Your SlideShare is downloading. ×
0
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
interpolasi
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

interpolasi

7,871

Published on

if you want to learn all about interopaltin in the subject matter Numerik Methode, you can download this matter.

if you want to learn all about interopaltin in the subject matter Numerik Methode, you can download this matter.

1 Comment
3 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
7,871
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
372
Comments
1
Likes
3
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. METODE NUMERIK(MAT – 367 / 2–1 SKS) INTERPOLASI Della Maulidiya, S.Si, M.Kom
  • 2. INTERPOLASI Pendekatan numerik untuk menentukan nilai suatu fungsi f(x) = y yang tidakdiketahui rumus fungsinya, pada suatu nilai x tertentu jika nilai di sekitar x diketahui
  • 3. POLINOMIAL INTERPOLASIHampiran nilai fungsi dihampiri olehfungsi PolinomialNilai fungsi polinomial mudah dihitung,diturunkan, diintegral dan kontinu disemua titikTitik –titik data yang digunakan dalaminterpolasi bersifat diskrit, misal hasileksperimen fisik
  • 4. METODE INTERPOLASI Interpolasi Interpolasi Linier Beda Terbagi Interpolasi Kuadrat Interpolasi Interpolasi Newton Beda Maju InterpolasiPolinomial BedaInterpolasi Mundur Interpolasi Lagrange
  • 5. KASUS 1 : Jarak tempuh sebuah mobil setiap 10 menit Perpanjangan kawat (cm) 50 41 40 31 30 22 18 20 14 7 10 0 2 0 0 10 20 30 40 50 60 Peningkatan suhu Fungsi jarak s(t) tidak diketahui.Berapa jarak yang ditempuh mobil pada menit ke-35 ?
  • 6. PENYELESAIAN KASUS 1 (INTERPOLASI LINIER):Menit ke-35 artinya t = 35 berada di tengah antara t = 30 dan t = 40.Misal antara t = 30 dan t = 40 dihubungkan oleh garis lurus (fungsi linier) maka titik(35, f(35) ) ada di antara titik (30, 14) dan (40, 22).Sehingga f(35) dapat ditentukan oleh : 14 22 f (35) 18 2 25 22 18 Jarak (km) 20 14 15 10 5 0 25 30 35 40 Waktu (menit)
  • 7. INTERPOLASI LINIER
  • 8. PENYELESAIAN KASUS 1 (INTERPOLASI KUADRAT) : Di sekitar t = 35, selain t = 30 dan t = 40 juga ada titik-titik lain. Sehingga ada lebih dari dua titik yang bisa digunakan untuk menghitung f(35) dengan menggunakan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c f(20) = a(20)2 + b(20) + c = 400a +20b + c = 7 f(30) = 900a + 30b + c = 14 25 22 f(40) = 1600a + 40b + c = 22 17.875 20 Jarak (km)Diperoleh fungsi kuadrat : 15 14f(x)=0,005x2 + 0,45x – 4 10 7 5 0f(35) = 0.005(35)2 + 0.45(35) 4 15 20 25 30 35 40f(35) = 17,875 Waktu (menit)
  • 9. PENYELESAIAN KASUS 1 (INTERPOLASI KUADRAT) : Bandingkan jika menggunakan nilai di t = 30, t = 40 dan t = 50 f(30) = 900a + 30b + c = 14 f(40) = 1600a + 40b + c = 22 f(50) = 2500a + 50b + c = 31Ternyata diperoleh fungsi kuadrat : f(x)=0,005x2 + 0,45x – 4 40 31 Jarak (km) 30 22 17.875 20 14 10 7 0 15 20 25 30 35 40 45 50 Waktu (menit)
  • 10. INTERPOLASI KUADRAT
  • 11. PERBANDINGAN GRAFIK –GRAFIK FUNGSI POLINOMIAL Makin tinggi derajat polinomial makin cepat nilai fungsi meningkat
  • 12. INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTONInterpolasi linier dan interpolasi kuadrat adalahkasus khusus interpolasi beda terbagi NewtonInterval nilai x tidak perlu samaOrde / derajat fungsi polinom ditentukan daribanyaknya titik data yang tersediaFungsi polinom derajat n digunakan jika tersedia (n+ 1) titik dataMakin banyak data yang dilibatkan dalam pencariansuatu titik data maka akurasi akan makin baik Newton’s Divided Difference Interpolation
