Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

VI. Accionamientos Eléctricos de Velocidad Variable Prof. Fabricio Salgado D.

VI.1 Introducción
Los primeros sistemas de control de velocidad variable que provocaron que la industria pusiera atención en ellos fueron los que se implementaron con motores de c.d. de excitación separada.
Desde el punto de vista de diseño, la máquina de c.d. presenta muchas desventajas, al ser comparada principalmente con la máquina de c.a.
Comparados con los motores de c.d. los motores de inducción jaula de ardilla de c.a. presentan varias ventajas significativas en la robustez de su diseño:
Tamaño más reducido
No necesita mantenimiento
Se pueden instalar casi en cualquier medio ambiente
Los costos son mucho menores
Sin embargo, los motores de c.a. poseen las siguiente desventajas:
La ecuación del par electromagnético no se encuentra desacoplada.
El control de estas máquinas es más complicado.

VI.3 Accionamiento Eléctrico de Velocidad Variable para Motores de C.D. VI.3.1 Características mecánicas de motor de corriente continua de excitación independiente
La característica mecánica del motor se puede determinar de manera general si se mantiene el voltaje de campo fijo ( V ) y se considera un régimen en estado permanente de forma que para el circuito de armadura se tiene:
donde:

Entonces se tiene para la característica mecánica, recordando que el par electromagnético desarrollado es donde
Es importante mencionar que el flujo tiende a desaparecer, esto es
entonces teóricamente la velocidad alcanzaría valores muy elevados; esta condición puede aparecer cuando se suspenda la alimentación eléctrica en el devanado de campo.

Cuando se tiene una velocidad del motor que la mayor velocidad de vacío ideal y la FEM es mayor que el voltaje aplicado , entonces la máquina eléctrica trabaja como generador por lo que la corriente cambia de sentido y se puede tener una ecuación definida por
Entonces el par del motor cambia de signo y se tiene que

VI.3.3 Variables de estado y diagramas de bloques para la representación de la máquina de corriente directa
Cuando se requiere tener un modelo dinámico se puede recurrir a un modelo en variables de estado o al empleo de un diagrama de bloques; estas dos representaciones son de las más empleadas.
En la figura 5.5 se muestra el modelo eléctrico del motor de c.d. en el que se tienen los circuitos de armadura y del campo: el circuito de la armadura se puede identificar como el circuito que contiene la FEM, el circuito del campo se encuentra definido únicamente por una resistencia, un inductor y una fuente de alimentación.

Se puede plantear la siguiente ecuación diferencial para la descripción del circuito de la armadura.
mientras que para el circuito de campo se tiene que El par electromagnético es La ecuación mecánica es donde:

Las variables de estado son aquellas que describen un sistema.
A continuación se plantea la definición general de estas variables y luego se presenta un ejemplo basado en un circuito RLC, de segundo orden, en el que se encontrará el modelo en variables de estado que sirve de representación del circuito.
En términos básicos las variables de estado son el conjunto mínimo de variables que determinan el estado de un sistema, y al ser representadas por un vector de n variables éste recibe el nombre de vector de estado. Este concepto se emplea principalmente en sistemas con múltiples entradas y salidas, como lo son los motores eléctricos.
El modelo matemático de estos sistemas son las ecuaciones 5.6 y 5.7 para los casos continuos y discretos, respectivamente; en ambos casos la primera ecuación, que contiene la dinámica del sistemas, se denomina ecuación de estado y la segunda ecuación de salida.

donde A , B , C y D son matrices reales cuyas dimensiones están especificadas en la ecuación 5.7, mientras que u , y , x son los vectores que contienen las variables de entrada, salida y estado respectivamente. Cualquiera que sea la interpretación que se adopte se debe tener presente que:
Las variables de estado pueden tener o no sentido físico.
Las variables de estado pueden o no ser medibles.
Para un mismo sistema dinámico las variables de estado no son únicas; de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que sirvan como variables de estado.

