1. FLUJO MULTIFASICO
MODELO DIFERENCIAL
El modelo diferencial está formado de las siguientes partes:
a. Ecuación fundamental para el petróleo.
b. Ecuación fundamental para el agua.
c. Ecuación fundamental para el gas.
d. Relación de saturaciones.
e. Relación de presiones capilares.
f. Relación de permeabilidades relativas.
Ecuación de flujo para el petróleo.
∂  k o A ∂Φ o  ∂  φS 
  = A  o  + Aq ov
∂x  β o µ o ∂x 
  ∂t  β o 
  ......................(1)
2-1

2. En la Ecuación 1, el potencial del petróleo Φ o está dado por:
Φ o = p o − γ o d ............................................................................................................................(2)
Volumen de petróleo producido de fuentes ó sumideros
q ov =
(Volumen de yacimiento )(tiempo )
γ o = Gradiente hidrostático del petróleo
Ecuación de flujo para el agua.
∂  k w A ∂Φ w  ∂  φS 
  = A  w  + Aq wv ....................................................................................(3)
∂x  β w µ w ∂x 
  ∂t  β w 
 
Φ w = p w − γ w d ...........................................................................................................................(4)
2-2

3. Ecuación de flujo para el gas.
∂  ko A ∂Φ o  ∂  k w A ∂Φ w  ∂  k g A ∂Φ g 

β µ Rs + 
 ∂x  β µ R sw + 
 ∂x  β µ ∂x 

∂x  o o ∂x   w w ∂x   g g 
∂  φS o R s φS w R sw φS g 
  + Aq gv .................................................................................(5)
=A + +
 β
∂t  βw βg 
o 
Relación de saturaciones.
S g + S o + S w = 1. 0 .....................................................................................................................(6)
p cg , o = p g − p o = f (S g )
p cg , o = p g − p o = f (S g )
Relaciones de presiones capilar. ......................... (7)
Relaciones de permeabilidades relativas.
2-3

4. k rg = f (S g ) ..................................................................................................................................(8)
k ro = f (S o ) ..................................................................................................................................(9)
k rw = f (S w ) .................................................................................................................................(10)
MODELO NUMÉRICO
Ecuación para el petróleo.
 ko A   ∂Φ o   k A   ∂Φ o 

β µ     − o   
∂  k o A ∂Φ o   o o  i +1 2  ∂x  i +1 2  β o µ o  i −1 2  ∂x  i −1 2
 
 =
∂x  β o µ o ∂x 
  ∆xi ................................(11)
2-4

5. En la Ecuación 11,
 ∂Φ o  Φ oi +1 − Φ oi
  = .....................................................................................................(12)
 ∂x  i +1 2 1
(∆xi +1 + ∆xi )
2
 ∂Φ o  Φ oi − Φ oi−1
  = .....................................................................................................(13)
 ∂x  i −1 2 1
(∆xi + ∆xi −1 )
2
Llevando las Ecuaciones 12 y 13 a la Ecuación 11, se tiene:
 ko A  2[Φ oi +1 − Φ oi ]  k o A  2[Φ oi − Φ oi−1 ]

β µ   −
 

∂  k o A ∂Φ o   o o  i +1 2 (∆xi +1 + ∆x i )  β o µ o  i −1 2 (∆xi + ∆xi −1 )
 = ...................(14)
∂x  β o µ o ∂x 
  ∆xi
2-5

6. La transmisibilidad se define como el término que multiplica la diferencia de potencial. Luego,
de la Ecuación 14 se tiene:
2 o 
k A
 β o µ o  i +1 2
 
Toi+1 2 = .........................................................................................................(15)
∆x i+1 + ∆x i
2 k o A


 β o µ o  i −1 2

Toi−1 2 = .........................................................................................................(16)
∆x i + ∆x i−1
De esta forma, la Ecuación 14 puede ser escrita como:
∂  k o A ∂Φ o  Toi+1 2 [Φ oi+1 − Φ oi ] − Toi−1 2 [Φ oi − Φ oi−1 ]
 = ................................................(17)
∂x  β o µ o ∂x 
  ∆xi
2-6

7. Análogamente a como se hizo para flujo monofásico, se puede demostrar que:
2k i Ai k i +1 Ai +1  k ro 
Toi+1 2 = 
µ β   ..........................................................................(18)
∆xi ki +1 Ai +1 + ∆xi +1 k i Ai  o o  i +1 2
2k i Ai k i −1 Ai −1  k ro 
Toi−1 2 = 
µ β   ...........................................................................(19)
∆xi k i −1 Ai −1 + ∆xi −1k i Ai  o o  i −1 2
Llevando la Ecuación 17 a la Ecuación 1, se obtiene:
∂  φS o 
Toi+1 2 [Φ oi+1 − Φ oi ] − Toi −1 2 [Φ oi − Φ oi−1 ] = Vb   + Vb qov
∂t  β o 
 
