Vectores por ivan vargas
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    Vectores por ivan vargas Vectores por ivan vargas Document Transcript

    • 1 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico 1. VECTORES Iván Vargas Blanco Físico Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARESDefinición de MagnitudAtributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente ydeterminado cuantitativamente1. También se entiende como cantidad física formada por unnúmero y la unidad de medida respectiva. Ejemplos: 0.3 µm, 3 km, 24 m/s, 12 J.Definición de EscalarCantidad física que solo tiene magnitud. Son ejemplo de escalares: distancia, masa, tiempo,rapidez, temperatura, área, volumen, densidad, trabajo, energía, potencia y frecuencia. Losescalares pueden ser manipulados por las reglas del álgebra ordinaria.Ejemplos: 4 m, 5 kg, 60 s, 20 m/s, 37 °C, 8 m2, 4 m3, 24 Kg/m3, 1.78 J, 50 W y 333 HzDefinición de VectorCantidad física que tiene magnitud, dirección y sentido. Son ejemplo de vectores: lavelocidad, la aceleración, la fuerza, el peso, la cantidad de movimiento, el desplazamiento,campo eléctrico y el campo magnético.(la palabra vector significa portador en latín).Ejemplos: -4 m/s, +9.8 m/s2, 500 N 30°, -25 Kg m/s y –20 mRepresentación gráfica de vectoresUn vector se representa gráficamente, como un segmento dirigido de recta PQ de un puntoP llamado punto inicial o origen a otro punto Q llamado punto terminal o termino. Unapunta de flecha en un extremo indica el sentido; la longitud del segmento, interpretada conuna escala determina la magnitud. La dirección del vector se especifica al dar los ángulosque forma el segmento de recta con los ejes de coordenadas.Ejemplo: Termino Q Dirección: 30° Magnitud: 60 m Escala: 1 cm = 20 m P Origen1 Peste F. Vocabulario Internacional de Términos Fundamentales y Generales de Metrología .Centro Nacionalde Metrología.México.1996
    • 2 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoNotación de vectoresAlgebraicamente los vectores se representan con letras del alfabeto castellano, mayúsculaso minúsculas; usualmente en un texto impreso se utiliza la letra en negrita, tal como b quesignifica ambas propiedades del vector, magnitud y dirección. En la escritura manualponemos una flecha sobre la letra para denotar la cantidad vectorial, tal como b .Ejemplos: a : -35 m/s, A : 50 millas Norte, b: 15 km Suroeste, B: 20 m Oeste, PQ : 50 m/s 30°La magnitud o longitud de un vector se representa colocando el vector entre barras osimplemente la letra asignada.A = 50 millas, A = 50 millas, PQ = : 50 m/s , PQ = : 50 m/sDirección de un vector con puntos cardinalesPara dar la dirección de un vector mediante puntos cardinales se anota de primero el puntocardinal norte o sur de acuerdo a la ubicación del vector , luego el ángulo que forma con elnorte o sur y finalmente el punto cardinal este u oeste según corresponda. N A : 20 m Escala: 1 cm = 10 m 30° O E A : 20 m, N 60° O 45° B : 30 m, S 45° E S B : 30 mDirección de un vector con la medida del ángulo (coordenadas polares )En este caso se anota la magnitud del vector y el ángulo que forman la rama positiva del ejeX y el vector, el ángulo se toma como positivo o negativo en la misma forma que se haceen los estudios de trigonometría. La magnitud del vector y el ángulo son llamadoscoordenadas polares. y La magnitud y A : 20 m el ángulo son Escala: 1 cm = 10 m llamadas 30° Coordenadas Polares O x A : 20 m, 150° 45° B : 30 m, -45° B : 30 m
    • 3 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoClasificación de vectoresDefinición de línea de acción de un vectorEs la recta a la que pertenece el vectorEjemplo:Vectores paralelosSon aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas.Ejemplo: A B A BVectores igualesSon aquellos vectores que tienen la misma magnitud ,dirección y sentido aunque no tenganel mismo punto de aplicación.Ejemplo: θ A θ B A= BVectores deslizantesSon aquellos vectores que pueden moverse sobre su línea de acción sin cambiar sumagnitud y dirección.Ejemplo: A B
    • 4 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoVectores fijosSon aquellos vectores que no deben deslizarse sobre su línea de acción porque interesa queel origen coincida con un punto de aplicación del sistema.Ejemplo: FVectores libresSon aquellos vectores que pueden moverse libremente en el espacio con sus líneas deacción paralelas.Ejemplo: A AVector opuesto de un vectorSe define como aquel que tiene la misma magnitud del vector y está a 180° respecto alvector y se representa como el negativo del vector, a ⇒ - a por lo cual se le llamavectores iguales y opuestos o antiparalelos. Un vector puede ser opuesto a otro si solo tienedirección opuesta.Ejemplo: A -AVector unitario: u ˆEs aquel vector de magnitud la unidad o longitud unitaria y de igual dirección que el vectordado. Si A o A es un vector cualquiera de longitud A>0, entonces A/A o A/ A es un vectorunitario denotado por a o a , con la misma dirección de A. Por lo tanto A=Aa o A = Aa ˆ ˆEjemplo: Este es uno A 7 m60 de los A : 7 m 60° ⇒ a= = ˆ = 1 m 60° vectores mas A 7 importantes aˆ : 1 m 60°Por lo tanto podemos escribir el vector A comoA = Aa ˆA = 7a m ˆ
