Resumen integracion numerica_por_el_metodo_de_los_trapecios
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    Resumen integracion numerica_por_el_metodo_de_los_trapecios Resumen integracion numerica_por_el_metodo_de_los_trapecios Document Transcript

    • UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS ESCUELA DE MATEMÁTICA CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE VERAGUAS ASOCIACIÓN NACIONAL DE ESTUDIANTES DE MATEMÁTICA (A.N.E.MAT.) CAPÍTULO DE VERAGUAS SEMANA DE LA MATEMÁTICACONFERENCIA: INTEGRACIÓN NUMÉRICA POR EL MÉTODO DE LOS TRAPECIOS.EXPOSITOR: RAÚL ENRIQUE DUTARI DUTARI.FECHA: 16 DE NOVIEMBRE DE 1994.HORA: 10:00 A. M.LUGAR: AULA B-5 DEL CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE VERAGUAS.DIRIGIDA A: PROFESORES Y ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS DE MATEMÁTICA QUE PARTICIPARON EN EL EVENTO.DURACIÓN: 45 MINUTOS.
    • ii OBJETIVOS GENERALES1. Comprender las bases conceptuales de la integración aproximada.2. Comprender los rasgos generales de la integración aproximada utilizando el método de los trapecios.3. Comprender la aproximación del error por truncamiento de la integración aproximada utilizando el método de los trapecios, frente al valor exacto.4. Resolver problemas de integración aproximada utilizando el método de los trapecios.
    • iii OBJETIVOS ESPECÍFICOS1. Conocer la interpretación geométrica de la integral definida.2. Reconocer que el método de los trapecios representa, geométricamente, el área bajo una función polinomial de primer orden (lineal).3. Deducir la fórmula de los trapecios a partir de la interpretación geométrica de la integral definida.4. Acotar el error cometido en la integración numérica por el método de los trapecios.5. Explicar la obtención de fórmulas más precisas para calcular, numéricamente, integrales definidas.6. Aplicar el método de los trapecios, para calcular, numéricamente, las aproximaciones de algunas integrales definidas.
    • iv TABLA DE CONTENIDOS1. Observaciones preliminares. ........................................................... 12. El método de los trapecios: Planteamiento general. ....................... 23. Construcción geométrica del método de los trapecios.................... 34. Fundamentos matemáticos del método de los trapecios: la interpolación polinomial................................................................... 74.1. El polinomio de interpolación de Lagrange. .................................... 94.2. Construcción analítica del método de los trapecios. ..................... 155. El error por truncamiento en el método de los trapecios............... 176. Dos ejemplos elementales del método de los trapecios. .............. 247. Otras fórmulas de integración aproximada. .................................. 288. Observaciones finales. .................................................................. 29Bibliografía 31
    • 11. Observaciones preliminares. Cuando realizamos un experimento, generalmente, se obtiene una tablade valores que, se espera, tengan un comportamiento funcional. Sin embargo,no obtenemos la representación explícita de la función que representa la reglade correspondencia entre las variables involucradas. En estos casos, larealización de cualquier operación matemática sobre la nube de puntos, quepretenda tratarla como una relación funcional, tropezará con dificultadesconsiderables, al no conocerse la expresión explícita de dicha relación. Entreestas operaciones encontramos la integración de funciones. Además, es conocido que existen relativamente pocas fórmulas ytécnicas de integración, frente a la cantidad existente de funciones que sepueden integrar. Es decir, un gran número de integrales de funcioneselementales no puede ser expresada en términos de ellas. Entre estos casossingulares tenemos, a manera de ejemplo: dx# ex dx , # , # 1$ x 3 dx , # 1$ x 4 dx , # sen! x 2 "dx ,! 2 ln! x " Para aclarar la contradicción antes señalada, debemos recordar lacondición necesaria para que una función sea integrable. Dicha condición lamencionamos de inmediato, sin demostración:Proposición 1 (Condición necesaria de integrabilidad). Si una función f es continua en el intervalo %a, b&, entonces f esintegrable en % a , b&. ♦
    • 2 Los interesados en una demostración rigurosa de la Proposición 1pueden ubicarla en HAASER, Norman B., LASALLE, Joseph P., y SULLIVAN,Joseph A. Análisis matemático 1: Curso de introducción, [8, 545]. No obstante que las condiciones de la Proposición 1 son sumamentegenerales, no tenemos garantía de que, al aplicar los métodos usualmenteconocidos para resolver integrales, podamos encontrar la antiderivada de unafunción f ( x ) cualquiera, necesaria para obtener la integral definida. Esta conferencia pretende ilustrar a la audiencia con una de las técnicasbásicas que nos permiten resolver dicha situación, a través de la denominada“INTEGRACIÓN APROXIMADA, POR EL MÉTODO DE LOS TRAPECIOS”.2. El método de los trapecios: Planteamiento general. El método de los trapecios tiene su origen directamente en lainterpretación geométrica de la “INTEGRAL DEFINIDA”. Recordemos que la integral definida se puede interpretar como el áreacomprendida entre el eje de las abscisas, la función a integrar, y los límites deintegración. Esta área es calculada a través de un proceso de paso al límiteusando una partición del área total, generalmente en rectángulos y haciendotender al infinito el número de rectángulos. La implementación numérica de esteconcepto, se conoce como “MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS”, y de hecho,este método se constituye en el soporte teórico de la solución de problemas deaplicación de integrales definidas. La diferencia entre el método de los trapecios y el anterior método,consiste en que a la partición del área total, se le reemplazan los rectángulos
