6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre

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6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre

  1. 1. COLÉGIO OPÇÃO MATEMÁTICA NÚMEROS E OPERAÇÕES Atividades investigadoras: Responda em sala. 1-Complete a tabela: Problema Resultado Um número somado a 30 que seja 35 Um número que somado com 5 seja 50 Em número somado a 60 que seja igual a 20 Um número que somado a 120 seja igual a 100 2-Um termômetro foi colocado na cidade de Campos do Jordão e marcou dez graus acima de zero durante o dia e um grau abaixo de zero durante a noite. Como posso representar as temperaturas registradas nesta cidade, utilizando símbolos e algarismos matemáticos? 3-Imagine que uma pessoa tem R$500,00 depositados em um banco e faça sucessivos saques: 1º saque: R$200,00 2º saque: R$100,00 3º saque: R$300,00 Qual o saldo no banco dessa pessoa após os saques?Como você O representaria matematicamente? 1. INTRODUÇÃO: Em um determinado momento da história da humanidade houve a necessidade de representar números na sua forma negativa. *Os números naturais não previam situações como a de medir temperaturas abaixo de zero, como de altitudes abaixo do nível do mar e muitas outras situações. Surgia então a necessidade de se criar um conjunto numérico mais abrangente que suprisse tais necessidades da humanidade.*você ainda lembra dos números Naturais? Vejamos algumas situações que mostram a necessidade de representar números negativos: A figura mostra os pontos mais altos e mais baixos da superfície terrestre: Perceba que sem a representação negativa não teríamos como representar o ponto mais profundo da terra, a Challenger Deep, que se encontra a 11.000 metros abaixo do nível do mar, ou seja, a – 11.000 metros. 128 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  2. 2. COLÉGIO OPÇÃO A tabela mostra a previsão do tempo em algumas cidades da região sul: TEMPO NO SUL DO BRASIL Cidade Tempo Temperatura mínima Curitiba (PR) Chuvoso 0° C São Joaquim (SC) Nublado - 3° C Porto Alegre (RS) Claro 4° C Gramado (RS) Nublado -1° C Bento Gonçalves (RS) Chuvoso - 5° C Veja que temos necessidade de representar temperaturas na forma negativa. O termômetro registra a temperatura em uma cidade da Europa durante o inverno. Veja a importância de se representar números na sua forma negativa, sem eles não poderíamos representar temperaturas abaixo de zero. Trabalho em sala: em duplas pesquise em revistas e jornais outras ultilizaçõe de números negativos. Use colagem e cartolina. VAMOS JOGAR! Jogo do baralho: em grupo Jogo das varetas: em grupo Sem descarte ganha quem conseguir Com varetas coloridas mais pontos: as cartas pretas são ganha quem obter mais positivas e as vermelhas são negativas. pontos :Amarelas - Rei, rainha, valete preto: 3, 2, 1 10,vermelhas -5, azuis 1, respectivamente verde 5 e preto vale 10 Rei, rainha, valete vermelho: 3, 2, 1 Material: varetas de 25 cm respectivamente Material: 1 baralho por equipe 129 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  3. 3. COLÉGIO OPÇÃO 2. NÚMEROS INTEIROS: O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero é chamado de conjunto dos números inteiros e é representado pela letra Z. Z = {..., -10, -9, -8, -7, -6, -5, - 4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10,...} 2.1. A RETA DOS NÚMEROS INTEIROS: Para visualizarmos melhor a seqüência dos números inteiros, vamos representá-los na reta numerada dos números inteiros. 2.3 Subconjunto de Z Veremos agora alguns subconjuntos importantes de Z e suas representações: Conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -3, - 2, - 1, 1, 2, 3, ...} Conjunto dos números inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos números inteiros positivos Z *+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos números inteiros não positivos Z - {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 0} Conjunto dos números inteiros negativos Z *- = {..., - 4, - 3, - 2, - 1} EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1- O lugar mais alto da terra é o pico do Everest, na Ásia: 8.882 m acima do nível do mar. O lugar mais baixo é a fossa de sonda, no Oceano Pacífico 10. 790 m abaixo do nível do mar. a) Represente essas altitudes, usando números positivos e negativos b) Quantos metros o Everest é mais alto que a fossa de Sonda? 2- Um palácio começou a ser construído no ano 9 a.C e foi concluído 8 anos depois. Em que ano ficou pronto? 3. Heródoto, historiador grego, nasceu no ano 484 antes de Cristo. Usando números inteiros positivos ou negativos, indique o ano em que ele nasceu. 