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  • 1 Superficies CuádricasAlojamiento ofrecido por el Grupo HispaVista HispaVista Definición: Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial como donde Denotaremos por la matriz que define la cuádrica y por A00 la matriz adjunta del elemento a00 en A.Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 2 Superficies Cuádricas Clasificación: Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signaturaσ, es decir, el módulo de la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de A00 . Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz. Ello es debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar σ sin necesidad de calcular explícitamente sus autovalores. Veámoslo: los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de la ecuación . Ahora bien, con Cuando los tres autovalores de A00 son no nulos , es decir det A00 ≠ 0, si escribimos la sucesión K, J, I, 1 y denotamos P y V al número de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = σ. I, J, K se conocen como invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene: 1. Si σ = 3 : 1. det A > 0 ---> elipsoide real 2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la ecuación)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 3 Superficies Cuádricas 3. det A = 0 ---> cono imaginario 2. Si σ = 1 : 1. det A > 0 ---> hiperboloide hiperbólico (de una hoja) 2. det A < 0 ---> hiperboloide elíptico (de dos hojas) 3. det A = 0 ---> cono real Si alguno de los autovalores es nulo (det A00 = 0) pero el determinante de A es distinto de cero, entonces; 1. Si J > 0 ---> paraboloide elíptico 2. Si J < 0 ---> paraboloide hiperbólico Si det A = det A00 = 0 hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificación donde Aii representa la matriz adjunta del elemento aii en A para i=1,2,3. Con estos nuevos invariantes se tiene 1. J>0 1. K ≠ 0 y signo K = signo I ---> cilindro elíptico imaginario 2. K ≠ 0 y signo K ≠ signo I ---> cilindro elíptico real 3. K = 0 ---> par de planos imaginarios secantes 1. J < 0 1. K ≠ 0 ----> cilindro hiperbólico 2. K = 0 ----> par de planos reales secantes 1. J = 0 y I ≠ 0 1. K ≠ 0 ----> cilindro parabólicoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 4 Superficies Cuádricas 2. K = 0 y J > 0 -- --> par de planos imaginarios paralelos distintos 3. K = 0 y J < 0 -----> par de planos reales paralelos distintos 4. K = 0 y J = 0 ----> par de planos coincidentes En la tabla siguiente se resume la clasificación anterior: Clasificación de las Cuádricas det A00 ≠0 σ=3 det A > 0 Elipsoide Real det A < 0 Elipsoide Imaginario det A = 0 Cono Imaginario σ=1 det A > 0 Hiperboloide Hiperbólico det A < 0 Hiperboloide Elíptico det A = 0 Cono Real J>0 Paraboloide Elíptico J<0 Paraboloide Hiperbólico K≠ 0 , signo K = signo I Cilindro elíptico imaginario K ≠ 0 , signo K ≠ signo I Cilindro elíptico real K = 0 Par de planos imaginarios secantes K ≠ 0 Cilindro hiperbólicoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 5 Superficies Cuádricas K = 0 Par de planos reales secantes J=0 I≠0 K ≠ 0 Cilindro Parabólico K = 0, J > 0 Par de planos imaginarios paralelos distintos K = 0, J < 0 Par de planos reales paralelos distintos K = 0, J = 0 Par de planos coincidentes Centro: Plano polar: Dado un punto P = (x0,y0,z0) ∈ IR3 se define el plano polar de P respecto a cuádrica de matriz A como el plano de ecuación Si P pertenece a la cuádrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente a dicha superficie en P. No todos los puntos poseen plano polar. La condición para que un punto (x,y,z) no lo tenga es que verifique el sistema de ecuaciones que geométricamente se interpreta como la intersección de tres planos. Si det A00 ≠ 0 entonces el sistema es compatible y tiene solución única. El punto solución se conoce comoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 6 Superficies Cuádricas CENTROde la cuádrica. Si det A00 = 0, el sistema posee una recta de soluciones cuando det A=0 y los rangos de ambas matrices son iguales a 2, entonces se dice que la cuádrica tiene una recta de centros. Cuando el rango de ambas matrices es igual a 1 hay un plano de soluciones: la cuádrica tiene un plano de centros. Finalmente el sistema no tiene solución si los rangos difieren o det A ≠ 0; en tal caso la cuádrica carece de centro, recta o plano de centros. Así se tiene: 1 Cuádricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos. 2 Cuádricas con eje de centros: cilindros elípticos e hiperbólicos y pares de planos secantes. 