    • 3usados originalmente, por otra figura geométrica que aproxime mejor el áreabuscada, particularmente, usando trapecios. Además, al igual que en método delos rectángulos, se eliminará el proceso de límite, de modo que el resultadoobtenido será una aproximación del valor exacto.3. Construcción geométrica del método de los trapecios. En este apartado construiremos la regla de los trapecios utilizando unenfoque basado en el planteamiento general, esbozado previamente. El mismo,lo resumiremos en la siguiente proposición.Proposición 2 (Regla compuesta de los trapecios). Consideremos una función y f ( x ), así como las rectas x = x1 , ...,x = x n . Supongamos que la distancia entre cada una de las parejas devalores de la abscisa x i , x i(1 es constante y la denotamos como)x x i ( xi(1 !i = 1, 2, 3, ..., n (1". Entonces: xn 1, n(1 /#x . y1 $ 2* y i $ y n 1)x f ( x )dx + . 2- 1 1 i2 0Donde denominamos a la ordenada de la función f en la abscisa x i comoy i f ( xi ) para i = 1, 2, 3, ..., n.
    • 4Demostración. Recordemos que el área de un trapecio está dada por la fórmula: 1A ! y1 $ y2 "h 2donde h es la altura del trapecio, en tanto que y1 2 y 2 representan las basesdel mismo, como se observa en la Ilustración 1: Ilustración 1 Consideremos la función y f ( x ), y las rectas x = x1 , ..., x = x n .Una buena aproximación al área bajo la curva de f ( x ), se obtiene dividiéndolaen n(1 fajas de longitud )x y aproximando el área de cada faja mediante untrapecio, como se muestra en la Ilustración 2:
    • 5 Ilustración 2 Por la definición de integral definida, el área que nos interesa calcularestá dada por:xn# f ! x "dxx1 Consideremos que la distancia entre cada una de las parejas de valoresde la abscisa: x i , x i(1 es constante; y la denotamos como)x x i ( xi(1 !i = 1, 2, 3, ..., n (1". Si llamamos a la ordenada de lafunción f en la abscisa xi como yi f ( xi ) para i = 1, 2, 3, ..., n,entonces, las áreas de los trapecios Ai i = 1, 2, 3, ..., n (1, estarándefinidas por: 1Ai ! y i $ y i$1 ")x (1) 2
    • 6 En consecuencia, el área comprendida entre la función y f ( x ), el ejede las abscisas, y las rectas x = x1 y x = x n será, aproximadamente, lasuma de las áreas de los trapecios, es decir: n(1 1 1 1A + * Ai ! y1 $ y 2 ")x $ ! y 2 $ y3 ")x $"$ ! y n(1 $ y n ")x i1 2 2 2 Ahora, si agrupamos los términos de esta suma, adecuadamente,obtenemos: n(1 1A + * Ai ! y1 $ 2 y 2 $ 2 y3$"$2 y n(2 $ 2 y n(1 $ y n ")x i1 2 1, n(1 / . y1 $ 2* y i $ y n 1 xA+ . 1) (2) 2- i2 0 La ecuación (1) es denominada como “REGLA DEL TRAPECIO”, en tantoque la ecuación (2) se conoce como “REGLA COMPUESTA DE LOSTRAPECIOS”.♦ A manera de aclaración, dentro de la integración numérica, seacostumbra denominar “FÓRMULA COMPUESTA”, a las ecuaciones que seobtienen a través de la aplicación repetitiva de las fórmulas básicas deintegración, adaptadas para cubrir intervalos más amplios. Es claro desde el punto de vista intuitivo, que si el valor de n crece yrepetimos la construcción sobre el intervalo % x1 , x n &, tendremos un númeromayor de divisiones, y podremos mejorar la aproximación del área buscada,frente a la cuantificación anterior. Es decir, el “error” cometido al aproximar la
    • 7integral de la función f ( x ), en el intervalo % x1 , x n & a través de la reglacompuesta de los trapecios, será cada vez menor. Todo lo que hemos planteado a nivel geométrico parece ser correcto; sinembargo, es importante conocer más a fondo el fundamento matemático deeste enfoque del problema. Es decir, determinar bajo qué condicionesespecíficas, podemos esperar que nuestro planteamiento aproxime,“adecuadamente” el área que deseamos cuantificar. Además, sería convenientecontar con una acotación del error cometido en nuestra aproximación.4. Fundamentos matemáticos del método de los trapecios: la interpolación polinomial. Para justificar, matemáticamente, al método de los trapecios debemosobtener una manera de reemplazar la función f ( x ), que originalmentedeseamos integrar, por otra función g( x ), que es una “buena aproximación”, def ( x ), en los puntos xi , con i = 1, 2, 3, ..., n. Es decir, sif ( x i ) + g ( xi ), 3xi , con i = 1, 2, 3, ..., n, xn xn4 # x1 f ( xi )dx + # x1 g( xi )dx. Ambas funciones, evidentemente, deben cumplir la condición deintegrabilidad establecida de antemano (Proposición 1). Es decir, son continuasen el intervalo de integración % x1 , x n &. Lógicamente, debemos preguntarnos quéfunciones nos permiten realizar esta “aproximación” tan particular.