4-Desenhe um termômetro e represente nele as temperaturas registradas nas cidades: a) Aracaju: 20°C b) Campos do Jordão: -5°C c) São Paulo: 15°C 130 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  4. 4. COLÉGIO OPÇÃO TEXTO COMPLEMENTAR CONFUSÃO NEGATIVA Os números negativos (como também o zero e os números imaginários) passaram tempos difíceis ao longo da História da Matemática. Durante séculos, foram considerados absurdos e inconcebíveis. Os números serviam para contar ou para exprimir medidas, e não há rebanhos com número negativo de carneiros, nem campos com número negativo de comprimento… Enquanto a noção de número estiver . ligada a noções de grandeza ou de quantidade, os números negativos não podiam ser naturalmente, concebidos nem aceites. Mas eles teimavam em aparecer nas soluções dos problemas. E os matemáticos davam cabo da cabeça para encontrar métodos para resolver esses problemas sem usar os disparatados números negativos. Por exemplo, se procurava o valor de um número x que, somado a 100, desse 50, e se encontrava -50, isso queria dizer que era o problema que estava mal formulado, e que em vez de somar, se deveria ter subtraído… Como não havia “quantidades negativas”, a subtração de “quantidades positivas” era o expediente mais utilizado para conseguir “ignorar” os números negativos. Curiosamente, isto fez com que as regras de cálculo dos números negativos se tivessem desenvolvido antes de eles serem aceites na selecta sociedade dos sábios. Hoje, os números negativos fazem parte do nosso quotidiano. Basta ligar a TV e ouvir os Boletins Metereológicos de Inverno para sabermos que, no Norte da Europa, ou na Sibéria, as temperaturas foram de -5, -10 ou -50 graus (negativos, isto é, abaixo de zero)… Sem que isso nos faça confusão. susymcmarques.googlepages.com Exercício: 1-Represente os conjuntos listando seus elementos: a){x ∈ Z | x > - 2} b){x ∈ Z* | - 5 ≤ x < 2} c) {x ∈Z + | x ≥ - 2 } 2-Responda: a)Qual o oposto de – 5? b)Qual o simétrico de 10? c)Qual o oposto do oposto de 9? 1- Qual o módulo? a) | 18 | b) |- 15 | c) | 10 - | 5 || d) ||- 50 || e) ||-5 | - | 9 || 2- Complete com os símbolos < ou >. 131 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  5. 5. COLÉGIO OPÇÃO a) – 5 3 b) 0 -1 c) 9 -9 d) – 10 -3 6-O matemático grego Euclides escrever um livro sobre geometria no ano – 290, isto é, no ano 290 a.C. O matemático grego Eratóstenes estudou os números primos no ano – 240. O livro de Euclides foi escrito antes ou depois dos estados de Eratóstenes? Quantos anos antes ou depois? 3. OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS INTEIROS 3.1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: A adição e a subtração de números inteiros é chamada de soma algébrica e é feita através de dois casos: EXEMPLOS: Vamos calcular as seguintes somas algébricas: a) + 2 + 7 =? c) – 11 + 17 =? e) – 14 + 18 =? b) – 3 – 12 =? d) + 12 – 17 =? f) + 19 – 16 =? NOTA DO PROFESSOR: podemos “encarar” soma de números inteiros fazendo o sinal de ( - ) como se fosse uma divida e o de ( + ) como pagamento, por exemplo: Caso1 i -5+2 Zezinho deve 5 e pagou 2, ou seja , ainda deve 3 portanto o resultado é -3 ii -5+8 huguinho devia 5 e pagou 8, portanto tem um saldo positivo o resultado é +3 iii -5-5 ou -5+(-5) em ambos casos temos a soma de duas dividas, portanto deve 5 duas vezes resultado -10 Caso2 Às vezes ( - ) pode significar descer e ( + ) subir por exemplo: Em uma cidade do Alasca, o termômetro marcou –15o pela manhã. Se a temperatura descer mais 13o, o termômetro devei marcar? Temperatura -15 desceu (-13), portanto -15 com -13 =-28, voltamos ao caso anterior Agora é com vocês!! Situações problemas: 1 Certa pessoa possui em sua conta bancaria R$300,00 e precisou debilitar (subtraídos) R$400,0 e uma semana depois essa mesma pessoa depositou uma quantia igual a primeira retirada ,de R$300,00 quanto está o saldo desta pessoa ? 2 um submarino se encontra à 150 m abaixo do nível do mar e numa manobra de emergência precisou desce mais 35. Onde se encontra o submarino com relação ao nível do mar? 3 Ontem a temperatura em new York era de 5 graus abaixo de zero, mas hoje a temperatura aumentou 6 graus ficando em? 4 A temperatura no deserto pode chegar a 40º de dia e -10º de noite. Qual a diferença entre essas duas temperaturas? 6 um submarino que viaja às profundezas do oceano (22600 m) é atacado pelo mostro submarino Zoarg tendo que retornar 300m para a superfície para fugir do ataque. Qual a nova posição desse submarino? 7 Um alpinista se encontrava à 8848m do pico Everest, devido uma tempestade teve que descer 150m para então no dia seguinte subir 240m. Qual a nova posição deste alpinista? 