∂  φS o 
Toi +1 2 [Φ oi +1 − Φ oi ] − Toi −1 2 [Φ oi − Φ oi−1 ] = Vb 
 β  + Qov
∂t  o   ................................................(20)
2-7

8. La Ecuación 20 puede ser escrita como:
∂  φS o 
Toi +1 2 Φ oi +1 − (Toi +1 2 + Toi −1 2 )Φ oi + Toi−1 2 Φ oi−1 = V b 
 β  + Qov .....................................(21)
∂t  o  
Ecuación para el agua. Siguiendo un procedimiento completamente análogo:
∂  φS w 
Twi +1 2 Φ wi +1 − (T wi +1 2 + Twi −1 2 )Φ wi + Twi −1 2 Φ wi −1 = Vb 
 β  + Qwv .................................(22)
∂t  w  
Φ w = p w − γ w d ...........................................................................................................................(23)
γ w = Gradiente del agua
2-8

9. 2k i Ai k i +1 Ai+1  k rw 
Twi +1 2 = 
µ β  
∆xi k i +1 Ai +1 + ∆xi +1 k i Ai  w w  i +1 2 .........................................................................(24)
2ki Ai k i −1 Ai −1  k rw 
Twi −1 2 = 
µ β  
∆x i k i −1 Ai −1 + ∆xi −1 k i Ai  w w  i −1 2 ..........................................................................(25)
Ecuación para el gas. En forma análoga a como se obtuvo la Ecuación 17:
∂  k g A ∂Φ g  T gi +1 2 [Φ gi +1 − Φ gi ] − T gi−1 2 [Φ gi − Φ gi −1 ]
 =
 β µ ∂x 
∂x  g g ∆x i
 ................................................(26)
∂  ko A ∂Φ o  Toi +1 2 ( R s )i +1 2 [Φ oi +1 − Φ oi ] − Toi −1 2 ( R s )i −1 2 [Φ oi − Φ oi−1 ]

 β µ R s ∂x  =

∂x  o o  ∆x i ................(27)
2-9

10. ∂  kw A ∂Φ w  Twi +1 2 ( Rsw )i +1 2 [Φ wi +1 − Φ wi ] − Twi−1 2 ( Rsw )i −1 2 [Φ wi − Φ wi −1 ]
 Rsw = ............(28)
∂x  β w µ w
 ∂x  ∆xi
En las Ecuaciones 26 a 28 se tiene:
2ki Ai ki +1 Ai +1  k rg 
Tgi+1 2 =   .............................................................................. (29)
∆xi ki +1 Ai +1 + ∆xi+1ki Ai  µ g β g 
  i +1 2
2ki Ai ki−1 Ai−1  krg 
Tgi−1 2 =   ..............................................................................(30)
µ β 
∆xi ki −1 Ai−1 + ∆xi −1ki Ai  g g 
i−1 2
Llevando las Ecuaciones 26, 27 y 28 a la Ecuación 5, se obtiene:
2-10

11. [ ] [ ]
Tgi+1 2 Φ gi+1 − Φ gi − Tgi−1 2 Φ gi − Φ gi−1 + Toi+1 2 (Rs )i +1 2 [Φ oi+1 − Φ oi ] −
Toi −1 2 (R s )i −1 2 [Φ oi − Φ oi −1 ] + Twi+1 2 (Rsw )i+1 2 [Φ wi+1 − Φ wi ] − Twi−1 2 (Rsw )i−1 2 [Φ wi − Φ wi−1 ]
∂  φS o R s φS w Rsw φS g 
  + Q gv ......................................................................................(31)
= Vt + +
∂t  β o
 βw βg 
El método IMPES (Implicit Pressure Explicit Saturation).
Ecuación para la porosidad. De la definición de compresibilidad, se tiene:
V 
d p 
1 dV p 1  Vt  1 dφ
cr = = = .........................................................................................(32)
V p dp V p dp φ dp
Vt
Donde se asume que Vt no es función de la presión. De la Ecuación 32 se obtiene:
2-11

12. φ
dφ
pw
cr ∫ dp = ∫
0 φo φ
Donde se toma como base la presión atmosférica (0 psig), a la cual φ = φo y la presión del agua
p = p w , a la cual φ = φ . Integrando:
φ 
c r p w = ln 
φ 
 O
Por consiguiente:
φ = φ o ecr pw ....................................................................................................................................(33)
La función e x puede ser expandida alrededor del punto “0” mediante serie de Taylor, así:
2-12

13. x 2 x3 xn
e = 1+ x +
x
+ + .......... .. +
2! 3! n!
cr2 p w cr3 p 3
2
crn p w
n
Luego: e cr pW
= 1 + cr p w + + w
+ .......... .
2! 3! n!
Puesto que cr es muy pequeño, cr , c3 ,….., → 0 , al ser comparado con cr , luego:
2
r
e cr pw ≅ 1 + cr pw ............................................................................................................................(34)
Llevando la Ecuación 34 a la Ecuación 33 se tiene:
φ = φ o (1 + c r p w ) ..........................................................................................................................(35)
2-13

