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# Comparación de métodos para co simulación de leyes minerales tesis

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### Comparación de métodos para co simulación de leyes minerales tesis

1. 1. UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA DE MINAS COMPARACIÓN DE MÉTODOS PARA CO-SIMULACIÓN DE LEYES MINERALESMEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL DE MINAS PATRICK DAVIS RIVERA RAMOS PROFESOR GUÍA EDUARDO MAGRI VARELA MIEMBROS DE LA COMISIÓN JULIAN ORTIZ CABRERA XAVIER EMERY SANTIAGO DE CHILE ENERO 2010
3. 3. ABSTRACT. This work aims at comparing four geostatistical methods for simulating mineral grades inpolymetallic deposits, in order to reproduce their spatial variability and their dependencerelationships, and at determining the pros and cons of each method. These are: the simulation ofeach variable separately, the co-simulation under a linear model of coregionalization (LMC), thesimulation of factors obtained by principal component analysis (PCA), and the stepwise conditionalsimulation. The methods are applied to two data bases, one of which is heterotopic (i.e., not all thevariables are known at the sampling locations), while the other one is homotopic. The first database corresponds to a porphyry copper deposit and comprises eight measured variables (related toCu, Fe, Mn, Mo, Cl), whereas the second data base corresponds to a lateritic nickel deposit with sixvariables of interest (Al2O3, Cr, Fe, Mgo, Ni, SiO2). From the results of the comparison, the following conclusions can be drawn. First, theseparate simulation of each variable does not allow reproducing the dependence between variablesand, therefore, is not recommended. Second, the co-simulation under a linear model ofcoregionalization takes account the correlations between variables and provides better results forboth case studies. However, the method is complex and the LMC is hard to fit when dealing with alarge number of variables. Third, the simulation by PCA factorization is difficult to apply in theheterotopic case, as the method only allows working with homotopic data bases, reason for whichthe variables with less information have to be removed. However, this method provides the bestreproduction of the correlations between variables and is recommended for homotopic cases inwhich no variable is lost in the analysis. Fourth, the stepwise conditional simulation reproducesfairly well the correlations between variables, but it is restricted to few variables for computationalreasons. Fifth, none of the methods is able to reproduce inequality relationships, such as thatexisting between the total and soluble copper grades. iii
6. 6. Índice1.- INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................... 1 1.1.- INTRODUCCIÓN. .................................................................................................... 1 1.2.- MOTIVACIÓN. ......................................................................................................... 2 1.3.- OBJETIVOS. ............................................................................................................. 2 1.3.1- Objetivo General. ................................................................................................. 2 1.3.2- Objetivos Específicos. .......................................................................................... 2 1.4.- ALCANCES. .............................................................................................................. 3 1.5.- RESUMEN POR CAPÍTULOS. ................................................................................ 32.- ANÁLISIS DE ANTECEDENTES BIBLIOGRÁFICOS. ............................................... 4 2.1.