniformes: nudos equiespaciados• B-splines no uniformes: nudos arbitrarios r=2 r=3 r=1, k=4
  • 43. 4 Curvas de forma libreCurvas B-splines (Basis Splines).
  • 44. 4 Curvas de forma libre Curvas NURBs (Non Uniform Rational B-splines).Mediante estas curvas es posible almacenar matemáticamente cualquiercurva (libre o geométrica) n k  i (t ).wi .ri (t )  i 0 R3 r (t ) R4 n k i (t ).wi i 0(x,y,z,w) (x/w,y/w,z/w)
  • 45. 4 Curvas de forma libre Curvas NURBs (Non Uniform Rational B-splines). PropiedadesVentajas:• Son invariantes a las transformaciones proyectivas y afines.• Control local.• Pasan por los puntos inicial y final.• Definen de manera precisa las curvas analíticas (e.j. cónicas).• Son muy flexibles.
  • 46. 5 Superficies de forma libre Superficies de Bèzier Pn P3 P2 P1 v u Pox X (u, v ); y Y (u, v ); z Z ( u, v ) n n r ( u, v ) ri (u, v ) i (u ) j (v ) i 0 j 0
  • 47. 5 Superficies de forma libre Superficies de Bèzier u Poliedro de control Superficie Bèzierv Superficies muy suavizadas. Oscilaciones con muchos puntos de control. Control global de la superficie.
  • 48. 5 Superficies de forma libre Superficies B-splines Producto cartesiano de dos curvas B-splines Comportamiento LocalB-spline cuadrática B-spline cúbica
  • 49. 5 Superficies de forma libre Superficies NURBsCreación exacta de superficies geométricas no libres como cónicas. Lasuperficie NURBs se adapta a las variaciones de la malla de control en funciónde los pesos de cada vértice. El vértice P2 es el que más peso tiene, seguidodel P1 y del P3.
  • 50. 6 Representación fotorrealista RenderingVisualización raster de proyecciones de objetos 3Dsintéticos que intentan representar dicho objeto con elmayor realismo posible (materiales, luces, texturas,...).
  • 51. 6 Representación fotorrealista Rendering. Procedimiento general1. Geometría del objeto respecto a un sistema de coordenadas.2. Construcción de la escena (luces, materiales, texturas, efectosespeciales, etc.). Cálculo de coordenadas globales.3. Elección del punto de vista del observador.4. Proyección de la escena en 2D (axonométrica o cónica)5. Eliminación de caras ocultas al observador.6. Recorte de trozos de faceta que no han de representarse.7. Cálculo del color de cada uno de los píxeles en cada faceta(interpolación a partir del valor de luminancia en los vértices de cadafaceta).8. Aplicación de materiales y texturas (mapeado de bitmaps)9. Representación de la escena (JPG, BMP, TIFF,...)
  • 52. 6 Representación fotorrealista Modelo simplificado de iluminación Energía incidente puntual N Energía incidente ambiental energíacalor absorbida Energía reflejada (reflexión especular) Energía reemitida como iluminación difusa
  • 53. 6 Representación fotorrealista Modelo simplificado de iluminaciónIncidente reflejada
  • 54. 6 Representación fotorrealista Iluminación difusaFuente de luz indirecta (luz ambiental) L = F.RLa luminancia (L) que percibe elobservador es independiente de suposición F = intensidad luz ambiental R = reflectividad del objeto N Luz θ θ Superficie Lambertiana
  • 55. 6 Representación fotorrealista Iluminación puntualLas superficies que miren hacia la luz y que estén más cerca tendránmás luminancia N L Energía P θ L = F.R + P.R.cosθ = F.R + P.R.(L.N)
  • 56. 6 Representación fotorrealista Reflexión especularSe trata de la reflexión producida por una superficie tipo espejo.Toda la luz es reflejada y lo hace en una dirección casi única (no entodas direcciones como establecía la ley de Lambert) La luz especular sólo puede verse H cuando la luz se refleja en la E dirección del observador L E H L E
  • 57. 6 Representación fotorrealista Reflexión especularN.H Cos Función especular(N.H)a L FR P( L.N )R S ( N.H )a“a” es un exponente de brillo especular (suficientemente grande). S representa laluz reflejada especularmente, que es función del material, ángulo de incidencia ypotencia de la luz puntual β H E
  • 58. 6 Representación fotorrealista Atenuación D Disminuye con el cuadrado de la distancia (b=2) 1 Pj ( L j .N )R S j ( N .H j )aG L FR Cálculo para C Db j C Db j cada pixel MODELO DE ILUMINACIÓN
  • 59. 6 Representación fotorrealistaTécnicas de sombreado Scan line.Sombreado constante A todas las facetas triangulares del sólido o superficie se le asigna un sólo valor de luminancia (media de los vértices por ejemplo). Suele dar problemas de facetado discreto.
  • 60. 6 Representación fotorrealistaTécnicas de sombreado Scan line.Sombreado Gouraud Interpolación lineal a partir de los vértices de cada faceta, que es donde únicamente se aplica el modelo de iluminación
  • 61. 6 Representación fotorrealistaTécnicas de sombreadoScan line.Sombreado Phong Interpolación lineal a partir de los vértices de cada faceta de las normales necesarias para calcular la luminancia en cada pixel. Mayor coste computacional que Gouraud. Constante Phong
  • 62. 6 Representación fotorrealistaAlgoritmos avanzados:Ray-tracing y radiosidad Son modelos de iluminación muy avanzados que integran interreflexión, refracción, cara oculta y sombras (Ray tracing) e iluminación e interreflexión difusa (radiosidad)