14. Ecuación para el petróleo. De la Ecuación 35:
∂  φS o  ∂ S 
Vb   = Vb  φ o (1 + cr p w ) o 
∂t  β o 
  ∂t 
 βo 

∂  φS o  ∂ S 
Vb   = Vbφ o  (1 + cr p w ) o 
∂t  β o 
  ∂t 
 βo 

∂  φS o  ∂ S 
Vb   = V po  (1 + cr pw ) o  .........................................................................................(36)
∂t  β o 
  ∂t 
 βo 

∂ (xy ) ∂y ∂x
Se conoce que: = x] t + y] t
∂t ∂t ∂t
Si se aproxima: x ] t = x] tn +1 y y ] t = y] tn ,
∂ (xy ) ∂y ∂x
Entonces: = x n+1 + y n ..................................................................... (37)
∂t ∂t ∂t
2-14

15. Aplicando la Ecuación 37 a la Ecuación 36, se obtiene:
∂  φS o   ∂  S o   S o  ∂(C r pw ) 
n
 β  = V po (1 + C r p w ) ∂t  β  +  β 
n +1
Vb       
∂t  o    o  o ∂t 
  ..................................................(38)
∂  So 
Aplicando la Ecuación 37 al término   , se obtiene:
∂t  β o 
 
n +1 n+1
∂  So   1  ∂S o ∂ 1   1  ∂S o n ∂  1  ∂p o
 =  + S on  =  + So  
∂t  β o   β o 
    ∂t ∂t  β o   β o 
    ∂t ∂p o  β o  ∂t
 
De donde:
n+1 '
∂  So   1  ∂S o n  1  ∂ po
 =  + So 
 β  ∂t .................................................................................(39)
∂t  β o   β o 
    ∂t  o

2-15

16. En la Ecuación 39,
n+1 n
 1   1 
'   − 
β  β 
 1   o  o
 
β  = n+1
 o po − p on
........................................................................................................(40)
Levando la Ecuación 39 a la Ecuación 38, se obtiene:
∂  φS o    n +1
 ∂p o   S o 
' n
∂p w 
n +1  1  ∂S o  1
Vb   = V p (1 + c r p w )   + S on   ∂t  +  β  c r ∂t  ...................(41)

∂t  β o 
    
 β o  ∂t β
 o 
 
  o 
   
De la Ecuación 7: p co,w = po − p w
∂p w ∂p o
Si se asume que pco, w es constante: =
∂t ∂t
2-16

17. Llevando el resultado anterior a la Ecuación 41:
∂  φS o    n+1 '
  S  n ∂p 
n+1  1  ∂S o n  1  ∂p o
Vb   β  = V p (1 + c r p w )  β  + So  
 β  ∂t  +  β  cr ∂t 
o o
∂t  o     ∂t  

  o 
  o   o
 
 .............(42)
Efectuando las siguientes aproximaciones:
∂S o S o +1 − S o
n n
=
∂t ∆t .........................................................................................................................(43)
∂Po Pon+1 − Pon
=
∂t ∆t .........................................................................................................................(44)
Se obtiene:
2-17

18. ∂  φS o 
Vb  =
∂t  β o 
 
  1 
n +1
S on +1 − S on  1  Pon +1 − Pon   S o
'

n
Pon +1 − Pon 
Vp.(1 + c r Pw ) n +1   + S on    +  cr 
  β o


 ∆t β
 o

 ∆t   βo
 

 ∆t  .......(45)
 
Ó bien:
∂  φS o  V P   S o   n+1
' n n +1
n +1 n  1 
Vb  = (1 + c r Pw ) S o   +   c r  (Po − Po ) +
n Vp n +1  1 
(1 + cr Pw )   (Son+1 − Son )
∂t  β o  ∆t 
 
β  β 
 o  o  ∆t β 
 o
  (46)
Con la finalidad de simplificar notación, se definen las siguientes constantes:
2-18

19. V Pi  
' n
n+1 n  1   So 
α 10 = (1 + c r Pwi ) S oi   +   c r  .....................................................................(47)
β  β 
∆t   o  i  o i 
 
n+1
V pi n+1 1 
α 11 = (1 + cr Pwi )  
β 
∆t  o i ...................................................................................................(48)
Por consiguiente, la Ecuación 46 puede ser escrita de la siguiente forma:
∂  φS o 
Vb 
∂t  o  
n+1
( n
)
 β  = α 10 Poi − Poi + α 11 S oi − S oi
n+1 n
( )
......................................................................(49)
Llevando la Ecuación 49 a la Ecuación 21, se obtiene:
( )
Toi+1 2 Φ oi+1 − (Toi+1 2 + Toi−1 2 )Φ oi + Toi −1 2 Φ oi−1 = α 10 Poi +1 − Poi + α11 S oi+1 − S oi
n n n n
( )
2-19