- Conceptos básicos de geoestadística. ......................................................................... 4 2.1.1.- Variable Regionalizada. ...................................................................................... 4 2.1.2.- Función Aleatoria. ............................................................................................... 4 2.2.- Metodologías de estimación. ...................................................................................... 5 2.2.1.- Kriging. ............................................................................................................... 5 2.2.2.- Simulación........................................................................................................... 6 2.3.- Geoestadística Multivariable. ..................................................................................... 7 2.3.1.- Métodos de Co-simulación Multivariable. .......................................................... 73.- METODOLOGÍA. .......................................................................................................... 114.- CASO DE ESTUDIO 1. .................................................................................................. 13 4.1.- Estudio Exploratorio de Datos. ................................................................................ 15 4.1.1.- Estadísticas Básicas. .......................................................................................... 16 4.1.2.- Correlación. ....................................................................................................... 17 4.2.- Caso 1 aplicado a los métodos de simulación. ......................................................... 18 4.2.1.-Método 1: Simulación por separado. ................................................................. 18 4.2.2.-Método 2: Co-Simulación de las variables. ....................................................... 22 4.2.3.-Método 3: Simulación por factorización de ACP (Análisis en Componentes Principales). .................................................................................................................. 26 4.2.4.-Metodo 4: Simulación por transformación condicional paso a paso. ................ 32 vi
8. 8. 8.2.6.-Metodo 3: Simulación por ACP. ........................................................................ 868.2.7.-Método 4: Simulación Stepwise......................................................................... 89 viii
9. 9. 0
11. 11. 1.2.- MOTIVACIÓN. La geoestadística permite la evaluación de recursos en un proyecto minero, evaluación queestá referida a crear un modelo más certero posible sobre la distribución de una o varias variablesen el espacio a evaluar. Para cuantificar estos recursos es necesario tener modelos de simulación que representenlas variables de un yacimiento polimetálico en sectores no muestreados, que permitan apreciar lavariabilidad espacial de sus leyes y sus dependencias / correlaciones. Se tiene como motivación principal identificar cual método se ajusta de mejor manera a lascondiciones que se tienen en dos casos de estudio, como es la alta o escasa correlación entre lasvariables y principalmente la cantidad de variables presentes en las zonas muestreadas, criteriofundamental que define a los dos casos de estudio. Se validara a aquel método que reproduzca demejor manera las medias y correlaciones de las variables.1.3.- OBJETIVOS.1.3.1- Objetivo General. El objetivo principal de este trabajo, es comparar las ventajas e inconvenientes de variosmétodos de simulación multivariable.1.3.2- Objetivos Específicos. • Modelar la distribución espacial de varias variables correlacionadas. • Aplicar métodos de análisis multivariable de datos. • Aplicar métodos de simulación geoestadística multivariable. • Validar métodos de simulación en cuanto a la precisión de la estimación de medias y reproducción de correlaciones. 2
