Función trigonométrica

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Función trigonométrica

  1. 1. Función trigonométricaEn matemáticas, Las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición delas razones trigonométricas a todos los números reales.Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica,telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a unacircunferencia de radio unidad de centro O. Conceptos básicosLas Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectánguloasociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de
  2. 2. razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuacionesdiferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primerasfunciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueroncomunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1− cos θ) y la exsecante (sec θ − 1). Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)Seno sin (sen)Coseno cosTangente tanCotangente ctg (cot)Secante secCosecante csc (cosec)Definiciones respecto de un triángulo rectángulo
  3. 3. Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrarioque contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:  La hipotenusa (h´´) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.  El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo α.  El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo α.Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos esigual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentranentre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funcionestrigonométricas para ángulos dentro de ese rango:1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
  4. 4. El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismoángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
  5. 5. Funciones trigonométricas de ángulos notables 0° 30° 45° 60° 90°sen 0 1cos 1 0tan 0 1Definición para un número real cualquieraNo es posible utilizar la definición dada anteriormente del seno o el coseno de α para valores de α menores o igualesa 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulosmida α radianes. Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizaráentonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán lasfunciones trigonométricas seno y coseno como la abscisa y la ordenada, respectivamente, de un punto Pperteneciente a la misma, siendo α el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une elorigen con P.Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valoresobtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razóntrigonométrica. Si el valor de x esta fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x siendo k unnúmero entero y x un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x,
  6. 6. ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x, y por lo tanto, las coordenadas del punto P seránlas mismas en ambos casos.Representación gráficaDefiniciones analíticasLa definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando lageometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivadadel coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidosen radianes.)
  7. 7. El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen lasfunciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, asaber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno.Series de potenciasA partir de las definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuyaserie de Maclaurin viene dada por:Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizancomo el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (porejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la
  8. 8. base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidady continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por si misma.Relación con la exponencial complejaExiste una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas:Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en lasección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresiónanterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:A partir de ecuaciones diferencialesLas funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional dedos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,  la función seno es la única solución que satisface la condición inicial y  la función coseno es la única solución que satisface la condición inicial .
  9. 9. Dado que las funciones seno y coseno son linearmente independientes, juntas pueden formar la base de V. Estemétodo para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Ademásesta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probarlas identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones eigen del operador dela segunda derivada.La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no linealsatisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisfaceesta ecuación diferencial.Funciones trigonométricas inversasLas tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:  Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.La función arcoseno real es una función , es decir, no está definida para cualquier número real.Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:
  10. 10.  Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:  Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma deserie es:Generalizaciones
  11. 11.  Las funciones hiperbólicas son el análogo de las funciones trigonométricas para una hipérbola equilatera. Además el seno y coseno de un número imaginario puro puede expresarse en términos de funciones hiperbólicas.  Las funciones elípticas son una generalización biperiódica de las funciones trigonométricas que en el plano complejo sólo son periódicas sobre el eje real. En particular las funciones trigonométricas son el límite de las funciones elípticas de Jacobi cuando el parámetro del que dependen tiende a cero.HistoriaArtículo principal: Historia de la trigonometríaEl estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos detrigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.El primer uso de la función seno (sin(·)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Lasfunciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550),Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abul-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi,Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste,Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció eltratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas enlas llamadas "Fórmulas de Euler".La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguióa la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquiertriángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble delarga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.
  12. 12. Serie de Taylor(Redirigido desde Serie de Maclaurin)sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:
  13. 13. La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llamaanalítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función esanalítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinadosen la fórmula de la serie de Taylor.Si a = 0, a la serie se le llama serie de McLaurin.Esta representación tiene tres ventajas importantes:  La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.  Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
  14. 14.  Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente sepuede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) sepuede desarrollar como serie de Laurent.DefiniciónLa serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números realeso complejos a, es la serie de potencias:que puede ser escrito de una manera más compacta comodonde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y(x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.HistoriaEl filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó porconsiderarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a laparadoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a
  15. 15. través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar unresultado trigonométrico finito.1 Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.2En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.3A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugierenque él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno,coseno, tangente y arcotangente.En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presentó unaforma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quiénrecibe su nombre.Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de lasseries de Taylor en el siglo XVIII.Series de Maclaurin (Taylor alrededor de 0) notablesLa función coseno. Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.