    • 5 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoVectores consecutivosSon aquellos vectores donde el término de uno coincide con el origen del siguiente.Ejemplo: b a cVectores concurrentesSon aquellos vectores cuyas líneas de acción se intersecan en un punto.Ejemplo: a b c1.2 OPERACIONES CON VECTORES GRÁFICAMENTEa)Multiplicación de un escalar por un vector gráficamenteSi se multiplica un escalar λ por un vector A resulta el vector λA cuya magnitud ha sidomultiplicada por λ y el sentido depende del signo del escalar.Ej:A : 2 m 30° sí λ = 2 λA = 2(2 m) = 4 m 30°Practica 1.1Dado el vector a : 50 m 300° . Hallar: a) La representación del vector b) El vector opuesto de a c) El vector unitario de a d) Un vector concurrente a a e) Un vector consecutivo a a f) Un vector perpendicular a a 1 g) Un vector cuya magnitud sea a 2
    • 6 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físicob) Suma gráfica de vectoresPara sumar vectores gráficamente existen diferentes métodos:Método del trianguloEs el método para sumar dos vectores consecutivos formando un triangulo con la resultante.Se deben seguir los siguientes pasos: 1. En un diagrama dibujado a escala trazar el vector a con su dirección propia en el sistema de coordenadas. 2. Dibujar el vector b a la misma escala con la cola en la punta de a ,asegurándose de que b tenga su misma dirección propia. 3. Se traza un vector desde la cola de a hasta la punta del vector b . Se mide la longitud del vector resultante y se realiza conversión con la escala, esto nos da la magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo que forma el vector suma con la rama positiva del eje X.Ejercicio 1.1Dados los siguientes vectores: A : 30 m , 35°, B : 20 m , -45°.Obtener el vectorsuma S = A + B ,mediante el método del triangulo.Solución: y y x A B S = A+ BMétodo del paralelogramoEs el método para sumar vectores concurrentes. Se dibujan los vectores f y g con origencomún, luego en la figura se traza una paralela a f y por el término de f se traza unaparalela a g ; ambas paralelas y los dos vectores forman un paralelogramo. El vectorresultante r de sumar f y g se traza desde el origen de ambos vectores hasta laintersección de las paralelas. Se mide la longitud del vector resultante y se realizaconversión con la escala, esto nos da la magnitud del vector suma. Luego se mide el ánguloque forma el vector suma con la rama positiva del eje X.Ejercicio 1.2Dados los siguientes vectores: f : 25 m 60°, g : 35 m 0°.Obtener el vector suma r = f +g , mediante el método del paralelogramo.Solución: f f r 60° g g
    • 7 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoMétodo del polígonoPara sumar vectores por el método del polígono se colocan los vectores consecutivos y elvector suma es la resultante que va desde el origen del primer vector al término del últimovector.Ejercicio 1.3Un auto se desplaza 300 m del Norte 30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al Este yfinalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio.Solución: N E b N s = a +b +c N a E E c sPropiedades de la suma de vectores 1. Ley conmutativa para la suma. a +b =b +a b a a b 2. Ley asociativa para la suma. ( ) ( d + e + f = d +e + f ) e f dLeyes del álgebra vectorial2Si A , B y C son vectores, m y n son escalares, entonces 1. A + B = B + A Ley conmutativa para la suma 2. A + ( B + C ) = ( A + B )+ C Ley asociativa para la suma 3. m(n A )= (mn) A = n(m A ) Ley asociativa para la multiplicación 4. (m + n) A = m A + n A Ley distributiva 5. m( A + B ) = m A + m B Ley distributivaObserve que en estas leyes sólo la multiplicación de un vector por uno o más escalares estádefinida. Mas adelante se definen los productos entre vectores.2 Murray R.S. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias. McGrawHill. México.2001. pag.149.
    • 8 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físicob) Resta gráfica de vectoresLa resta de vectores es una suma indicada utilizando el concepto de vector opuesto. R = A − B = A + (− B) Recuerde queTiene la propiedad de no ser conmutativa. para la resta A− B ≠ B − A gráfica losEjemplo 1.4 vectores deben tener un origenSean A : 20 m 60° B : 50 m 0°. comúnHallar: a) S = A + B b) R = A − B c) R = B − ASolución: B A A −BPractica 1.2Sean A : 30 m 110° B : 50 m 60°Hallar: a) S = A + B b) R = A − B c) R = B − A d) Pruebe que A − B = −(B − A)1.3 OPERACIONES CON VECTORES ANALÍTICAMENTE1) SUMA ANALÍTICA DE VECTORESPara sumar vectores analíticamente existen diferentes métodos:Método de teoremasConsiste en hallar la resultante de la suma vectorial de dos vectores, utilizando relacionescomo el teorema de Pitágoras o el teorema de cosenos y senos.Teorema de PitagorasCuando los vectores forman un ángulo recto la magnitud de la suma o resultante se obtienepor medio del teorema de Pitágoras y la dirección por la relación trigonométrica tangente. S = a 2 + b2 S b θ b tan θ = a a