  • 13. RUMUS INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON Beda terbagi hingga ke -n FBeda terbagi hingga ke Beda terbagi hingga ke – 2-1 2F
  • 14. TABEL REKURSIF INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON i xi F(xi) F 2F 3F 0 x0 F(x0) F[x1 , x0] F[x2, x1, F[x3, x2, x1, x0] x0] 1 x1 F(x1) F[x2 , x1] F[x3, x2, x1] 2 x2 F(x2) F[x3 , x2] 3 xTabel selisih 3 F(x3) i xi x- xi 0 x0 x – x0 1 x1 x – x1 2 x2 x – x2 3 x3 x – x3
  • 15. PENYELESAIAN KASUS 1 DENGAN INTERPOLASI TERBAGI NEWTONBerapa jarak yang ditempuh mobil pada menit ke-35? Tabel data Tabel selisih untuk x = Waktu Jarak 35 i xi x- xi 0 0 0 0 35 10 2 1 10 25 20 7 2 20 15 30 14 3 30 5 40 22 4 40 -5 50 31 5 50 -10 60 41
  • 16. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE- 1 f ( x1 ) f ( x0 ) 2 0 1 f [ x1 , x0 ] x1 x0 10 0 5 f ( x2 ) f ( x1 ) 7 2 1 f [ x2 , x1 ] x2 x1 20 10 2i xi F(xi F f ( x3 ) f ( x2 ) 14 7 7 ) f [ x3 , x2 ] x3 x2 30 20 100 0 0 1/5 f ( x4 ) f ( x 3 ) 22 14 41 10 2 1/2 f [ x4 , x 3 ] x4 x 3 40 30 52 20 7 7/10 f ( x5 ) f ( x4 ) 31 22 93 30 14 4/5 f [ x5 , x4 ] x5 x4 50 40 104 40 22 9/10 50 31 f ( x6 ) f ( x5 ) 41 315 1 f [ x6 , x5 ] 1 60 41 x6 x5 60 506
  • 17. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-2 2F f [ x2 , x1 ] f [ x1 , x0 ] 1/ 2 1/ 5 3i xi F f [ x2 , x1 , x0 ] x 2 x0 20 0 2000 0 F 3/200 7 1 f [ x3 , x2 ] f [ x2 , x1 ] 10 2 11 10 1/5 1/100 f [ x3 , x2 , x1 ] x3 x1 30 10 1002 20 1/2 1/200 4 7 f [ x4 , x 3 ] f [ x 3 , x 2 ] 5 10 13 30 7/10 1/200 f [ x4 , x 3 , x 2 ] x4 x 2 40 20 2004 40 4/5 1/200 9 4 f [ x5 , x4 ] f [ x4 , x 3 ] 10 5 1 50 f [ x5 , x4 , x 3 ]5 9/10 x5 x 3 50 30 2006 60 1 1 9 f [ x6 , x5 ] f [ x4 , x6 ] 10 1 f [ x6 , x5 , x4 ] x6 x4 60 40 200
  • 18. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-3i xi 2F 3F0 0 3/200 -1/6000 1 / 100 3 / 200 1 f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] 10 30 0 60001 1/100 -1/6000 1 / 200 1 / 100 12 20 1/200 0 f [ x4 , x3 , x2 , x1 ] 40 10 60003 30 1/200 0 1 / 200 1 / 200 f [ x5 , x4 , x 3 , x 2 ] 04 40 1/200 50 20 50 1 / 200 1 / 2005 f [ x6 , x5 , x4 , x 3 ] 0 60 306 60
  • 19. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-4i xi 2F 3F 4F0 0 3/200 -1/6000 01 10 1/100 -1/6000 1/2400002 20 1/200 0 0 1 / 6000 1 / 6000 4 0 f 03 30 1/200 0 40 04 40 1/200 4 0 1 / 6000 1 1 f5 50 50 10 2400006 60 4 0 0 2 f 0 60 20
  • 20. TABEL REKURSIF BEDA TERBAGI HINGGA MENGGUNAKAN MS. EXCEL 2 3 4 5 6i xi fi F F F F F F0 0 0 0.2 0.015 -0.000167 5.42101E-21 8.33333E-08 -2.77778E-091 10 2 0.5 0.01 -0.000167 4.16667E-06 -8.33333E-08 i xi x- xi2 20 7 0.7 0.005 -1.73E-19 4.33681E-21 0 0 35 1 10 253 30 14 0.8 0.005 0 2 20 154 40 22 0.9 0.005 3 30 55 50 31 1 4 40 -56 60 41 5 50 -10f6(36) = 0 + 35 0.2 + 35 25 0.015 + 35 25 15 (-0.000167) + 35 25 15 5 5.42101E-21 + 35 25 15 5 (-5) 8.33333E-08 + 35 25 15 5 (-5) (-10) (-2.77778E-09) = 17.89648 …
  • 21. INTERPOLASI LAGRANGE• Joseph Louis Lagrange (Prancis) menulis persamaan garis lurus dalam bentuk polinomial Lagrange• Polinomial Lagrange dapat digunakan untuk menginterpolasi tabel dengan n nilai meskipun intervalnya titik-titik data tidak sama
  • 22. TABEL SELISIH INTERPOLASI LAGRANGEi xi F(xi) x - xi x1 - xi x2 - xi x3 - xi x4 - xi01 02 03 04 0