20. Teniendo en cuenta que: Φ o = p o − γ o d
y evaluando las presiones Po implícitamente, se obtiene:
( ) ( ) (
Toi +1 2 Poi +1 − γ o d i +1 − (Toi+1 2 + Toi−1 2 ) Poi +1 − γ o d i + Toi −1 2 Poi −1 − γ o d i −1 =
n +1 n n−
1 )
( ) (
α 10 Poi +1 − Poi + α 11 S oi+1 − S oi
n n n n
)
Ó bien:
Toi +1 2 Poi +1 − (Toi+1 2 + Toi −1 2 + α 10 )Poi +1 + Toi−1 2 Poi −1 =
n +1 n n 1
−
Toi+1 2 γ o d i +1 − ( oi+1 2 + Toi −1 2 ) o d i + Toi−1 2γ o d i−1 − α 10 Poi + α 11 ( oi+1 − S oi ) .....................(50)
T γ n
Sn n
Si se define a A como:
A = Toi +1 2 γ o d i +1 − (Toi+1 2 + Toi−1 2 )γ o d i + Toi−1 2γ o d i −1 − α 10 Poi .............................................(51)
n
2-20

21. Entonces, la Ecuación 50 puede ser escrita de la siguiente forma:
Toi +1 2 Poi+1 − (Toi+1 2 + Toi −1 2 + α 10 )Poi +1 + Toi−1 2 Poi −1 = A + α 11 S oi+1 − S oi
n +1 n n 1
−
n n
( ) ...........................(52)
Ecuación para el agua. Se pudiera hacer un análisis similar para el agua. La ecuación para el
agua equivalente a la Ecuación 46 tiene la siguiente forma:
 ′ n 
∂  φS  V  1   Sw 
Vb  w  = P
∂t  B w  ∆t 
(
 1 + cr Pw S w 
n+1 n
)  n +1
 B  +  B  c r  Po − Po
  
n
( )
    w  w 
n+1
 1 
V
∆t
(
+ P 1 + C r Pw +1 
n
)
B  (S n+1
w − Sw
n
)
 w .........................................................................................(53)
Para simplificar notación, se definen las siguientes variables:
2-21

22. ′
VP  
n
 1   Sw 
α 20 =
∆t 
(
 1 + cr Pw S w 
n +1 n
)
  

 B  +  B  cr 
  w  w  .........................................................................(54)
n+1
 1 
α 21
V
(
= P 1 + cr Pwn+1
∆t
)

B 
 w ....................................................................................................(55)
Por consiguiente, la Ecuación 53 puede ser escrita como:
∂  φS w 
Vb 
∂t  w  
n+1
( n n +1
)
 B  = α 20 Po − Po + α 21 S w − S w
n
( )
.....................................................................(56)
Llevando la Ecuación 56 a la Ecuación 22 se obtiene:
( ) (
Twi +1 2 Φ wi +1 2 − (Twi +1 2 + Twi −1 2 )Φ wi + Twi −1 2 Φ wi −1 = α 20 Pon +1 − Pon + α 21 S w +1 − S w .......(57)
n n
)
2-22

23. Si se tiene en cuenta que: Φ w = pw − γ wd
Entonces la Ecuación 57 puede ser escrita como:
Twi +1 2 Pwi+1 − (Twi +1 2 + Twi −1 2 )Pwi+1 + Twi−1 2 Pwi+1 = Twi+1 2γ w d i +1 − (Twi +1 2 + Twi−1 2 )γ w d i
n
+1
n n
−1
n n n
(
+ Twi −1 2 γ w d i −1 + α 20 POi+1 − α 20 POi + α 21 S w+1 − S w
n
) .............................................................(58)
Definiendo B ′ como:
B ′ = T wi+1 2γ w d i +1 − (Twi +1 2 + T wi −1 2 )γ w d i + T wi −1 2γ w d i−1 − α 20 Poi ........................................(59)
n
Entonces, la Ecuación 58 puede ser escrita como:
+1
n
−1
n n
(
n
)
Twi +1 2 Pwi+1 − (Twi +1 2 + T wi −1 2 )Pwi+1 + Twi −1 2 Pwi+1 = B ′ + α 20 Poi +1 + α 21 S wi+1 − S wi ..............(60)
n n
2-23

24. De la Ecuación 7: p c o, w = p o − p w
Luego: p w = p o − p c o ,w
Por consiguiente, la Ecuación 60 puede ser escrita como:
( n
+1
n+1
) ( n n+1
) (
Twi +1 2 Poi +1 − Pc o , wi +1 − (Twi +1 2 + Twi −1 2 ) Poi +1 − Pc o , wi + Twi −1 2 Poi −1 − Pc o, wi −1
n +1 n+1
)
n
(
= B ′ + α 20 POi+1 + α 21 S wi+1 − S wi
n n
)
De donde:
Twi +1 2 Poi +1 − (Twi +1 2 + Twi −1 2 )Poi +1 + Twi −1 2 Poi +1 = T wi+1 2 Pc o,+1 +1 − (Twi +1 2 + T wi −1 2 )Pc o, wi
n +1 n n 1 n n +1
− wi
n +1
(
+ Twi −1 2 Pc o, wi−1 + B ′ + α 20 Poi +1 + α 21 S wi+1 − S wi
n n n
) .....................................................................(61)
2-24