  16. 16. Las dos imágenes de arriba puestas juntas.A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valorescomplejos de x.[editar] Función exponencial y logaritmo naturalSerie geométricaTeorema del binomio para y cualquier complejo
  17. 17. Teorema del binomioEn matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia de un binomio. Este teoremaestablece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como o ) seobtiene una tercera representación: El coeficiente de en el desarrollo de esdonde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjuntocon n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:
  18. 18. (2)Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda dela siguiente forma:Teorema generalizado del binomio (Newton)Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:(3)Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero),y los coeficientes están dados por:(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., noaparecen en ese caso).Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
  19. 19. La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos,en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.Coeficiente binomialPara aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como de forma sencilla:HistoriaAtribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karajialrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizólos conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Asíestuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, ya fuera diferenciación o bienpor integración.El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de estedescubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicasfinitas.Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton estedescubrimiento.
  20. 20. El teorema binómico para n=2 se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.), asimismo el término «coeficiente binomial» fueintroducido por Michel Stifer en el siglo XVI.http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomioFunciones trigonométricas Donde Bs son los Números de Bernoulli.Funciones hiperbólicas
  21. 21. Función W de LambertLos números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo delbinomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.Varias variablesLa serie de Taylor se puede generalizar a funciones de d variables:
  22. 22. donde es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor desegundo orden en un entorno del punto (a, b) es:Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:donde es el gradiente y es la matriz hessiana. Otra forma:AplicacionesAdemás de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar elcomportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.
  23. 23. Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error,teorema de LHopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimosrelativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia ysuma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.Teorema de TaylorLa función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de (líneaverde discontinua).En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidaden 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicasde una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenidomediante dicha estimación.Caso de una variable
  24. 24. Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomiocuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función quees derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:1(1a)O en forma compacta(1b)Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existendos expresiones para que se mencionan a continuación:(2a)donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y :2(2b)Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor seexpone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de Rmuestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.
  25. 25. Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funcionespueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valoresvectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.Caso de varias variablesEl teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RNcentrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas encada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos dederivadas superiores (véase la demostración para los detalles).DemostraciónPara demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considérese un función o campo escalar, quesuponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase . Sea r(t) una función vectorial
  26. 26. que va de , y definámosla como (de ahora en adelante, se omitirán las flechas de los vectores).Pongamos r(t) = y Ahora hagamos g(t) = f[r(t)] y recordemos que . Notemos ahora que:Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cómoda:donde el exponente sobre el gradiente es entendido como las sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir, hacemos el productoescalar que está dentro del paréntesis, luego volvemos a derivar otra vez la función, obteniendo otro producto escalar, y así "n" veces.Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos g(t) en su serie de McLaurin: y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones anteshallada se evidencia que: Obsérvese que el primertérmino aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómoda ycompacta. La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice.DemostraciónLa demostración de la fórmula (1a), con el resto de la forma (2a), se sigue trivialmente del teorema de Rolle aplicado a la función:
  27. 27. Un cálculo rutinario permite ver la derivada de esta función cumple que:Se define ahora la función G como:Es evidente que esta función cumple , y al ser esta función diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:Y como:Se obtiene finalmente que:Y substituyendo en esta fórmula la definición de F(a), queda precisamente la fórmula (1a) con la forma del resto (2a).Teorema de Rolle
  28. 28. El teorema de Rolle dice lo siguiente:Si:  es una función continua definida en un intervalo cerrado  es derivable sobre el intervalo abierto Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que .En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre lasubida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f se anula. Lo mismo sucede si la función empiezabajando, y f es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.Prueba  Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a, b], conjunto conexo es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.  La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.  Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo (corresponde al primer ejemplo).