Ejemplo: Circuito eléctrico RLC. A continuación se presenta la descripción analítica para modelar y obtener la ecuación característica del sistema RLC. Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura 5.6 con la particularidad de que v(t) se supone igual a 0. El estado inicial del sistema está determinado por: El estado transitorio está descrito por las leyes de Kirchhoff como sigue:

Al derivar esta ecuación se tiene que: A continuación se presentan dos formas de obtener la ecuación característica del sistema: una es empleando la descripción analítica del sistema y la otra es utilizando una representación de variables de estado. A) Descripción analítica Se propone la solución y luego de sustituir ésta en la ecuación 5.11 se tiene que y agrupando términos se obtiene la ecuación característica que sólo depende se los parámetros del sistema como se esperaba:

B) Representación de variables de estado Para cumplir con las condiciones del modelo en variables de estado, el sistema de ecuaciones puede representarse de la siguiente forma: Empleando las dos ecuaciones diferenciales que describen al circuito se tiene que De las ecuaciones de Kirchhoff también se puede plantear que:

por lo que las ecuaciones pueden agruparse en la siguiente forma matricial. que en la forma de representación de estado resulta que Para demostrar que ambas ecuaciones características son iguales, se calcula el determinante donde es la matriz identidad. De aquí se obtiene la ecuación característica siguiente:

Para plantear el modelo del motor de c.d. en variables de estado, a partir de las ecuaciones 5.1 a 5.4 se obtiene el modelo matricial
donde Simplificando se tiene que

Entonces el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen al motor de c.d. son: Dentro de los modelos en variables de estado existen representaciones que permiten incluir relaciones no-lineales que en ocasiones se tienen que tomar en cuenta para representar diferentes fenómenos que se presentan en la máquina de corriente directa.

El modelo lineal se puede encontrar si se mantiene una fuente de alimentación constante, sea ésta la de campo o armadura, por lo que el modelo del motor de c.d. con la corriente de campo constante, se define por:

VI.3.4 Modelado del motor de c.d. en diagrama de bloques
Para realizar una representación en bloques es conveniente que cada bloque contenga la descripción del comportamiento del sistema, usando funciones de transferencia.
Así en forma general se puede definir una función de transferencia como la relación entre la salida y la entrada del sistema, con condiciones iniciales nulas y en el dominio de la frecuencia.
Para determinar la función de transferencia del motor de c.d. se parte de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento físico. Las ecuaciones del motor en la armadura se pueden escribir como:

donde Aplicando la transformada de Laplace se tiene que Si se elimina se obtiene la siguiente función de transferencia, donde la salida es la velocidad del rotor

VI.3.5 Modelado empleando diagrama de bloques para el motor de c.d.
Usando las ecuaciones diferenciales básicas del modelo del motor y mapeando el dominio de la frecuencia con la transformada de Laplace, en cada una se puede obtener el diagrama mostrado en la figura 5.7 si se mantiene la corriente de campo constante.

Por otro lado, si se mantiene la corriente de armadura constante, para un modelo del motor de c.d. empleando el circuito del campo se tiene que En variables de estado, para el modelo del motor de c.d. en ecuaciones de campo se tiene que

donde el diagrama de bloques puede definirse por la siguiente expresión

VI.4 Función de Transferencia Experimental
En muchos casos para determinar un modelo es necesario conocer los parámetros del sistema, como lo visto anteriormente, por lo que es necesario tener métodos experimentales para obtener la descripción del mismo cuando no se tiene la posibilidad de conocer los parámetros (por ejemplo: ), esto es, se necesita un método experimental que sirva para obtener un modelo matemático que represente el comportamiento del motor en estado transitorio y en estado permanente, lo cual se puede lograr determinando la función de transferencia que se componga de dos polos y una ganancia .
Este proceso experimental se basa en la respuesta transitoria y permanente de un sistema de segundo orden cuando se excita con una señal escalón unitario, cumpliendo la condición básica de tener los polos alejados uno del otro, aproximadamente con una diferencia de tres veces ; esto lo cumple el motor de c.d. por lo que se puede aplicar este método experimental.