3 Cuádricas con plano de centros: pares de planos paralelos o coincidentes. 4 El resto de las cuádricas no posee centro (lo tiene en el infinito): paraboloides y cilindros parabólicos. El centro es un punto de simetría de la cuádrica, el eje y el plano de centros son a su vez eje y plano de simetría. Ejemplo: Consideremos la cuádrica de ecuación Esta cuádrica es un elipsoide (véase la tabla de clasificación). El plano polar por el punto (2,1,3) es el plano de ecuación que corta a la superficie (nótese que (2,1,3) es exterior a la superficie (véase la figura).Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 7 Superficies Cuádricas El centro de la cuádrica es la solución del sistema que en este caso resulta ser el origen de coordenadas.Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 8 Superficies Cuádricas En las figuras siguientes vemos los planos polares en los puntos (0,1,1/2) y (0,2,0): En el primer caso el punto es interior a la superficie y el plano polar es exterior a la misma, mientras que en el segundo caso el punto está sobre el elipsoide y el plano polar coincide con el plano tangente a la superficie en dicho punto.Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 9 Superficies Cuádricas Ecuación reducida: La ecuación reducida de una cuádrica es aquella ecuación simplificada que representa la superficie con su centro (si lo tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que los ejes coordenados tienen relaciones particulares con la cuádrica. Partiendo de la ecuación general de una cuádrica se puede llegar a su ecuación reducida aplicandole consecutivamente un giro y una translación de forma adecuada aunque en algunos casos especiales es necesario aplicar después de esta última un giro plano. A continuación recogemos los tipos de ecuaciones reducidas y que cuádricas representan así como la forma de obtenerlas a partir de los invariantes. Denotemos por , y las raíces de entonces: • Elipsoides, hiperboloides y conos: dondeProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 10 Superficies Cuádricas elipsoide hiperboloide hiperbólicoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 11 Superficies Cuádricas cono hiperboloide elíptico • Paraboloides: dondeProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 12 Superficies Cuádricas paraboloide elíptico paraboloide hiperbólico • Cilindro elíptico e hiperbólico y pares de planos secantes: donde cilindro elíptico cilindro hiperbólicoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 13 Superficies Cuádricas par de planos secantes • Cilindro parabólico: donde cilindro parabólico • Pares de planos paralelos:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 14 Superficies Cuádricas donde par de planos paralelos Cuádricas no degeneradas: Elipsoide Hiperboloide hiperbólico Hiperboloide elíptico Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico Elipsoide Ecuación reducida:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 15 Superficies Cuádricas La cuádrica tiene signatura 3 y los autovalores de la matriz A00 son los tres positivos. Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas de tipo elipse (en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la ecuación reducida que se da arriba): 1. por planos z = α Si α<c la curva de corte es unaProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 16 Superficies Cuádricas elipse de ecuación donde Si α>c no hay intersección real, mientras que si α=c la intersección se reduce a un punto siendo el plano tangente a la superficie elíptica. Para los planos de la forma y =α o x=α el resultado es análogo al anterior intercambiando el papel de las variables de forma adecuada.Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 17 Superficies Cuádricas (corte por un plano y = α con 0<α< b)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 18 Superficies Cuádricas (corte por un plano x = α con 0<α< a) Hiperboloide hiperbólico Ecuación reducida:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 19 Superficies CuádricasProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 20 Superficies Cuádricas La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos positivos y uno negativo. Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas: (en lo siguiente se supone que el hiperboloide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la pimera de las ecuaciones reducidas dadas arriba): • por planos z = α La curva de corte es una elipse de ecuación dondeProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 21 Superficies Cuádricas ( α >0)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 22 Superficies Cuádricas ( α = 0, elipse de garganta ) • por planos x=α .Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 23 Superficies Cuádricas El corte es la hipérbola de ecuación donde ( α = 0 ) (α>0)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 24 Superficies Cuádricas • por planos y=α El corte es una hipérbola como la del caso anterior donde los papeles de x e y se han intercambiado El hiperboloide hiperbólico puede ser visto también como una superficie de revolución engendrada al girar una hiperbola alrededor del eje de la cuádrica ( en el caso de la ecuación reducida que estamos utilizando, el eje z) describiendo una elipse. Además el hiperboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada puesto que contiene a las dos familias de rectas. Veamoslo. La ecuación del hiperboloide se puede escribir como Entonces cualquier punto que satisface la ecuación del hiperboloide satisface el siguiente conjunto de ecuaciones para algun valor del parametro. Cada una de las ecuaciones anteriores representa un plano luego finalmente tenemos un par de rectas contenidas en el hiperboloide.Hiperboloide elípticoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 25 Superficies CuádricasEcuación reducida: En las figuras anteriores a=b=c La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos negativos y uno positivo. Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas: (El desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones reducidas) por planos z = α la intersección es una hipérbola de ecuación dondeProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 26 Superficies Cuádricas • • por planos y =α el resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de y y z • por planos x=α si |α |>a entonces la curva intersección resulta ser una elipse de ecuaciónProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 27 Superficies Cuádricas dondeProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 28 Superficies Cuádricas ( los planos: x=α> a y x=-α< -a) si |α |<a no hay intersección real mientras que si |α|=a entonces la intersección se reduce a un punto y el plano en cuestión es tangente a la superficie. ( a= 0 ) A continuación incluimos otros dibujos en los cuales el hiperboloide tiene la segunda ecuación reducida y los parámetros a,b y c son distintosProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 29 Superficies Cuádricas ( corte por plano z = a > c )Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 30 Superficies Cuádricas ( corte por plano y = α >0 )Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 31 Superficies Cuádricas ( corte por plano x = α >0 ) Paraboloide elípticoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 32 Superficies Cuádricas Ecuación reducida: Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicasProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 33 Superficies Cuádricas (en lo siguiente se supone que el parabolide tiene la ecuación reducida que se da arriba): • por planos z = α si α>0 entonces la curva intersección resulta ser una elipse de semiejes a y b y ecuaciónProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 34 Superficies Cuádricas (α>0) si α<0 entonces no existe intersección mientras que para α=0 la intersección se reduce a un punto siendo la superficie cuádrica tangente al plano en dicho punto. (a<0)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 35 Superficies Cuádricas • por planos y =α o por planos x=α las curvas intersección son las parábolas (corte por plano y = α = 0 )Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 36 Superficies Cuádricas (corte por plano x = α >0 ) Paraboloide hiperbólicoEcuación reducida:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 37 Superficies