Coordenadas polares                                       Localización de un punto                                       e...
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El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado porlos escritores italianos del s...
Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendodel contexto. Por ejemplo, las a...
Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:Muchos lenguajes de programación modernos ev...
CircunferenciaUn círculo con ecuación   (θ) = 1.La ecuación general para una circunferencia con centro en (    0,   φ) y r...
Rosa polarUna rosa polar con ecuación   (θ) = 2 sin 4θ.La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor co...
Espiral de ArquímedesUn brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π.La espiral de Arquímedes e...
Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (demodo que el semieje mayor de ...
donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar(mediante las fórmulas de conversió...
Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la rectatangente a la curva en el punt...
Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En el límite, cuando n → ∞, la suma pasaa ser una suma de Riemann, y...
División:Exponenciación (Fórmula de De Moivre):Extensión a más de dos dimensionesTres dimensionesEl sistema de coordenadas...
Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguientemanera:Coordenadas esféricasUn pu...
n dimensionesEs posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema derepresentación para 4 o más di...
Campos escalaresUn problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad paraprobar la exis...
Donde a representa la longitud de los pétalos y      sólo tiene un efecto de realizar una rotaciónglobal sobre la figura. ...
Espiral de ArquímedesLa espiral de Arquímedes (también espiral aritmética) obtuvo su nombre del matemáticogriego Arquímede...
dinámicas (como la espiral de Parker del viento solar, o el patrón producido por una rueda deCatherine) son del grupo de A...
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistemade referencia respecto ya sea ...
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicartodas las operaciones correspo...
La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyascoordenadas son, obviam...
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[editar] Cambio del sistema de coordenadasTanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse tres transfo...
Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:despejandoLo que es lo mismo que:Separando los vectores por coorde...
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Nota: Las magnitudes vectoriales están en negrita.http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianasPlano (geometría)Sal...
Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares.Se suele describir apoyándose ...
Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida,resultado de igualar a cero el det...
[editar] SemiplanoSe llama semiplano, en geometría, a cada una de las dos partes en que un plano queda divididopor una rec...
junto con la función distancia obtenida mediante la siguiente definición de distancia entre dospuntos (x1, ..., xn) e (y1,...
El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un Espacio vectorial n-dimensionalreal, de hecho un Espacio de Hilb...
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo,escalares.
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  1. 1. Coordenadas polares Localización de un punto en coordenadas polares.El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cadapunto del plano se determina por un ángulo y una distancia.De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y unarecta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje xdel sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y unaunidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano),todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P alorigen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. Elvalor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) seconoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenadaangular» o «ángulo polar».En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones seadopta la convención de representar el origen por (0,0º).
  2. 2. Historia Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados.Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan desde laantigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de la geometría analítica, enque se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares.Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan conaplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función delángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de lasestrellas.1 En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una funcióncuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema decoordenadas como medio de localizar puntos en el plano, situación análoga al estado de lageometría antes de la invención de la geometría analítica.En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron deforma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solución de problemasgeométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647,mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión corregida en 1653. Cavalieriutilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con elárea dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadaspolares para calcular la longitud de arcos parabólicos.Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir IsaacNewton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduceocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemasrelativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares. 2 Enel periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en unalínea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediantela distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base paraencontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas.
  3. 3. El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado porlos escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en latraducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y delcálculo integral de Sylvestre François Lacroix,3 mientras que Alexis Clairault fue el primeroque pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.Representación de puntos con coordenadas polaresLos puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro dereferencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un puntose indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulode 60º sobre OL.El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210ºsobre OL.Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del planopuede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en elsistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hayuna correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadaspolares. Esto ocurre por dos motivos:Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por esemismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, elpunto ( , θ) se puede representar como ( , θ ± ×360°) o (− , θ ± (2 + 1)180°), donde esun número entero cualquiera.4El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de losángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) pararepresentar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto conradio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta paraevitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación deun punto, se suele limitar a números no negativos ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o(−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).6
  4. 4. Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendodel contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas engrados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y lamayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.7Conversión de coordenadas Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema decoordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro decoordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre el eje x.Conversión de coordenadas polares a rectangularesDefinido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r alcentro de coordenadas, se tiene:Conversión de coordenadas rectangulares a polaresDefinido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que lacoordenada polar r es: (aplicando el Teorema de Pitágoras)Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Porconvención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denotala inversa de la función tangente):
  5. 5. Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo delnumerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tieneargumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permitenargumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (comoocurre en Lisp).Ecuaciones polaresSe le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadaspolares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de θ.La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puederepresentar como la gráfica de una función .Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si(−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ)será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétricorotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se puedendescribir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho másintrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, lalemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienenrestricciones en el dominio y rango de la curva.