8 Cíntia conduzia um carrinho de brinquedo por controle remoto em linha reta. Ela anotou em uma tabela os metros que o carrinho andava cada vez que ela acionava o controle. Escreveu valores positivos para as idas e negativos para as vindas. 132 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  6. 6. COLÉGIO OPÇÃO Vez Metros Após Cíntia acionar o controle pela sexta vez, a distância entre Primeira 17 ela e o carrinho era de Segunda -8 Terceira 13 (A) -11 m. (B) 11 m. (C) -27 m. (D) 27 m Quarta 4 Quinta -22 Sexta 7 3.2MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS Vamos calcular as multiplicações e divisões de números inteiros: a) (– 4) x (+ 7) = + 28 b) (+ 15) ÷ ( + 5) = + 3 Nota do professor: Caso1-Uma dica que ajuda muito na hora de multiplicar ou dividir é você se lembrar das operações fundamentais: por exemplo, 3x(-5)= (-5)+ (-5)+ (-5)= -15(três dívidas de 5) Caso2-você pode pensar também que o (-) significa contrário, por exemplo: i (-3)x+5 (na conta normal 3x5=15, os dois sinais um de – e outro de + fica assim;contrario de “mais” é “menos”assim (-3)x+5=-15 ii (-3)x(-4)x(-2) fica 3x4x2=24, contrario de menos + contrario de novo – portanto fica menos no final. (-3)x(-4)x(-2)=-24 Caso 3 (−15) ÷ (+3) 15 ÷ 3 =5, novamente – e + significa: contrario de + que é igual a menos, portanto (−15) ÷ (+3) = -3 133 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  7. 7. COLÉGIO OPÇÃO EXERCICIO 1. Efetue as multiplicações entre números naturais: a) (+ 8). (– 9) i) (– 6).(– 18) b) (– 6). (– 5) j) (+ 3). (+ 21) c) (+ 7). (+ 4) k) (– 8). 0 d) (+ 9). (+ 7) l) (– 11). (– 21) e) (– 8). (+ 6) m) (– 20). (+ 17) f) (+ 5). (– 11) n) (+ 17). (+ 17) g) 0. (+ 13) o) (– 5). (– 32) h) (– 12). (–12) p) (+ 15). (–17) 2. Calcular as divisões de números naturais: a) (– 9)÷ (+ 3) i) (– 65)÷ (– 5) b) (– 11)÷ (– 11) j) (– 90)÷ (+ 6) c) (+ 21)÷ (+ 7) k) (+64)÷ (+ 16) d) (+ 36)÷ (– 4) l) (– 39)÷ (– 13) e) 0÷ (+ 20) m) (+ 96)÷ (– 24) f) (– 31)÷ (+ 31) n) (– 200)÷ (+ 25) g) (+ 45)÷ (– 3) o) (+ 63 )÷ (+ 21) h) (+ 52) ÷ (+ 2) p) (+ 81) ÷ (– 27) 4-POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS OPERANDO COM POTENCIAS NA CALCULADORA Vamos agora fazer os primeiros contatos com a operação de potenciação, para isso faremos uso de uma calculadora comum: siga os passos digite na calculadora 3x2 e aperte a tecla de igual repetidas vezes preenchendo a tabela a seguir: T 3 X 2 = = = = = = = = = = E C L A V 3 3 2 6 1 I S 2 O R 149 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  8. 8. COLÉGIO OPÇÃO agora seguindo o mesmo raciocínio faremos as dez primeiras potencias de 2 para isso digite na calculadora 1x2 e novamente aperte a tecla de igual repetidas vezes completando a tabela T 1 X 2 = = = = = = = = = = E C L A V 1 1 2 2 4 8 I S O R Outra maneira de expressar esse problema é usando uma tabela de potência Expoente Potencia Onde n é chamado de expoente e n é chamado de resultado da 1 2 potência. 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024 Exercício de fixação 1-Façamos uma tabela de potencias, com a ajuda da calculadora, com as potencias de 3 e de 5, de 1 até 16. 2-Explore outras seqüências de teclas, o que você descobriu? a) 2 + 3 = = = = = = b) 5 + 2 = = = = = = c) 10 x 10 = = = = = = = . . d) 2 x 3 = = = = = = .. e) 3 x 2 = = = = = = .. 3- Sem calculadora, faca uma tabela de potencia do numero -2 e do -3 de 1 ate 16, o que você observa junto aos sinais que surgem? 150 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  9. 9. COLÉGIO OPÇÃO ATIVIDADE INVESTIGADORA Baseado no que você aprendeu encontre soluções para os exercícios a seguir. a) (+ 8)2 b) (- 5 )2 c) (- 6 )3 d) (+ 17 )0 e) (+ 18 )1 f) (- 2 )3 3 1 2 1 0 6 2 g) (+ 10) . (+ 10) h) (- 3 ) . (- 3) . (- 3) i) (- 5 ) : (- 5 ) 5 3 2 2 j) (+ 10) : (+ 10 ) l) [ (+ 10 ) ] m) (- 1 )0 . (- 1 )2 . (- 1 )3 . (- 1 )4 Que dificuldades você sentiu nos exercícios anteriores?Comente em sala antes de passarmos para o próximo assunto: 4.1PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 1°) Multiplicação de potencias de mesma base Para multiplicar as potências de mesma base, basta conservar a base e somar os expoentes. Ex: (+ 2 )5 . ( + 2 )4 = (+ 2 )9 ou também (- 3 )3 . (- 3 )5 = (- 3 )8 ou também 4.2 Divisão de potências de mesma base Para dividir potências de mesma base, não nula, basta conservar a base e subtrair os expoentes. Ex: (+ 4 )3 : (+ 4 )1 = (+ 4 )2 ou também (- 5 )8 : (- 5 )4 = (- 5 )4 ou também 4.3 Potência de uma potência Para elevar uma potencia a um novo expoente, basta conservar a base e multiplicar os expoentes. Ex: [ (- 3 )2]3 = (- 3 )6 [ (+ 2 )5]- 2 = (+ 2 ) – 10 4.4- RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS A raiz quadrada aritmética de um número inteiro quadrado perfeito è o número positivo cujo quadrado é igual ao número dado. 151 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  10. 