  29. 29.  Sea c en (a, b) tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de [a, b]. Entoces el cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) es no negativo cuando x < c (porque su numerador es siempre no negativo y su denominador es positivo no nulo), y es no positivo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f (c) es por definición el límite de este cociente cuando x tiende hacia c. El límite por la izquierda, f (c-)positivo, tiene que ser igual al límite por la derecha, f (c+). Por lo tanto este límite común es nulo, o sea f (c) = 0.La prueba es muy parecida si es el mínimo que está alcanzado en (a, b).Otra formaDe manera similar se puede considerar la siguiente prueba. Se sabe que existen tres posibilidades: o bien la función que consideramoses constante, o bien tiene algún punto x donde el valor de la función es es mayor o menor mayor que en los extremos. Para el primercaso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definición de derivada el cociente incremental es cero).Para el segundo caso se puede probar lo siguiente:Consideramos A como el conjunto imagen de f. Sabemos que A es un compacto ya que es la imágen de una función continua en uncompacto y por lo tanto la función alcanza máximo evaluada en un punto x0 dentro del intervalo. Por ser la función derivable en (a,b),la función es derivable también en x0.Aproximamos entonces a la función en un entorno del punto x0 considerando la derivada de f, f(x). Entonces tenemos que si laderivada es positiva, entonces hay un entorno a la derecha de x0 en donde los valores de f(x) son mayores a f(x0), lo cual es absurdopor ser f(x0) = M el máximo del conjunto imagen.De manera análoga, si la derivada fuera negativa tendríamos un entorno a la izquierda de x0 en donde los valores de f(x) son mayores af(x0), lo cual es absurdo por ser f(x0) = M el máximo del conjunto imagen.La única posibilidad que resta es que la derivada sea nula, lo cual demuestra el teorema de Rolle.Basta tomar g(x) = -f(x) y repetir la prueba para verificar que se verifica también cuando la función toma algún valor por debajo de losvalores funcionales de los extremos.
  30. 30. Teorema de Valor Medio, de Lagrange o de Incrementos FinitosArtículo principal: Teorema del valor medioSi:  f es una función continua definida en un intervalo [a, b]  f es derivable sobre el intervalo (a, b)Entonces: existe al menos un número c en el intervalo (a, b) tal que :Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.
  31. 31. Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.Sea p la pendiente de la cuerda: p = (f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la función g(x) = f(x) - p·x. Entonces g(b) - g(a) = f(b) - p·b - (f(a)- p·a) = f(b) - f(a) - p(b - a) = f(b) - f(a) -(f(b) - f(a)) = 0, y g como f, es continua sobre [a, b] y derivable en su interior.Según el teorema anterior, existe un c en (a, b) tal que g (c) = 0; pero esto se escribe f (c) = p.Este teorema se escribe también, con las mismas hipótesis: f(b) = f(a) + f (c)(b-a) lo que deja entrever el teorema de Taylor-Young:f(b) = f(a) + (b-a)f (a) + ... + (b-a)n/n! · f(n)(c), con f n veces derivable sobre (a, b).http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rollehttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medioTeorema del valor medioEn cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema deBonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticosconsideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema nose usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor mediopuede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.Enunciado para una variable
  32. 32. Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe almenos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalocerrado [a, b].En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b)entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une lospuntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:
  33. 33. Este teorema lo formuló Lagrange.El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida ycontinua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras,f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decirf ( c)=0.DemostraciónEl conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permitendeducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vezconocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendienteen dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones delTeorema de Rolle ya que:Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g (c) = 0, y por tanto:
  34. 34. y asícomo queríamos demostrar.Forma integral del Teorema del valor medioPara una función continua f(x) en el intervalo [a,b], existe un valor ξ en dicho intervalo, tal que1Demostración Dado que la función f es continua en [a,b], posee un valor máximo en dicho intervalo para algún , quellamaremos M = f(V) y también un valor mínimo en el mismo intervalo: m = f(v), para algún . Es decir y . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base b − a y altura Mó m tendremos la siguiente desigualdad:Lo que implica:
  35. 35. De donde se deduce que debe existir algún para el cual la función f alcanza el valor de la integral , esdecir:El teorema no especifíca como determinar ξ, pero resulta que f(ξ) coincide con el valor medio (promedio) de la función f en elintervalo [a,b].Enunciado para varias variablesSea un conjunto abierto y convexo y una función real diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:2Donde: , es la aplicación lineal que representa el jacobiano (gradiente).GeneralizacionesNo existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones . En este caso, sólo es posible establecer lasiguiente desigualdad en términos de la norma:
  36. 36. Función continuaEn matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñasvariaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continuaes aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad defunciones reales de una variable real.Funciones reales de una variable realInformalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto delos puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos",como en la figura de la derecha.El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
  37. 37. El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Seescribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.Continuidad de una función en un puntoDefinición de continuidad en un punto Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la funciónsi: tal que para toda x en el dominio de la función:
  38. 38. Otra manera más simple:Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo si y sólo si . Cuando xo noes de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existef(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por laizquierda, y además ambos coinciden con f(x1).Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:1. existe el límite por la derecha:2. existe el límite por la izquierda:3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1
  39. 39. 4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:6. Existe f(x1):7. El límite y el valor de la función coinciden:La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.
