Ukuran variasi atau dispersi (penyebaran)

23,634 views

Published on

yang perlu materi statistika

Published in: Self Improvement, Technology
3 Comments
6 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
23,634
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
907
Comments
3
Likes
6
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Ukuran variasi atau dispersi (penyebaran)

  1. 1. UKURAN VARIASIATAU DISPERSI(PENYEBARAN) Almuntofa Purwantoro, ST., MT.
  2. 2. Ukuran-ukuran Statistik 1. Ukuran Tendensi Sentral (Central tendency measurement):  Rata-rata (mean)  Nilai tengah (median)  ModusAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. 2. Ukuran Lokasi (Location measurement):  Persentil (Percentiles)  Kuartil (Quartiles)  Desil (Deciles)
  3. 3. 3. Ukuran Dispersi/Persebaran (Dispersion measurement):  Jarak (Range)  Ragam/Varian (Variance)  Simpangan Baku (Standard deviation)  Rata-rata deviasi (Mean deviation)Almuntofa Purwantoro, ST., MT.
  4. 4. Ukuran Dispersi  Penyebaran adalah perserakan data individual terhadap nilai rata-rata.  Data homogen (tidak bervariasi) memiliki penyebaran (dispersi) yang kecil, sedangkanAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. data yang heterogen (sangat bervariasi) memiliki penyebaran yang besar. Pengukuran Dispersi Adalah Metode Untuk Menggambarkan Bagaimana Suatu Kelompok Data Menyebar Terhadap Pusat Data
  5. 5. Mengapa mempelajari Dispersi  Untuk mengukur Tendensi Sentral (mean, median dan modus) yang hanya menitikberatkan pada pusat data, tapi tidak memberikan informasi tentang sebaran nilaiAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. data tersebut.  Untuk membandingkan sebaran data dari dua atau lebih distribusi data.
  6. 6. Berdasarkan besar kecilnya penyebaran, kelompok data dibagi menjadi dua, yaitu : • Kelompok data homogen  Penyebaran relatif kecil  Jika seluruh data sama, maka disebutAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. kelompok data homogen 100%. • Kelompok data heterogen  Penyebarannya relatif besar.
  7. 7. Homogen dan Heterogen Data I. 50, 50, 50, 50, 50 Homogen II. 30, 40, 50, 60, 70 Agak bervariasi III. 10, 20, 40, 80, 100 Heterogen Ketiga kelompok data mempunyai rata-rataAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. hitung yang sama, yaitu : X 50
  8. 8. Kegunaan Pengukuran Dispersi  Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk menentukan apakah nilai rata-ratanya benar-benar representatif atau tidak. Apabila suatu kelompok data mempunyai penyebaran yang tidak sama terhadap nilai rata-ratanya (heterogen), maka dikatakan bahwa nilai rata-rata tersebut tidak representatif.Almuntofa Purwantoro, ST., MT.  Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk mengadakan perbandingan terhadap variabilitas data.  Ukuran penyebaran dapat membantu penggunaan ukuran statistika, misalnya dalam pengujian hipotesis, apakah dua sampel berasal dari populasi yang sama atau tidak.
  9. 9. Macam-macam Pengukuran Dispersi 1. Dispersi absolut / mutlak Digunakan untuk mengetahui tingkat variasi nilai observasi pada suatu data.  Nilai Jarak (Range)  Rata-rata Simpangan /Deviasi Rata-rata (Mean Deviation)Almuntofa Purwantoro, ST., MT.  Variasi (Variance)  Simpangan Baku (Standard Deviation) 2. Dispersi relatif Digunakan untuk membandingkan tingkat variasi nilai observasi pada suatu data dengan tingkat variasi nilai observasi data-data lainnya.  Koefisien Variasi (Coeficient of Variation)
  10. 10. Nilai Jarak/Jangkauan (Range)  Merupakan beda antara pengukuran nilai terbesar dan nilai terkecil yang terdapat dalam sebuah distribusi.Almuntofa Purwantoro, ST., MT.  Penentuan range sebuah distribusi merupakan pengukuran dispersi yang paling sederhana.