  • 23. PENYELESAIAN KASUS 1 DENGAN INTERPOLASI LAGRANGETabel selisih interpolasi lagrangel xi F(xi) x - xi x0- xi x1 - xi x2 - xi x3 - xi x4 - xi x5 - xi x6 - xi0 0 0 35 0 10 20 30 40 50 601 10 2 25 -10 0 10 20 30 40 502 20 7 15 -20 -10 0 10 20 30 403 30 14 5 -30 -20 -10 0 10 20 304 40 22 -5 -40 -30 -20 -10 0 10 205 50 31 -15 -50 -40 -30 -20 -10 0 106 60 41 -25 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Polinomial Lagrange
  • 24. TABEL POLINOMIAL LAGRANGEi xi F(xi) (x-xj) (xi-xj) Li Li * F(xi)0 0 0 -3515625 720000000 -0.00488 01 10 2 -4921875 -120000000 0.041016 0.082031252 20 7 -8203125 48000000 -0.1709 -1.1962890633 30 14 -24609375 -36000000 0.683594 9.57031254 40 22 24609375 48000000 0.512695 11.279296885 50 31 8203125 -120000000 -0.06836 -2.1191406256 60 41 4921875 720000000 0.006836 0.280273438 f6(35) 17.89648438
  • 25. KASUS 2 Hasil pengamatan sebuah eksperimen fisika yang meneliti pengaruh jarak regangan (meter) sebuah pegas terhadap besar gaya (Newton) yang dikerahkan pegas tersebut disajikan dalam tabel dan scatter plot berikut. Uji jarak gay 55 ke- a 50 1 0.005 8 45 40 2 0.010 17 35 3 0.015 22 30 4 0.020 32 25 5 0.025 36 20 6 0.030 41 15 10 7 0.035 45 5 8 0.040 48 0 9 0.045 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
  • 26. TUGAS Tentukan besar gaya regangan pegas jika jarak regangan pegas sejauh x/1000 meter Nilai x ditentukan oleh dua angka terakhir NPM  Contoh :  A1C008006 maka x = 6  jarak = 0.006 m  A1C008012 maka x = 12 jarak = 0.012 m Untuk dua angka terakhir NPM berikut maka nilai x yaitu : NPM 01 02 03 04 05 10 15 25 30 40 45 x 17 18 19 23 24 26 27 37 39 46 48 Buatlah scatter plot yang menunjukkan letak data yang Anda cari di antara titik-titik data yang diketahui
  • 27. INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON DAN INTERPOLASI LAGRANGE KOMPUTASI NUMERIK MENGGUNAKAN MATLAB
  • 28. ALGORITMA BEDA TERBAGI NEWTON polinomial Newton Menghitung polinomial Newton untuk menghampiri fungsi f(x) dengan menggunakan (n + 1) titik data yang berbeda INPUT : (x1, f(x1)) , (x2, f(x2)) , . . . , (xn, f(xn)), (xn + 1, f(xn + 1)), x OUTPUT : a1 , a2 , a3, . . . , an , an+1 , polinom PROSES : 1. FOR k = 1 TO (n + 1) D(1, k) = f(xk) 2. a1 = D(1, 1) 3. FOR j = 2 TO (n + 1) (a) FOR k = 1 TO ((n + 1) – j + 1) D(j, k) = (D(j - 1, k+1) – D(j – 1, k))/(xk+j - 1 – xk) (b) aj = D(j, 1)
  • 29. ALGORITMA BEDA TERBAGI NEWTON….LANJUTAN PROSES : 4. selisih(1) = x – x(1) 5. polinom = a1 5. FOR i = 2 TO N polinom=polinom + (a(i) * selisih(i-1)) selisih(i) =selisih(i – 1) *( x - x(i)) 6. STOP
  • 30. HASIL PROGRAM MATLAB UNTUK ALGORITMA BEDA TERBAGI NEWTON Baris ke-1 adalah nilai – nilai y Baris ke-2 adalah nilai beda terhingga ke – 1 yaitu F Baris ke-3 adalah nilai beda terhingga ke – 1 yaitu 2F Baris ke-4 adalah nilai beda terhingga ke – 1 yaitu 3F …… dan seterusnya
  • 31. ALGORITMA INTERPOLASI LAGRANGE Menghitung polinomial Lagrange untuk menghampiri fungsi f(x) dengan menggunakan n titik data yang berbeda INPUT : (x1, f(x1)) , (x2, f(x2)) , . . . , (xn, f(xn)), x OUTPUT : polinom Pn-1(x) PROSES : 1. Pn-1(x) = 0 2. FOR k = 1 TO n (a) Lk(x) = 1 (b) FOR j = 1 TO n if j k then Lk(x) = Lk(x) * (x – xj) / (xk – xj) (c) Pn-1(x) = Pn-1(x) + f(xk) * Lk(x) 3. STOP
  • 32. REFERENSI Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan Matlab. Penerbit Andi. Yogyakarta Wahyudin. 1987. Metode Analisis Numerik. Penerbit Tarsito. Bandung Djojodihardjo, Harijono. 2000. Metode Numerik. Penerbit Gramedia Pustaka Utama. Jakarta Susila, I Nyoman. 1994. Dasar-dasar Metode Numerik. DepDikBud DIKTI. Proyek Pembinaan dan Peningkatan Mutu Tenaga Kependidikan. Jakarta

×