  6. 6. CircunferenciaUn círculo con ecuación (θ) = 1.La ecuación general para una circunferencia con centro en ( 0, φ) y radio esEn ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para unacircunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8LíneaLas líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuacióndonde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan donde es la pendientede la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radialθ = φ perpendicularmente al punto ( 0, φ) tiene la ecuación
  7. 7. Rosa polarUna rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puedeexpresarse como una ecuación polar simple,para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuacionesrepresentan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racionalpero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese queestas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representala longitud de los pétalos de la rosa.Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo para , la gráfica dela ecuación:es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si , la gráfica es unacircunferencia de radio
  8. 8. Espiral de ArquímedesUn brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π.La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puedeexpresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuaciónUn cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla ladistancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedestiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo.La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fueuna de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratadosmatemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma másfácil con una ecuación polar.Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.Secciones cónicasElipse, indicándose su semilado recto.
  9. 9. Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (demodo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desdeel eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define unaparábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculode radio .Números complejosIlustración de un número complejo z en el plano complejo.Ilustración de un número complejo en el plano complejo usando la fórmula de Euler.Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano complejo, y se puedeexpresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. Elnúmero complejo z se puede representar en forma rectangular como
  10. 10. donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar(mediante las fórmulas de conversión dadas arriba) comopor lo que se deduce quedonde e es la constante de Neper.9 Esta expresión es equivalente a la mostrada en la fórmulade Euler. (Nótese que en esta fórmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienenexponenciales de ángulos, se asume que el ángulo θ está expresado en radianes.) Para pasar dela forma polar a la forma rectangular de un número complejo dado se pueden usar las fórmulasde conversión vistas anteriormente.Para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación de números complejos, esnormalmente mucho más simple trabajar con números complejos expresados en forma polarque con su equivalente en forma rectangular:Multiplicación:Cálculo infinitesimalEl cálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares.A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, al ser la opciónconvencional en el análisis matemático.10 11Cálculo diferencialPartiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, ytomando derivadas parciales se obtienePara encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en unpunto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramétricasDiferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta
  11. 11. Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la rectatangente a la curva en el punto (r, r(θ)):Cálculo integralLa región R está delimitada por la curva r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b.Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b,donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado porLa región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5).Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [ a, b] sedivide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitudde cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el númerode subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puedeconstruir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi), ángulo central Δθ y longitud dearco . El área de cada sector es entonces igual a .Por lo tanto, el área total de todos los sectores es
  12. 12. Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximación al área. En el límite, cuando n → ∞, la suma pasaa ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integralGeneralizaciónUsando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede ser calculadocomo dA = dx dy. El método de integración por sustitución para las integrales múltiplesestablece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta lamatriz de conversión Jacobiana:Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares puede escribirse como:Una función en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:donde R es la región comprendida por una curva r(θ) y las rectas θ = a y θ = b.La fórmula para el área de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una funciónconstante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas fórmulas es el cálculo de la Integral deGauss :Cálculo vectorialEl cálculo vectorial puede aplicarse también a las coordenadas polares. Sea el vector deposición , con r y dependientes del tiempo t.Seaun vector unitario en la dirección de yun vector unitario ortogonal a . Las derivadas primera y segunda del vector de posición son:
  13. 13. División:Exponenciación (Fórmula de De Moivre):Extensión a más de dos dimensionesTres dimensionesEl sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas decoordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadasesféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientrasque el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular.Coordenadas cilíndricasUn punto representado en coordenadas cilíndricas.Artículo principal: Coordenadas cilíndricas.El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema decoordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre elplano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tresdimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación dedichas coordenadas sea (r, θ, h).
  14. 14. Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguientemanera:Coordenadas esféricasUn punto representado en coordenadas esféricas.Artículo principal: Coordenadas esféricas.Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando lascoordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z(medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadaspolares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado paradenotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sitúa el origenen el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), yla longitud l viene dada por θ − 180°.12Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguientemanera:Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan lafunción, como en el caso de la hélice.