  11. 11. Contoh 1: A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 X = 55 B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10 R = 100 – 10 = 90 C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10Almuntofa Purwantoro, ST., MT. Rata-rata
  12. 12. 1. Rentang (R) Nilai Jarak: Selisih antara nilai tertinggi (Xt) dan terendah (Xr) dalam suatu distribusi data. Sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim. Rumus : R = Xt - Xr 2. Rentang antar kuartil (RAK) :Almuntofa Purwantoro, ST., MT. Median didefinisikan sebagai nilai yang membagi seluruh rentang nilai menjadi dua bagian yang sama. Kuartil didefinisikan sebagai nilai yang membagi seluruh rentang nilai menjadi empat bagian yang sama.
  13. 13.  Nilai Range (r) kecil, Berarti bahwa suatu Distribusi memiliki rangkaian Data yang lebih Homogen  Semakin kecil nilai r maka kualitas data akanAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai r, maka kualitasnya semakin tidak baik.
  14. 14. Contoh 2: TOKO KEUNTUNGAN Dari data tabel di samping rata-rata keuntungan: (Rp) A 4000 4.000 5.000 6.000 5.000 4.000 6.000 5.500 4.500 X B 5000 8 C 6000 X 5.000 D 5000 E 4000 Variasi Relatif Kecil (Homogen)Almuntofa Purwantoro, ST., MT. 7000 F 6000 6000 G 5500 5000 H 4500 4000 3000 2000 1000 0 A B C D E F G H KEUNTUNGAN
  15. 15. Contoh 3: TOKO KEUNTUNGAN Dari data tabel di samping rata-rata keuntungan: (Rp) A 1000 1.000 9.000 5.000 4.000 6.000 5.000 9.500 5.000 X B 9000 8 C 5000 X 5.000 D 4000 E 6000 Variasi Relatif Besar (Heterogen)Almuntofa Purwantoro, ST., MT. F 5000 10000 G 9500 8000 H 5000 6000 4000 2000 0 A B C D E F G H KEUNTUNGAN
  16. 16. Perbandingan  Kedua Contoh tersebut di atas memiliki nilai Rata-rata sama = 5.000  Tetapi kedua Toko tersebut memiliki Perbedaan dalam penyebarannyaAlmuntofa Purwantoro, ST., MT.  Contoh (2) Range = Kecil = 6.000-4.000 = 2.000 (Homogen)  Contoh (3) Range = Besar = 9.500 – 1.000 = 8.500 (Heterogen)
  17. 17. Deviasi Rata-rata (mean deviation /Average Deviation)  Merupakan penyebaran Data atau Angka- angka atas dasar Jarak (Deviasi) dari pelbagai Angka-angka dari Rata-rata nya.Almuntofa Purwantoro, ST., MT. Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi rata-rata
  18. 18. Data tidak berkelompok n n Xi X Xi i 1 atau i 1 MD MD n n Keterangan :Almuntofa Purwantoro, ST., MT.  MD = Mean Deviation  │ │= Tanda Nilai Absolut (Nilai Mutlak)  Xi = Nilai dari data  W = Menunjukkan Nilai dari X1 sampai dg Xn n i 1  n = Jumlah data  µ/ X = Nilai rata-rata (mean)
  19. 19. Kelompok A Kelompok B Nilai X X-X |X – X| Nilai X X-X |X – X| 100 45 45 100 45 45 90 35 35 100 45 45 80 25 25 100 45 45 Rata-rata 70 15 15 90 35 35 60 5 5 80 25 25 50 -5 5 30 -25 25 40 -15 15 20 -35 35 30 -25 25 10 -45 45 20 -35 35 10 -45 45Almuntofa Purwantoro, ST., MT. 10 -45 45 10 -45 45 Jumlah 0 250 Jumlah 0 390 Rata-rata 250 390 MD 25 MD 39 10 10
  20. 20. Contoh 1: TOKO KEUNTUNGAN Keuntungan yang diperoleh 5 (Rp) Toko tersebut adalah: A 4.000 B 5.000 Xi X ( Xi X ) C 6.000 4.000 5.000 1.000 D 5.000 5.000 5.000 0Almuntofa Purwantoro, ST., MT. E 5.000 6.000 5.000 1.000 RATA-RATA 5.000 5.000 5.000 0 5.000 5.000 0 TOTAL 2.000 n Xi X i 1 2.000 MD 400 n 5
  21. 21. Data berkelompok F M X FM MD atau MD n n Keterangan :Almuntofa Purwantoro, ST., MT.  MD = Mean Deviation  │ │ = Tanda Nilai Absolut (Nilai Mutlak)  F = Frekuensi pada masing-masing kelas  M = Mid point/titik tengah/class mark  n = Jumlah frekuensi (Ʃf)  X / µ = Nilai rata-rata (mean)