17. 17. Este enfoque se puede resumir en las siguientes etapas: • Definir un modelo de distribución espacial que caracteriza las funciones aleatorias, típicamente el modelo multigaussiano. • Estudio exploratorio de los datos. • Transformación de variables al espacio gaussiano. • Inferencia del modelo variográfico que describe la corregionalización. • Construcción de realizaciones aplicando algún algoritmo de cosimulación. • Si el algoritmo no lo hace directamente, condicionar las realizaciones a los datos (vía co- kriging). • Transformación inversa al espacio original de las variables. • Post-procesamiento de las realizaciones. • Validación. De este modo se puede incorporar en las simulaciones las relaciones que puedan existirentre las variables, de modo que éstas son concordantes con la realidad del depósito. Por ejemplo,reproducir la correlación entre leyes de cobre (variable de interés) y de arsénico (contaminante).[3] Los métodos de simulación que se considerarán en este trabajo son:2.3.1.1.- Simulación de cada variable por separado.Para cada variable de interés los pasos a seguir para realizar esta simulación son: 1) Transformación de los datos a valores gaussianos (anamorfosis). 2) Análisis variográfico de la gaussiana (variograma experimental y teórico). 3) Simulación de la función aleatoria multi-gaussiana. • Elección de un algoritmo de simulación (bandas rotantes). • Construcción de varias realizaciones. • Condicionamiento a los datos gaussianos disponibles. 4) Transformación gaussiana inversa, para volver a la variable original. 5) Procesar los resultados. 6) Validar. 8
22. 22. 4.- CASO DE ESTUDIO 1. El primer caso de estudio se realiza con muestras de sondajes pertenecientes a la mineraRadomiro Tomic de Coldelco Norte, las que poseen información de leyes de diferentes minerales,principalmente cobre total (CuT) y cobre soluble (CuS3 y CuS4). La mina está ubicada a 40 km de laCiudad de Calama, Región de Antofagasta, según lo señala el siguiente mapa. Figura 1. Ubicación geográfica mina Radomiro Tomic. [10] Este yacimiento corresponde a un cuerpo mineralizado de dimensiones 5 km de longitud y1 Km de ancho, compuesto principalmente de óxidos, sulfuros primarios y secundarios, además deun recubrimiento de gravas. Esto se aprecia en la siguiente figura que muestra las unidadesgeológicas presentes en el yacimiento. 13
24. 24. 4.1.- Estudio Exploratorio de Datos. La campaña consta de 5995 muestras de sondajes, comprendiendo un área deaproximadamente 1220 (m) x 1050 (m) que se extiende por 360 (m) en la vertical. La base de datos corresponde a sondajes de exploración que presentan diferentes litologíasy dentro de las cuales se destacan las siguientes variables a analizar: CuT, CuS3, CuS4, FeT, Mo,Mn, ClT y ClS. Dichas variables no tienen la misma cantidad de datos en la base (heterotopía). La distribución espacial de leyes se despliega en la siguiente figura, mientras que el restodel estudio exploratorio correspondiente a la base de datos original se encuentra en la parteanexos. Los anexos correspondientes a este capítulo exploratorio del caso 1, se encuentran enanexos 8.1. (8.1.1 al 8.1.4). Mapa de sondajes, Planta Norte Este Mapa de sondajes, Perfil Este cota Mapa de sondajes, Perfil Norte Cota Figura 3. Ubicación de las muestras de sondajes codificadas según la ley de cobre total (%). Como se señaló anteriormente, en esta base de datos es posible distinguir unidadesgeológicas claras, es por esto que el estudio estará centrado en aquella que contenga la mayor 15