25. Si se define B como: B = T wi +1 2 Pc o, wi+1 − (Twi +1 2 + T wi −1 2 )Pc o, wi + Twi −1 2 Pc o , wi −1 + B ′
n +1 n +1 n+1
O bien, teniendo en cuenta la definición de B ′ , Ecuación 59, se obtiene:
( ) ( ) (
B = T wi +1 2 γ w d i +1 + Pc o, wi +1 − (T wi+1 2 + Twi −1 2 ) γ w d i + Pc o , wi + T wi −1 2 γ w d i −1 + Pc o , wi −1 + α 20 Poi
n+1 n +1 n +1
) n
.......................................................................................................................................................(62)
De esta forma, la Ecuación 61 se puede escribir de la siguiente forma:
n n 1
−
n n
( )
Twi+1 2 Poi+1 − (Twi+1 2 + Twi −1 2 + α 20 )Poi +1 + Twi −1 2 Poi +1 = B + α 21 S wi+1 − S wi ............................(63)
n+1
Ecuaciones para el gas. En forma análoga a como se obtuvo la Ecuación 46, se puede obtener
la siguiente expresión:
2-25

26.  ′ n 
∂  φS  V  R S   S o RS 
Vb  o RS  = P
∂t  B o  ∆t 
(
 1 + c r Pw +1 S o 
n n
)
 B  + B
   
(
 c r  Poi +1 − Poi
n n
)
    o  o  
n +1
 RS 
V
(
+ P 1 + c r Pw +1
∆t
n
)

B   (S n+1
oi − S oi
n
)
 o ......................................................................................(64)
Si se definen las siguientes variables:
′
VP  
n
 R S   S o RS 
C1 =
∆t 
( n
)
 1 + c r Pw +1 S o 
n
 B  + B
   cr 
 
  o  o   .......................................................................(65)
n+1
 RS 
V
(
C 2 = P 1 + cr Pwn+1
∆t
)

B 
 .....................................................................................................(66)
 o 
Entonces la Ecuación 64 puede ser escrita como:
2-26

27. ∂  φS o 
Vb 
B
∂t  o  ( n n
)
R S  = C1 Poi +1 − Poi + C 2 S oi+1 − S oi
n n
( )
 ..................................................................(67)
Siguiendo un procedimiento análogo, se obtiene:
 ′ n 
∂  φS  V  R Sw   S w R Sw 
V b  o R Sw  = P
∂t  B o  ∆t (
 1 + c r Pw S w 

n +1 n
)  n +1
 B  +  B  cr  Poi − Poi
  
n
( )
    w   w  
n +1
 R Sw 
V
(
+ P 1 + c r Pw +1
∆t
n
)

B   (S n+1
wi − S wi
n
)
 sw  ....................................................................................(68)
 ′
 RSw   S w RSw  
n
Definiendo: C3 =
VP 
∆t 
(
1 + cr Pw +1 S w 
n n
)
  

 B  +  B  cr  ..............................................(69)
  w   w  
2-27

28. n +1
R 
V
(
C 4 = P 1 + cr Pw +1  Sw 
∆t
n
B  )
 sw  ......................................................................................................(70)
La Ecuación 68 puede ser escrita como:
∂  φS o 
Vb 
B
∂t  o  (
RSw  = C 3 Poi +1 − Poi + C 4 S wi+1 − S wi
n n n n
) ( )
 ....................................................................(71)
Similarmente:
 ′ n 
∂  φS g  VP  1   Sg 
Vb 
∂t  B g
=
 ∆t 
(
1+ c P S
r w
n+1 n
g
 +
  
)
 c r  Poi +1 − Poi

n n
( )
  
  B g   Bg  

n+1
 1 
V
∆t
(
+ P 1 + c r Pw +1
n
)
B


(S n+1
gi )
− S gi ......................................................................................(72)
n
 g 
2-28

29. Definiendo:
 ′ n 
 1   Sg 
C5 =
VP 
∆t 
( n +1
1 + c r Pw S gn  + )
 c  ..........................................................................(73)
B  B  r

  g  g 

n+1
 1 
C6 =
VP
∆t
(
1 + cr Pw +1
n
)

B


.....................................................................................................(74)
 g 
La Ecuación 72 puede ser escrita de la siguiente forma:
∂  φS g 
Vb 
∂t  B g 
(n n
) n n
( )
 = C 5 Poi +1 − Poi + C 6 S gi+1 − S gi .......................................................................(75)
 