    • 9 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoEjercicio 1.3Un avión vuela hacia el Norte a 90 m/s un fuerte viento sopla hacia el este a razón de 72km/h y desvía su rumbo. Hallar la velocidad del avión para un observador en la tierra.Solución: 20 m/s 90 m/s θ S b S = a 2 + b2 tan θ = a 20 S = (90) 2 + (20) 2 tan θ = 90 S = 8500 tan θ = 0.22 2 S = 92.2 m/s θ = 12.5 ° Respuesta: S : 92.2 m/s , 12.5° ( en coordenadas polares )Ejercicio Propuesto:Al oír la cascabel de una serpiente, usted realiza dos desplazamientos rápidos de 6.0 m y5.0 m, al oeste y al sur respectivamente. Calcule la magnitud y dirección deldesplazamiento resultante utilizando el método del teorema de Pitágoras. Utilice el métodográfico para obtener la respuesta, compare los resultados.Respuesta:Teorema de cosenos y senosCuando los vectores forman cualquier ángulo la magnitud de la suma o resultante seobtiene por medio del teorema de cosenos y la dirección por el teorema de los senos. b θ α s = a 2 + b 2 − 2ab cosθ 2 (Ley de cosenos) a s senα senβ senθ β = = (Ley de senos) a b c
    • 10 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoEjercicio 1.4Dos hombres tiran de un bote, uno aplica una fuerza de 100 N y el otro de 80 N con unángulo de 60° entre ellas. Hallar la fuerza resultante sobre el boteSolución: 60° Para la magnitud Para la dirección senα senβ senθ s = a 2 + b 2 − 2ab cosθ = = 2 a b c senβ sen120° s = (100) 2 + (80) 2 − 2(100)(80) cos 120° = 2 80 156.2 80sen120° s = 10000 + 6400 − −8000 senβ = 2 156.2 s = 24400 senβ = 0.4435 s = 156.2 m/s β = 26.3° Respuesta: s : 156.2 m/s, 26.3° (en coordenadas polares )Ejercicio Propuesto:Un conductor de automóvil maneja 3 km en la dirección de 60° noreste y luego 4 km en ladirección norte.¿Dónde termina respecto de su punto de inicio?.Utilice el método anterior,compare su resultado con su respuesta si utiliza el método grafico.Método de componentes rectangularesDado un vector puede ser expresado en términos de muchos vectores que se sumanconsecutivamente llamados vectores componentes del vector. A7 A8 A A6 A5 A1 A4 A2 A3 A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
    • 11 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoLa división de un vector en componentes no es única dado que un vector puede formarsepor suma de muy diversas maneras, pero es de mayor utilidad descomponer un vector soloen términos de sus vectores componentes rectangulares o cartesianas. a) Componentes Rectangulares o Cartesianas de un VectorEntre el ilimitado número de posibles divisiones de un vector en componentes tieneespecial importancia las que se restringen a la dirección de los ejes cartesianos.Vectores unitarios rectangulares ˆLos vectores unitarios rectangulares i , ˆ y k son vectores unitarios cuya dirección y ˆ jsentido es la de los ejes positivos x, y, y z de un sistema de coordenadas rectangulares, amenos que se especifique de otra manera. Tales sistemas derivan su nombre del hecho deque un tornillo de rosca derecha girado 90° de Ox a Oy, avanzará en la dirección z positiva.Se dice que tres vectores que tienen puntos iniciales coincidentes, y que no son coplanaresforman un sistema derecho o sistema diestro si un tornillo de rosca derecha girado en unángulo menor que 180° de A a B avanza en la dirección C z A = Aiˆ C B = Bˆ j C = Ck ˆ ˆ k ˆ j B y iˆ A x i = ˆ = k =1 ˆ j ˆComponentes de un vector en el plano y A Ay ˆ j θ iˆ Ax x Ax : componente en la dirección del eje X Ay : componente en la dirección del eje Y A = Ax + Ay :Definición de suma de vectoresUtilizando los vectores unitarios, se tiene Ax = Axiˆ Ay = Ay ˆj A = Ax + Ay = Ax iˆ + Ay ˆ j
    • 12 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoMódulo o magnitud del vectorUsando el teorema de Pitágoras se tiene 2 2 2 A = Ax + Ay : los vectores unitarios tienen magnitud unitaria. A = + Ax 2 + Ay 2 : magnitud del vector.Relaciones útiles Ax Ax = A cos θ ⇐ = cosθ A Ay Ay = A sen θ ⇐ = senθ A Ay tan θ = Ax  Ay  θ = arc tan    dirección del vector. Ax   Ejercicio 1.5Calcule las componentes x, y de los siguientes vectores: a : 12 m, N 37° E b : 15 m, -40° c : 6 m, 60° con x negativo en el tercer cuadranteSolución: a x = a cosθ bx = b cosθ c x = c cosθ a x = 12m cos 53° bx = 15m cos− 40° c x = 6m cos 240° a x = 7.2 m bx = 11.5 m c x = −3 m a y = asen θ b y = bsenθ c y = csenθ a y = 12msen53° b y = 15msen − 40° c y = 6msen240° a y = 9.6 m b y = −9.6 m c y = −5.2 m ∴ a = a xi + a y ˆ ˆ j ∴ b = bxi + b y ˆ ˆ j ∴ c = c xi + c y ˆ ˆ j ∴ a = (7.2i + 9.6 ˆ) m ∴ b = (11.5i − 9.6 ˆ) m∴ c = (−3i − 5.2 ˆ) m ˆ j ˆ j ˆ jEjercicio Propuesto:Calcule las componentes x, y de los siguientes vectores: A : 2.4 m, S 20° O B : 1.7 m, -120° C : 3.4 m, 30° con x negativo en el segundo cuadrante
    • 13 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoEjercicio 1.6Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares decomponentes:a) Ax = 3.6 cm, Ay = -7.2 cmb) Bx = -1.4 cm, By = -9.35 cmSolución: A = + Ax 2 + Ay 2 B = + Bx 2 + By 2 A = + (3.6) 2 + (−7.2) 2 B = + (−1.4) 2 + (−9.35) 2 A = + 64.8 B = + 89.4 A = +8.04 cm B = +9.45 cm − 7.2 − 9.35 tan θ = tan β = 3.6 − 1.4 θ = −63.4° β = 81.5° Respuestas: A : 8.04 cm, -63.4° ; B : 9.45 cm, 81.5°Ejercicio Propuesto:Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares decomponentes:a) a x = -2.34 km, a y = 8.70 kmb) bx = 1.60 km, b y = 5.75 km b) Suma de varios vectores en el planoSean los siguientes vectores, todos en el plano XY y A = Ax iˆ + Ay ˆ j By B = Bx iˆ + By ˆ j Sy S B C = C xiˆ + C y ˆ j ........ Ay ASumando los vectores se tiene Ax Bx x S = A + B + C + ... Sx S = ( Ax + Bx + C x + ...)iˆ + ( Ay + By + C y + ...) ˆ j
