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Solución de Ecuaciones No Lineale

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    02 ec no_lineales_v4.128 02 ec no_lineales_v4.128 Presentation Transcript

    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales ´ ´ Metodos Numericos ´ Solucion de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones Luis E. Sierra1 Universidad Industrial de Santander Escuela Ingenier´ de Petr´leos ıa o Bucaramanga 16 Nov 2007 1 Ing. Petr´leos LuisE.Sierra@yahoo.co.uk o Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales CONTENIDO 1 Introducci´n o 2 M´todos Cerrados e Gr´fico a Bisecci´n o Falsa Posici´n o M´todo incremental e 3 M´todos Abiertos e Iteraci´n de Punto Fijo o Newton-Raphson Secante Ra´ M´ltiples ıces u 4 Sistema de Ecuaciones no Lineales Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales Introducci´n o Determine la raiz de f (x) = log (x) − sen(x) f (x) = sen(x)tan(x) − |x| √ f (x) = x − cos(x) f (x) = 10 ∗ cos(x) − x Lo puede hacer de forma expl´cita ? ı Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales M´todos Cerrados e Aprovecha el cambio de signo de la funci´n en la vecindad de la o ra´ ız. Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales M´todo gr´fico e a Empleando herramientas de visualizaci´n de funciones como o gnuplot. Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales M´todo de bisecci´n e o Es un m´todo que se basa en el teorema del valor intermedio e Suponga que f (x) es una funci´n continua en [a, b] con f (a) y o f (b) de signos diferentes. Entonces existe un n´mero p en (a, b) u t.q. f (p) = 0 Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales De forma iterativa lo que se hace es: Calcular un valor medio en el intervalo [ai , bi ] designado por ai + bi pi = (1) 2 Si f (pi ) = 0 entonces p = pi , listo De lo contrario evaluar los signos de f (pi ) y f (bi ) si son opuestos entonces p ∈ [pi , bi ] y se hace ai+1 = pi y bi+1 = bi y se calcula Pi+1 De no cumplirse el literal anterior entonces ai+1 = ai y bi+1 = pi y calcular pi+1 Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales Ejercicio √ Determinar la raiz para f (x) = x − cos(x) en el intervalo [0, 1.5] Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales Ejercicio √ Determinar la raiz para f (x) = x − cos(x) en el intervalo [0, 1.5] Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales Algoritmo Entrada a, b, TOL, Numero iteraciones No Paso 1: tome i=1, FA=f(a) Paso 2: Mientras i<=No haga paso 3-6 Paso 3: Tome p=(a+b)/2; calcular p FP=f(p) Paso 4: Si FP=0 o (b-a)/2<TOL entonces salida p Parar Paso 5: Si FA*FP>0 entonces tome a=p; (Calcular ai,bi) FA=FP Paso 6: Si no tomar b=p Paso 7: Salida Implementar en c++ empleando el editor gvim y el compilador g++ Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales M´todo de la Falsa Posici´n o Interpolaci´n lineal e o o Es un m´todo que a diferencia del m´todo de bisecci´n considera e e o las magnitudes de las funciones f (ai y f (bi ). para ubicar una falsa posici´n de la raiz por medio de una l´ o ınea recta. De aqu´ su ı nombre. f (b) f (a) tan(θ) = b−p = − p−a af (b)−bf (a) p= f (b)−f (a) f (b)(b − a) p=b− (2) f (b) − f (a) Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales Algoritmo Entrada a, b, TOL, No Paso 1: Tome i=2; qa=f(a); qb=f(b); PAso 2: Mientras i<=No haga paso 3-7 Paso 3: Tome p=b-qb(b-a)/(qb-qa). (Calcula pi) Paso 4: Si |p-pi|<TOL entonces Salida (p)(procedimiento termindo exitosamente). Parar Paso 5: Tome i=1+1 pi=p; qi=f(pi) Paso 6: Si qi*qb<0 entonces tome a=p; qa=qb; Paso 7 Tome b=p; qa=qi Paso 8: SALIDA (El metodo supero las No iteraciones. Termino sin exito) Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones Luis E. Sierra Soluci´n de o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales Falsa posici´n modificado o Determinar la raiz de f (x) = x 10 − 1 en el intervalo [0, 1.3] empleando bisecci´n y falsa posici´n. Observar que ocurre. o o Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales Falsa posici´n modificado o Determinar la raiz de f (x) = x 