∂p g ∂po
En la Ecuación 72 se asume que: pcg , o = pg − po = cte ⇒ =
∂t ∂t
2-29

30. De las Ecuaciones 67, 71 y 75, se tiene:
∂  φS o R S φS w R Sw φS g 
Vb 
∂t  B o
+
Bw
+
Bg 
n
(
n n
) n
( n
)
 = C 1 Poi +1 − Poi + C 2 S oi+1 − S oi + C 3 Poi +1 − Poi
n
( )
 
( ) ( )
+ C 4 S wi − S wi + C 5 Poi − Poi + C 6 S gi+1 − S gi
n +1 n n +1 n n n
( )
O bien:
∂  φS o R S φS w R Sw φS g 
Vb 
∂t  B o
+
Bw
+
Bg 
n
( n
)
 = (C1 + C 3 + C 5 ) Poi +1 − Poi + C 2 S oi+1 − S oi n
( n
)
 
(n +1
) n+1
( )
+ C4 S wi − S wi + C6 S gi − S gi ............................................................................................(76)
n n
Definiendo: α 30 = C1 + C 3 + C 5
2-30

31. Entonces, de las Ecuaciones 65, 69 y 73 se obtiene:
′ ′
VP   V  
n n
 RS   S o RS   RSw   S w R Sw 
α 30 =
∆t 
(
 1 + c r Pw S o 
n +1
)
n  P 
( n+1
 B  +  B  c r  + ∆t  1 + cr Pw S w  B  +  B  c r 
  
n
 )   

  o  o     w   w  
 ′ n 
 1   Sg 
+
VP 
∆t 
( n +1
1 + c r Pw S g )n  +
B  B  r
 c 

  g  g  ............................................................................(77)

n +1
 RS 
α 31 = C 2 ∴ α 31
V
(
= P 1 + C r Pw +1
∆t
n
)
B  
 o ...............................................................................(78)
n+1
 R Sw 
α 32 = C 4 ∴ α 32
V
(
= P 1 + C r Pwn+1
∆t
)

B  
 w  .............................................................................(79)
2-31

32. n+1
 1 
α 33 = C 6 ∴α 33
V
∆t
(
= P 1 + C r Pw +1  
n
B 
)
 g
La Ecuación 76 puede ser escrita de la siguiente forma:
∂  φS o RS φS w RSw φS g 
Vb 
∂t  Bo
+
Bw
+
Bg 
n
( n
) n
( n
)
 = α 30 Poi +1 − Poi + α 31 S oi+1 − S oi + α 32 S wi+1 − S wi ( n n
)
 
(n +1
+ α 33 S gi − S gi
n
)
.........................................................................................................................(80)
Llevando la Ecuación 80 a la Ecuación 31, se obtiene:
Tgi +1 2 Φ gi+1 2 − (Tgi +1 2 + Tgi−1 2 )Φ gi + Tgi −1 2 Φ gi −1 + Toi +1 2 (R S )i+1 2 Φ oi+1
( )
− Toi+1 2 (RS )i +1 2 + Toi −1 2 ( RS )i−1 2 Φ oi + Toi−1 2 (RS )i −1 2 Φ oi−1 + Twi +1 2 (RSw )i+1 2 Φ wi +1
− (T wi +1 2 (R )
Sw i +1 2 ) (
+ T wi −1 2 (R Sw )i −1 2 Φ wi + Twi −1 2 ( R Sw ) i −1 2 Φ wi −1 = α 30 Poi +1 − Poi
n n
)
+α 31 (S n+1
oi −S n
oi )+ α (S32
n +1
wi
n
) n
(
n
)
− S wi + α 33 S gi+1 − S gi + Qvgi ....................................................(81)
2-32

33. Si se tiene en cuenta que: Φ g = pg − γ g d
p c g , o = p g − p o ; es decir, p g = p c g , o + p o
Φ g = p c g , o + po − γ g d
Entonces, ......................................................................................... (82)
Similarmente, Φ w = pw − γ wd
p c o, w = p o − p w ; es decir, p w = p o + pc o, w
Φ w = p o − p c o ,w − γ w d
Entonces: ........................................................................................(83)
Adicionalmente, Φ o = p o − γ o d ............................................................................................. (84)
2-33