    • 8 Las funciones que nos permiten realizar esta acción son, las aplicacionespolinomiales. El fundamento de esta afirmación lo establece el “TEOREMA DEAPROXIMACIÓN DE WEIERSTRASS”. El resultado en mención lo enunciamossin demostración:Proposición 3 (Teorema de aproximación de Weierstrass). Si f ( x ) es una función continua en el intervalo % x1 , x n &, entonces, dadocualquier 56 0, existe un n, n n( 5), y un polinomio Pn ( x ) de grado n, talesque: f ( x ) ( Pn ( x ) 7 5, 3x 8 % x1 , x n &. ♦ Es decir, la Proposición 3 nos garantiza que: una función f , continua enun intervalo finito cerrado, puede ser aproximada, tanto como se desee,utilizando un polinomio de interpolación, de grado suficientemente elevado. Los interesados en una demostración rigurosa de la Proposición 3pueden ubicarla en BARTLE, Robert G. Introducción al análisis matemático, [2,199]. Conociendo este resultado, pasaremos a estudiar un tipo particular depolinomio de interpolación: el polinomio de interpolación de Lagrange.
    • 94.1. El polinomio de interpolación de Lagrange. Para construir el polinomio de interpolación de Lagrange, asumiremosque se conocen n puntos del plano cartesiano, !x1 , y1 ", !x 2 , y 2 ", " , !x n , y n ",cuyas abscisas no están igualmente espaciadas. Entonces, si denominamos a la ordenada de la función f en la abscisax i como y i f ( x i ) con i = 1, 2, 3, ..., n, el polinomio de interpolación deLagrange de orden n para estos puntos está definido por la función: nPn ( x ) * Li ( x )9 f ( xi ) (3) i1donde: n (x ( x j )Li ( x ) ; (4) j1 ( xi ( x j ) j:i A continuación probaremos algunos resultados básicos de los polinomiosde interpolación de Lagrange.Proposición 4. La función Pn ( x ) define a un polinomio de grado n(1, a lo sumo.
    • 10Demostración: El fundamento de la prueba, que es inmediata, se encuentra en lascaracterísticas de las operaciones indicadas en las ecuaciones (3) y (4). En la ecuación (4), debemos observar que, para i = 1, 2, 3, ..., n, secumple, por construcción, que: • Todos los Li ( x ), consisten en funciones racionales, donde numerador y denominador consisten en el producto de n(1 diferencias de valores conocidos (las constantes x i ), y desconocidos (la variable x ). • El denominador de cada Li ( x ), es un número real (puesto que el producto de diferencias de números reales, es otro número real). • El numerador de cada Li ( x ), no es más que la representación factorizada del polinomio cuyas raíces son, precisamente, los valores x j , j = 1, 2, 3, ..., n, j : i. • En consecuencia, cada Li ( x ) puede ser representado por una expresión de la forma: n Li ( x ) < i ; ! x ( x j ", (5) j1 j:idonde
    • 11 n 1 <i ; j1 ! x i ( x j " j:i • Luego, a través de operaciones algebraicas fundamentales, el miembro derecho de la ecuación (5) puede ser llevado a la forma: n(1 Li ( x ) < i * a= x k , a=(1 : 0 2 < i : 0 k n k0 La última afirmación, sustenta el hecho de que Pn ( x ) es la suma defunciones polinomiales, multiplicadas por constantes reales conocidas, es decir,es una función de la forma: n(1Pn ( x ) *a x ,i i a n(1 : 0 i0donde los a i , i = 1, 2, 3, ..., n (1 se definen con base a operacionesalgebraicas fundamentales sobre los a= , k k = 1, 2, 3, ..., n (1. Es decir,Pn ( x ) es un polinomio de grado n (1 a lo sumo.♦Proposición 5. El polinomio Pn ( x ) posee n (1 raíces, cuando mucho.Demostración. Es inmediata, pues es ampliamente conocido que un polinomio de gradon (1 a lo sumo, posee n (1 raíces, cuando mucho, con base a los teoremas