  15. 15. n dimensionesEs posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema derepresentación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtieneAplicacionesLas coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde lasposiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas encualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección ylongitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios,en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidadcon la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuyaecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemasfísicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, olos fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelarusando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue elestudio del movimiento circular y el movimiento orbital.Posición y navegaciónLas coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección deltrayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Lasaeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificadopara la navegación.ModeladoLos Sistemas son Busterniano simetría radial poseen unas características adecuadas para elsistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplode este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozosradialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza centralson también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos sonlas antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa delcuadrado (véase el problema de los dos cuerpos).Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Porejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono enfunción de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curvade un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5+ 0,5 sen θ.13
  16. 16. Campos escalaresUn problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad paraprobar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados según latrayectoria de aproximación al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos quetienen más interés para el análisis (por anular habitualmente funciones racionales ologarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntoses posible realizar un cambio de sistema de referencia y así aplicar el truco.Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias encoordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una únicavariable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r uninfinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el límitees indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado. Rosa polarEn matemáticas, rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro de una familia decurvas de ecuación por asemejarse a una flor de pétalos.Esta familia, también conocida como rhodoneas (del griego rhodon, rosa), fue estudiada por elmatemático Luigi Guido Grandi, en torno al 1725, en su libro Flores Geometrici.1Como casos particulares, la rosa de tres pétalos recibe también el nombre de trifolium regulary la de cuatro, el de quadrifolium. Para k=1/2 se obtiene la curva conocida como folium deDurero.Ecuación Rosas definidas por , para valores racionales de k=n/d. La última fila corresponde a valores enteros de k.Su expresión general en coordenadas polares es:
  17. 17. Donde a representa la longitud de los pétalos y sólo tiene un efecto de realizar una rotaciónglobal sobre la figura. Salvo similaridad, todas estas curvas pueden reducirse a la familia: 2Aquí la forma queda determinada por el valor del parámetro k:Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán k pétalos si k es impar, o 2k pétalos si kes par.Si k es racional, entonces la curva es cerrada y de longitud finita.Si k es irracional, su imagen formará un conjunto denso en el disco de radio a.La expresión en coordenadas cartesianas de la rosa de cuatro pétalos es y para la rosa de tres pétalos .Área Rosa polar de ecuación (θ) = 2 sin 4θ. Su área es, sorprendentemente, la mitad de la del círculo en que está inscrita.El área de una rosa de ecuación con k natural es igual a:si k es par, ysi k es impar.http://es.wikipedia.org/wiki/Rosa_polar
  18. 18. Espiral de ArquímedesLa espiral de Arquímedes (también espiral aritmética) obtuvo su nombre del matemáticogriego Arquímedes, quien vivió en el siglo III antes de Cristo. Se define como el lugargeométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre unpunto de origen fijo a Velocidad Angular constante.En coordenadas polares (r, θ) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la ecuaciónsiguiente:siendo a y b números reales. Cuando el parámetro a cambia, la espiral gira, mientras que bcontrola la distancia en giros sucesivos.Arquímedes describió esta espiral en su libro De las Espirales.Esta curva se distingue de la espiral logarítmica por el hecho de que vueltas sucesivas de lamisma tienen distancias de separación constantes (iguales a 2πb si θ es medido en radianes),mientras que en una espiral logarítmica la separación está dada por una progresión geométrica.Hay que notar que la espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0.Los dos brazos están discretamente conectados en el origen y sólo se muestra uno de ellos enla gráfica. Tomando la imagen reflejada en el eje Y produciremos el otro brazo.A veces, el término es usado para un grupo más general de espirales.La espiral normal ocurre cuando x = 1. Otras espirales que caen dentro del grupo incluyen laespiral hiperbólica, la espiral de Fermat, y el Lituus. Virtualmente todas las espirales estáticasque aparecen en la naturaleza son espirales logarítmicas, no de Arquímedes. Muchas espirales
  19. 19. dinámicas (como la espiral de Parker del viento solar, o el patrón producido por una rueda deCatherine) son del grupo de Arquímedes.AplicacionesMecanismo de una bomba de desplazamientoLa espiral de Arquímedes tiene una plétora de aplicaciones. Por ejemplo, se emplean muelles decompresión, hechos de dos espirales de Arquímedes del mismo tamaño intercaladas, paracomprimir líquidos y gases.Los surcos de las primeras grabaciones para gramófonos (Disco de vinilo) forman una espiral deArquímedes, haciendo los surcos igualmente espaciados y maximizando el tiempo de grabaciónque podría acomodarse dentro de la grabación (aunque esto fue cambiado posteriormente paraincrementar la cantidad del sonido).Pedirle a un paciente que dibuje una espiral de Arquímedes es una manera de cuantificar eltemblor humano; esta información ayuda en el diagnóstico de enfermedades neurológicas.Estas espirales son también usadas en sistemas DLP de proyección para minimizar el efecto dearcoiris, que simula un despliegue de varios colores al mismo tiempo, cuando en realidad seproyectan ciclos de rojo, verde y azul rápidamente.Un método para la cuadratura del círculo, relajando las limitaciones estrictas en el uso de unaregla y un compás en las pruebas geométricas de la Grecia antigua, hace uso de la Espiral deArquímedes. También existe un método para trisectar ángulos basado en el uso de esta espiral.http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares Coordenadas cartesianasLas coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadasortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejesperpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas sedefinen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobrecada uno de los ejes.