  40. 40. Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervaloabierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo Jcentrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo Ialrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que sesalen de J.La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.Continuidad lateral
  41. 41. Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el puntoson iguales. Es decir:como en la figura.Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto soniguales. Es decir:Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:
  42. 42. Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por laderecha de a y continua por la izquierda de b:Algunas funciones continuas importantes
  43. 43. Funciones seno y coseno.Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivosdominios de definición.La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver unosolo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.
  44. 44. Funciones definidas por intervalosArtículo principal: Función definida a trozosLas funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:  La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: E(x) ≤ x < E(x) + 1.Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a laizquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.  Otras funciones definidas por intervalos son: Función escalón unitario Función signo
  45. 45. Función racionalArtículo principal: Función racionalLas funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el dominio porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario af(0)) la función será discontinua.Teoremas sobre funciones continuas
  46. 46. Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas. 1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a,b] entonces presenta máximos y mínimos absolutos. 2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a,b] y f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces tal que f(c) = 0 3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en [a,b] y f(a) < k < f(b) entonces tal que f(c) = kTeorema de WeierstrassEl Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado(de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos deconjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos,entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.EnunciadoSi una función f es continua en un intervalo compacto (cerrado y acotado) [a,b] entonces hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientesa [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir , para cualquierDemostraciónComo f([a,b]) está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existeun supremo finito llamado M. Es necesario encontrar un punto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural.Cómo M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un punto dn en [a,b] tal que M – 1/n < f(dn). Esto genera una sucesión{dn} según vamos dando valores naturales a n. Cómo M es supremo por f, tenemos que M – 1/n < f(dn) ≤ M para todo n natural.Entonces, si hacemos tender n hacia infinito por el criterio de compresión tenemos que {f(dn)} converge a M.Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente el punto dónde se asume el supremoes el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto Este supremo es un máximo. El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice que
  47. 47. existe una subsucesión { }, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b]. Cómo f es continua en elconjunto (incluyendo el punto d), la sucesión {f( )} converge a f(d). Pero {f(dnk)} es una subsucesión de {f(dn)} que converge a M,entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto. Por lo tanto, fasume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo.La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga aésta.Generalización del Teorema de WeierstrassEl teorema de Weierstrass también es válido para funciones escalares o vectoriales de varias variables. La imagen por un campocontinuo de un conjunto compacto es un conjunto compacto, siendo este un escalar vectorial compacto.Si f:C -> Rq es una función continua en C ( C es compacto de Rp) entonces D = f(C) es un conjunto compacto de RqDerivada y continuidadLas funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. De modo que la continuidades una condiciòn necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables es parte de las funciones continuas.[Mostrar] DemostraciónDemostración:
  48. 48. Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua.Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable enx= 0. Incluso hay funciones continuas en todo pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento brownianoverifican esto con probabilidad 1).Sobre estro consultar con Spivak en su Calculus.Clase de continuidadUna función , se dice:  de clase si está definida en todo el dominio Ω junto con sus derivadas hasta orden y todas ellas son continuas.  Una función continua aunque no diferenciable en todo el domino, se dice que es de clase .  Una función es de clase si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Aunque muchas sí lo son, no toda función de este tipo es analítica.  Una función es de clase si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase .
  49. 49.  Una función generalizada se dice de clase si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones de una función de clase .Funciones continuas en espacios topológicosSean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topológicos. Una aplicación se dice que es continua si: f − 1(G) es un abierto de X, cualquiera que sea el abierto G de Y. Esta es la continudad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en un punto del dominio.Con la misma notación, si , diremos que f es continua en x cuando se obtiene que f − 1(V) es un entorno de x, cualquiera quesea el entorno V de f(x).Es "inmediato" entonces comprobar que f es continua si y solo si es continua en , cualquiera que sea éste, es decir, cuando seacontinua en cada uno de los puntos de su dominio.Teorema del valor intermedio(Redirigido desde Teorema de Bolzano)Para el teorema de cálculo diferencial, véase Teorema del valor medio.
  50. 50. Teorema de los valores intermedios.En análisis matemático el teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es unteorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función escontinua en un intervalo, entonces toma todos los valores intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.El teorema de los valores intermedios establece que: Sea una función continua en un intervalo con . Entonces para cada tal que , existe al menos un dentro de tal que .La misma conclusión se obtiene para el caso en que .
  51. 51. Enunciados equivalentes  Si f es una función continua a valores reales definida sobre el intervalo [a, b], y u es un número entre f(a)y f(b), entonces existe un c ∈ [a, b] tal que f(c) = u.  Como consecuencia del teorema de Weierstrass, se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo. o Si X y Y son espacios topológicos, f : X → Y es continua, y X es conexo, entonces f(X) es conexo. o Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.  Teorema de Bolzano: caso particular .HistoriaEl teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Cauchy da una demostración en 1821.1 Ambos perseguíanel fin de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Lagrange. La idea que las funciones continuas poseen la propiedad del valorintermedio es de larga data. Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo paraconstruir la expansión decimal de la solución: el algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígitodecimal adicional en cada paso de la iteración.2 Antes de que la definición formal de continuidad existiera, la propiedad del valorintermedio era dada como parte de la definición de función continua. Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio,por lo que no requiere de prueba. La visión de Bolzano y Cauchy fue la de definir una noción general de continuidad (en términos deinfinitesimales en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada entales definiciones.El recíproco del teorema es falso. No es necesario que una función sea continua para que la conclusión del teorema de los valoresintermedios sea cierta. En 1875, Darboux demuestra que las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen lapropiedad de los valores intermedios (ver Teorema de Darboux).DemostraciónEl TVI hace parte de los llamados «teoremas de existencia». A la pregunta: «¿Existe un real c tal que f(c)=u?», el teorema respondeafirmativamente: «Sí, existe.» Se impone entonces la pregunta: «¿Cuál es ese número real?». Varias demostraciones son posibles,dependiendo de las premisas iniciales. La prueba siguiente utiliza la noción del supremo.
  52. 52. [Mostrar] Demostración utilizando el supremoTeorema de BolzanoEs frecuente (en algunos cursos de cálculo) demostrar independientemente el Teorema de Bolzano, y después servirse de él paraenunciar el TVI como un corolario. Enunciado: Sea f una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0.El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo afirma que como mínimo existe uno.Si f(a) y f(b) no son del mismo signo, existe al menos un real c comprendido entre a y b tal que f(c) = 0 (pues 0 está comprendido entref(a) y f(b)).Demostración con la topologíaEs posible demostrar la propiedad en algunas líneas solamente, evocando nociones de la topología matemática. Tras esta aparentesimplicidad se encuentran resultados que hay que demostrar previamente, como el hecho que todo intervalo de ℝ es conexo,demostraciones que son del mismo grado de dificultad que la del TVI. Los conjuntos conexos de ℝ son los intervalos. Es el conjunto de partida. La imagen directa de un conexo por una función continua es un conexo. De aquí se infiere que la imagen por f de [a,b] es un intervalo, lo cual demuestra el teorema.Ejemplos de aplicación
  53. 53.  Demostrar que dos funciones continuas sobre un mismo intervalo toman el mismo valor en al menos un punto del intervalo.Sean f y g dos funciones continuas sobre un intervalo no vacío [a;b] de R, tales que g(a)-f(a) y g(b)-f(b) sean de signo contrario. Existeal menos un real c comprendido entre a y b y tal que f(c) = g(c).En efecto, sea φ = f - g. La función φ es continua, y el 0 está comprendido entre φ(a) y φ(b). Existe entonces al menos un real ccomprendido entre a y b y tal que φ(c) = 0, lo cual implica f(c) = g(c).  En el caso particular donde g es la identidad sobre el intervalo [a;b] y donde f(a) > a y f(b) < b, se obtiene un teorema de punto fijo (Teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión 1).  El problema se puede reformular como: «Demostrar que dos funciones se cortan en un punto» y aplicar el Teorema de Bolzano definiendo la misma función f(x) - g(x).  Demostrar que para todo polinomio P a coeficientes reales y de grado impar, existe al menos una raíz real, es decir un número real c tal que P(c) = 0