27. 27. Las nubes de correlación entre las variables se encuentran disponibles en anexos, pero semuestran a continuación las nubes de dispersión de las variables que mejor correlacionan entreellas. Correlación CuS3 v/s CuT Figura 5. Nube de correlación para variables de zona óxidos caso 1.4.2.- Caso 1 aplicado a los métodos de simulación. Esta base de datos que tiene la particularidad de ser heterotópica, será analizada con el finde establecer ventajas y desventajas entre los métodos y ver cual reporta mejores resultados encuanto a su similitud con los datos originales (media y correlaciones). Se aplicarán los métodos porseparado para establecer sus ventajas e inconvenientes, para posteriormente comparar losmétodos y, por los criterios mencionados anteriormente, definir cuál es el más indicado a utilizarpara estos tipos de datos (heterotópico).4.2.1.-Método 1: Simulación por separado. La simulación por separado consiste en simular las variables presentes independientementeuna de otra, o sea sin considerar dependencias. Esta simulación se realiza aplicando el modelomultigaussiano de simulación y el algoritmo de bandas rotantes, que se encuentra disponible en elsoftware Isatis y del cual se detallarán los pasos principales, dejando el resto en la parte anexos.Los anexos correspondientes a este capítulo (Método 1 aplicado caso 1) se encuentran en anexos8.1.5. 18
30. 30. Variables Simuladas Datos Reales Variables n° datos Media n° datos Media Error CuT % 21870 0.41 2709 0.44 6.8% CuS3 % 18136 0.32 1244 0.35 8.6% CuS4 % 12595 0.24 640 0.25 4.0% FeT % 16360 2.15 1082 1.90 13.2% Mo % 17422 0.04 975 0.03 33.3% Mn % 15454 0.06 727 0.06 0.0% ClT % 16503 0.05 816 0.05 0.0% ClS % 9723 0.02 401 0.02 0.0% Tabla 5. Estadísticas básicas variables simuladas por separado y datos reales. Se aprecia que según las medias simuladas, estas son relativamente similares para aquellasque tienen menor cantidad de datos. Sin embargo, para las variables con mayor cantidad de datosestas tienen una mayor discrepancia con respecto a la media de datos reales. Las correlaciones obtenidas de los resultados finales de la simulación se muestran en lasiguiente matriz: ρ M1 CuT CuS3 CuS4 FeT Mo Mn ClT ClS CuT 1 0.121 0.044 -0.138 0.034 -0.052 0.045 0.003 CuS3 0.121 1 0.018 -0.114 0.032 -0.04 0.041 0.01 CuS4 0.044 0.018 1 -0.018 0.015 -0.013 0.016 0.004 FeT -0.138 -0.114 -0.018 1 -0.045 0.102 -0.036 0.011 Mo 0.034 0.032 0.015 -0.045 1 0.01 0.004 -0.009 Mn -0.052 -0.04 -0.013 0.102 0.01 1 -0.024 0.007 ClT 0.045 0.041 0.016 -0.036 0.004 -0.024 1 0.013 ClS 0.003 0.01 0.004 0.011 -0.009 0.007 0.013 1 Tabla 6. Matriz de correlación de las variables simuladas. ρ Real CuT CuS3 CuS4 FeT Mo Mn ClT ClS CuT 1 0.72 0.82 -0.19 0.12 0.05 0.48 0.06 CuS3 0.72 1 0.018 -0.27 0.09 0.02 0.57 0.01 CuS4 0.82 0.01 1 -0.01 -0.03 -0.01 0.51 0.05 FeT -0.19 -0.27 -0.01 1 -0.15 0.16 -0.17 0.01 Mo 0.12 0.09 -0.03 -0.15 1 -0.07 0.05 -0.09 Mn 0.05 0.02 -0.01 0.16 -0.07 1 -0.01 0.01 ClT 0.48 0.57 0.51 -0.17 0.05 -0.01 1 0.18 ClS 0.06 0.01 0.05 0 -0.09 0 0.18 1 Tabla 7. Matriz de correlación de las variables originales. 21
31. 31. Se aprecia claramente que el método no entrega una buena reproducción de lasdependencias entre variables, ya que no puede representar la correlación entre cobre total y cobresoluble, siendo el motivo principal la característica del método que modela las variables porseparado y no conjuntamente. Por último se muestra un mapeo con el resultado de uno de los escenarios creados para lavariable de mayor interés y la que posee mayor cantidad de datos (CuT). Mapa de sondajes, Planta Norte Este Mapa de sondajes, Perfil Este cota Mapa de sondajes, Perfil Norte Cota Figura 6. Despliegue de mapas simulación n°56 variable CuT. (en negro aparecen los bloques no simulados, por no tener datos en su vecindad)4.2.2.-Método 2: Co-Simulación de las variables. Este método de simulación tiene un procedimiento similar al método anterior en cuanto alos pasos para realizar la simulación, sin embargo, la diferencia está en considerar todas lasvariables juntas, creando un modelo lineal de corregionalización que involucra a todas las variables. 22