    • 14 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico S x = ( Ax + Bx + C x + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje X S y = ( Ay + By + C y + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje Y S = S x iˆ + S y ˆ : vector resultante j S = + Sx 2 + S y 2 : magnitud del vector resultante Sy tan θ = Sx  Sy  θ = arc tan    : ángulo que forma el vector resultante Sx   Ejercicio 1.7Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 mSO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el ejey apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) lascomponentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamientoresultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hastael punto del arranque.3Solución: N C : 5.94 m O E B : 5.26 m A : 4.13 m S(a) Ax = Acosθ Bx = B cosθ C x = C cosθ Ax = 4.13m cos 225° Bx = 5.26m cos 0° C x = 5.94m cos 26° Ax = −2.9 m Bx = 5.26 m C x = 5.34 m Ay = Asenθ By = Bsenθ C y = Csenθ Ay = 4.13msen225° By = 5.26msen0° C y = 5.94msen26° Ay = −2.9 m By = 0 m C y = 2.6 m ∴ A = Ax i + Ay ˆ ˆ j ∴ B = Bx i + By ˆ ˆ j ∴ C = C xi + C y ˆ ˆ j ∴ A = (−2.9i − 2.9 ˆ) m ∴ B = (5.26i + 0 ˆ) m∴ C = (5.3i + 2.6 ˆ) m ˆ j ˆ j ˆ j3 Resnick.R. Física Vol.1. Cuarta Edición. Compañía Editorial Continental,S.A. México. 1999. Pb:22
    • 15 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico(b) A = (−2.9iˆ − 2.9 ˆ) m j B = (5.26i + 0 ˆ) m ˆ j C = (5.3iˆ + 2.6 ˆ) m j S = (7.7iˆ − 0.3 ˆ) m j(c) Sy S = + Sx 2 + S y 2 tan θ = Sx − 0.3 S = + (7.7) 2 + (−0.3) 2 tan θ = 7.7 S = +7.7 m θ = −2.2°(d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque es de 7.7 m.Ejercicio Propuesto:El vector A es de 2.80 cm y está 60° sobre el eje x en el primer cuadrante. B es de 1.90cm y está 60° por debajo del eje x en el cuarto cuadrante. Obtenga la magnitud y direcciónde A + B . Dibuje un diagrama de la suma y muestre que sus respuestas numéricasconcuerdan con las de su dibujo4. c) Componentes de un vector en el espacio tridimensionalEl procedimiento desarrollado para los vectores en el plano se extiende al espaciotridimensional de la siguiente forma. Cualquier vector A en tres dimensiones se representacon su punto inicial en el origen O de un sistema de coordenadas rectangulares. Sean( Ax , Ay , Az ) las coordenadas rectangulares del punto terminal de un vector A con puntoinicial en O. Los vectores A = A i , A = A ˆ , A = A k reciben el nombre de x ˆ x j y y ˆ z zcomponentes rectangulares de un vector o simplemente vectores componentes en lasdirecciones de x, y, y z respectivamente. Por comodidad en la notación cada vectorcomponente se expresa por la magnitud de la componente por un vector unitario en cada ˆeje. A estos vectores unitarios se les designa por i , ˆ y k donde: ˆ j iˆ = vector unitario en el eje x = (1,0,0) ˆ = vector unitario en el eje y = (0,1,0) j ˆ k = vector unitario en el eje z = (0,0,1)Por lo tanto un vector en componentes rectangulares de tres dimensiones se escribe de lasiguiente manera. A = Ax + Ay + Az A = Axiˆ + Ay ˆ + Az k j ˆ4 Sears F.W. Física Universitaria. Novena edición.Pearson Educación. México.1999.Pb.1-37
    • 16 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físicodonde (Ax , Ay , Az ) son las magnitudes de los vectores componentes rectangulares o sea lasproyecciones del vector sobre los ejes x, y y z. z A Az = Az k ˆ y Ax = Ax iˆ Ay = Ay ˆ j xDe esta manera el vector queda expresado así A = Axiˆ + Ay ˆ + Az k j ˆEjercicio 1.8Representar el vector A : ( 3, -2, 3 ) z A y xPractica 1.3Represente los siguientes vectores ( 2, 2, 4) , ( -2, 4, 3)Magnitud de un vector en tres dimensionesLa magnitud se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras dos veces. z Az A Ay y Ax x A= ( ) 2 Ax 2 + Ay 2 + Az 2 A = Ax 2 + Ay 2 + Az 2 : Magnitud del vector
    • 17 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoDirección de un vector en tres dimensionesLa dirección del vector A en tres dimensiones se puede obtener de dos maneras:a) por medio de los cosenos de los ángulos directoresSon los ángulos que el vector forma con cada eje. α , β ,γ α = ángulo entre el vector y el eje x son los β = ángulo entre el vector y el eje y ángulos γ = ángulo entre el vector y el eje z directoresLos cosenos son respectivamente Axcos α = ⇒ Ax = A cos α A Aycos β = ⇒ Ay = A cos β A Azcos γ = ⇒ Az = A cos γ ALuego se obtiene la función inversa para obtener cada ángulo. Por lo tanto todo vector entres dimensiones se puede expresar con los ángulos directores así. A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k j ˆ A = A cos αiˆ + A cos βˆ + A cos γk j ˆdonde A2 = A2 cos 2 α + A2 cos 2 β + A2 cos 2 γb) por medio de los ángulos θ y φ de las coordenadas esféricasDefinimos dos ángulos; θ como el ángulo que hace el vector con el eje Z y φ como elángulo que hace la proyección del vector sobre el plano XY con el eje X positivo ( verfigura ). Estos ángulos están dados de lasiguiente forma: Az cosθ = ⇒ Az = Acos θ A Ay tan φ = ⇒ Ay = Ax tan φ Axcon esto se puede demostrar que: Ax = Asenθ cos φ Ay = Asenθsenφ Az = AcosθA las variables (r,θ,φ) se les llama coordenadas esféricas. En nuestro caso r = A. Por lotanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar de la siguiente forma. A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k j ˆ A = Asenθ cos φiˆ + Asenθsenφˆ + Acosθk j ˆ