  22. 22. Contoh: M(Titik NILAI F(f) Tengah) F×M X M X F (M X 50 – 55 1 52,5 52,5 75,52 23,02 23,02 56 – 61 2 58,5 117 75,52 17,02 34,04 62 – 67 17 64,5 1.096,5 75,52 11,02 187,34 68 – 73 13 70,5 916,5 75,52 5,02 65,26 74 – 79 24 76,5 1.836 75,52 0,98 23,52 80 – 85Almuntofa Purwantoro, ST., MT. 9 82,5 742,5 75,52 6,98 62,82 86 – 91 7 88,5 619,5 75,52 12,98 90,86 92 – 97 7 94,5 661,5 75,52 18,98 132,86 Jumlah 80 6.042 619,82 FM X 619,82 MD 7,14 n 80
  23. 23. Cara menghitung MD 1. Carilah nilai Mid Point (M) / titik tengah pada masing-masing kelas. 2. Carilah Deviasi Mutlak (absolut) yaitu selisih antara Mid point dengan nilai rata-rata (M atau X ) M X 3. Kalikan hasil no.2 dengan masing-masingAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. frekuensi kelasnya. F ( M X 4. Jumlahkan masing-masing hasil no.3 F (M X 5. Bagilah hasil no.4 dengan n, maka akan diperoleh MD.
  24. 24. KERJAKAN SOALAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. BERIKUT CARI NILAI MD ….
  25. 25. M (Titik M X F (M X NILAI F(f) F×M X Tengah) 1-5 1 6-10 2 11-15 16Almuntofa Purwantoro, ST., MT. 16-20 13 21-25 12 26-30 3
  26. 26. Variasi (Variance)  Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.  Data tidak berkelompok: Populasi Variance N 2 X-Almuntofa Purwantoro, ST., MT. 2 i 1 N Sampel Variance n 2 1 n 2 n Xi S 2 Xi X 1 2 i 1 n 1 atau S2 Xi i 1 n 1 i 1 n
  27. 27.  Data berkelompok: Populasi Variance σ2 = Varians populasi k S2 = Varians sampel 2 fi M i (Xi-µ) = Simpangan dari 2 i 1 observasi N terhadap rata- rata sebenarnya. X i X = Simpangan dari Sampel VarianceAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. observasi k 2 terhadap rata- fi X i X rata sampel S2 i 1 N = Populasi n 1 n = Sampel
  28. 28. Simpangan Baku/Standar Deviasi  Merupakan akar pangkat dua dari variasi.  Untuk data tidak berkelompok: Populasi Standar Deviasi: N 2 N 2 X- N Xi i 1 1 2 i 1 atau XiAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. N N i 1 N
  29. 29. Sampel Standar Deviasi: Rumus I n 2 n 2 Xi - X n Xi i 1 1 2 i 1 S atau S Xi n n i 1 nAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. Rumus II n 2 n 2 Xi - X n Xi i 1 1 2 i 1 S atau S Xi n 1 n 1 i 1 n
  30. 30.  Untuk data berkelompok: Populasi Standar Deviasi: k 2 fi M i - μ i 1 NAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. Mi = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2, …. k atau
  31. 31. Untuk Kelas Interval yang sama 2 c = Besarnya kelas k k 2 interval fi di fi di fi = Frekuensi kelas ke-i i 1 i 1 di = deviasi c N N simpangan dari kelas ke-i terhadap titik asal asumsi Mi = nilai tengah kelasAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. ke-i Untuk Kelas Interval yang tidak sama k 2 k fi M i 1 2 i 1 fi M i N i 1 N
  32. 32. Sampel Standar Deviasi: Untuk Kelas yang sama k k 2 2 fi di fi di i 1 i 1 S c n 1 n 1Almuntofa Purwantoro, ST., MT. Untuk Kelas Interval yang tidak sama k 2 k fi M i 1 2 i 1 S fi M i n 1 i 1 n 1
  33. 33. Contoh : Cari nilai varians dan standar deviasi dari sampel data dari tabel berikut: Data 40Almuntofa Purwantoro, ST., MT. 50 60 70 80
  34. 34. Jawaban: Rata-rata data 2 X X-X X-X X2 40 -20 400 1.600 50 -10 100 2.500 60 0 0 3.600 70 10 100 4.900Almuntofa Purwantoro, ST., MT. 80 20 400 6.400 1.000 19.000 Varians: Standar variasi:
  35. 35. atau Varians: 2 2 X-X f X-XAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. Standar variasi:
  36. 36. Almuntofa Purwantoro, ST., MT.