10. COLÉGIO OPÇÃO Observe o conjunto dos inteiros quadrados perfeitos: {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 121, 144, 169, 196,..} A operação pela qual calculamos a raiz de um número é chamada radiciação. O símbolo √ é chamado radical. Ex: 25 = 5, porque 5 é positivo e 52 = 25 49 = 7, porque 7 é positivo e 72 = 49 EXERCÍCIO: 1- De o valor de cada expressão: a) 225 b) 169 c) - 36 d) - 1 e) 0 f) 1600 4.5- EXPRESSÕES NUMÉRICAS EM Z Nas expressões numéricas, as potências e as raízes quadradas são efetuas antes das multiplicações e divisões. E essas, antes das adições e subtrações. Além disso, devem ser respeitados os respeitados os parênteses, colchetes e chaves. EXERCÍCIO: 1) Calcules as seguintes expressões: a) 11 + ( - 7 + 15) b) 16 – (15 – 6) c) – 7 – (- 6 + 4) d) (- 3 – 7) + (- 4 + 8) e) – 2 + (3 – 8) – (- 3 + 5) f) – 6 . 2 – (3 . 4 – 1) g) (- 2 ) . (- 3 ) . (- 4 ) - (- 2 ) . (- 3 ) - (- 2 ) h) (- 1440 ): (- 9 - 5 + 2 ) – 16 . (- 5 ) i) [4 . 17 + 5 . (- 11 )] : [- 17 + 16] j) 18 . [(- 42 ) : ( - 14) + 11 . (- 2 )] : (- 2 . 4 – 7 . 7 ) k) (- 4 )3 + 2 . (- 4 )2 – 3 . (- 2 )3 l) (3 . 25 – 70 ) : [(- 2 )4 - (- 3 )1] m) – 72 – {(- 2 )3 – [(- 3 )2 – 52 – 4]4 + 1} - (- 3 )3 n) 72 - (2 . 5 + 1)0 + [26 + (- 3 )4 - (21 – 60)] : [(- 2 )4 - (- 2 )3 ] o) ( 23 )2 + 37 – 2 . 3 - (- 3 )5 : 9 2 p) 90 - 9 q) 3 . 64 64 - 36 – 4 . 50 2) Observe a tabela referente a exportações e importações brasileiras de 1993 a 1997 (valores em milhões de dólares) Ano Exportação Importação 1993 38.597 5.480 1994 43.558 33.168 1995 46.506 49.858 1996 47.747 53.301 1997 52.986 61.358 152 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  11. 11. COLÉGIO OPÇÃO a) Em que período a balança comercial brasileira teve um desempenho negativo? b) Em que período o desempenho foi positivo? 3) Responda: a) Como são chamados os números precedidos do sinal + ? b) Como são chamados os números precedidos do sinal - ? c) Qual é o número inteiro que não é nem positivo nem negativo? 5) O esquema abaixo mostra o relevo de uma região. Dê altitude de cada ponto assinalado: 6) Já vivos o que se entende por sucessor e antecessor de números naturais. Os números inteiros também têm sucessores e a antecessor. Copie e complete a tabela substituindo as estrelinhas. Número Antecessor Sucessor - 10 * * * 0 * * * -2 8) Calcule: a) (+ 14) – (+ 21) b) (- 18) – (- 24) c) (- 20) – (+ 25) d) (+ 3,8) – (+ 5,7) e) (+ 13,6) – (+ 13,6) 9) A Fossa Subglacial Bentley é a maior atitude negativa. (depressão) de que se tem noticia. Ele se encontra na Antártida e tem – 2.538 metros. A maior altitude positiva é o pico Everest e se encontra na China. Ele tem 8.848 metros. Qual é a diferença de altitude entre o pico Everest e a Fossa Subglacial Bentley? 10) A tabela abaixo refere-se a balança comercial do Brasil, no período de 1995 a 1997, em milhões de dólares. Calcule o saldo em cada um desses anos. Ano Exportação Importação 1995 46.506 49.859 1996 47.747 53.301 1997 52.986 61.358 153 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  12. 12. COLÉGIO OPÇÃO 11) Observando o extrato bancário, determine os saldos que estão faltando. Extrato integrado Contas n° 33716 Histórico / n° do documento Saldo em Dia Debito Crédito Saldo em 29/03 R$ 0,00 01 Cheque 78114 100,00 ? 01 Saque 30,00 ? 02 Cheque 78115 60,00 ? 02 Depósito 300,00 ? 02 D.O.C. recebido 20,00 ? 03 Cheque 78116 500,00 ? 03 Saldo ? atual 14) Vamos imaginar um inseto caminhando sobre uma reta numérica. Partindo do ponto de abscissa – 8, ele caminha 3 unidades para a direita, a seguir 6 unidades para a esquerda e finalmente 9 unidades para direita. Em que abscissa da reta ele parou? 16) Um submarino está a 20 m abaixo do nível do mar. Para fazer uma manobra, ele desce mais 13 m. No momento da manobra, a quantos metros ele esta a baixo do nível do mar? 17) Ao consultar seu extrato bancário, Silvia notou que estava com um saldo devedor de R$ 397,50 em sua conta corrente. Ela fez um deposito no valor de R$ 258,30. Com quanto ela ficou de saldo? 154 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  13. 13. COLÉGIO OPÇÃO 18)Um prédio tem 25 andares. O elevador esta no 4° andar, sobe 5 andares desce 2, sobe 8, desce7, e finalmente sob 3. Fazendo corresponder o zero ao andar térreo, determine a posição final do elevador. 