10 − 1 en el intervalo [0, 1.3] empleando bisecci´n y falsa posici´n. Observar que ocurre. o o modidicaci´n o En este m´todo se divide a la mitad el valor de la funci´n en el e o punto del intervalo que se esta presentando estancamiento Implementar esta condici´n en el c´digo de falsa o o posici´n y evaluar el ejercicio. Qu´ observa? o e Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Gr´fico a Introducci´n o Bisecci´n o M´todos Cerrados e Falsa Posici´n o M´todos Abiertos e M´todo incremental e Sistema de Ecuaciones no Lineales M´todo de busqueda incremental e Realizar busquedas incrementales evaluando el signo de la funci´n o Si existen multiple raices, dependiendo de la longitud del incremento las puede pasar por alto La soluci´n parcial es evaluar f (a) y o f (b) para identificar la presencia de m´ximos o m´ a ınimos en el intervalo. Es necesario complementar con gr´ficas a y comprensi´n del problema f´ o ısico. Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales M´todos Abiertos e Son m´todos que parten de un valor o intervalo que no e necesariamente contiene la raiz. Estos m´todos pueden converger o diverger. e Si el m´todo converge por lo general lo hace m´s r´pido que los e a a m´todos cerrados. e Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales Iteraci´n de Punto Fijo o Punto fijo Un punto fijo de una funci´n g es un n´mero k para el cual o u g(k)=k. Ej. g (x) = x 2 − 2; g(-1)=-1 y g(2)=2 Emcontrar ra´ y puntos fijos son equivalentes en el sentido que: ıces Para encontrar una ra´ f(p)=0, podemos definir una funci´n g ız o con punto fijo en p de diversas formas donde solo algunas convergen. Si la funci´n g tiene punto fijo en p entonces la funci´n o o definida por f(x)=x-g(x) tiene cero en p. Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales se garantiza existencia y unicidad del punto fijo con el siguiente teorema Teorema de punto fijo Sea g ∈ C [a, b] t.q g (x) ∈ [a, b] para toda x en [a,b]. Adem´s a suponer que existe g en (a,b) y una constante 0 < k < 1 t.q g (x) ≤ k para toda x ∈ (a, b) Entonces la sucesi´n definida por pn = g (pn−1 ) con n ≥ 1 o converge al unico valor fijo p en [a,b] ´ Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales Algoritmo Entrada f(x),po, No Paso 1 Tome i=1 Paso 2 Mientras i<=No haga paso 3-6 Paso 3 Definimos la funci’on g(x) (Despejando f(x) convenientemente para que x=g(x) y g’(x)<1) p=g(po) Paso 4 Si |p-po| < TOL Salida (p) Termina exitosamente Paso 5 Tome i=1+1 Paso 6 po=p Paso 7 Salida Supero las iteraciones No Terminado sin exito Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales M´todo de Newton-Raphson e Si aproximamos la funci´n f(x) por la serie de Taylor o 2 f (x) = f (˜) + f (˜)(x − x ) + f (ε)(˜) (x−˜) x x ˜ x 2 x 2 f (p) = 0 = f (˜) + f (˜)(p − x ) + f (ε)(˜) (p−˜) x x ˜ x 2 x f (˜) x El termino (p − x )2 es bastante peque˜o entonces: p ≈ x − ˜ n ˜ f (˜) x f (pn−1 ) pn = pn−1 − (3) f (pn−1 ) Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales convergencia El siguiente teorema de convergencia para el m´todo de Newton e muestra la importancia de la elecci´n de po o Teorema Sea f ∈ C [a, b]. Si p ∈ [a, b] t.q. f(p)=0 y f (p) = 0 entonces existe δ > 0 t.q. el m´todo de Newton genera una sucesi´n [pn ]∞ e o n=1 converge a p para cualquier aproximaci´n inicial p0 ∈ [p − δ, p + δ] o Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales M´todo de la secante e Es una modificaci´n al m´todo de Newton para superar la o e condici´n que f (x) = 0. Para esto: o f (pn−1 ) − f (pn−2 ) f (pn−1 ) ≈ pn−1 − pn−2 Remplazando en el m´todo de Newton-Raphson obtenemos e f (pn−1 )(pn−1 − pn−2 ) pn = pn−1 − (4) f (pn−1 ) − f (pn−2 ) Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales Secante modificado f (pn−1 + δpn−1 ) − f (pn−1 ) f (pn−1 ) ≈ δpn−1 Remplazando en la en el m´todo de Newton-Raphson obtenemos e δpn−1 f (pn−1 ) pn = pn−1 − (5) f (pn−1 + δpn−1 ) − f (pn−1 ) Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales Ra´ m´ltiples ıces u Teorema La funci´n f ∈ C m [a, b] tiene un cero de multiplicidad m en p y o (a,b) si y s´lo si f (p) = f (p) = ... = f m−1 (p) = 0 pero fm (p) = 0 o La funci´n tiene ra´ sencilla en p si f(p)=0 pero f (p) = 0 o ız . Si tiene multiples ra´ f(x) se puede escribir como ıces f (x) = (x − p)m q(x), donde el limx→p q(x) = 0 Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales Ra´ m´ltiples pares no presentan cambio de signo ıces u Figure: exp(x)(x − 1)2 Figure: exp(x)(x − 1)3 Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales El m´todo de Newton-Raphson en los puntos de raices multiples e disminuye su velocidad de converegencia de un orden cuadr´tico a a uno lineal Para mantener un orden cuadr´ico es necesario que: a f (pi−1 ) pi = pi−1 − m f (pi−1 ) Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Iteraci´n de Punto Fijo o Introducci´n o Newton-Raphson M´todos Cerrados e Secante M´todos Abiertos e Ra´ıces M´ltiples u Sistema de Ecuaciones no Lineales El m´todo de Newton-Raphson en los puntos de raices multiples e disminuye su velocidad de converegencia de un orden cuadr´tico a a uno lineal Para mantener un orden cuadr´ico es necesario que: a f (pi−1 ) pi = pi−1 − m f (pi−1 ) . otra opci´n es tomar u(x) = ff (x) entonces o (x) pi = pi−1 − u(pp−1 )/u (p − 1), donde las ra´ de u(x) son las ıces ra´ de f(x), remplanzando se obtiene: ıces f (pi−1 )f (pi−1 ) pi = pi−1 − (6) [f (pi−1 )]2 − f (pi−1 )f (pi−1 ) Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales Sistema de Ecuaciones No Lineales Un sistema de ecuaci´nes es no lineal si no se puede expresar cada o una de sus ecuaciones como f (x) = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn f1 (x1 , x2 , x3 , ..., xn = 0 f2 (x1 , x2 , x3 , ..., xn = 0 . fn (x1 , x2 , x3 , ..., xn = 0 . Haciendo la expanci´n por series de Taylor: o n ∂fi fi (x + ∆x) = fi (x) + ∆xj + O(∆x 2 ) ∂xj j=1 Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales Truncando la serie y colocando de forma matricial f(x + ∆x) = f(x) + J(x)∆x = 0 ∂fi donde J(x) es la matriz jacobiana Jij = ∂xj ∂fi fi (x + ej h) − fi (x) ≈ ∂xj h ∆x = ej h h es un peque˜o incremento n ej vector unitario en la direcci´n xj o Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales Pasos para el m´todo de Newton e 1 Estimat un vector soluci´n x o 2 Evaluar f(x) 3 Computar la matriz jacobiana J(x) 4 Plantear el sistema de ecuaciones y solucionar para ∆X 5 Calcular el nuevo vector x y repetir el paso 2-5 hasta alcanzar el criterio de parada Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales Ejemplo Determine el punto de intersecci´n entre el circulo x 2 + y 2 = 3 y la o hip´rbola xy=1 e f1 (x, y ) = x 2 + y 2 − 3 = 0 f2 (x, y ) = xy − 1 = 0 ∂f1 /∂x ∂f2 /∂y 2x 2y J(x, y ) = = ∂f2 /∂x ∂f2 /∂y y x Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales El sistema de ecuaciones lineales J(x)∆x = −f(x) relacionadas con el m´todo de Newton-Raphson es:. e 2x 2y ∆x −x 2 − y 2 + 3 = y x ∆y −xy + 1 Tomando el vector de valores iniciales estimado de x = [x0 y0 ] = [0.5 1.5] Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales 1ra itiraci´n: Sustituimos x0 = 0.5, y0 = 1.5 en la ecuaci´n o o anterior 1.0 3.0 ∆x 0.50 = 1.5 0.5 ∆y 0.25 Solucionamos el sistema para obtener ∆x1 = ∆y1 = 0.125 Entonces x1 = 0.5 + 0.125 = y y1 = 1.5 + 0.125 = 1.625 2da iteraci´n: Los valores de x1 y y1 son sustituidos en el sistema o 1.250 3.250 ∆x −0.031250 = 1.625 0.625 ∆y −0.015625 Entonces ∆x2 = ∆y2 = −0.00694 y x2 = x1 + ∆x2 = 0.625 − 0.00694 = 0.61806 y2 = y1 + ∆y2 = 1.625 − 0.00694 = 1.61806 Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales Bibliograf´ ıa BURDEN Richard L. & FAIRES Douglas J. An´lisis Num´rico. 7ed Thomson Learning M´xico 2002 a e e CHAPRA Steven C. & CANALE Raymound P. M´todos Numericos para ingenieros. 4ed. McGrawHill M´xico 2002 e e . Beamer LaTeX Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o
    • Outline Introducci´n o M´todos Cerrados e M´todos Abiertos e Sistema de Ecuaciones no Lineales Nunca consideres el estudio como una obligaci´n, sino como o una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber Albert Einstein Luis E. Sierra Soluci´n de Ecuaciones No Lineales: raices de ecuaciones o