34. Llevando las Ecuaciones 82, 83 y 84 a la Ecuación 81, se obtiene:
( n +1
i
1
) (
T gi+ 1 2 Pc g , o i +1 + Pon++1 − γ g d i +1 − (Tgi +1 2 + T gi−1 2 ) Pc g , o i +1 + Poni++1 − γ g d i +
n +1 1
)
T gi−1 2 (P n +1
c g , o i −1 + Pon +−1 − γ g d i −1
i
1
)+ T ( R S )i +1 2 (Pon++11 − γ o d i +1 ) −
oi +1 2 i
(T ( R S )i +1 2 + Toi −1 2 ( R S )i −1 2
oi +1 2 )(P
o i − γ o d i ) + Toi −1 2 ( R S )i −1 2 (Po i −1 − γ o d i −1 ) +
n +1 n+1
Twi +1 2 (R Sw )i +1 2 (Poni+1 − Pc o, w i +1 − γ w d i +1 ) −
n +1
+1
(Twi+1 2 (RSw )i+1 2 + Twi−1 2 (RSw )i −1 2 )(Poni+1 − Pc on+w1 i − γ w d i ) +
,
Twi −1 2 (R Sw )i −1 2 (Poni+1 − Pc o, w i −1 − γ w d i −1 ) = α 30 (Poi +1 − Poi ) + α 31 (S oi+1 − S oi ) + α 32 (S wi+1 − S wi ) +
n +1 n n n n n n
−1
(
α 33 S gi+1 − S gi + Qvgi
n n
)
O bien:
2-34

35. [T gi+1 2 ]
+ Toi+1 2 ( RS )i+1 2 + Twi+1 2 (RSw )i+1 2 Poni+11 − [Tgi+1 2 + Tgi−1 2 + Toi+1 2 (R S )i +1 2 +
+
Toi−1 2 ( RS )i −1 2 + Twi+1 2 (RSw )i +1 2 + Twi−1 2 ( RSw )i −1 2 ]Poni+1 +
[T gi −1 2 ] i
1
2
(
+ Toi −1 2 (R S ) i −1 2 + T wi −1 2 ( R Sw ) i −1 2 Pon +−1 = −T g i − 1 Pc g o − γ g d i +1 +
n +1
)
T


2
(
n +1
) (P
 g i+ 1 + T g i− 1  Pc go i − γ g d i − T g i − 1 c go i −1 − γ g d i −1
n +1
)+ T
o i−1
( R s ) i− 1 γ o d i +1 −
[ ]
2 2 2 2
Toi −1 2 ( R S ) i −1 2 + T wi +1 2 ( R Sw ) i +1 2 γ o d i + Toi−1 2 (R So ) i −1 2 γ o d i −1 −
T
 2 2 2

2
( 2
) 2
(
 w i + 1 (R s )i + 1 + Tg i − 1 (R s )i − 1  Pc ow i − γ w d i + Tw i + 1 (R s )i + 1 Pc ow i +1 − γ w d i +1 +
n+1 n +1
)
2 2
( ) ( )
n n
( n n
) (
Tw i − 1 (R s )i − 1 Pc ow1i −1 − γ w d i −1 − α 30 Poi + α 31 S oi+1 − S oi + α 32 S wi+1 − S wi + α (S n +1 − S n ) + Q
n+ n
) 33 gi gi vgi
.......................................................................................................................................................(85)
Definiendo a D como:
(
n+1


) 2

n+ 1
( )
D = −T g i − 1 Pc g o − γ g d i +1 +  T g i + 1 + T g i − 1  Pc go i − γ g d i − T g i − 1 Pc go i −1 − γ g d i −1 +
n +1
( )
[ ]
2 2 2
To i − 1 (R s )i − 1 γ o d i +1 − Toi −1 2 ( R S ) i−1 2 + T wi+1 2 ( R Sw ) i +1 2 γ o d i + Toi−1 2 (R So )i −1 2 γ o d i −1 −
2 2
T ( ) (
 w i + 1 ( R s ) i + 1 + T g i − 1 (R s ) i − 1  Pc ow i − γ w d i + Tw i + 1 ( R s )i + 1 Pc ow i +1 − γ w d i +1 +


2
n+1 n +1
)
( )
2 2
( )
2 2 2
Tw i − 1 (R s )i − 1 Pc ow i −1 − γ w d i −1 − α 30 Poi
n +1 n
2 2 .............................................................................(86)
2-35

36. La Ecuación 85 puede ser escrita como:
[T gi +1 2
1
]
+ Toi +1 2 ( R S )i +1 2 + Twi +1 2 (R Sw )i +1 2 Poni++1 − [ T gi +1 2 + T gi−1 2 + Toi+1 2 (R S )i +1 2 +
Toi −1 2 ( R S )i −1 2 + Twi +1 2 (R Sw )i +1 2 + Twi −1 2 (R Sw )i −1 2 ]Pon+1 +
i
[T gi −1 2 +T
oi −1 2 (R S ) i −1 2 + T wi −1 2 ( R Sw ) i −1 2 ]Pon +−11
i
n
( n
)
n n
(
= D + α 31 S oi+1 − S oi + α 32 S wi+1 − S wi + )
α 33 (S n +1
gi −S n
gi )+ Q vgi ..................................................................................................................(87)
Si se tiene en cuenta que: S g = 1 − S o − S w , entonces:
S gi+1 = 1 − S oi+1 − S wi+1 y S gi = 1 − S oi − S wi ;
n n n n n n
luego:
n n n n n n n n n n n
(
S gi+1 − S gi = 1 − S oi+1 − S wi+1 − 1 + S oi + S wi S gi+1 − S gi = − S oi+1 − S oi − S wi+1 − S wi
n
) ( ) (88)
2-36