33. 33. Variables CuT CuS3 CuS4 ClT ClS FeT Mn Mo n° de datos 2707 1244 638 811 397 1081 726 972 n° de datos robustos 2628 1189 624 793 354 1035 679 956 Porcentaje datos robustos 97.08% 95.58% 97.81% 97.78% 89.17% 95.74% 93.53% 98.35% Media Errores 0.03 -0.02 0.03 0.01 0 0 0.01 0 Media Errores Std 0.04 -0.03 0.05 0.01 0.01 -0.01 0.03 0 Varianza Errores 0.51 0.44 0.44 0.49 0.2 0.18 0.25 0.51 Varianza Error Std 0.96 0.85 0.86 0.8 0.88 0.82 0.93 0.79 Tabla 8. Validación cruzada de los variogramas simples y cruzados. La mayoría de las variables cumple con los criterios de validación, especialmente al apreciarque presenta un porcentaje de robustez sobre 90% a excepción de la variable ClS, la cual tienedificultades debido a la escasez de datos que posee y a la casi nula relación con el resto de lasvariables.4.2.2.3.-Co-Simulacion de las variables gaussianas. En este caso es necesario ingresar todas las variables juntas e ingresar el modelo variográficode los variogramas cruzados. Se realizan 100 simulaciones, de las cuales se analiza la media ycorrelaciones para las variables simuladas. Los resultados obtenidos para este método son: Variables Simuladas Datos Originales Variables n° datos Media n° datos Media Error CuT % 15187 0.38 2709 0.44 13.6% CuS3 % 12564 0.26 1244 0.35 25.7% CuS4 % 8362 0.21 640 0.25 16.0% FeT % 11261 2.02 1082 1.90 6.3% Mo % 12109 0.03 975 0.03 0.0% Mn % 10478 0.05 727 0.06 16.7% ClT % 10821 0.04 816 0.05 20.0% ClS % 6147 0.02 401 0.02 0.0% Tabla 9. Resultados medias obtenidas de simulación comparadas con las medias reales. Se aprecia que la mayoría de las variables presenta una diferencia considerable conrespecto a las variables originales, situación que puede suceder debido a la falta de datos dealgunas variables y la escasa relación entre las variables de este caso. La matriz de correlación obtenida es: 24
34. 34. ρM2 CuT CuS3 CuS4 FeT Mo Mn ClT ClS CuT 1 0.43 0.64 -0.35 0.17 -0.23 0.41 0.19 CuS3 0.43 1 0.46 -0.36 0.22 -0.16 0.38 -0.08 CuS4 0.64 0.46 1 -0.12 0.19 -0.05 0.41 0.14 FeT -0.35 -0.36 -0.12 1 -0.11 0.29 -0.17 0.04 Mo 0.17 0.22 0.19 -0.11 1 -0.08 0.17 0.02 Mn -0.23 -0.16 -0.05 0.29 -0.08 1 -0.16 0.07 ClT 0.41 0.38 0.41 -0.17 0.17 -0.16 1 0.31 ClS 0.19 -0.08 0.14 0.04 0.02 0.07 0.31 1 Tabla 10. Matriz de correlación de las variables simuladas. ρ Real CuT CuS3 CuS4 FeT Mo Mn ClT ClS CuT 1 0.72 0.82 -0.19 0.12 0.05 0.48 0.06 CuS3 0.72 1 0.018 -0.27 0.09 0.02 0.57 0.01 CuS4 0.82 0.01 1 -0.01 -0.03 -0.01 0.51 0.05 FeT -0.19 -0.27 -0.01 1 -0.15 0.16 -0.17 0.01 Mo 0.12 0.09 -0.03 -0.15 1 -0.07 0.05 -0.09 Mn 0.05 0.02 -0.01 0.16 -0.07 1 -0.01 0.01 ClT 0.48 0.57 0.51 -0.17 0.05 -0.01 1 0.18 ClS 0.06 0.01 0.05 0 -0.09 0 0.18 1 Tabla 11. Matriz de correlación de las variables originales. Se aprecia que las correlaciones obtenidas del método de co-simulación no son similares orepresentativas a las correlaciones originales. Situación que se debe fundamentalmente a lo difícil ypoco preciso que es modelar los variogramas cruzados y obtener el modelo lineal decorregionalización. Los siguientes mapas muestran los resultados obtenidos para una simulación de la variablede mayor interés CuT, con el fin de establecer la posterior comparación de métodos. 25