Tomando en cuenta las condiciones anteriores para el modelado del motor de c.d., se puede tener una función de transferencia de la siguiente forma. Si , se puede aplicar una excitación del tipo escalón al sistema para poder definir la función de transferencia, empleando la respuesta transitoria y permanente. Por expansión de fracciones parciales esto significa escribir como una suma de funciones más simples: Para esto se requiere obtener las raíces de así como los coeficientes En el caso del polo con multiplicidad el coeficiente se puede calcular empleando:

quedando definidos los coeficientes como La respuesta escalón se obtiene con la siguiente expresión:

Las dos componentes de la respuesta se definen como Como para un valor de grande entonces También se puede definir una función Con esto se elimina la ganancia de estado permanente, y si se tiene una grande se obtiene que por lo que se puede obtener el valor de usando el logaritmo natural:

por tanto

Para validar el proceso, empelando los datos experimentales se puede graficar

VI.5 Control en Cascada en Motores de C.D.
En el caso de motores el controlador más empleado por la industria es del tipo cascada, donde normalmente se emplean uno más lazos internos en cascada.
Para realizar el control de los motores eléctricos se tiene un lazo interno de corriente y el externo de velocidad o posición.
En la figura 5.10 se ve que la corriente es la variable interna y el lazo externo es de velocidad.

En la figura 5.11 se muestra un controlador de posición que está descrito mediante un diagrama de bloques . En la figura 5.11 lo primero que se observa es el lazo de corriente en el que se tiene a la FEM como un disturbio , de tal manera que su efecto puede ser negado porque su cambio es muy lento en comparación con la corriente. El convertidor estático de potencia presentado en la figura anterior y que es fundamental en la transmisión de la energía que se suministra al motor, se puede aproximar a través de un sistema inercial de primer orden de la siguiente forma.

VI.7 Diagrama de Bloques Simplificado de Control de Posición de un Motor
Empleando la descripción del convertidor
y las partes descritas anteriormente, se puede simplificar el control de posición de un motor empleando el diagrama de la figura 5.18 Si se controla θ (s) a través de la velocidad ω (s) se obtiene el diagrama de bloques de la figura 5.19

En este tipo de control no se recomienda usar la acción diferencial , debido a que puede existir ruido en al señal, afectando nocivamente el desempeño del sistema. Se propone el uso de controladores con acción proporcional e integral ( PI ).
Se puede apreciar que éste es un sistema tipo cero , sistemas de acuerdo con el número de polos en el origen, por lo que para anular el error de posición en estado permanente se requiere un control PI .
Para controlar el par es necesario controlar primero la variable eléctrica que es la corriente, y ésta se puede controlar a través del voltaje de entrada mientras que la FEM se puede observar como una perturbación en el circuito eléctrico del motor.

Para el control de velocidad, se tiene que considerar que la variable manipulada es el par electromagnético .
Si se ajusta el control de corriente con un ancho de banda superior a 3 veces se puede suponer que el lazo de par electromagnético actúa de la siguiente manera: Se puede decir que el lazo de velocidad en un control de posición tiene un efecto que estabiliza el sistema.

Se pueden proponer controladores proporcionales para los dos lazos, el lazo de posición y el lazo de velocidad .

se tiene que tomar en cuenta que se desprecia el efecto de la fricción en la ecuación mecánica. Como resultado se tiene la siguiente función de transferencia: donde los polos se pueden definir como:

Si las ganancias de los controladores son positivas , entonces los polos están en el semiplano izquierdo del plano complejo, lo que caracteriza el comportamiento de un sistema estable.
Si sólo se tiene el control de posición, la función de transferencia está representada por: Los polos están en el eje imaginario y no se puede estabilizar empleando sólo el control proporcional. Lo más usado y recomendado es el empleo de controladores tipo PI (analógica o digital). El controlador tipo PI se puede definir de manera continua como se presenta a continuación, donde la entrada para el controlador es el error: Para evaluar la salida se tiene que: La función de transferencia del controlador queda como:

En este tipo de controladores se debe tener cuidado cuando el valor del error permanece por mucho tiempo; esto ocurre porque la acción integral se incrementa y tiende a saturarse, por lo que la señal de salida se tiene que limitar , lo cual se puede lograr de una manera muy sencilla restando la parte proporcional de la señal de salida.
De manera analógica se puede tener una topología conformada por un amplificador operacional, un diodo zener, elementos resistivos y capacitivos; el diagrama de esto se muestra en la figura 5.26.

Cuando se requiere programar el controlador, empleando un microcontrolador , de manera digital, es necesario tener la ecuación en forma discreta, definiéndose de la siguiente manera. De forma digital se puede programar un anti-windup , en la cual se tienen límites de los valores de la acción integral.