    • 18 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoEjercicio 1.9Dado el vector C : 25 m α = 175° β = 75° γ = 140°Expresarlo en componentes rectangulares.Solución: Ax = A cos α Ay = A cos β Az = A cos γ Ax = 25m cos175° Ay = 25m cos 75° Az = 25m cos140° Ax = −24.9 m Ay = 6.5 m Az = −19.1 m A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k j ˆ A = (−24.9iˆ + 6.5 ˆ − 19.1k) m j ˆEjercicio 1.10En el siguiente diagrama, hallar: a) Las componentes Fx ,Fy, Fz b) Los angulos α, β, γ z Fz F= 500 N 40° F Fy y 30° Fx xSolución:a)Por medio de cosenos directores F x = F cos α F y = F cos β F z = F cos γ Fx = ? Fy = ? F z = 500 N cos 40° F z = 383.0 N @#$%! F x = Rsenα F y = R cosα ?&*+/ F x = 321.4 Nsen30° F y = 321.4 N cos 30° F x = 160.7 N F y = 278.3 N R senλ = ⇒ R = Fsen λ F R = 500sen40° R = 321.4 N
    • 19 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Fx 160.7cos α = ⇒ cos α = ⇒ α = 71.2° F 500 Fy 278.3cos β = ⇒ cos β = ⇒ β = 56.2° F 500b)Por medio de coordenadas esféricasComo θ = 40° y φ = 60° , tenemos F x = Fsen θ cos φ F y = Fsen θsenφ F z = F cosθ F x = 500 Nsen40° cos 60° F y = 500 Nsen40°sen60° F z = 500 N cos 40° F x = 160.7 N F y = 278.3 N F z = 383.0 NLos ángulos se obtienen como en el caso anterior.Ejercicio Propuesto:Una fuerza F actúa en el origen de un sistema en una dirección dado por α = 75° y γ = 130°Sabiendo que Fy = 300 N.Hallar: a) La fuerza F b) Las componentes Fx y Fz c) El ángulo βRespuesta: F = 416.1N , F x = 107.7 N , F z = 267.4 N , β = 43.8° d) Suma de vectores en el espacioLa suma de vectores en el espacio se realiza de manera similar a la empleada para losvectores en el plano.Sean los siguientes vectores, A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k j ˆ B= B i +B ˆ+B k x ˆ yj ˆ z C = C xiˆ + C y ˆ + C z k j ˆ ........Sumando los vectores se tiene S = A + B + C + ... S = ( Ax + Bx + C x + ...)iˆ + ( Ay + By + C y + ...) ˆ + ( Az + Bz + C z + ...)k j ˆ S x = ( Ax + Bx + C x + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje X S y = ( Ay + By + C y + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje Y S z = ( Az + Bz + C z + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje Z
    • 20 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico S = S xiˆ + S y ˆ + S z k : vector resultante j ˆ S = + Sx 2 + S y 2 + Sz 2 : magnitud del vector resultante.La dirección se obtiene por medio de una de las formas mencionadas anteriormente.Ejercicio 1.11Dados los vectores: a = 3iˆ + 2 ˆ − 4k j ˆ b = −2iˆ + ˆ + 5k j ˆ c = −iˆ − 6 ˆ jHallar: a) S = 1 2 {a + 3(b + c )} b) la magnitud y dirección de S c) Un vector unitario en la dirección de a d) Un vector opuesto a b e) El vector 5 aSolución:(a) b = −2iˆ + ˆ + 5k j ˆ c = −iˆ − 6 ˆ + 0k j ˆ (b + c ) = −3i − 5 ˆ + 5k ˆ j ˆ 3(b + c ) = −9i − 15 ˆ + 15k ˆ j ˆ a = 3iˆ + 2 ˆ − 4k j ˆ a + 3(b + c ) = −6i − 13 ˆ + 11k ˆ j ˆ S= 1 2 {a + 3(b + c )} = − 6 iˆ − 13 ˆj + 11 kˆ 2 2 2 S = −3iˆ − 6.5 ˆ + 5.5k j ˆ(b) S = + (−3) 2 + (−6.5) 2 + (5.5) 2 S = 9.03dirección con ángulos directores: A −3cos α = x ⇒ cos α = ⇒ α = 109.4° A 9.03 Ay − 6.5cos β = ⇒ cos β = ⇒ β = 136.0° A 9.03 Az 5.5cos γ = ⇒ cos γ = ⇒ γ = 52.5° A 9.03
    • 21 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoRespuesta: S : 9.03,α = 109.4°, β = 136.0°, γ = 52.5°dirección con coordenadas esféricas: Az 5.5 cosθ = ⇒ cosθ = ⇒ θ = 52.5° A 9.03 Ay − 6.5 tan φ = ⇒ tan φ = ⇒ φ = 65.2° Ax −3Respuesta: S : 9.03,θ = 52.5°, φ = 65.2°(c) a = 3i + 2 ˆ − 4k ˆ j ˆ a a a a ˆ a = = x iˆ + y ˆ + z k ˆ j : vector unitario en coordenadas rectangulares a a a a a = ax + ay + az 2 2 2 a = (3) 2 + (2) 2 + (−4) 2 a = 5.4 3 ˆ 2 ˆ −4 ˆ a= ˆ i+ j+ k 5.4 5.4 5.4 a = 0.55iˆ + 0.37 ˆ − 0.74k ˆ j ˆ : vector unitario en la dirección de a(d) b = −2iˆ + ˆ + 5k j ˆ − b = 2i − ˆ − 5k ˆ j ˆ(e) a = 3i + 2 ˆ − 4k ˆ j ˆ 5a = 15i + 10 ˆ − 20k ˆ j ˆEjercicio Propuesto:Dados los vectores: A = 3iˆ − 2 ˆ + 2k j ˆ B = 4iˆ + 3k ˆ C = iˆ + 4 ˆ − 5k j ˆHallar: a) S = A + 2( B + C ) b) la magnitud y dirección de C ˆ c) Un vector unitario en la dirección de B d) Un vector opuesto a A e) Representar el vector C
    • 22 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico e) Resta de vectores en el plano y en el espacioSean los siguientes vectores, A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k j ˆ B = Bx iˆ + By ˆ + Bz k j ˆRealizando la resta R = A − B se tiene R = A− B R = ( Ax − Bx )iˆ + ( Ay − By ) ˆ + ( Az − Bz )k j ˆ Rx = ( Ax − Bx ) : resta de las componentes en la dirección del eje X Ry = ( Ay − By ) : resta de las componentes en la dirección del eje Y Rz = ( Az − Bz ) : resta de las componentes en la dirección del eje Z R = Rx iˆ + Ry ˆ + Rz k : vector resultante j ˆEjercicio 1.12Dados los vectores: A = 2iˆ + 5 ˆ − 4k j ˆ B = −2iˆ + 3 ˆ + 5k j ˆ C = −2iˆ − 6 ˆ jHallar: a) R = 1 2 {A − 3( B − C )} b) Demuestre que (C − B) = −( B − C ) c) la magnitud y dirección de C d) Un vector unitario en la dirección de A e) A + B + C + D = 0 Hallar DSolución:(a) B = −2i + 3 ˆ + 5k ˆ j ˆ C = −2iˆ − 6 ˆ + 0k j ˆ ( B − C ) = 0i + 9 ˆ + 5k ˆ j ˆ 3( B − C ) = 0i + 27 ˆ + 15k ˆ j ˆ A = 2iˆ + 5 ˆ − 4k j ˆ − 3( B − C ) = 0i − 27 ˆ − 15k ˆ j ˆ A − 3( B − C ) = 2iˆ − 22 ˆ − 19k j ˆ