  54. 54. En efecto, se puede suponer (sin pérdida de generalidad) que el coeficiente del término de mayor grado de P es igual a 1. Al ser degrado impar, P(x) tiende a cuando x tiende a , y P(x) tiende a cuando x tiende a . Se deduce que existe un real atal que P(a) ≤ 0 y un real b tal que P(b) ≥ 0. Como la función polinómica P es continua, existe al menos un real c comprendido entre ay b y tal que P(c) = 0.Definición formalLa función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede serdefinida como una serie de potencias:o como el límite de la sucesión:Serie geométricaPara sumas finitas, véase progresión geométrica.
  55. 55. En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante.Por ejemplo la seriees geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por 1/2.Los ejemplos más generales de series con sumas finitas son las sucesiones geométricas. Las series geométricas, a pesar de suapariencia simple, están presentes en el desarrollo temprano del cálculo y el estudio de la noción de convergencia.Razón comúnLos términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanececonstante.
  56. 56. El comportamiento de los términos depende de la razón común r:  Si los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.  Si o los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge.  Si r es igual a uno, todos los términos de la serie son iguales. La serie diverge.  Si r es igual a menos uno, los términos alternan su valor. La suma de los términos oscila; es un tipo distinto de divergencia (véase por ejemplo la serie de Grandi).SumaIlustración de una suma autosimilar.La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, lascantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. Lasuma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.FormulaPara , la suma de los primeros n términos de una serie geométrica es:
  57. 57. donde a es el primer término de la serie y r la razón común.Demostración  Ejemplo:Dada la suma de la serie geométrica:La razón común de esta serie es 2/3. Multiplicando por 2/3 cada término, se obtiene:Esta nueva serie es como la original excepto por el primer término que falta. Restándolas, se obtiene: , por lo que .Una técnica similar puede utilizarse al evaluar cualquier expresión autosimilar.Convergencia
  58. 58. La serie geométrica real de término inicial no nulo y de razón es convergente si y solamente si | r | < 1. En tal caso, susuma vale:Número complejoIlustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el ejevertical.
  59. 59. El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidadimaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de lafísica (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por suutilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Lapropiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquierecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representantodas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como deramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de granimportancia.Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de lainteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja oanálisis complejo.OrigenEl primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula pararesolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss(1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial,geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general ysistemático de los números complejos.Definición
  60. 60. Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientesoperaciones:  Suma  Producto por escalar  Multiplicación  IgualdadA partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:  Resta  División
  61. 61. Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denominanúmero imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .Cuerpo de los números complejosLos números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Siidentificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, Cforma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los númerosreales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.Unidad imaginariaTomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i ounidad imaginaria, definido comoDe donde se deduce inmediatamente que,Valor absoluto o módulo, argumento y conjugadoValor absoluto o módulo de un número complejoEl valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
  62. 62. Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema dePitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ+ isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absolutopara cualquier complejo z y w.Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias alque se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas.Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.ArgumentoEl argumento principal o fase de un número complejo genérico (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguienteexpresión:donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:
  63. 63. O también: Siendo:la función signo.Conjugado de un número complejoDos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 sonconjugados.El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.