    • 12de descomposición primaria de polinomios (ver LANG, Serge. Álgebra lineal,[12, 281-].♦Proposición 6. El polinomio Pn ( x ) satisface los valores conocidos de la funcióny i f ( xi ), i = 1, 2, 3, ..., n.Demostración. Es inmediata, puesto que si evaluamos a Li ( x ) en cada uno de lospuntos x k , con k = 1, 2, 3, ..., n, obtenemos: >1, i kLi ( x k ) ? @0, i : ky como nPn ( x ) * Li ( x )9 f ( xi ) i1obtenemos que, al evaluar a Pn ( x ) en un valor x k , cualquiera, todos lossumandos de la expresión se anularán (cuando i : k ), salvo uno (donde i k ).Luego, la expresión se reduce a:Pn ( x k ) 0 f ( x1 ) $ 0 f ( x 2 )$"$1 f ( x k )$"$0 f ( x n ) f ( x k ) (6)
    • 13y la ecuación (6) se satisface para k = 1, 2, 3, ..., n, es decir, el polinomiode interpolación de Lagrange satisface, por construcción, a los valoresconocidos de la función f . ♦Proposición 7. El polinomio Pn ( x ) es el único que tiene las características antesseñaladas en las proposiciones 4, 5 y 6.Demostración. La unicidad de Pn ( x ) podemos probarla por reducción al absurdo. Así,consideremos que existe otro polinomio de grado n (1 a lo sumo, quedenominaremos como Qn ( x ), y satisface a la nube de puntos dada, es decir:yi Pn ( x i ) Qn ( x i ), 3x i , i = 1, 2, ..., n Lógicamente, asumiremos que Qn ( x ) es distinto de Pn ( x ), en los otrospuntos del intervalo definido por % x1 , x n &, es decir:Pn ( x ) : Qn ( x ), 3x 8 % x1 , x n &, x : x i , i = 1, 2, ..., n. Construyamos otro polinomio R( x ), dado por la diferencia entre Qn ( x ) yPn ( x ), es decir:R( x ) Pn ( x ) ( Qn ( x )
    • 14 Puesto que Pn ( x ) y Qn ( x ) son ambos de grado n (1, a lo sumo, el ∗grado de R( x ) debe ser menor o igual que n(1, por construcción (∗). Por otro lado, como Pn ( xi ) Qn ( xi ), 3xi , con i = 1, 2, 3, ..., n,deducimos que R( x ) se anula en n puntos del plano, es decir, R( x ) es unpolinomio de grado n (∗∗). ∗ Como las afirmaciones (∗) y (∗∗) son mutuamente contradictorias, terminala prueba y concluimos que el polinomio de interpolación de Lagrange es elúnico que tiene las características antes tratadas. ♦ Debemos observar que, todo lo antes expuesto, garantiza la siguienteproposición:Proposición 8 (Existencia y unicidad del polinomio de interpolación de Lagrange). Si la función f es continua en el intervalo % x1 , x n &, entonces podemosconstruir un único polinomio de interpolación de Lagrange Pn ( x ) de grado n, alo sumo, tal que:f ( xi ) Pn ( xi ), 3xi , i = 1, 2, ..., ny que:f ( x ) + Pn ( x ), 3x 8 % x1 , x n & ♦
    • 154.2. Construcción analítica del método de los trapecios. Ahora, si replanteamos nuevamente nuestro problema (resolver integralesdefinidas), utilizando toda la teoría previamente construida, podemos enfrentarla demostración de la Proposición 2 desde un punto de vista analítico y riguroso.Proposición 2 (Regla compuesta de los trapecios). Consideremos una función y f ( x ), así como las rectas x = x1 , ...,x = x n . Supongamos que la distancia entre cada una de las parejas devalores de la abscisa x i , x i(1 es constante y la denotamos como)x x i ( xi(1 !i = 1, 2, 3, ..., n (1". Entonces: xn 1, n(1 /#x f ( x )dx + . y1 $ 2* y i $ y n 1)x . 2- 1 1 i2 0Donde denominamos a la ordenada de la función f en la abscisa x i comoy i f ( xi ) para i = 1, 2, 3, ..., n.Demostración. Las propiedades básicas de la integral definida nos permiten afirmar que: xn x2 x3 xn#x 1 f ( x )dx #x f ( x )dx $ #x f ( x )dx$"$#x 1 2 n(1 f ( x )dxdonde x , x i 8 % x1 , x n &, i = 1, 2, 3, ..., n.