37. Llevando la Ecuación 88 a la Ecuación 87:
[T gi+1 2 ]
+ Toi +1 2 (R S )i +1 2 + Twi +1 2 (R Sw )i +1 2 Pon++1 − [Tgi +1 2 + Tgi −1 2 + Toi+1 2 ( RS )i +1 2 +
i
1
Toi−1 2 ( RS )i−1 2 + Twi +1 2 (RSw )i +1 2 + Twi −1 2 ( RSw )i−1 2 ]Poni+1 + [Tgi−1 2 + Toi−1 2 (RS )i −1 2 + Twi −1 2 (RSw )i−1 2 ]Poni+−11 = D + (α 31 − α 33 )(Soi+1 − S oi ) +
n n
(α 32 − α 33 )(S wi+1 − S wi ) ...........................................................................................................................(89)
n n
Combinación de las Ecuaciones de Flujo. Sean β 1 , β 2 y β 3 tres constantes reales; si se
multiplica la Ecuación 52 por β 1 , la Ecuación 63 por β 2 y la Ecuación 89 por β 3 y se suman, se
obtiene:
β1To i + 1 Poni++11 − β1  To i + 1 + To i− 1 + α 10  Poni+1 + β1To i− 1 Poni+−11 + β 2Tw i + 1 Poni++11 − β 2  Tw i + 1 + Tw i− 1 + α 20  Poni+1 + β 2Tw i− 1 Poni+−11 +
   
2  2 2  2 2  2 2  2
β 3  Tg i + 1 + To i + 1 ( RS )i+ 1 + Tw i + 1 (RSw )i + 1  Poni++11 − β 3 [Tg i+ 1 + Tg i− 1 + To i + 1 ( RS )i+ 1 +
 
 2 2 2 2 2  2 2 2 2
To i− 1 (RS )i− 1 + Tw i + 1 ( RSw )i+ 1 + Tw i− 1 (RSw )i − 1 + α 30 ] Poi + β 3[Tg i− 1 + To i− 1 (RS )i − 1 +
n +1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
T w i− 1
2
( R Sw )i − 1 2 ] Pn +1
oi −1 = β 1 A + (β 1α 11 + β 3 (α 31 − α 33 )) S( n +1
oi −S n
oi )+ β 2 B + ( β α + β (α − α ))(S n+1 − S n ) + β D
2 21 3 32 33 wi wi 3
.......................................................................................................................................................(90)
2-37

38. Si se seleccionan β 1 , β 2 y β 3 de forma tal que:
[β 1α 11 + β 3 (α 31 − α 33 )] = 0 .......................................................................................................(91)
y [β 2α 21 + β 3 (α 32 − α 33 )] = 0 ............................................................................................... (92)
Entonces la Ecuación 90 toma la siguiente forma:
β T    n +1
 1 o i + 1 + β 2 Tw i+ 1 + β 3  Tg i + 1 + To i+ 1 (R S )i + 12 + Tw i + 1 ( RSw )i+ 12  Po i +1 −
 2 2  2 2 2 
{ β 1  To i + 1 + To i − 1 + α 10  + β 2  Tw i + 1 + Tw i − 1 + α 20  + β 3 [T g i + 1 + T g i − 1 + To i + 1 ( R S ) i + 1 +
   
 2 2   2 2  2 2 2 2
To i − 1 (R S ) i − 1 + T w i + 1 ( R Sw ) i + 1 + Tw i − 1 ( R Sw )i − 1 + α 30 ]}Poi +1 +
n
2 2 2 2 2 2
β T    n +1
 1 o i + 1 + β 2 Tw i − 1 β 3 T g i − 1 + To i − 1 (R S )i − 12 + Tw i − 1 (R Sw )i − 12  Poi−1 = β 1 A + β 2 B + β 3 D
 2 2  2 2 2 
.......................................................................................................................................................(93)
2-38

39. Las Ecuaciones 91 y 92 representan un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, si se fija
β 1 = 1 , se obtiene:
α 11 + β 3 (α 31 − α 33 ) = 0
β 2α 21 + β 3 (α 21 − α 33 ) = 0
De donde:
α 11
β3 =
(α 31 − α 33 ) ..........................................................................................................................(94)
β 3 (α 33 − α 21 )
β2 =
α 21 ....................................................................................................................(95)
2-39

40. Procedimiento de Análisis. La Ecuación 95 puede ser escrita en forma de stencil de la siguiente
forma:
n+1 n+1 n+1
Wi Po i −1 + Ci Po i + E i Po i +1 = Fi ..........................................................................................................................(96)
La Ecuación 96 representa un sistema tridiagonal de ecuaciones cuya solución puede ser hallada
mediante el uso de un solucionador.
2-40