  37. 37. Soal 1: Hitunglah Simpangan Baku/Standar Deviasi dari data berikut: Kel. Karyawan Kel. Karyawan Kel. Karyawan I II III X1 50 50 100Almuntofa Purwantoro, ST., MT. X2 50 40 40 X3 50 30 80 X4 50 60 20 X5 50 70 10 X: upah bulanan karyawan suatu perusahaan (dalam ribuan rupiah)
  38. 38. Soal 2: Modal dari 40 populasi perusahaan (dlm juta rupiah) adalah sebagai berikut: 138 164 150 132 144 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165Almuntofa Purwantoro, ST., MT. 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128 Kemudian data dikelompokkan dan disajikan dalam bentuk tabel frekuensi. Hitunglah standar deviasi terhadap data tersebut?
  39. 39. Jawaban 2: Tabel frekuensi: Nilai Tengah Modal Sistem Tally f (Median) 118 – 126 127 – 135Almuntofa Purwantoro, ST., MT. 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 – 171 172 – 180 Jumlah
  40. 40. Keruncingan distribusi data  Keruncingan distribusi data adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Keruncingan distribusi data disebut juga kurtosis.  Ada 3 jenis derajat derajat keruncingan yaitu - Leptokurtis : distribusi data yang puncaknyaAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. relatif tinggi - Mesokurtis : distribusi data yang puncaknya normal - Platikurtis : distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu mendatar
  41. 41. Skewness / Kemiringan distribusidata Kurva Sim e tris Kurva Condong Positif Kurva Condong Negatif Mo Md X
  42. 42. POSITIF CONDONG KEKANAN (Juling Pos)Almuntofa Purwantoro, ST., MT. + Mo Med Mean
  43. 43. NEGATIF CONDONG KEKIRI (Juling Neg)FREKUEN -SI Mean Mo NILAI Med
  44. 44. Rumus Kemiringan : Dengan rumus pearson X - Mod 3 X - Med atau S S Dimana :Almuntofa Purwantoro, ST., MT. α = derajat kemiringan pearson X = rata – rata hitung Mod = modus S = standar deviasi Med = median
  45. 45. Bila α= 0 atau mendekati nol maka dikatakan distribusi data simetris, bila α bertanda negatif maka dikatakan distribusi data miring kekiri, dan bila α bertanda positif maka dikatakan distribusi data miring ke kanan. Data tidak berkelompok n 1 3 (Xi X )3Almuntofa Purwantoro, ST., MT. n.S3 i 1 dimana α3 = derajat kemiringan X = rata-rata hitung S = standar deviasi n = Σf
  46. 46. Data Berkelompok k c3 1 3 1 k 2 1 k 1 k 3 f i di 3( f i di )( f i di ) 2( f i di )3 S3 n i 1 ni 1 n i 1 n i 1 Jika α3 = 0, maka distribusi data simetri Jika α3 < 0, maka distribusi data miring ke kiri Jika α3 > 0, maka distribusi data miring ke kananAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. Dengan rumus bowley α = Q3 + Q1 – Q2 Q3 – Q1 Jika distribusinya simetri, maka Q3 – Q2 = Q2 – Q1 sehingga Q3 + Q1 – 2Q2 = 0, yang mengakibatkan α = 0. sebaliknya jika distribusinya miring, maka ada dua kemungkinan, yaitu Q1 = Q2, atau Q2 = Q3. dalam hal Q1 = Q2 maka α = 1 dan dalam hal Q2 = Q3, maka α = -1
  47. 47. KURTOSIS (KELANCIPAN) Leptokurtis f MesokurtisAlmuntofa Purwantoro, ST., MT. Platikurtis SIMETRIS MEAN = MEDIAN = MODUS
  48. 48. Rumus Keruncingan Data tidak berkelompok: n 1 (Xi X )4 n i 1 4 S4 Data berkelompok: n 1 fi ( X i X )4Almuntofa Purwantoro, ST., MT. n i 1 4 S4 derajat keruncingan lebih mudah dihitung dengan memakai cara transformasi, yaitu ; Jika α4 = 3, maka keruncingan distribusi data disebut mesokurtis Jika α4 > 3, maka keruncingan distribusi data disebut leptokurtis Jika α4 < 3, maka keruncingan distribusi data disebut platikurtis

×