Se debe tener en cuenta que para el control de velocidad se tienen dos integradores , por lo que se pueden ubicar los polos teniendo en cuenta el diagrama de bloques de la figura 5.27 que representa este sistema.
La función de transferencia se define por Los polos se encuentran empleando la siguiente expresión: Se considera que el lazo de control del par es infinitamente rápido (por esta razón el valor de k p no puede ser muy grande, porque puede demeritar la condición del lazo de par)

VI.8 Observador Lineal en Motores de C.D.
En esta sección se exponen los principios básicos de los observadores y se diseñan sistemas de control por retroalimentación de estado.
El observador lineal se usa para estimar los estados de un sistema, basados en la dinámica de la entrada y la salida, por lo que un modelo básico puede diseñarse como se muestra en la figura 5.28. La planta se puede describir mediante la siguiente ecuación de estado: El observador se define como:

Los dos sistemas tienen la misma entrada y salida, por lo que podría pensarse que tienen la misma dinámica, sin embargo, se tienen que tomar en cuenta las condiciones iniciales de la planta siendo necesario definir el error entre la planta y el observador.
Se puede escribir: Si el sistema es estable, entonces después de un tiempo finito el sistema converge. Para corregir el valor estimado, se suma un término proporcional a la ecuación del observador: donde la dinámica del error se puede escribir como:

Si se selecciona el valor de la ganancia k de manera correcta se pueden fijar los polos de la dinámica del error , lo que puede determinar la proporción de convergencia de los estados estimados, reduciendo el problema al seleccionar el valor de k , además de tomar en cuenta que la entrada del sistema no afecta el tiempo de convergencia del observador.
En la figura 5.29 se muestra el diagrama de bloques de la planta y del observador, y en él se puede ver de manera clara la conformación de cada uno de ellos. También se puede determinar que una función de transferencia de U(s ) a Y(s) no es afectada por la dinámica del observador. El observador actúa como un sensor de la planta.

Ejemplo: Se tiene el caso de un servomotor que se describe mediante un modelo en variables de estado, las cuales son la posición y la velocidad. El objetivo es determinar la matriz de ganancia k para el diseño de un observador, que cumpla con al menos tener una dinámica superior diez veces que la planta. Entonces se tiene que: El paso inicial para el diseño del observador es la definición de la matriz de observabilidad, para analizar si es de rango completo (número de filas o columnas linealmente independientes):

Para el sistema planteado se tiene que: que no es de rango completo, esto es, no se pueden estimar todos los estados del sistema, en consecuencia no se puede calcular la posición a través de la velocidad, por esto es necesario reformular el modelo de una manera alterna tomando como salida la posición: Siendo este sistema de rango completo, se concluye que se puede estimar la velocidad a través de la posición.

En el segundo paso del diseño se requiere el cálculo de la ganancia K; entre los métodos existentes se tiene el de Bass Gura y la fórmula de Ackermann , para lo cual se tienen que definir la posición de los polos deseados. En este caso particular se plantea que sean 10 veces más rápidos que la planta, por lo que el valor de la ganancia es igual a k= [ 1,9 0.81] En general los dos métodos citados se describen de la siguiente forma: Método de Bass Gura Método de Ackermann

VI.9 Retroalimentación de Estados
Para definir con más detalle como se puede obtener el valor de esta ganancia k , se puede ver como una ganancia que altera la dinámica del observador y también que puede encontrarse una ganancia que altere la dinámica de la planta (controlador).
Tomando como base el diagrama en lazo abierto de la planta que se tiene, y sumando después la matriz de ganancia en lazo cerrado se tiene un controlador que reubica los polos del sistema cambiando la dinámica de la misma.

