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Apostila 1 – Qi - 3º ano    Trigonometria
29) Quantos graus mede aproximadamente umângulo de 0,105 radianos?a)2b)4c)6d)8e)10
29) Quantos graus mede aproximadamente umângulo de 0,105 radianos?a)2            dados      Ângulo = 0,105 radb)4c)6      ...
Solução     Já sabemos que π rad equivale a 180º. Então,basta fazer a regra de três:   π       180º                       ...
30) Num relógio que funciona precisamente o   ponteiro dos minutos desceve um ângulo de   360º no tempo de 1 hora. Num rel...
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Solução  Pra saber o ângulo que ele descreve em umahora, precisamos saber quantos tempo ele atrasapor hora.24 h      2 min...
31) (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela  trigonométrica:  Os centros das rodas estão a uma distância dePQ igual a 120 cm...
31) (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela  trigonométrica:  Os centros das rodas estão a uma distância dePQ igual a 120 cm...
PQ = 120cm           PA = 25 cmdados           QB = 52 cm           PA e QB são raiosO que se           Ângulo Ô pede?
Solução   Olhando a figura, sabemos que para achar o ângulo Ô, devemos usar as razões trigonométricas, de acordo com a tab...
25                   120                         Q            sen Ô =             P                                       ...
32) (UNIRIO) Ao ser indagado sobre o valor              de sen 45º,           um estudante passou assim:             30º +...
32) (UNIRIO) Ao ser indagado sobre o valor               de sen 45º,            um estudante passou assim:             30º...
Fórmula paradados           calcular sen 45º              Comparação entre oO que se            valor calculado e o valor ...
Solução            Resposta do estudante:              sen 30º + sen 60º    sen 45º =                       2             ...
33) (UFF) Considere os ângulos            representados no círculo:Pode-se afirmar que:a) cos α < cos βb) cos γ > cos αc) ...
33) (UFF) Considere os ângulos             representados no círculo:Pode-se afirmar que:a) cos α < cos β              Repr...
SoluçãoAnalisando os senos      Analisando os cossenossen γ < sen β < senα        cos β < cos γ < cos α      a) cos α < co...
34) Se tg x = 3/4 e   π < x < 3π / 2 , o valor decos x – sen x é:a) 7/5b) - 7/5c) - 2/5d) 1/5e) -1/5
34) Se tg x = 3/4 e   π < x < 3π / 2 , o valor decos x – sen x é:a) 7/5                           tg x = 3/4b) - 7/5      ...
Solução  Para calcular seno e cosseno de x, precisamoscalcular a hipotenusa.            a        Pelo Teorema de Pitágora ...
tg a + tg b35)                 =    cotg a + cotg ba) tg a . tg bb) cotg a . cotg bc) 1d) 2e) sec a . sec b
Solução                   sen a sen b                         +  tg a + tg b      cos a cos b =                =cotg a + c...
36) (UFRJ) A figura mostra uma circunferência de 1m  de raio e centro O, à qual pertencem os pontos A, B  e P, sendo AO pe...
36) (UFRJ) A figura mostra uma circunferência de 1m  de raio e centro O, à qual pertencem os pontos A, B  e P, sendo AO pe...
Raio = 1mdados      AO perpendicular a BO           BS e AT são tangentesO que se   O perímetro pede?     de AOBSTA
Solução                          1     C                     B                        S                    1              ...
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37) (UNIRIO) O valor numérico da expressão:                 π              sen + cos 240º −[ tg ( − 750º ) ]              ...
Solução   π             2sen = sen 45º =   4            2                         1cos 240º = − cos 60º = −               ...
9π          9.180                      1cossec    = cossec        = cossec 405º =          =        4          4    ...
π    sen + cos 240º −[ tg ( − 750º ) ]                                      2       4                                     ...
3 2 −5    (            - 12 2 − 18)=            (− 12 2 + 18 - 12 2 − 18)− 72 − 54 2 + 60 2 + 90                        = ...