  64. 64. Con este número se cumplen las propiedades:Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.RepresentacionesRepresentación binómicaUn número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; a + bi es laexpresión binomial del punto.Un número complejo se representa en forma binomial como:
  65. 65. La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:Representación polarEl argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; r(cos ϕ + isin ϕ) o reiϕ es la expresión polar del punto.En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.
  66. 66. Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:Sacamos factor común r:Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumentorespectivamente.Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomialse requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.Según la Fórmula de Euler, vemos que:No obstante, el ángulo ϕ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:Por esto, generalmente restringimos ϕ al intervalo [-π, π) y a éste ϕ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimosφ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.Operaciones en forma polar
  67. 67. La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:División:Potenciación:http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejoSerie de LaurentEn matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie depotencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casosdonde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por KarlWeierstrass en el año de 1841; pero no se divulgó en ese entonces. El matemático Pierre Alphonse Laurent fue quien la publicó en elaño 1843.Definición
  68. 68. Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto es una serie de la forma: donde .Podemos demostrar que esta serie es convergente dentro del conjunto (posiblemente nulo, Ø):Donde: yToda serie de Laurent tiene vinculada una función de la forma:cuyo dominio es el conjunto de puntos en sobre el cual es convergente. Esta función es analítica dentro de una corona D;inversamente, toda función en una corona es igual a una única serie de Laurent.PropiedadesUna serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe estardentro de un disco donde f(z) es una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no esestrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en ciertoentorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).
  69. 69. Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy yestán dados por: para n = 0,1,2,... y para n = 1,2,...(la sucesión de constantes están definidas por un camino de integración en la generalización de la integral de Cauchy).ConvergenciaSi suponemos : es una serie de Laurent con coeficientes an y un centro complejo c. Entonces existe un radiointerior r y un radio exterior R de tal forma que:  La serie de Laurent es convergente en la corona abierta A := {z : r < |z − c| < R}, tanto para potencias de grado positivo como para potencias de grado negativo y esta convergencia define una función holomorfa f(z) en la corona abierta.  Fuera de la corona, la serie de Laurent es divergente.  Para el disco existe al menos un punto en la frontera interior y otro en la frontera exterior para los cuales no puede ser holomorfa continua.SingularidadesLa serie de Laurent es muy importante en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca desingularidades, pues permite saber qué tipos de singularidades tiene una función. Así, si expandimos una función en serie de Laurent,tomando como centro una singularidad y como radio interior cero, la cantidad de coeficientes negativos en la serie indicará que tipo desingularidad es: 1. Si la serie no tiene términos negativos, la singularidad es evitable
  70. 70. 2. Si la serie tiene finitos términos negativos, la singularidad es un polo 3. Si la serie tiene infinitos términos negativos, la singularidad es una singularidad esencialSerie de LaurentEn matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie depotencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casosdonde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por KarlWeierstrass en el año de 1841; pero no se divulgó en ese entonces. El matemático Pierre Alphonse Laurent fue quien la publicó en elaño 1843.DefiniciónUna serie de Laurent centrada alrededor de un punto es una serie de la forma: donde .Podemos demostrar que esta serie es convergente dentro del conjunto (posiblemente nulo, Ø):Donde: yToda serie de Laurent tiene vinculada una función de la forma:
  71. 71. cuyo dominio es el conjunto de puntos en sobre el cual es convergente. Esta función es analítica dentro de una corona D;inversamente, toda función en una corona es igual a una única serie de Laurent.PropiedadesUna serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe estardentro de un disco donde f(z) es una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no esestrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en ciertoentorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy yestán dados por: para n = 0,1,2,... y para n = 1,2,...(la sucesión de constantes están definidas por un camino de integración en la generalización de la integral de Cauchy).ConvergenciaSi suponemos : es una serie de Laurent con coeficientes an y un centro complejo c. Entonces existe un radiointerior r y un radio exterior R de tal forma que:  La serie de Laurent es convergente en la corona abierta A := {z : r < |z − c| < R}, tanto para potencias de grado positivo como para potencias de grado negativo y esta convergencia define una función holomorfa f(z) en la corona abierta.