Cuádricas En lo que sigue utilizaremos la primera de las ecuaciones reducidas. El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por las familias derectas:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 38 Superficies Cuádricas Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas: • por planos z = α si α≠0 entonces la curva intersección es una hipérbola de ecuación (α > 0)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 39 Superficies Cuádricas (α < 0) si α=0 entonces la intersección es un par de rectas que se cortan en el origen de coordenadasProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 40 Superficies Cuádricas (α = 0)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 41 Superficies Cuádricas por planos y = α o por planos x = α las curvas intersección son las parábolas y respectivamente. ( y = α = 0)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 42 Superficies Cuádricas (x = α = 0) A continuación presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide hiperbólico por plano oblicuos no paralelos a los coordenadosProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 43 Superficies Cuádricas Click aqui para entrar en Todotarjetas.com Búsqueda Google Click aqui para entrar en Todotarjetas.com Cuádricas Volver a página principalDefiniciónUna cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican unaecuación de segundo grado del tipoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 44 Superficies CuádricasLa ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial comodondeDenotaremos por la matriz que define la cuádrica y por A00 la matrizadjunta del elemento a00 en A.ClasificaciónLas cuádricas se clasifican de acuerdo a su signatura σ , es decir, el módulo de la diferenciaentre el número de autovalores positivos y negativos de A00. Sin embargo, para calcular lasignatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia deunas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar σ sin necesidad decalcular explícitamente sus autovalores. Veámoslo:los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de laecuación . Ahora bien, conProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 45 Superficies CuádricasCuando los tres autovalores de A00 son no nulos, es decir, det A00 ≠ 0, si escribimos lasucesión K, J, I, 1 y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones designo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = σ . Los valores I, J, K se conocencomo invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene: 1. Si σ = 3 : 1. det A > 0 ---> elipsoide real 2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la ecuación) 3. det A = 0 ---> cono imaginario 2. Si σ = 1 : 1. det A > 0 ---> hiperboloide hiperbólico (de una hoja) 2. det A < 0 ---> hiperboloide elíptico (de dos hojas) 3. det A = 0 ---> cono realSi alguno de los autovalores es nulo (det A00 = 0) pero el determinante de A es distinto decero, entonces; 1. Si J > 0 ---> paraboloide elíptico 2. Si J < 0 ---> paraboloide hiperbólicoSi det A = det A00 = 0, hay que introducir nuevos invariantes para completar laclasificacióndonde Aii representa la matriz adjunta del elemento aii en A para i=1,2,3.Con estos nuevos invariantes se tiene 1. J>0 1. K ≠ 0 y signo K = signo I ---> cilindro elíptico imaginario 2. K ≠ 0 y signo K ≠ signo I ---> cilindro elíptico real 3. K = 0 ---> par de planos imaginarios secantes 2. J < 0 1. K ≠ 0 ----> cilindro hiperbólico 2. K = 0 ----> par de planos reales secantesProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 46 Superficies Cuádricas 3. J = 0 y I ≠ 0 1. K ≠ 0 ----> cilindro parabólico 2. K = 0 y J > 0 -- --> par de planos imaginarios paralelos distintos 3. K = 0 y J < 0 -----> par de planos reales paralelos distintos 4. K = 0 y J = 0 ----> par de planos coincidentesEn la tabla siguiente se resume la clasificación anterior: Clasificación de las Cuádricas det A > 0 Elipsoide Real σ = 3 det A < 0 Elipsoide Imaginario det A = 0 Cono Imaginario det A00 ≠0 det A > 0 Hiperboloide Hiperbólico σ = 1 det A < 0 Hiperboloide Elíptico det A = 0 Cono Real det A00 = 0 J>0 Paraboloide Elíptico det A≠0 J<0 Paraboloide Hiperbólico det A = 0 K≠ 0 , signo K = signo I Cilindro elíptico imaginario J > K ≠ 0 , signo K ≠ signo I Cilindro 0 elíptico real K = 0 Par de planos imaginarios