    • 23 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico R= 1 2 {A − 3( B − C )}= 2 iˆ − 22 ˆj − 19 kˆ 2 2 2 R = i − 11 ˆ − 9.5k ˆ j ˆ(b) Demuestre que (C − B) = −( B − C ) ( B − C ) = 0i + 9 ˆ + 5k ˆ j ˆ − ( B − C ) = 0i − 9 ˆ − 5k ˆ j ˆ C = −2iˆ − 6 ˆ + 0k j ˆ B = −2iˆ + 3 ˆ + 5k j ˆ (C − B) = 0i − 9 ˆ − 5k ˆ j ˆ(c) C = −2iˆ − 6 ˆ + 0k j ˆ C = + (−2) 2 + (−6) 2 C = 6.32dirección para un vector en dos dimensiones: Cy −6tan θ = ⇒ tan θ = ⇒ θ = 71.5° Cx −2Respuesta: C : 6.32,θ = 71.5° ( en coordenadas polares )(d) A = 2iˆ + 5 ˆ − 4k j ˆ ˆ A A A A ˆ A = = x iˆ + y ˆ + z k j A A A A A = Ax + Ay + Az 2 2 2 A = (2) 2 + (5) 2 + (−4) 2 A = 6.7 2 ˆ 5 ˆ −4 ˆ A= ˆ i+ j+ k 6.7 6.7 6.7 A = 0.30iˆ + 0.74 ˆ − 0.60k ˆ j ˆ : vector unitario en la dirección de A(e) A + B + C + D = 0 Hallar D A = 2iˆ + 5 ˆ − 4k j ˆ B = −2iˆ + 3 ˆ + 5k j ˆ C = −2iˆ − 6 ˆ + 0k j ˆA + B + C = −2i + 2 ˆ + k ˆ j ˆ D = −( A + B + C )
    • 24 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico D = −(−2iˆ + 2 ˆ + k) j ˆ D = 2iˆ − 2 ˆ − k j ˆEjercicio Propuesto:Dados los vectores: a = 3i + 2 ˆ − 4k ˆ j ˆ b = −2iˆ + ˆ + 5k j ˆ c = −iˆ − 6 ˆ jHallar: { a) S = 1 a − 3(b − c ) 2 } b) la magnitud y dirección de c b) Un vector unitario en la dirección de b c) a + b + c + d = 0 Hallar d d) Un vector opuesto a a e) Representar el vector c2) MULTIPLICACIÓN DE VECTORESDefiniremos tres clases de operaciones de multiplicación por vectores: 1- Multiplicación de un vector por un escalar 2- Multiplicación de dos vectores para dar por resultado un escalar (PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO) 3- Multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector (PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ) a) Multiplicación de un vector por un escalarSea A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k j ˆ : un vector dado m : un escalarSe define el producto del escalar (m) por el vector A como el vector mA = mA iˆ + mA ˆ + mA k x j y ˆ ztal que : m>0 mA : tiene la dirección y sentido de A m<0 mA : es de sentido opuesto a A m=0 mA = 0 : el resultado es el vector nulosu magnitud es mA = m AEjemplo: A = 2iˆ − 3 ˆ + k y m= 4 j ˆPor lo tanto 4 A = (4)2i − (4)3 ˆ + (4)k = 8i − 12 ˆ + 4k ˆ j ˆ ˆ j ˆ
    • 25 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico b) Multiplicación de dos vectores para dar por resultado un escalar (PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO)El producto escalar de dos vectores A y B , denotado por A⋅ B ( léase A punto B ) sedefine como el producto de las magnitudes de A y B por el coseno del ángulo entre ellos.Simbólicamente, A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π Recuerde que elObserve que A⋅ B es un escalar y no un vector. resultado de A⋅ B es un numero no un vectorConmutatividad del producto escalarDe la definición del producto escalar se tiene A⋅ B = AB cos θ = BA cos θ = B⋅ ARepresentación geométrica del producto escalarGeométricamente el producto escalar es la magnitud de un vector por la proyección del otrosobre él, así A : magnitud del vector A B cos θ : proyección del vector B sobre el vector A B θ A B cos θProducto escalar en componentes cartesianasAplicando la definición del producto escalar a las unidades vectoriales cartesianas, se tiene z iˆ ⋅ iˆ = iˆ iˆ cos 0° = 1 iˆ ⋅ ˆ = iˆ ˆ cos 90° = 0 j j ˆ kDe esta manera tenemos los resultados ˆ j y iˆ ⋅ iˆ = ˆ ⋅ ˆ = k ⋅ k = 1 j j ˆ ˆ iˆ iˆ ⋅ ˆ = iˆ ⋅ k = ˆ ⋅ k = 0 j ˆ j ˆ xEstos resultados se aplican a la multiplicación de vectores expresados en componentesrectangulares o cartesianas
    • 26 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoSean los vectores A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k j ˆ B = B iˆ + B ˆ + B k x jy ˆ zMultiplicando ambos vectores termino a termino, obtenemos:A⋅ B = ( Axiˆ + Ay ˆ + Az k) ⋅ ( Bx iˆ + By ˆ + Bz k ) j ˆ j ˆ= Ax i ⋅ Bxi + Ax i ⋅ By ˆ + Ax i ⋅ Bz k + Ay ˆ ⋅ Bx i + Ay ˆ ⋅ By ˆ + Ay ˆ ⋅ Bz k + Az k ⋅ Bxi + Az k ⋅ By ˆ + Az k ⋅ Bz k ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ j ˆ j j j ˆ ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ= Ax Bxi ⋅ i + Ax By i ⋅ ˆ + Ax Bz i ⋅ k + Ay Bx ˆ ⋅ i + Ay By ˆ ⋅ ˆ + Ay Bz ˆ ⋅ k + Az Bx k ⋅ i + Az By k ⋅ ˆ + Az Bz k ⋅ k ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ j ˆ j j j ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ= Ax Bx i ⋅ i + Ay By ˆ ⋅ ˆ + Az Bz k ⋅ k ˆ ˆ j j ˆ ˆA⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz : producto escalar en términos de las componentesRelacionando la definición de producto escalar con el resultado anterior, tenemos A⋅ B = AB cos θ A⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz ABcos θ = Ax Bx + Ay By + Az BzPor lo tanto Ax Bx + Ay By + Az Bz cos θ = : ángulo entre los vectores A y B ABPropiedades del Producto Escalar1-El resultado de un producto escalar es un número.2-El producto escalar satisface la propiedad conmutativa A⋅ B = B ⋅ A3-El producto escalar satisface la propiedad distributiva respecto a la suma A⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C4-Si θ = 0° el producto escalar de vectores paralelos es A⋅ B = AB cos 0° = AB ⇒ es el máximo5-El producto escalar de dos vectores iguales es A⋅ A = AA cos 0° = AA = A26-Si θ = 90° el producto escalar de vectores perpendiculares diferentes de cero es A⋅ B = AB cos 90° = 07-Si θ = 180° el producto escalar de vectores opuestos es A⋅ B = AB cos 180° = -AB ⇒ es un número negativo