  72. 72.  Fuera de la corona, la serie de Laurent es divergente.  Para el disco existe al menos un punto en la frontera interior y otro en la frontera exterior para los cuales no puede ser holomorfa continua.SingularidadesLa serie de Laurent es muy importante en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca desingularidades, pues permite saber qué tipos de singularidades tiene una función. Así, si expandimos una función en serie de Laurent,tomando como centro una singularidad y como radio interior cero, la cantidad de coeficientes negativos en la serie indicará que tipo desingularidad es: 1. Si la serie no tiene términos negativos, la singularidad es evitable 2. Si la serie tiene finitos términos negativos, la singularidad es un polo 3. Si la serie tiene infinitos términos negativos, la singularidad es una singularidad esencial 4.Polinomios de Bernoulli 5. En matemáticas, los polinomios de Bernoulli Bn(x) se definen mediante la función generatriz: 6. 7. Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la función zeta de Riemann y de la función zeta de Hurwitz. Los números de Bernoulli Bn son los términos independientes de los polinomios correspondientes, i.e., Bn = Bn(0). 8. La identidad nos permite dar una forma cerrada de la suma 9. 10. Expresión explícita de polinomios de menor grado 11. 12. 13.
  73. 73. 14. 15. 16. 17. .EnunciadoLa regla de LHôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminacióndel tipo ó .2 3 4Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g(x)≠0 si x≠ c .Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f/g en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lotanto, Guillaume de lHôpital[editar] Demostración
  74. 74. El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de LHôpital, aunque en realidad, una demostraciónrigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g sondiferenciables en c.  Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:  Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:[editar] EjemplosLa regla de lHôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite lasfunciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originalesf(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f(x)/g(x).[editar] Aplicación sencilla
  75. 75. [editar] Aplicación consecutivaMientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:[editar] Adaptaciones algebraicasDada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante transformacionesalgebraicas:[editar] Cocientes incompatiblesLas indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se pueden resolver por medio de la aplicación de laregla de LHôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.
  76. 76. [editar] Indeterminaciones no cocientesA veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.  TipoMatriz jacobianaLa matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones másinteresantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representala derivada de una función multivariable.Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la formade la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrácomponentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente,
  77. 77. dada una aplicación cualquiera continua es decir se dirá que es diferenciable si existe unaaplicación lineal tal que:(1)[editar] Función escalarEmpecemos con el caso más sencillo de una función escalar en este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por unvector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la"matriz" jacobiana como:Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente elgradiente.[editar] Función vectorialSupongamos es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta funciónestá determinada por m funciones escalares reales:Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de éstas m funciones pueden ser organizadas en unamatriz m por n, la matriz jacobiana de F:
  78. 78. Esta matriz es notada de diversas maneras:Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con el gradiente de la función yi, para i = 1,...,m.Si p es un punto de Rn y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por JF(p). En este caso, la aplicación lineal descritapor JF(p) es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:para x cerca de p. O con mayor precisión:[editar] EjemplosEjemplo 1. La matriz jacobiana de la función F : R3 → R3 definida como:
  79. 79. es:No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.Ejemplo 2. Supóngase la función F : R3 → R4, cuyas componentes son:Aplicando la definición de matriz jacobiana:
  80. 80. [editar] Determinante jacobianoSi m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz jacobiana es cuadrada ypodemos calcular su determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente jacobiano.El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Paraempezar, una función F es invertible cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto deldeterminante en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.[editar] EjemplosEjemplo 1. El determinante jacobiano de la función F : R3 → R3 definida como:es:El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible en todo el dominio excepto quizá donde x1 = 0 ó x2 =0 (es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y leaplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.Ejemplo 2. Cambiando un poco la función anterior por ésta:
  81. 81. El determinante jacobiano quedará:En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado , y por otro: con k = 0,1,2...[editar] Invertibilidad y jacobianoUna propiedad interesante del jacobiano es que cuando éste es diferente de cero en el entorno de un punto dado, entonces el teorema dela función inversa garantiza que la función admite una función inversa alrededor de dicho punto.El teorema anterior expresa una condición suficiente aunque no necesaria, ya que por ejemplo la función tiene por jacobiano que se anula en el punto , aunque alrededor de ese punto la función sigue teniendo inversa aún cuando eljacobiano es nulo en el origen.

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