5 NÚMEROS RACIONAIS 5.1 RECONHECENDO OS NÚMEROS RACIONAIS ATIVIDADE INVESTIGADORA: Em equipes vamos discutir as seguintes situações: 1-Tenho 5 doces para repartir em partes iguais entre 3 crianças. Quanto cada uma receberá? 2-Para fazer uma jarra de suco, misturo 1 copo do líquido concentrado com 5 medidas de água. Se eu quiser fazer menos bebida conservando o mesmo sabor, que doses devo usar? E se quiser fazer mais suco? 3-Na planta de minha casa, 2 centímetros representam 3 metros. Minha cozinha mede 4 x 5 metros. Como ela será representada? Quais as dimensões de um galpão que na planta é um retângulo de 5 x 10 centímetros? 4-Se o retângulo mede 1, quanto mede a parte em destaque? Para que servem as frações? Os números naturais, que abordamos nos quatro módulos anteriores, são aqueles com os quais as crianças têm o primeiro contato:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... No entanto, esses números não conseguem resolver certos problemas que as frações resolvem. Vejamos um exemplo: Pelo telefone, Dona Maria dá uma receita de bolo a Dona Lúcia. -Use 2 xícaras de farinha e menos que a metade de uma xícara de requeijão... Não. É menos que a metade, mas é mais que a metade da metade.Ficou complicado, não é mesmo? É provável que Dona Maria estivesse pensando numa quantidade equivalente à fração (um terço): Se tivesse dito "um terço", Dona Lúcia teria entendido melhor a receita..., se soubesse frações. Este foi um pequeno exemplo da utilidade das frações. Veremos outros no decorrer dessa lição. Note que, na maneira de Dona Maria dar a receita, há um outro problema: as xícaras em geral têm um formato que torna difícil saber o que é exatamente a metade. Por isso, na ilustração representamos uma caneca, na qual é fácil marcar a metade. 155 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  14. 14. COLÉGIO OPÇÃO a Os números racionais ou fracionários são sempre da forma a/b ou , ou seja, formados, por dois b números inteiros como por exemplo a caixa do desenho foi dividida em 4 partes , então a 1 quantidade pintada representa do tamanho total 4 São exemplos de números fracionários ou racionais 5/3 ½ 6/8 9/3, e podem ser positivos ou negativos. Observe que os números racionais podem ser representados por pontos de uma reta, usando-se o mesmo processo de representação dos inteiros. Q -2 3 -1 1 1 1 3 - - 0 2 2 2 2 2 A direita de zero representamos os números positivos, e a esquerda, os negativos. Responda: todo numero fracionário é um numero inteiro? Trabalho de pesquisa: o que são frações próprias, impróprias e aparentes? Nota do professor: Podemos encarar frações como divisões. Assim, por exemplo, a fração 10/5 pode ser Que é igual a 2.Isto prova que 10/5 e mesma coisa que 2 um numero inteiro. 5.2 NOME DAS FRAÇÕES "denominador" significa "aquele que dá o nome" (no exemplo acima, estamos lidando com "terços") e "numerador" significa "aquele que dá o número de partes consideradas". Portanto, os nomes das frações dependem do número de partes em que a unidade é dividida e do número de partes que estamos considerando. Vejamos alguns exemplos: 156 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  15. 15. COLÉGIO OPÇÃO FRAÇÕES COM DENOMINADORES 10, 100, 1000, 10000, etc. : 3/10 Três décimos 37/100 Trinta e sete centésimos 4/1000 Quatro milésimos 71/10000 Setenta e um sobre dez mil EXERCÍCIOS 1 Copie e represente, apenas em uma reta, os números: 3 2 3 3 a) b) − c) − d) 2 5 2 5 2 Qual o maior número? 2 2 5 6 5 5 a) ou − b) 0 ou − c) − ou d) ou 7 7 2 7 6 8 4 1 1 − e) ou 3 3 2 3 Verdadeiro ou falso? a) Todo número racional negativo é menor que zero b) Todo número racional positivo é menor que zero 7 −7 7 4- Os números A = - , B = e C= são iguais ? 2 2 −2 5 diga se são iguais ou diferentes os números : +7 7 −1 1 a) e− c) e −3 3 −9 9 +5 5 15 15 b) e+ d) e− −8 8 −2 2 1 7 7-o que vem depois de ? E depois de ? 2 8 3 8. O número − esta compreendido entre: 6 157 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  16. 16. COLÉGIO OPÇÃO a) 0 e 1 b) 3 e 6 c) –1 e 0 d) –6 e –3 5 2 1 8 9. Dadas as frações: , , , − , a ordenação ela em ordem crescente é: 7 3 4 5 2 8 1 5 1 2 8 5 a) − , − , , c) ,− , − , 3 5 4 7 4 3 5 7 8 2 1 5 8 2 5 1 b) − ,− , , d) − ,− , , 5 3 4 7 5 3 7 4 10-Por que a parte sombreada da figura não corresponde a 2/3? 5.3 FRAÇÕES EQUIVALENTES Atividade investigadora Em grupo discutam as seguintes questões 1-Tenho de comprar 2 quilos e 1/4 de café. No supermercado, há pacotes de 1/2, 1/4 e 1 quilo. Que pacotes devo levar? Quais as possibilidades? Quais escolho para levar a menor quantidade de pacotes? 2-quanto é a metade de 12/8? e se quisermos o dobro de 12/8? 