    • 27 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoEjercicio 1.13Sean dos vectores de 35 y 75 unidades respectivamente que forman entre sí un ángulo de34°. Calcular su producto escalar.Solución: A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π A⋅ B = (35)(75) cos 34° A⋅ B = 2176.2Ejercicio 1.14Calcular el producto escalar de dos vectores de 5 y 12 unidades respectivamente si son: a) consecutivos colineales b) opuestos c) perpendiculares d) Obtenga el producto escalar de un vector consigo mismoSolución:(a) A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π A⋅ B = (5)(12) cos 0° A⋅ B = 60(b) A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π A⋅ B = (5)(12) cos 180° A⋅ B = −60(c) A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π A⋅ B = (5)(12) cos 90° A⋅ B = 0(d) A⋅ A = AA cos θ 0≤θ≤π A⋅ A = (5)(5) cos 0° A⋅ A = 25Ejercicio 1.15Sean los vectores: a = 3i + 2 ˆ − 4k ˆ j ˆ b = −2iˆ + ˆ + 5k j ˆ c = −iˆ − 6 ˆ jHallar:a) a ⋅ b = ¿Son los vectores perpendiculares?b) Calcular el ángulo entre a y bc) 3(a ⋅ b ) =
    • 28 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Dos vectores sond) S = 1 3 {a ⋅ 2(b + c )} perpendiculares siSolución: a ⋅ b = 0 ¿Por que?(a) a ⋅ b = ab cos θ 0≤θ≤π a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz a ⋅ b = (3) ⋅ (−2) + (2) ⋅ (1) + (−4) ⋅ (5) a ⋅ b = −24∴ los vectores no son perpendiculares, pues, el producto escalar no es igual a cero.(b) a x bx + a y b y + a z bz cos θ = : ángulo entre los vectores a y b ab a = ax + ay + az 2 2 2 a = (3) 2 + (2) 2 + (−4) 2 a = 5.4 b = bx + b y + bz2 2 2 b = (−2) 2 + (1) 2 + (5) 2 b = 5. 5 − 24 cosθ = (5.4)(5.5) θ = 143.9° : ángulo entre los vectores a y b(c) 3(a ⋅ b ) = 3(-24) 3(a ⋅ b ) = -72(d) S= 1 3 {a ⋅ 2(b + c )} b = −2iˆ + ˆ + 5k j ˆ c = −iˆ − 6 ˆ + 0k j ˆ (b + c ) = −3i − 5 ˆ + 5k ˆ j ˆ 2(b + c ) = −6i − 10 ˆ + 10k ˆ j ˆ a = 3i + 2 ˆ − 4k ˆ j ˆ a ⋅ 2(b + c ) = (−6)(3) + (−10)(2) + (10)(−4) a ⋅ 2(b + c ) = −78 { } S = 1 a ⋅ 2(b + c ) = 1 (−78) 3 3 S = −26
    • 29 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoEjercicio Propuesto:1.Dados los vectores A : 6 u 60° B : 9 u 225°Hallar:A⋅ B = ? y el ángulo entre los vectores2.Haciendo uso del producto escalar obtener la relación conocida con el nombre de teoremade los cosenos. c) Multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector (PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ)El producto vectorial de A y B es un vector C = A× B ( léase A cruz B ). La magnitudde A× B se define como el producto de las magnitudes de A y B por el seno del ánguloentre ellos. La dirección del vector C = A× B es perpendicular al plano formado por A yB de modo que A , B y C forman un sistema derecho. Así A× B = AB sen θ u ˆ 0≤θ≤πdonde u es un vector unitario que indica la dirección de A× B .La magnitud del producto ˆvectorial esta dada por A× B = AB sen θ .Anticonmutatividad del producto vectorialTenemos que A× B ≠ B × Apues A× B = uAB sen θ ˆ B × A = −uBAsen θ ˆ ⇒ A× B = − B × A Esto es conocido como “la regla de la mano derecha”
    • 30 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoRepresentación geométrica del producto vectorialLa magnitud del producto vectorial geométricamente se representa como la magnitud delvector A por la componente del vector B perpendicular al vector A .Lo que es igual alárea del paralelogramo formado por los dos vectores. B B sen θ A× B = A(B sen θ ) θ AProducto vectorial de unidades cartesianasAplicando la definición del producto vectorial a las unidades vectoriales cartesianas, setiene z iˆ × iˆ = iˆ iˆ sen 0° = 0 iˆ × ˆ = iˆ ˆ sen 90° k = k j j ˆ ˆ ˆ kDe esta manera tenemos los resultados ˆ j y iˆ × iˆ = ˆ × ˆ = k × k = 0 j j ˆ ˆ iˆ iˆ × ˆ = k , ˆ × k = iˆ , k × iˆ = ˆ j ˆ j ˆ ˆ j x iˆ × k = − ˆ , k × ˆ = −iˆ , ˆ × iˆ = −k ˆ j ˆ j j ˆRegla nemotécnica iˆ ˆ k ˆ jProducto vectorial en componentes cartesianasEstos resultados se aplican a la multiplicación de vectores expresados en componentesrectangulares o cartesianasSean los vectores A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k j ˆ B = B iˆ + B ˆ + B k x j y ˆ zMultiplicando termino a termino, obtenemosA× B = ( Ax iˆ + Ay ˆ + Az k) × ( Bxiˆ + By ˆ + Bz k) j ˆ j ˆ= Ax i × Bx i + Axi × By ˆ + Ax i × Bz k + Ay ˆ × Bx i + Ay ˆ × By ˆ + Ay ˆ × Bz k + Az k × Bxi + Az k × By ˆ + Az k × Bz k ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ j ˆ j j j ˆ ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ= Ax Bxi × i + Ax By i × ˆ + Ax Bz i × k + Ay Bx ˆ × i + Ay By ˆ × ˆ + Ay Bz ˆ × k + Az Bx k × i + Az By k × ˆ + Az Bz k × k ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ j ˆ j j j ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ
    • 31 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico= Ax By i × ˆ + Ax Bz i × k + Ay Bx ˆ × i + Ay Bz ˆ × k + Az Bx k × i + Az By k × ˆ ˆ j ˆ ˆ j ˆ j ˆ ˆ ˆ j= Ax By k + Ax Bz (− ˆ) + Ay Bx (−k) + Ay Bz i + Az Bx ˆ + Az By (−i ) ˆ j ˆ ˆ j ˆA× B = ( Ay Bz − Az By )iˆ + ( Az Bx − Ax Bz ) ˆ + ( Ax By − Ay Bx )k j ˆ : producto vectorial en términos de las componentes rectangulares.Como este procedimiento resulta tedioso se puede utilizar el operador determinante querealiza esta misma operación.Sean los vectores A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k j ˆ B = B iˆ + B ˆ + B k x j y ˆ z iˆ ˆ j kˆA× B = Ax Ay Az = ( Ay Bz − By Az )iˆ − ( Ax Bz − Bx Az ) ˆ + ( Ax By − Bx Ay )k j ˆ Bx By BzTomando la magnitud del producto vectorial podemos encontrar el ángulo entre losvectores. A× B = AB sen θ 0≤θ≤π A× B⇒ senθ = : ángulo entre los vectores A y B ABPropiedades del Producto Vectorial1-El resultado de un producto vectorial es un vector.2-El producto vectorial no es conmutativa A× B = − B × A3-El producto vectorial satisface la propiedad distributiva respecto a la suma A× ( B + C ) = A× B + A× C4-Si θ = 0° el producto vectorial de vectores paralelos es A× B = AB sen 0° u = 0 ˆ5-El producto vectorial de dos vectores iguales es A× A = AA sen 0° u = 0 ˆ6-Si θ = 90° el producto vectorial de vectores perpendiculares diferentes de cero es A× B = AB sen 90° u = ABu ˆ ˆ7-Si θ = 180° el producto vectorial de vectores opuestos es A× B = AB sen 180° u = 0ˆ
    • 32 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoEjercicio 1.16Dados los vectores:. A = 4iˆ − 2 ˆ − k j ˆ B = 2iˆ + 3 ˆ + 5k j ˆ C = −iˆ − 6 ˆ jHallar:a) A× B = ¿Son los vectores perpendiculares o paralelos?b) Calcular el ángulo entre A y Bc) A⋅ ( B × C ) =d) A× ( B × C ) =Solución:(a) iˆ ˆ j ˆ kA× B = 4 − 2 − 1 = (−2 ⋅ 5 − 3 ⋅ −1)iˆ − (4 ⋅ 5 − 2 ⋅ −1) ˆ + (4 ⋅ 3 − 2 ⋅ −2)k j ˆ 2 3 5 Dos vectores son paralelos siA× B = (−10 − −3)iˆ − (20 − −2) ˆ + (12 − −4)k j ˆ a × b = 0 ¿Por que?A× B = −7iˆ − 22 ˆ + 16k j ˆLos vectores no son paralelos, pues, A× B ≠ 0 .Para saber si son perpendiculares calculamos el producto escalar. A⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz A⋅ B = (4) ⋅ (2) + (−2) ⋅ (3) + (−1) ⋅ (5) A⋅ B = −3∴ los vectores no son perpendiculares.(b) A× B = AB sen θ 0≤θ≤π A× B⇒ senθ = : ángulo entre los vectores A y B AB A = Ax + Ay + Az2 2 2 A = (4) 2 + (−2) 2 + (−1) 2 A = 4. 6 B = Bx + By + Bz2 2 2
    • 33 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico B = (2) 2 + (3) 2 + (5) 2 B = 6.1 A× B = (−7) + (−22) + (16) ¡Me parece que A× B = 28.1 esto se esta complicando! senθ = 28.0 A⋅ ( B × C ) = ? (4.6)(6.1) θ = 86.2°(c) A⋅ ( B × C ) = B = 2iˆ + 3 ˆ + 5k j ˆ C = −iˆ − 6 ˆ j iˆ ˆ j ˆ kB× C = 2 3 5 = (3 ⋅ 0 − −6 ⋅ 5)i − (2 ⋅ 0 − −1 ⋅ 5) ˆ + (2 ⋅ −6 − −1 ⋅ 3)k ˆ j ˆ −1 − 6 0 B × C = (0 − −30)iˆ − (0 − −5) ˆ + (−12 − −3)k j ˆ B × C = 30iˆ − 5 ˆ − 9k j ˆ A = 4iˆ − 2 ˆ − k j ˆ A⋅ ( B × C ) = (4)(30) + (−2)(−5) + (−1)(−9) A⋅ ( B × C ) = 139(d) A× ( B × C ) = B × C = 30iˆ − 5 ˆ − 9k j ˆ A = 4iˆ − 2 ˆ − k j ˆ iˆ ˆ j ˆ kA× ( B × C ) = 4 − 2 − 1 = (−2 ⋅ −9 − −5 ⋅ −1)i − (4 ⋅ −9 − 30 ⋅ −1) ˆ + (4 ⋅ −5 − 30 ⋅ −2)k ˆ j ˆ 30 − 5 − 9A× ( B × C ) = 13iˆ + 6 ˆ + 40k j ˆEjercicio 1.17Un estudiante afirma que ha encontrado un vector A tal que(2i − 3 ˆ + 4k) × A = (4i + 3 ˆ − k ) ˆ j ˆ ˆ j ˆ¿Cree usted que esto es cierto? Explique55 Serway . Física I Tomo I.Cuarta Edición. McGraw Hill. Pb.7,Cap11.
    • 34 VECTORES. Iván Vargas Blanco, FísicoSolución:Sabemos que el vector resultante de un producto vectorial es perpendicular al plano quecontiene a los vectores, por lo tanto si realizamos un producto escalar entre el vector2i − 3 ˆ + 4k y el vector 4i + 3 ˆ − k , debe ser igual a cero pues son perpendiculares. ˆ j ˆ ˆ j ˆ a ⋅ b = ab cos θ 0≤θ≤π a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz a ⋅ b = (2) ⋅ (4) + (−3) ⋅ (3) + (4) ⋅ (−1) a ⋅ b = −5 ∴ El vector 2i − 3 ˆ + 4k y el vector resultante 4i + 3 ˆ − k , no son perpendiculares lo ˆ j ˆ ˆ j ˆ que nos dice que esto no es cierto.Ejercicio Propuesto:1.Sean los vectores: a = 3i + 2 ˆ − 4k ˆ j ˆ b = −2iˆ + ˆ + 5k j ˆ c = −iˆ − 6 ˆ jHallar:a) a × b = ¿Son los vectores perpendiculares?b) Calcular el ángulo entre a y bb) 3(a × b ) =c) S = 1 3 {a × 2(b + c )}2.Dados los vectores A : 6 u 60° B : 9 u 225°Hallar:a) A× B = ? y el ángulo entre los vectoresREFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS[1] Spiegel, M.,. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias,. McGraw-Hill, México, 2001.[2] Gonzalez, F. Principios de Mecánica, Oficina de Publicaciones de la Universidad de Costa Rica, Costa Rica, 1999.[3] Resnick, R., Halliday, D., Krane, K., Física Vol.1, Tercera edición, Compañía Editorial Continental,S.A. de C.V., México, 1978.
    • 35 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico[4] Sears F., Zemansky M., Freedman R. Física Universitaría, Novena edición.Pearson Educación. México. 1999.[5] Calderon, A., Física para Bachillerato, Segunda edición ampliada, Costa Rica,. 1989.[6] Wilson, J., Física, Segunda edición , Prentice Hall Hispanoamericana, S.A, México,. 1996.[7] Lea, J., Burke, J., Física: La Naturaleza de las Cosas, International Thomson Editores, México,. 1999.[8] Giancoli, D., Física: Principios con Aplicaciones, Prentice Hall Hispanoamericana, S.A, México,. 1997.