  20. 20. Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistemade referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) orespecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortanen un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (orectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.HistoriaSe denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebrefilósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el métodode tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto departida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar lageometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un puntodenominado «origen de coordenadas».Tres ejemplos de coordinadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, rojo y azul), susproyecciones ortogonales sobre los ejes constituyen sus coordenadas cartesianas.[editar] Recta euclídeaUn punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivosi está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto sellama origen de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un origende coordenadas, simbolizado con la letra O (O de origen) y un vector unitario en la direcciónpositiva de las x: .
  21. 21. Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicartodas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real.Un punto:también puede representarse:La distancia entre dos puntos A y B es:[editar] Plano euclídeoCon un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en elorigen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son lascoordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distanciasortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.Sistema de coordenadas cartesianas.
  22. 22. La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyascoordenadas son, obviamente, (0, 0).Se denomina también eje de las abscisas al eje x, y eje de las ordenadas al eje y. Los ejesdividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan depositivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras quelas del punto B serán ambas negativas).Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmentoentre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a losejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se definerespecto del origen con las componentes del vector OA.La posición del punto A será:Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como lascomponentes de un vector en notación matricial.La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto deorigen de las del punto de destino:Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia d AB entre los puntos A y B antescalculada.Espacio euclídeoSi tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y,Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tresnúmeros: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a lostres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.
  23. 23. coordenadas cartesianas espaciales.Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ochocuadrantes en los que, como en el caso anterior, los signos de las coordenadas pueden serpositivos o negativos.La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando queahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.Las coordenadas del punto A serán:y el B:La distancia entre los puntos A y B será:El segmento AB será:
  24. 24. [editar] Cambio del sistema de coordenadasTanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse tres transformacioneselementales: traslación (del origen), rotación (alrededor de un eje) y escalado.[editar] Traslación del origenTraslación del origen en coordenadas cartesianas.Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e yy las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:dado un segundo sistema de referencia S2Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; ey, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, según los datosanteriores, que llamaremos:
  25. 25. Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:despejandoLo que es lo mismo que:Separando los vectores por coordenadas:y ampliándolo a tres dimensiones:Rotación alrededor del origenRotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas.Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:
  26. 26. y una base ortonormal de este sistema:Un punto A del plano se representará en este sistema según sus coordenadas:Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ángulo , respecto al primero:y con una base ortonormal:Al cálculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia,girado respecto al primero, se llama rotación alrededor del origen, siendo su representación:Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ; se emplea unadenominación u otra para indicar el sistema de referencia empleado. El valor de lascoordenadas respecto a uno u otro sistema, sí son diferentes, y es lo que se pretende calcular.La representación de B1 en B2 es:Dado que el punto A en B1 es:con la transformación anterior tenemos:Y, deshaciendo los paréntesis:
  27. 27. reordenando:Como: ;Tenemos que:Como sabíamos:Por identificación de términos:Que son las coordenadas de A en B2, en función de las coordenadas de A en B1 y de .EscaladoSea un punto con coordenadas (x,y) en el plano. Si se cambia la escala de ambos ejes en unfactor λ, las coordenadas de dicho punto en el nuevo sistema de coordenadas pasarán a ser:El factor de escala λ no necesariamente debe ser el mismo para ambos ejes.[editar] Cálculo matricialSiendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de losvectores unitarios i y j respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas sonlas componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.
  28. 28. Nota: Las magnitudes vectoriales están en negrita.http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianasPlano (geometría)Saltar a: navegación, búsquedaIntersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dosplanos perpendiculares.Representación gráfica informal de un plano.En geometría, un plano es el ente ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitospuntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.