    • 16 Para cada subintervalo % xi , xi$1 & con i = 1, 2, 3, ..., n (1,construyamos el polinomio de interpolación de Lagrange respectivo. Suecuación está dada por: !x ( xi$1 " !x ( x i "P2 ( x ) f ( xi ) $ f ( x ), (7) !xi ( xi$1 " !xi$1 ( xi " i$1donde i = 1, 2, 3, ..., n (1. La ecuación (7) puede ser replanteada, alfactorizarla adecuadamente, como: f ( xi$1 ) ( f ( xi ) x f ( xi ) ( xi f ( xi$1 )P2 ( x ) x $ i$1 (8) xi$1 ( xi xi$1 ( xi Para hacernos una idea de lo que representa la ecuación (8), debemosobservar que simboliza la formulación analítica de una línea recta, en la formapendiente-ordenada en el origen, planteada en base a los valores conocidos dela función en los extremos del intervalo % x i , xi$1 & con i = 1, 2, 3, ..., n (1. Luego, al integrar a P2 ( x ) en el intervalo % x i , xi$1 & obtenemos:x i$1 ! xi$1 ( xi "% f ( xi ) $ f ( xi$1 )& )x% f ( xi ) $ f ( xi$1 )&# P2 ( x )dx 2 2 xiya que por hipótesis, sabemos que )x x i ( x i(1 , con i = 2, 3, ..., n. Ahora, el Teorema de aproximación de Weierstrass (Proposición 3) nosgarantiza que, en el intervalo % xi , xi$1 &, P2 ( x ) representa una buenaaproximación de la función f , de modo que se puede afirmar que:
    • 17 xi$1 xi$1#x i f ( x )dx + #x P2 ( x )dx i (9) De este modo, al reemplazar cada una de las integraciones de f ( x ) porsu respectiva aproximación, a través de la integración de P2 ( x ) en cada uno delos subintervalos, obtenemos: xn 1 1 1#x 1 f ( x )dx + ! y1 $ y 2 ")x $ ! y2 $ y3 ")x $"$ ! y n(1 $ y n ")x 2 2 2 1 + ! y1 $ 2 y 2 $ 2 y3$"$2 y n(2 $ 2 y n(1 $ y n ")x 2 1, n(1 / . y1 $ 2* y i $ y n 1)x + . 1 2- i2 0recordando que y i f ( x i ) con i = 1, 2, 3, ..., n, lo que completa laprueba de la proposición.♦5. El error por truncamiento en el método de los trapecios. Aún tenemos la incógnita de “qué tan precisa” es la aproximaciónrealizada por el método de los trapecios, frente a la que se obtendría sipudiéramos realizar la integración aplicando los conceptos de antiderivada. Acontinuación, presentamos resultados que son conocidos y que despejan estaincógnita.
    • 18 Llamaremos “ERROR POR TRUNCAMIENTO”, a la diferencia que existeentre un valor, que consideramos preciso y exacto, y otro valor, que aproxima alvalor preciso y exacto. Según nuestro planteamiento, debemos determinar, en primer término,cual es el grado de aproximación que nos garantiza el polinomio de interpolaciónde Lagrange, es decir, cuantificar una función A( x ) de modo que:f ( x ) Pn ( x ) $ A( x ), 3x 8 % x1 , x n &en consecuencia:A( x ) f ( x ) ( Pn ( x ) A continuación enunciaremos, sin demostración, un proposición donde sedefine el valor de A( x ) que satisface la última igualdad.Proposición 9. Si la función f es continua en orden !n$1" en el intervalo % x1 , x n &,entonces, para cada x 8 % x1 , x n &, existe un único B 8 ! x1 , x n ", tal que:f ( x ) Pn ( x ) $ E ( x )donde Pn ( x ) es el polinomio de interpolación de Lagrange de grado n, de lafunción f en % x1 , x n &, y E ( x ) se define como:
    • 19 f ! n$1" ( B) nE( x ) !n $1"! i1 ; ! x ( xi " (10) ! n$1"con f denotando a la derivada de orden ! n$1" de la función f . ♦ Es decir, la Proposición 9 nos garantiza que existe una función polinomial,que acota el error que se comete al interpolar a una función cualquiera utilizandopolinomios de interpolación de Lagrange. Los interesados en una demostración rigurosa de la Proposición 9pueden ubicarla en NAKAMURA, Shoichiro. Métodos numéricos aplicados consoftware, [16, 527]. Consideremos como acotar a # E ( x )dx dentro de uno de lossubintervalos de % x1 , x n &, digamos % x1 , x n &, i 1, 2, ", n (1. La siguienteproposición nos permite realizar dicha acotación.Proposición 10. Si la función f es continua de orden 2 en el intervalo % x1 , x n &, entonces:x i$1 x i$1 ! xi$1 ( xi "3 M i2 # E ( x )dx # ! f ( x ) ( Pn ( x )"dx C xi xi 12donde: DM i2 max f ! 2" ( x ),: xi C x C xi$1 . E