Se tiene que G = g es un vector la señal de salida del sistema es un escalar Se supone que la entrada y la salida son escalares ( y , r y rm son escalares), entonces u= -rm= -g’x . Sin tomar en cuenta la entrada del sistema se puede decir que Por lo tanto los eigenvectores en lazo cerrado son y los polos buscados están definidos por

Ejemplo: Se tiene un motor de c.d. descrito por el modelo en variables de estado que se presenta a continuación, y se desea ubicar los polos del sistema en s=-1 ± j por lo que se requiere obtener la matriz de ganancia k que es equivalente al vector g en el sistema en lazo cerrado. El modelo del motor c.d. es Desarrollando para obtener el vector se tiene que

Luego de calcular el determinante se obtiene que y de aquí resulta que Usando los polos deseados se tiene que Igualando los coeficientes correspondientes de (5.28) y (5.29) se obtiene que y resolviendo este sistema resulta que y por tanto

Otra forma de obtener el vector g es a través de la fórmula de Ackermann . donde en donde las a son los coeficientes deseados y A es la matriz del sistema. Retomando el ejemplo anterior, en este caso se tiene lo siguiente. Para el coeficiente de s se tiene que a 1 =2 y para el coeficiente independiente a 2 =2 , por tanto y también

La matriz de controlabilidad que cumple es de rango completo

Ejemplo: otro ejemplo de diseño para un motor de c.d. como se muestra en la figura 5.32, con el voltaje como entrada y un par electromagnético (simplificado) de salida, manteniendo el par de carga igual a cero, T L =0. Entonces En lazo abierto y con las ecuaciones básicas del motor de c.d. se tiene con los siguientes datos

La matriz de controlabilidad, de rango completo, es La ecuación característica del sistema en lazo cerrado es

La ecuación deseada es y la solución del sistema es Reduciendo el diagrama de bloques resulta que Como se ve esto es igual que la anterior.
Por otro lado, se puede emplear el comando de Matlab (acker) para obtener g :

VI.10 Pasos Básicos para la Retroalimentación de Estados
Técnica para el posicionamiento o colocación de dos valores propios.
Dada la ecuación de estado de lazo abierto se aplica la ley de control u(t)=Nr(t) – kx(t) y se obtiene la ecuación de estado de lazo cerrado Si un sistema es controlable, proyectándose una matriz de ganancia K apropiada, se pueden posicionar los autovalores de (A-BK) en cualquier posición deseada en el plano s.

Ejemplo: Considérese un motor de c.d. descrito por las ecuaciones de estado.
Su polinomio característico de lazo abierto (sin retroalimentación de estados) está dado por
Las raíces de la ecuación característica Δ (s)=0 son s=-9.9975 y s=-2.0025.
Obsérvese que el sistema lleva aproximadamente 3 segundos para alcanzar el valor nominal. La velocidad final está cerca de 1/10 de la amplitud de la tensión de entrada.
Se desea diseñar un controlador por retroalimentación de estados, de forma que la respuesta del motor sea más rápida, y lograr que ω (t) siga valores constantes r(t).

Para calcular la ganancia de retroalimentación adecuada, se debe seguir la matriz de controlabilidad Mc :
El sistema es controlable
Como el sistema no se encuentra en forma canónica controlable, se determina la transformación T necesaria para llevar el sistema a esta forma canónica. Si se conoce esta transformación de la matriz de controlabilidad Mc , se puede determinar la matriz K por los tres métodos ya vistos:
Por sustitución directa.
Por la ecuación de Bass-Gura.
Por la ecuación de Ackermann.
A continuación se van a aplicar los métodos (ii) y (iii), y se van a comparar los resultados.

Método (ii): Ecuación de Bass-Gura. Para usar esta ecuación se necesita determinar la matriz de transformación T o el polinomio despejado Δ d (s). T=McW . Mc se determinó anteriormente. Ahora se va a determinar la matriz W .

Para determinar
primero se necesita obtener un polinomio característico deseado (coeficiente ) y para esto es indispensable especificar los polos deseados.
Supóngase que se desea posicionar los polos de lazo cerrado en s=-5 ±j , los cuales resultan en una respuesta de escalón con un sobrepeso de 0.1% en un tiempo de establecimiento de aproximadamente 1 segundo . A partir de estas especificaciones, el polinomio característico deseado es:
Con Δ (s) y Δ k(s) , se determina la ganancia K en las coordenadas (forma canónica controlable):
Finalmente, se obtiene la matriz K en las coordenadas originales del problema mediante

Método (iii): Ecuación de Ackermann.
Autovalores de , como se deseaba.

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Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

by fabricio_salgado_diaz on Jul 19, 2011

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