  29. 29. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares.Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relacionesentre los entes geométricos fundamentales. .-Cuando se habla de un plano, se está haciendoreferencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es solobidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado alotro. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel materialque es elaborado como una representación gráfica de superficies de diferente tipo. Los planosson especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramaren una superficie plana otras superficies que son regularmente tridimensionales.Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan.Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada porbordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).Propiedades del plano ℝ3En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales noson necesariamente válidos para dimensiones mayores). Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea. Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es contenida por el plano mismo. Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre sí. Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre sí. Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo existe solo un plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π. Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo existe un número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.[editar] Ecuación del planoUn plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectoresPunto P = (x1, y1, z1)Vector u = (a1, b1, c1)Vector v = (a2, b2, c2)
  30. 30. Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida,resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X= (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de losvectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:Posición relativa entre dos planosSi tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con unpunto B y un vector normal 2.Sus posiciones relativas pueden ser: Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2. Planos paralelos: si tienen la misma direción los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2. Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.[editar] Distancia de un punto a un planoPara un plano cualquiera y un punto cualquiera no necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entreP1 y el plano Π es:De lo anterior se deduce que el punto P1 pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están normalizados,esto es cuando , entonces la fórmula anterior de la distancia D sereduce a:
  31. 31. [editar] SemiplanoSe llama semiplano, en geometría, a cada una de las dos partes en que un plano queda divididopor una recta.[editar] Postulados de la división de un planoEn cada pareja de semiplanos que una recta r determina sobre un plano, existen infinitospuntos tales que: 1. Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos, o a la recta que los determina. 2. Dos puntos del mismo semiplano, determinan un segmento que no corta a la recta r. 3. Dos puntos de semiplanos diferentes, determinan un segmento que corta a la recta r. Ésta, la recta, es un conjunto de infinitos puntos alineados, sin principio ni fin.http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_%28geometr%C3%ADa%29Espacio euclídeoSaltar a: navegación, búsquedaEn matemáticas, el espacio euclídeo es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen losaxiomas de Euclides de la geometría. La recta real, el plano euclídeo, al espacio tridimensionalde la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclídeos de dimensiones 1, 2 y 3respectivamente. El concepto abstracto de espacio euclídeo generaliza esas construcciones amás dimensiones.El término euclídeo se utiliza para distinguir estos espacios de los espacios curvos de lasgeometrías no euclidianas y del espacio de la teoría de la relatividad de Einstein. Para resaltarel hecho de que un espacio euclídeo puede poseer n dimensiones, se suele hablar de "espacioeuclídeo n-dimensional" (denotado , o incluso )IntroducciónUn espacio euclídeo es un espacio vectorial normado sobre los números reales de dimensiónfinita, en que la norma es la asociada al producto escalar ordinario. Para cada número entero nonegativo n, el espacio euclídeo n-dimensional es el conjunto:
  32. 32. junto con la función distancia obtenida mediante la siguiente definición de distancia entre dospuntos (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn):Esta función distancia está basada en el teorema de Pitágoras y es llamada Distanciaeuclidiana.[editar] Estructuras sobre el espacio euclídeoLos espacios euclidianos y sus propiedades han servido de base para generar gran cantidad deconceptos matemáticos relacionados con la geometría, la topología, el álgebra y el cálculo.Aunque el espacio euclídeo suele ser introducido, por razones didácticas, como espaciovectorial, en realidad sobre él se pueden definir muchas más estructuras. El espacio euclídeoes además de un espacio vectorial un caso de: Un espacio de Hilbert de dimensión finita, con el producto escalar ordinario. Un espacio de Banach de dimensión finita, con norma inducida por el producto escalar interior. Un espacio métrico completo, con distancia inducida por la norma anterior. Un espacio topológico, inducido por la métrica euclídea. Un grupo de Lie, con la operación de adición. Un álgebra de Lie con el producto vectorial.[editar] El espacio euclídeo como espacio métricoPor definición, E n es un espacio métrico, y es por tanto también un espacio topológico; es elejemplo prototípico de una n-variedad, y es de hecho una n-variedad diferenciable. Para n ≠ 4,cualquier n-variedad diferenciable que sea homeomorfa a E n es también difeomorfa a ella. Elhecho sorprendente es que esto no es cierto también para n = 4, lo que fue probado por SimonDonaldson en el año 1982; los contraejemplos se llaman 4-espacios exóticos (o falsos).[editar] El espacio euclídeo como espacio topológicoSe puede decir mucho sobre la topología de E n, Pero esperaremos a una próxima edición deeste artículo. Un resultado importante, el invariancia del dominio de Brouwer, es el de quecualquier subconjunto de E n que sea homeomorfo a un subconjunto abierto de E n es en símismo abierto. Como consecuencia inmediata de esto se tiene que E m no es homeomorfo a E n sim ≠ n -- un resultado intuitivamente "obvio" que sin embargo no es fácil de demostrar.[editar] El espacio euclídeo como espacio vectorialArtículo principal: Vector (espacio euclídeo).
  33. 33. El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un Espacio vectorial n-dimensionalreal, de hecho un Espacio de Hilbert, de manera natural. El producto escalar, de x = (x1,...,xn) ey = (y1,...,yn) está dado por:http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialEspacio vectorial Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector http://es.wikipedia.org/wiki/VectorEn matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de unconjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos delconjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dichoconjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
  34. 34. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo,escalares.

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