    • 20Demostración. Para el caso particular en estudio, recordemos que Pn ( x ) representa auna función lineal (ecuación (7)), de modo que la ecuación (10) se puede reducira: f ! 2 " ( B)E( x ) ! x ( xi "! x ( xi$1 " f ( x )( Pn ( x ) (11) 2donde x 8 % xi , xi$1 &. Ahora, debemos garantizar la existencia de B 8 % x i , x i$1 & para que laecuación (11) tenga sentido. Así, representemos al máximo y mínimo locales de f ! 2" en % xi , xi$1 &, como M i2 2 mi2 , respectivamente. Puesto que f es continuade orden 2 en el intervalo % x1 , x n &, el teorema del valor intermedio nos permiteafirmar que F B 8 % x i , x i$1 & tal que:mi2 C f ! 2 " ( B) C M i2 (12) Si aplicamos la desigualdad (12) en la ecuación (11), de modo quecalculemos una acotación, obtenemos que: f ! 2 " ( B) M i2E( x ) ! x ( xi "! x ( xi$1 " C ! x ( xi "! x ( xi$1 " (13) 2 2 Si integramos la desigualdad (13), miembro a miembro, en el intervalo% xi , xi$1 &, logramos que:
    • 21 x i$1x i$1 G ! x ( xi "! x ( x i$1 " 2 # E ( x )dx C I M i dx xi H 2 xi xi$1 G ! x (xi "! x (xi$1 " xi$14 # E( x)dx C Mi2 I dx (14) x H 2 i xipues M i no depende de x en todo el intervalo % x1 , x n &, y como: 2x i$1 3G ! x ( xi "! x ( xi$1 " ! x ( xi "I dx ( i$1 (15)H 2 12 xial reemplazar la ecuación (15) en la desigualdad (13), y aplicar las reglascomunes del álgebra, obtenemos:x i$1 ! xi$1 ( xi "3# E( x )dx C( 12 M i2 xiahora, recordando que: ! xi$1 ( xi "3 ! xi$1 ( xi "3 M i2( M i2 C 12 12podemos, finalmente, hacer la mayoración:x i$1 x i$1 ! xi$1 ( xi "3 M i2 # E ( x )dx # ! f ( x ) ( Pn ( x )"dx C 12 xi xi
    • 22donde: DM i2 max f ! 2" ( x ),: xi C x C xi$1 . ♦ ECorolario 1. Si la función f es continua en orden !2" en el intervalo % x1 , x n &, xnentonces, el error cometido al aproximar a # f ( x ) dx utilizando el método de los x1trapecios, no puede ser mayor que:xn ! x n ( x1 "3 M 2# E ( x )dx 7 2x1 12!n (1"donde: DM 2 max f ! 2 " ( x ),: x1 C x C x n . EDemostración. La aplicación sucesiva de la Proposición 10, a lo largo de todo el intervalo% x1 , x n &, nos conduce a la desigualdad:xn x2 xn n(1 ! xi$1 ( xi "3 M i2# E ( x )dx # E ( x )dx$"$ # E ( x )dx C * (16)x1 x1 x n(1 i1 12
    • 23 Además, recordemos que la distancia entre cada uno de los valores de laabscisa es constante, y tenemos n(1 subintervalos en % x1 , x n &, de modo que: 3 x ( x1 3 , x ( x1 /xi$1 ( xi n 4 ! xi$1 ( xi " . n 1 (17) n (1 - n (1 0luego, reemplazando la ecuación (17) en la ecuación (16), obtenemos: ! xn ( x1 "3 M i2xn n(1 !n (1"3# E ( x )dx C *x1 i1 12 Ahora, como n 8 J 4 n 6 0, luego podemos decir, sin pérdida degeneralidad, que: ! xn ( x1 "3 M i2xn n(1 !n (1"3 n(1 ! xn ( x1 "3 M i2# E ( x )dx C * * 3x1 i1 12 i1 12!n (1" Por otro lado, sea M 2 maxD M12 , M 2 ,", M n(1E, 2 2 comoM 2 K M i2 , i 1,2,", n (1. tenemos que al mayorar a todas las M i2 por M 2 ,obtenemos la expresión:xn n(1 ! xn (x1"3 Mi2 n(1 ! xn (x1"3 M2# E(x)dx C* 3 7* 3x1 i1 12!n(1" i1 12!n(1"luego, al realizar las operaciones indicadas en la sumatoria, obtenemosfinalmente que:
    • 24xn ! xn (x1"3 M2# E(x)dx 7 2 (18)x1 12!n(1"lo que culmina la prueba.♦Corolario 2. Si la segunda derivada de la función f es nula, 3x 8 % x1 , x n &, entoncesel resultado obtenido a través de la aplicación del método de los trapecios, endicho intervalo, será exacto.Demostración. Basta con observar que al construir la cota del error en el Corolario 1, se 2asume, implícitamente, que M : 0, es decir, se trabaja con base de que lasegunda derivada de la función f en el intervalo % x1 , x n &, no se hace cero,pues si se anulara en dicho intervalo, la desigualdad (18) sería acotada por unvalor nulo.♦6. Dos ejemplos elementales del método de los trapecios. Para ilustrar la forma en que se debe aplicar el método de los trapecios,presentamos, a continuación, dos ejemplos elementales.