35. 35. Mapa de sondajes, Planta Norte Este Mapa de sondajes, Perfil Este cota Mapa de sondajes, Perfil Norte Cota Figura 8. Despliegue de mapas para simulación n°56 de CuT obtenida método de co-simulación.4.2.3.-Método 3: Simulación por factorización de ACP (Análisis en ComponentesPrincipales). Este método multivariable requiere disminuir la cantidad de datos y transformados enfactores que representan los componentes principales, de mayor varianza, para poder establecer larepresentación espacial de dichas variables y la ortogonalidad espacial de ellas. Luego estos factores son simulados con el fin de obtener varios escenarios posibles derepresentación espacial de los componentes principales, para posteriormente transformar de vueltaestos factores simulados a las variables iniciales y obtener las simulaciones de las variables. Losfactores son simulados de manera similar a simular variables por separado y serán realizadas con elmismo modelo multigaussiano implementado en Isatis. Sin embargo, el ACP requiere que exista igual cantidad de datos en el espacio para poderformar factores que, mediante combinación lineal, recreen la variable original, siendo esto laprincipal problemática para el caso de estudio que se analiza, ya que al presentar diferentes 26
36. 36. cantidades de datos para las variables en los puntos muestreados debe fijarse un mínimo de zonasdonde puedan estar presentes todas las variables para poder generar los factores. Como algunasvariables presentan muy baja cantidad de datos no se puede realizar el método con todas lasvariables, así se eliminan aquellas con menor contribución. Las variables eliminadas son ClS, ClT y CuS4 mientras que las restantes tienen 512 datosen común, cantidad suficiente como para poder realizar el método, que debe seguir los siguientespasos a realizar. Las variables finales a trabajar y sus estadísticas son: Zona Oxidos Variables Minimo Maximo Media n° datos CuS3 % 0.01 5.86 0.35 1244 CuT % 0.01 5.42 0.44 2709 FeT % 0.60 9.81 1.90 1082 Mn % 0.01 0.67 0.06 727 Mo % 0.00 0.93 0.03 975 Tabla 12. Estadísticas datos finales a utilizar método por ACP.4.2.3.1.-Transformar los datos originales a factores. Como se señaló anteriormente, se trabajará con 5 variables que cumplen el criterio deanálisis componentes principales y que son representadas espacialmente por 5 factores los cualestienen la siguiente contribución en la varianza total de las variables iniciales: F 1=39.39%, F 2=22.73%, F 3=18.04%, F 4=14.71%, F 5=5.13%. Las estadísticas básicas de los factores está disponible en la parte anexos, donde se cumplela principal condición que es tener factores de media cero. Los anexos correspondientes a estecapítulo (método 3 aplicado caso 1) están en anexos 8.1.6. La matriz de transformación obtenida por el método y que permite el paso de factores avariables o viceversa se muestra a continuación: 27
37. 37. F1 F2 F3 F4 F5 CuS3 0.6299 -0.2262 0.1447 0.1031 0.7214 CuT 0.6075 -0.2604 0.1222 0.2956 -0.6788 FeT -0.4099 -0.4013 -0.057 0.807 0.1282 Mn -0.0375 -0.7331 -0.5354 -0.4166 -0.0301 Mo 0.2544 0.4272 -0.8211 0.2778 0.0368 Tabla 13. Matriz de transformación de factores a variables o viceversa por ACP. La transformación se realiza mediante la combinación lineal entre los factores y losponderadores que se muestran en la matriz de transformación. El siguiente paso es realizar la simulación de los factores, siendo necesario crear factoresgaussianos, ya que se utilizará el modelo multigaussiano para simular los factores por separado. Enesta parte se mostrarán los resultados principales, el resto está en anexos.4.2.3.2.-Transformar los factores a gaussianas. Las estadísticas básicas correspondientes a las gaussianas de los factores son: Gaussianas Datos Minimo Maximo Promedio Varianza F1 512 -3.02 3.44 0 1 F2 512 -3.34 3.35 -0.01 1.01 F3 512 -3.39 3.39 -0.01 1.01 F4 512 -3.25 3.11 0 1.01 F5 512 -3.16 3.39 0 1.01 Tabla 14. Estadísticas básicas de los factores gaussianos. Las estadísticas muestran que el carácter unigaussiano se cumple, ya que todos losfactores cumplen con ser de medias 0 y varianza 1. Mientras que el test de bigaussianidaddisponible en anexos demuestra que se cumple también el carácter bigaussiano de los factores,además están disponibles en anexos los histogramas desagrupados de los factores gaussianos. 28