secantes J < K ≠ 0 Cilindro hiperbólico 0 K = 0 Par de planos reales secantes J = K ≠ 0 Cilindro Parabólico 0 I ≠ K = 0, J > 0 Par de planos imaginarios 0 paralelos distintos K = 0, J < 0 Par de planos reales paralelos distintosProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 47 Superficies Cuádricas K = 0, J = 0 Par de planos coincidentesCentroPlano polar: Dado un punto P = (x0,y0,z0) ∈ IR3 se define el plano polar de P respecto a lacuádrica de matriz A como el plano de ecuaciónSi P pertenece a la cuádrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente adicha superficie en P.No todos los puntos poseen plano polar. La condición para que un punto (x, y, z) no lotenga es que verifique el sistema de ecuacionesque geométricamente se interpreta como la intersección de tres planos.Si det A00≠ 0, entonces el sistema es compatible y tiene solución única. El punto soluciónse conoce como centro de la cuádrica.Si det A00 = 0 pueden ocurrir tres cosas, si det A=0 y los rangos de ambas matrices soniguales a 2 el sistema posee una recta de soluciones, entonces se dice que la cuádrica tieneuna recta de centros. Por otro lado, si det A=0 y el rango de ambas matrices es igual a 1existe un plano de soluciones, y se dice que la cuádrica tiene un plano de centros.Finalmente, si los rangos difieren o det A ≠ 0 el sistema no tiene solución, en tal caso lacuádrica carece de centro, recta o plano de centros.Así, se tiene:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 48 Superficies Cuádricas • Cuádricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos. • Cuádricas con eje de centros: cilindros elípticos e hiperbólicos y pares de planos secantes. • Cuádricas con plano de centros: pares de planos paralelos o coincidentes. • El resto de las cuádricas no posee centro (lo tiene en el infinito): paraboloides y cilindros parabólicos.El centro es un punto de simetría de la cuádrica, el eje y el plano de centros son a su vez ejey plano de simetría.Ejemplo:Consideremos la cuádrica de ecuaciónEsta cuádrica es un elipsoide (véase la tabla de clasificación). El plano polar por el punto(2, 1, 3) es el plano de ecuaciónque corta a la superficie (nótese que (2, 1, 3) es exterior a la superficie como se ve en lafigura siguiente).Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 49 Superficies CuádricasEl centro de la cuádrica es la solución del sistema de ecuacionesque en este caso resulta ser el origen de coordenadas.Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 50 Superficies CuádricasEn las figuras siguientes vemos los planos polares en los puntos (0, 1, 1/2) y (0, 2, 0):En el primer caso el punto es interior a la superficie y el plano polar es exterior a la misma,mientras que en el segundo caso el punto e stá sobre el elipsoide y el plano polar coincidecon el plano tangente a la superficie en dicho punto.Ecuación reducidaLa ecuación reducida de una cuádrica es aquella ecuación simplificada que representa lasuperficie con su centro (si lo tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que losejes coordenados tienen relaciones particulares con la cuádrica.Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 51 Superficies CuádricasPartiendo de la ecuación general de una cuádrica se puede llegar a su ecuación reducidaaplicandole consecutivamente un giro y una translación de forma adecuada aunque enalgunos casos especiales es necesario aplicar después de esta última un giro plano.A continuación recogemos los tipos de ecuaciones reducidas y que cuádricas representan,así como la forma de obtenerlas a partir de los invariantes.Denotemos por , y las raíces de , entonces: • Elipsoides, hiperboloides y conos: donde elipsoide hiperboloide hiperbólicoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 52 Superficies Cuádricas hiperboloide elíptico cono • • Paraboloides: donde paraboloide elíptico paraboloide hiperbólico • • Cilindro elíptico e hiperbólico y pares de planos secantes:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 53 Superficies Cuádricas donde cilindro elíptico cilindro hiperbólico par de planos secantes • • Cilindro parabólico: donde cilindro parabólico •Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 54 Superficies Cuádricas • Pares de planos paralelos: donde par de planos paralelosCuádricas no degeneradas Hiperboloide Hiperboloide Paraboloide ParaboloideElipsoide hiperbólico elíptico elíptico hiperbólicoElipsoideProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 55 Superficies Cuádricas Un ejemplo realEcuación reducida:La cuádrica tiene signatura 3 y los autovalores de la matriz A00 son los tres positivos.Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas de tipoelipse (en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadasy tiene la ecuación reducida que se da arriba):Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 56 Superficies Cuádricas • Cortes por planos z = α Si α < c la curva de corte es una elipse de ecuación donde • • Si α> c no hay intersección real. Si α= c la intersección se reduce a un punto, siendo el plano tangente a la superficie elíptica. • Para cortes con planos de la forma y = α ó x = α el resultado es análogo al anterior intercambiando el papel de las variables de forma adecuada.Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 57 Superficies Cuádricas (corte por un plano y = α con 0 < α < b) • (corte por un plano x = α con 0 < α < a)Hiperboloide hiperbólicoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 58 Superficies CuádricasUn ejemplo realEcuación reducida:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 59 Superficies CuádricasLa cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos positivos y unonegativo.Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (enlo siguiente se supone que el hiperboloide esta centrado en el origen de coordenadas y tienela pimera de las ecuaciones reducidas dadas arriba): • Cortes por planos z = α La curva de corte es una elipse de ecuación donde (α >0)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 60 Superficies Cuádricas ( α = 0, elipse de garganta ) • • Cortes por planos x = α El corte es la hipérbola de ecuación donde (α =0) (α >0) • • Cortes por planos y = α El corte es una hipérbola como la del caso anterior donde los papeles de x e y se han intercambiado.El hiperboloide hiperbólico puede ser visto también como una superficie de revoluciónengendrada al girar una hiperbola alrededor del eje de la cuádrica (en el caso de la ecuaciónreducida que estamos utilizando, el eje z) describiendo una elipse.Además el hiperboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada puesto quecontiene a las dos familias de rectas. Veamoslo, la ecuación del hiperboloide se puedeescribir comoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 61 Superficies CuádricasEntonces cualquier punto que satisface la ecuación del hiperboloide satisface el siguienteconjunto de ecuaciones para algun valor del parametro.Cada una de las ecuaciones anteriores representa un plano luego finalmente tenemos un parde rectas contenidas en el hiperboloide.Hiperboloide elípticoUn ejemplo realEcuación reducida:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 62 Superficies Cuádricas(En las figuras anteriores a = b = c)La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos negativos y unopositivo.Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (Eldesarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones reducidas) • Cortes por planos z = α la intersección es una hipérbola de ecuaciónProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 63 Superficies Cuádricas donde • Corte por planos y = α el resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de yyz • Cortes por planos x = α si |α| > a, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de ecuaciónProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 64 Superficies Cuádricas donde x=α>a x = -α < -a • • si |α| < a no hay intersección real. si |α| = a, entonces la intersección se reduce a un punto y el plano en cuestión es tangente a la superficie.Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 65 Superficies Cuádricas (α=0) • • A continuación incluimos otros dibujos en los cuales el hiperboloide tiene la segunda ecuación reducida y los parámetros a,b y c son distintos • (corte por plano z = α > c) • • (corte por plano y = α > 0)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 66 Superficies Cuádricas • • (corte por plano x = α > 0)Paraboloide elípticoProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 67 Superficies CuádricasUn ejemplo realEcuación reducida:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 68 Superficies CuádricasLos cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas, (enlo siguiente se supone que el parabolide tiene la ecuación reducida que se da arriba): • Cortes por planos z = α si α > 0, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de semiejes a y b con ecuaciónProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 69 Superficies Cuádricas (α>0) • si α < 0, entonces no existe intersección. si α = 0 la intersección se reduce a un punto, siendo la superficie cuádrica tangente al plano en dicho punto. (α < 0) • • Corte por planos y = α o por planos x = α las curvas intersección son las parábolasProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 70 Superficies Cuádricas (corte por plano y = α = 0 )Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 71 Superficies Cuádricas (corte por plano x = α >0 )Paraboloide hiperbólicoUn ejemplo realProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 72 Superficies Cuádricas (Foto cedida por el Prof. D. Juan M. Báez Mezquita)Ecuación reducida:Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 73 Superficies CuádricasEn lo que sigue utilizaremos la primera de las ecuaciones reducidas.El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por las familias de rectas:Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas: • Cortes por planos z = α si α ≠ 0, entonces la curva intersección es una hipérbola de ecuación (α > 0)Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 74 Superficies Cuádricas (α < 0) • • si α = 0, entonces la intersección es un par de rectas que se cortan en el origen de coordenadas •Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 75 Superficies Cuádricas (α = 0) • • Cortes por planos y = α o por planos x = α las curvas intersección son las parábolas y respectivamente.Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 76 Superficies Cuádricas ( y = α = 0) (x=α =0)A continuación presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide hiperbólico porplano oblicuos no paralelos a los coordenadosProf. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 77 Superficies Cuádricas Volver a página principal Página elaborada por: M. Teresa Pérez y Miguel A. Martín Sesión de Ejercicios 3 Superficies CuadràticasDefinición: Una superficie cuadrática ( o cuàdrica ) es la gráfica de una ecuación desegundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0donde A, B, C, …, J son constantes. 1. Elipsoide.Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • 78 Superficies Cuádricas x2 y2 z2Tiene por ecuación + + =1 a2 b2 c2Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planosparalelos a los planos coordenados es una elipse x2 z2 y2 z2 Si y = 0 ⇒ + = 1 elipse Si x = 0 ⇒ + = 1 elipse a2 c2 b2 c2 x2 y2 Si z = 0 ⇒ + = 1 elipse a2 b2 2. Hiperboloide de una hoja. x2 y2 z2Tiene por ecuación + − =1 a2 b2 c2Prof. Antonio Syerse-mail :asyers@unimet.edu .veProf. Ana Olaldee-mail: aolalde@unimet.edu .ve
  • Las trazas del hiperboloide sonhiperbolas en planos paralelos al planoXZ y al YZ, mientras que en planosparalelos al XY las trazas son elipses. y2 z2 x2 z2 Si x = 0 ⇒ − = 1 Hiperbola Si y = 0 ⇒ − = 1 Hiperbola b2 c2 a2 c2 x2 y2 Si z = 0 ⇒ + = 1 Elipse a2 b2El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable apareceen la ecuación negativa ( en este caso eje z). La diferencia fundamentalentre el hiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variablecon signo negativo. 3. Hiperboloide de dos hojas. x2 y2 z2Tiene por ecuación − − 2 + 2 =1 a2 b cLas trazas de esta superficies son :Para planos paralelos a XZ sonhiperbolas al igual que para planos z2 y2si x = 0 ⇒ − = 1 hiperbola c2 b2 z2 x2si y = 0 ⇒ − = 1 hiperbola c2 a2paralelos al YZ.Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas .
  • 4. Paraboloides x2 y2si z = 0 ⇒ − − = 1 imposible! ! ! ⇒no hay gráfica a2 b2 x2 y2 zTiene por ecuación 2 + 2 = a b cLas trazas del paraboloide son:Para planos paralelos al XY sonelipses, para planos paralelos al XZ o y2 z b2z Si x = 0 ⇒ = ⇒ y2 = parábola b2 c cal YZ son parábolas.Su diferencia con las otras cuádricas es quetienen una variable que no está elevada al x2 z a2zSi y = 0 ⇒ = ⇒ x2 = parábola a2 c c x2 y2 kSi z = K ⇒ + = Elipse, y si a = b Círculo a2 b2 ccuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.5. Paraboloide hiperbólico. x2 y2 zTiene por ecuación 2 − 2 = a b c Su diferencia fundamental con lasotras superficies es que ella tiene ensu ecuación una variable que no estáelevada al cuadrado, y las otrasvariables tienen el signos contrarios.Trazas: x2 z si y = 0 ⇒ = parábolas a2 c