    • 25 5.00• Aproximar a # !2 x $1"dx utilizando 5 subintervalos y estime una cota 0.00 del error cometido en la integración del primer subintervalo (trabaje sin cifras decimales). 5( 0 Tenemos que )x 1 5 Por otro lado, los cálculos de los valores de las ordenadas los tenemos resumidos en el siguiente cuadro: x k f(x )= 2 x + 1 k f(x ) 0 1 1 1 1 2 3 6 2 2 5 10 3 2 7 14 4 2 9 18 5 1 11 11 Sum a 60 Finalmente, el valor de la integral será: 1 I (1)( 60) 30. 2
    • 26 Por otro lado, fácilmente se puede comprobar que la segunda derivada de la función a integrar se anula en todo el intervalo de integración, por lo que el valor antes obtenido para la integral, es exacto. 2 G1• Aproximar a I dx utilizando 5 subintervalos y estime una cota del error Hx 1 cometido en la integración del primer subintervalo (trabaje con 5 cifras decimales). 2 (1 1 Tenemos que )x 0.2 5 5 Por otro lado, los cálculos de los valores de las ordenadas los tenemos resumidos en el siguiente cuadro: x k f(x )= 1 /x k f(x ) 1 .0 0 0 0 0 1 1 .0 0 0 0 0 1 .0 0 0 0 0 1 .2 0 0 0 0 2 0 .8 3 3 3 3 1 .6 6 6 6 7 1 .4 0 0 0 0 2 0 .7 1 4 2 9 1 .4 2 8 5 7 1 .6 0 0 0 0 2 0 .6 2 5 0 0 1 .2 5 0 0 0 1 .8 0 0 0 0 2 0 .5 5 5 5 6 1 .1 1 1 1 1 2 .0 0 0 0 0 1 0 .5 0 0 0 0 0 .5 0 0 0 0 Sum a 6 .9 5 6 3 5 Finalmente, el valor de la integral será:
    • 27 1I ( 0.2)( 6.95635) 0.69563. 2 Por otro lado, fácilmente se puede comprobar que la segundaderivada de la función a integrar no se anula en todo el intervalo deintegración, puesto que:d 2 ,1/ 2 . 1 3 : 0, L x 3 : 0 L x : 0, 3x 8 %1,2&.dx - x 0 x 2por lo que el valor antes obtenido para la integral, no es exacto. Para cuantificar el error cometido en la aproximación, aplicamos laecuación (18). Debemos observar que el valor máximo de la segundaderivada del integrando, se presenta cuando la variable x asume el valorx 1. Luego, podemos afirmar que: 2M2 2 13 Por otro lado, es obvio que x1 1, x n 2 2 n 5, de modoque nuestra cota del error cometido será:xn !xn (x1"3 M2 !2(1"32 1# E(x)dx 7 2 2 + 0010411041% . .x1 12!n(1" 12!5(1" 96es decir, el porcentaje de error cometido no es mayor que un 1%, alcomparar el valor obtenido al aplicar el método de los trapecios, frente alque se obtendría si realizamos la integración utilizando métodos exactos.