3-Quanto devemos adicionar à balança para equilibrá-la Podemos observar com o exercício 1 a cima que ½ quilo equivale a 2 quantidades de ¼ Ou seja, ½=1/4+1/4 ou também ½=2/4 Chamamos de frações equivalentes (equi- igual valente- valor) frações que apesar de diferentes na forma tem na verdade o mesmo significado, mesmo “peso” observe a fração Observe a obtenção de uma fração equivalente 158 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  17. 17. COLÉGIO OPÇÃO Atividade em sala Obtenha algumas frações equivalentes para os números 2/3, 4/5 e 8/5. Compare seus resultados com outros alunos. Exercícios Faça no seu caderno. 1 - Verdadeiro ou falso? 0 0 − 72 144 a) = b) = 5 6 − 43 86 2 - Quais das sentenças abaixo são verdadeiras ( lembre-se que fração também pode ser uma divisão ) 17 16 1 1 = 1, 7 b) = − 8, 5 c) − = 0, 4 d) − = 0, 125 100 −2 4 8 3. Qual é a igualdade falsa?(regra de sinal pag. 133) −3 3 3 −3 −3 3 +3 3 a) = b) = c) =− d) = 5 −5 −5 5 −5 5 +5 5 19 4. Ache uma fração equivalente à . 38 1 5. Qual entre as frações seguintes é a equivalente a 4 12 40 48 12 a) b) c) d) − 48 10 12 3 6. Cada parte de uma figura, corresponde à fração 1/5. Responda: a) Qual é a fração que representa a figura toda? b) Qual é a fração que representa duas dessas figuras? 7. O tanque de gasolina do carro estava vazio. Colocamos 48 litros de combustível. O marcador ficou assim: 159 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  18. 18. COLÉGIO OPÇÃO Quantos litros de combustível cabem nesse tanque? Litros. Se 2/5 da minha fortuna correspondem a 200 reais, qual é toda a minha fortuna? Reais Será que é mesmo igual a ?Afinal, é um pedaço só e são dois pedaços. 5.4 OPERAÇÕES COM RACIONAIS Atividade investigadora: Responda quanto é ½ quilo mais1/4 de café? Qual é o resultado de 2 + 2/3? ADIÇÃO A idéia de juntar corresponde, na Matemática, à adição. Podemos então somar frações representando-as em figuras e juntando as partes indicadas. Vejamos a adição: Este exemplo justifica a regra utilizada para somar frações: Para somar frações de mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o denominador. No entanto, quando as frações têm denominadores diferentes, aparece uma dificuldade. Como vamos somar 1/4 e 1/6, por exemplo? Agora precisamos descobrir a que fração corresponde à parte sombreada que representa 160 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  19. 19. COLÉGIO OPÇÃO 1 A solução do problema está no fato de que é possível escreverde muitas outras maneiras, o 4 1 1 1 mesmo ocorrendo com . Procuraremos, então, nas várias escritas de e de , aquelas que têm 6 4 6 denominadores iguais: 1 3 1 Agora, sim, podemos somar: em vez de escrever , escrevemos , e em vez de , 4 12 6 2 escrevemos . Este processo se chama "reduzir frações ao mesmo denominador". 12 Depois que as frações estão com o mesmo denominador, efetuamos a adição: Para visualizar esta adição, desenhamos novamente o retângulo e o dividimos em 12 partes: Podemos, então, formular a regra: Para somar frações com denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador e aplicamos a regra anterior. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Considere as frações 5/8 e 7/12. a) Escreva-as de outra maneira para que fiquem com um mesmo denominador.(Utilize o menor denominador possível) 5/8: 7/12: b) Diga qual das duas é maior: c) Subtraia a menor da maior: 1. Efetue as adições:  1  3  5  1 a)  +  +  +  c)  −  +  +   2  7  6  2 161 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  20. 20. COLÉGIO OPÇÃO  1  2  2  4 b)  −  +  +  d)  −  +  +   3  5   3  9 2. Efetue as adições: 2  1  2  5 a) + −  b)  +  +  −  5  2  3  3 5  1 b) + −  3  2 5  1 c) − +  −  6  4 3. Efetua as adições. Veja o exemplo:  2 2 15 + 2 17 5+ +  =5+ = =  3 3 3 3  1  5 a) 2 +  +  b)  −  + (+2)  7  7  2 b) 4 +  −   3  1 c) 4 +  −   5 4. Efetue as adições: 3  1  1  a) + −  + −  5  2   10   3  7  1 b)  −  +  + −  +  +   5  10   15  SUBTRAÇÃO Para subtrair frações, usa-se um processo semelhante ao da adição. Vejamos, por exemplo, como 4 1 efetuar − : 5 5 4 1 Dos tiramos : 5 5 162 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  21. 21. COLÉGIO OPÇÃO 3 Restam . 5 4 1 3 Portanto: − = 5 5 5 Quando os denominadores são diferentes, podemos torná-los iguais usando o mesmo procedimento utilizado na adição. Por exemplo, vamos efetuar a subtração: Procuramos frações que sejam iguais a estas, mas que tenham o mesmo denominador: e efetuamos a subtração: Podemos representar esta subtração por meio de um retângulo dividido em 16 partes: 1 8 7 Tirando de , restam . 16 16 16 Portanto, as regras para a subtração são análogas às da adição: Para subtrair frações que têm o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. Para subtrair frações que têm denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Faça no seu caderno. 