  • y2 zsi x = 0 ⇒ − = parábolas b2 c x2 y2 asi z = 0 ⇒ − = 0 ⇒ x = y Dos rectas! ! a2 b2 b6. ConosLa superficie cuádrica que tiene por ecuación x2 y2 z2 + = a2 b2 c2Se denomina Cono. ZLas trazas del cono son: y2 z2 bSi x = 0 ⇒ = ⇒ y = z Dos rectas b2 c2 c x2 z2 a Si y = 0 ⇒ = ⇒ x = z Dos rectas a2 c2 c Y x2 y2 k2 si z = K ⇒ + = Elipse, ¿Y si a = b? a2 b2 c2 X7. Cilindro circular recto:Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de lasuperficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo: x2 + y 2 = a 2Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráficadel cilindro se extenderá paralelo al eje z
  • En el plano: En el Espacio: z Y a x y x 8. Cilindro circular recto con eje en el eje y : x2 + z2 = a2 Considere la ecuación:En el plano: En el Espacio z z a x y x
  • 8. Cilindro parabólico: Considere la ecuación x + y = 0 , que corresponde a una parábola en el 2 plano xy, al variar z se obtiene la superficieEn el plano En el espacio 9. Cilindro elíptico con eje en el eje z:Considere la ecuación de la elipse y + ( 4 z ) = 4 en el plano 2 2 yz , al recorrer el eje x se obtiene la superficieEn el espacio En el plano
  • 10. Cilindro hiperbólico con eje en el eje z:Considere la ecuación y 2 − x2 = 1 que corresponde a una hipérbolacentrada en el ( 0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie En el espacio En el plano
  • EJERCICIOS PROPUESTOSI. Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio completo: trazas,cortes con los ejes, identificar la superficie y hacer un gràficoaproximado.1. 4 x − y + z − 8 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 2 2 2 ( hiperboloide de una hoja con centro en ( 1,1,-1))2. x + y + z − 8 − 8 y − 6 z + 24 = 0 2 2 2( esfera )3. x + 2 y − 4 z = 8 2 2 2(cono elíptico de 2 hojas)4. x − y + z − 10 z + 25 = 0 2 2 2(cono circular)5. 36 y + x + 36 z = 9 2 2(paraboloide elìptico)6. x − z = 5 y 2 2(paraboloide hiperbólico)7. x + 4 y − 4 z − 6 x − 16 y − 16 z + 5 = 0 2 2 2( hiperboloide de una hoja)8. y + z − 2 x = 0 2 2(paraboloide circular recto)9. z = 3 x + 2 y − 11 2 2( paraboloide ) z 2 y 2 x210. − − =1 4 9 9( hiperboloide de dos hojas)12. x 2 + z 2 = 1 15. x 2 + z = 113. x − 4 y = 1 16. 4 x + y = 36 2 2 2 214. x = 4 − y 17. x 2 + 4 z 2 = 16 2( cilindros )
  • II.1. Trace la región limitada por x 2 + y 2 = 2 y z = x2 + y2 para 1 ≤ z ≤ 22. Obtener la curva de intersección de las superficiesx 2 + 2 y 2 − z 2 + 3 x = 1 y 2 x 2 + 4 y 2 − 2 z 2 − 5 y = 0 y hacer su gràfica3. Graficar : a) La parte del hiperboloide − x − y + z = 1 que se encuentra 2 2 2 abajo del rectángulo [ −1,1] x [ −3,3] b) La parte del paraboloide elíptico 6 − 3 x − 2 z = y que se 2 2 encuentra a la derecha del plano xz c) La parte de la esfera x + y + z = 4 que se encuentra 2 2 2 arriba del cono z = x 2 + y 2 d) La parte del cilindro x + z = 1 que se encuentra entre los 2 2 planos y=-1 y y=3 e) La parte del plano z=5 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 = 16 f) La parte del plano z=x+3 que se encuentra dentro del cilindro x + y2 = 1 2 g) La parte del plano x+2y+z=4 que se encuentra dentro del cilindro x + y = 1 2 2 h) La parte de la superficie z = x + y que se encuentra arriba 2 del triàngulo de vértices (0,0), (1,1) , y (0,1) i) La parte del paraboloide hiperbólico z = y2 − x2 que se encuentra entre los cilindros y + x = 1 y y + x = 4 2 2 2 2 III. Graficar los sòlidos indicados, marcando los cortes con los ejes cordenados. a) Sòlido limitado y + x = 1 , el plano z= y+3 y el plano xy 2 2 b) Sòlido limitado por z 2 + x 2 = 1 y los planos y=0 y x+y=2
  • c) El sòlido limitado por z = 4 − x 2 − y 2 y z=0d) El sòlido limitado por z + y + x = 1 y arriba de z = x 2 + y 2 2 2 2e) El sòlido limitado por el plano x+y+z=1 y los planos coordenados en el primer octante.f) El sòlido limitado por z = − 9 − x 2 − y 2 y z=-1g) El sòlido limitado por z = 3 − 2 x − y y z = x2 + y 2 − 3 2 2h) El sòlido dentro del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1).