    • 287. Otras fórmulas de integración aproximada. Podemos repetir la construcción de polinomios de interpolación deLagrange, aplicando fórmulas de interpolación de mayor grado, de modo queobtengamos fórmulas de integración aproximada, más precisas que lasobtenidas hasta el momento. Esta afirmación se basa en lo establecido por el teorema de Weierstrass(Proposición 3). Al ser realizado este proceso, en general, se obtienen las“FÓRMULAS DE NEWTON-COTES”. Las Fórmulas de Newton-Cotes tienen laforma general: xn , n /#x f ( x )dx C * ci yi 1)x . . 1 1 - i1 0 Dentro de ellas, el método de los trapecios es un caso particular, pues si 1n 2, C , 2 c1 c2 1, obtenemos a la fórmula de los trapecios para el 2intervalo % x1 , x 2 &. Otro método de integración numérica, muy conocido, que se deriva comootro caso particular de las Fórmulas de Newton-Cotes es la Regla de Simpson 1de , cuya formulación está dada por: 3 , n(1 n(3 / xn 1. 2 2 1#x f ( x )dx + . y1 $ 4* y2 i $ 2* y2 i$1 $ y n 1)x 3. (19) 1 i1 i1 1 - 0
    • 29recordando que y i f ( x i ) con i = 1, 2, 3, ..., n. El método, tal comoaparece planteado en la ecuación (19), requiere que el número de valoresconocidos y i f ( x i ) sea impar, es decir; n 2k $1, k 8 J. La regla de Simpson tiene su origen al realizar la aproximación de lafunción f en el intervalo % x1 , x n &, utilizando un polinomio de interpolación deLagrange de segundo grado. Su sentido geométrico consiste en aproximar lafunción utilizando una parábola, en vez de la línea recta que utiliza el método delos trapecios. Se puede obtener mayores detalles acerca de éste método en labibliografía que acompaña a este trabajo.8. Observaciones finales. Con base a lo que hemos tratado en nuestra exposición, no debemospensar que la integración aproximada es un tema completamente resuelto. Enefecto, el control de los distintos tipos de error que se involucran en los procesosde cálculo, principalmente a realizar la aproximación práctica de la integral,presentan problemas que aún no han sido resueltos a satisfacción. Así, a manera de estímulo para la investigación en el tema, señalaremosalgunos de estas situaciones problema, así como algunas referenciasbibliográficas donde se puede profundizar en dichos tópicos. Hasta este momento, sólo fue tratado el caso del error por truncamientoen la aproximación trapezoidal, asumiendo que todos los cálculos involucradosen el proceso son exactos y precisos (es decir, se cuenta con una cantidadinfinita de cifras decimales en cada uno de los números involucrados en las
    • 30operaciones aritméticas). Sin embargo, existen otros tipos de errores inmersosen el proceso de aproximación de la integral, que dependen de la cantidad decifras significativas que se manipulan, y contribuyen a que la respuesta obtenidapor el método, varíe más de lo que se podía esperar. Por otro lado, la reducción descontrolada de la longitud de lossubintervalos, y en consecuencia el aumento de la cantidad de subintervalos, encombinación con la consideración de los errores por redondeo acumulado enlos cálculos, nos conduce a otro problema: la pérdida de convergencia a lasolución buscada. Es decir, elevar la cantidad de subintervalos de maneraarbitraria, no conduce, en la práctica, a un aumento en la precisión de loscálculos. Más allá de ciertas proporciones, dicho incremento hace que el errorpor truncamiento sea reemplazado por errores por redondeo, de mayorintensidad que los reemplazados. Una discusión amplia acerca de estos temas se encuentra enMCCRAKEN, Daniel D., y DORN, William S. Métodos numéricos y programaciónFORTRAN, [15, 183]. Todo lo antes señalado nos indica que la integración numérica es untema donde se puede realizar descubrimientos y avances del conocimientos enlas Ciencias Exactas.
    • 31 BIBLIOGRAFÍA1. ALLEN SMITH, W. Análisis Numérico. Traducido por Francisco Javier Sánchez Bernabe. Primera edición. México, D.F., México: Prentice-Hall, 1988. 608 páginas.2. BARTLE, Robert G. Introducción al análisis matemático. Traducido por María Cristina Gutiérrez González. Primera edición. Primera edición. México, D.F., México: Noriega Limusa, 1980. 519 páginas.3. BURDEN, Richard L., y FAIRES, J. Douglas. Análisis numérico. Traducido por Simón Mochón C. Primera Edición. México D.F., México: C.E.C.S.A., 1985. 721 páginas.4. CHAPRA, Steven, y CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para ingenieros con aplicaciones en computadoras personales. Traducido por Carlos Zapata S. Primera edición. México D.F., México: McGraw-Hill, 1990. 641 páginas.5. CONTE, S. D., y DE BOOR, Carl. Análisis numérico. Traducido por Hernando Alfonso Castillo. Segunda Edición. México D.F., México: McGraw-Hill, 1991. 418 páginas.6. GERALD, Curtis. Análisis numérico. Traducido por Jaime Luis Valls Cabrera. Primera Edición. México D.F., México: Representaciones y Servicios de Ingeniería, 1987. 631 páginas.
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    • 3422. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Traducido por José L. Abreu y Martha Olivero. Segunda Edición. México D.F., México: Grupo editorial Iberoamérica, 1991. 1097 páginas.