1. Efetue as subtrações:  1  1  1  4 a)  +  −  +  d)  −  −  −   3  4  3  5   7  1  2  3 b)  +  −  +  f)  −  −  +   5  2  5  5 163 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  22. 22. COLÉGIO OPÇÃO 3. Calcule: 2 3 7 1 a) –1 − d) − + − 5 2 4 6 5 3 1 2 b) − + c) 2 − − 6 4 2 5 4-Observe a figura e responda: Quanto é (1/5 - 1/15)? MULTIPLICAÇÃO Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15. 2 2 2 2 Da mesma forma. 3 X = + + 5 5 5 5 Nestes dois exemplos estamos utilizando a idéia de que multiplicar por 3 é somar 3 parcelas iguais. 2 4 O problema é que não podemos utilizar essa mesma idéia para efetuar, por exemplo, X . 3 9 Esta multiplicação não é uma adição de parcelas iguais. Em casos como este devemos considerar a multiplicação de outra maneira. Sabemos que expressões como "o dobro de", "o triplo de", etc., estão relacionadas com multiplicações. Estas expressões são expressões multiplicativas. Analogamente, as expressões "a metade de", "a terça parte de", "a quarta parte de", 1 1 1 ou de, de, de, conduzem a divisões. Para se ter a metade, é necessário dividir por 2. 2 3 4 Para se ter a terça parte, é necessário dividir por 3.E assim por diante. Vamos utilizar essas idéias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicação de frações. 2 4 Comecemos pelo exemplo citado: X 3 9 4 O que queremos saber é quanto vale "o dobro" da "terça parte" de . 9 4 Começamos por representar : 9 4 Depois, marcamos "a terça parte" de : 9 164 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  23. 23. COLÉGIO OPÇÃO 4 Por último, marcamos "o dobro" da "terça parte" de : 9 Agora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado: Quanto vale a parte marcada, em relação ao retângulo todo? 8 A parte marcada corresponde a do retângulo todo. 27 2 4 8 Concluímos que X = . 3 9 27 Podemos resumir tudo isso numa regra simples: Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si. Para confirmar esta regra, podemos testá-la em outras multiplicações: 1 1 3 1 . Faça a mesma coisa com X e com X e conclua: 2 4 4 3 TESTE DE REVISÃO  1 1. O produto (-5).  −  . (+3) é igual a:  3 a) 3 b) 5 c) -5 d)15 1  3   10  2 2. O produto .  −  .  −  . é igual a: 6  4   13  5 5 1 1 3 a) b) c) − d) − 13 26 26 26  4 3 1 3. O valor da expressão  −  é  5 5 7 1 7 1 1 a) b) c) − 6 5 35 35 165 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  24. 24. COLÉGIO OPÇÃO  1 1  4. O valor da expressão  2 −  .  − 1 é  2 3  9 4 a) 1 b) c) –1 d) − 4 9 3 1 5. Se x = , y = − e z = 7, então x.y.z é igual a: 2 4 3 21 3 21 a) b) c) − d) − 36 8 56 8 1 1 4 6. O valor da expressão − . é 3 10 3 1 1 4 14 a) b) c) d) 5 9 21 15 3 2 3 7. O valor numérico da expressão 1 − 5 .  −  + é 4 5 4 3 1 a) 0 b) c) 1 d) 4 20  1  1  1 8. Valor da expressão 1 −  . 1 −  . 1 −  é  2  3  4 1 1 a) 4 b) c) - 4 d) − 4 4 5 9. Se x = - , então 2x + 8 vale: 2 a) 1 b) 3 c) –1 d) –3 10. A expressão numérica 3 2 2  −  x 1 equivale a : 7 3 5 1 7 1 35 a) b) c) − d) − 3 20 3 21 DIVISÃO Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações. 1° caminho: REPARTINDO Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir. 166 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  25. 25. COLÉGIO OPÇÃO 1 Por exemplo, se repartimos de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá 3 1 metade de da barra: 3 1 1 1 1 Então, o resultado da divisão de por 2 é . Escrevemos: ÷ 2 = . 3 6 3 6 2° caminho: QUANTAS VEZES CABE? Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro. Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o resultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes em 8 (2 x 4 = 8), dizemos que 8 : 4 = 2. 1 1 Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de ÷ , estamos querendo 2 4 1 1 saber quantas vezes cabe em . Um desenho responde imediatamente: 4 2 1 1 Então podemos escrever: ÷ =2 2 4 Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" são equivalentes. É uma questão de se achar mais fácil ou mais difícil usar cada uma delas, em cada caso. Encontre os resultados das divisões abaixo. Para isto, comece escolhendo um dos dois caminhos já apresentados. (a) 1/3: 1/6 = (b) 4 : 4/5 = EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Efetue as divisões:  3  2  3  6 a  +  : +  c)  −  :  −   8  5  5  7 167 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  26. 26. COLÉGIO OPÇÃO  2  1  5  3 b)  +  :  −  d)  +  :  −   7   3  6  5  3  3  1 3 2. Efetue as adições. Veja o exemplo:  +  : (−4) =  +  .  −  = −  5  5  4 20  2  4 a)  +  : (−3) d) 5 :  −   7  3  2 b)  −  : (−3)  9  5 c)  −  : (+6)  7 4. Calcule: 7 5 1 1− − − 8 6 4 a) − 3 b) 1 + 1 4 2 5. Calcule: 1 3 1 − −1 + a) 2 4 b) 7 2 1 3 1− − 5 3 2 5.5 POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Da mesma forma que nos números inteiros a potenciação de números fracionários é a multiplicação de “n” fatores iguais. Por exemplo: 3 2 3   da mesma forma que 2 é igual à 2 X 2 X 2 =8 5  3 2 2 2 2 8   = X X COMO visto na multiplicação de racionais o resultado é igual a 5  5 5 5 125 3 2 8 portanto   =  5  125 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Calcule o valor de cada expressão: 2 2 2  1  4 a) +  −  c)  −  − 1 3  3  3 168 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  27. 27. COLÉGIO OPÇÃO 2 3  1 2  1  b) +  −  − 4 d)  −  2  − 32  2  2   2. Calcule o valor da expressão: 2 1 0  2  2  2 −  + −  + −   3  3  3 3. Calcule as potencias: 1 2  5  1 a)  −  b)  −   6  10  0 3  8  1 c)  −  d)  −   15   10  −2 −2 8  7 e)   f)  −  9  4 −1 −2 3  1 g)   h)  −  5  8 −3 −3 2  2 i)   j)  −  3  5 5.6 RADICIAÇÃO Raiz quadrada exata de números racionais Vamos recordar: 2 9 3 3 9 = , porque   = 25 5  5  25 2 9 3 3 9 = , porque   = 25 5  5  25 Exemplos: 9 9 A) + B) − 25 25 64 64 C) + D) − 49 49 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Calcule: 169 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  28. 28. COLÉGIO OPÇÃO 1 9 16 a) e) − i) 4 64 25 4 1 16 b) f) − j) 9 81 25 25 121 81 c) g) − l) − 36 100 64 36 169 81 d) h) − m) − 25 144 64 6 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA: Noções de Estatística são importantes para todas as pessoas. Vivemos cercados por informações: a média de salários de tal categoria, a média do boletim anual de um aluno, o aumento médio de preços, a probabilidade de tal candidato passar para o segundo turno de uma eleição e a de fulano vencer a tal eleição, entre outras. E uma pessoa que entenda e avalie tais informações pode atuar de maneira mais crítica e bem sucedida em nossa sociedade e em sua vida profissional O termo Estatístico, em sua origem, estava relacionado com ações atrelados ao estado (status), como o censo populacional, a descrição de propriedades etc. Um estatístico era quase um relator (escriba) das coisas do estado.Hoje, como um ramo da Matemática Aplicada, podemos dizer que a Estatística trata das distintas formas de coletar, organizar, representar, analisar e interpretar os dados associados a um estudo qualquer. . ATIVIDADE INVESTIGADORA A estatística basicante estuda a distribuição de dado de uma pesquisa ou de um determinado estudo. Em equipes faça o seguinte trabalho de “equipe”: na sua sala, ou em outras séries faça uma “tabulação”(confecção tabelas) de alunos, pesquisando dados como; altura, idade, peso renda salarial familiar.. Traga estes dados para a sala onde faremos o estudo da média aritmética. Média aritmética Imagine o boletim de um aluno da 6ª série do colégio opção ao final de ano letivo na disciplina geografia Geografia 1ª avaliação 2ª avaliação 3ª avaliação 4ª avaliação Notas 4,0 3,3 4,5 6,0 Para obter aprovação no colégio é necessário que o aluno obtenha media igual ou superior a 5,0 170 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  29. 29. COLÉGIO OPÇÃO Ou seja, podemos calcular a media aritmética do aluno fazendo o seguinte procedimento: 4, 0 + 3, 5 + 4,5 + 6, 0 Que é a média da notas do aluno em geografia, obtemos então o resultado 4 4,5. Exercícios 1-imagine que em determinada família as idades do pai e da mãe sejam respectivamente iguais à 35 e 42 anos e que a de seus dois filhos sejam de 17 e 13 anos. Qual é a média de idade dessa família? O que significa este dado? 2-Num determinada pesquisa sobre estatura na quinta série foi verificada que a média das alturas dos alunos foi de 1,37 m. Isto significa que todos os alunos possuem esta altura? Poderia um aluno da quinta série medir mais que 1,70 m de altura? 3-Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9 e 13. 4-Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a R$ 1,50 e 2 doces a R$ 2,00 cada. O preço médio, por doce, foi de: a) R$ 1,75 b) R$ 1,85 c) R$ 1,93 d) R$ 2,00 e) R$ 2,40 4- A média de 5 números é igual a 25. Se somarmos a estes números 19 a nova média será? Atividade em sala de aula Com os dados obtidos com a atividade investigadora deste capítulo desenvolva gráficos que mostrem o comportamento de cada situação Com recortes de jornais ou revistas exponha o resultado de uma pesquisa graficamente Bibliografia, fontes e recursos utilizados http://educar.sc.usp.br http://revistaescola.abril.com.br 171 6ª Série – Matemática – 1º Semestre

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