99π       16π 38) O valor de cos     + tg  −    é:                    4        3 a)  ( 3 − 2)/ 2b)(3 2 + 2 3 ) / 6c ...
Solução              99π                   99 ⋅180Transformando     em graus, temos :         = 4455º               4     ...
16π                   16 ⋅180Transformando     em graus, temos :         = 960º               3                       3   ...
 99π         16π   cos        + tg −     =    4           3           2       − 2 −2 3=−      − 3=            ...
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Matemática - Exercícios Resolvidos de Trigonometria

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  1. 1. Apostila 1 – Qi - 3º ano Trigonometria
  2. 2. 29) Quantos graus mede aproximadamente umângulo de 0,105 radianos?a)2b)4c)6d)8e)10
  3. 3. 29) Quantos graus mede aproximadamente umângulo de 0,105 radianos?a)2 dados Ângulo = 0,105 radb)4c)6 O que se Medida dod)8 pede? ângulo em grause)10
  4. 4. Solução Já sabemos que π rad equivale a 180º. Então,basta fazer a regra de três: π 180º x= 180º.0,1050,105 x π Como π = 3,14, então temos que : 180.0,105 x= = 6,01 Letra c 3,14
  5. 5. 30) Num relógio que funciona precisamente o ponteiro dos minutos desceve um ângulo de 360º no tempo de 1 hora. Num relógio que está atrasando 2 minutos por dia, no tempo de 1 hora o ponteiro dos minutosdescreve um ângulo de:a) 358ºb) 359ºc) 359º 50’d) 359º 30’e) 359º 48’
  6. 6. 30) Num relógio que funciona precisamente o ponteiro dos minutos descreve um ângulo de 360º no tempo de 1 hora. Num relógio que está atrasando 2 minutos por dia, no tempo de 1 hora o ponteiro dos minutos descreve um ângulo de:a) 358º Relógio atrasa 2 dadosb) 359º minutos por diac) 359º 50’ O que se Ângulo que od) 359º 30’ pede? relógio descrevee) 359º 48’ em 1 hora
  7. 7. Solução Pra saber o ângulo que ele descreve em umahora, precisamos saber quantos tempo ele atrasapor hora.24 h 2 min 2.1 x= x = 5 segundos 1h x 24 Agora é só saber quantos graus correspondema 5 segundos: 60” 6º 5.6 x= x = 0,5º = 30 5” x 60 Letra c
  8. 8. 31) (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica: Os centros das rodas estão a uma distância dePQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem,respectivamente, 25 cm e 52 cm. De acordo com atabela, o ângulo Ô tem o seguinte valor: a) 10º b) 12º c) 13º d) 14º
  9. 9. 31) (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica: Os centros das rodas estão a uma distância dePQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem,respectivamente, 25 cm e 52 cm. De acordo com atabela, o ângulo Ô tem o seguinte valor: a) 10º b) 12º c) 13º d) 14º
  10. 10. PQ = 120cm PA = 25 cmdados QB = 52 cm PA e QB são raiosO que se Ângulo Ô pede?
  11. 11. Solução Olhando a figura, sabemos que para achar o ângulo Ô, devemos usar as razões trigonométricas, de acordo com a tabela. Porém, para isso, temos que achar o valor de OP ou AO antes. Q 120 P 52 x 25 O A B Note que os triângulos OAP e OBQ são semelhantes,então: 52 120 + x = ⇒ x = 111,11 25 x
  12. 12. 25 120 Q sen Ô = P 111,11 111,11 52 25 sen Ô = 0,225O A B Verificando a tabela, percebemos que do ângulo cujo seno vale 0,225 é o que mede 13º. Logo, Ô = 13º  letra c
  13. 13. 32) (UNIRIO) Ao ser indagado sobre o valor de sen 45º, um estudante passou assim: 30º +60º sen30º + sen60º 45º = sen45º = 2 2 Continuando como raciocínio o estudante encontroucomo resposta:a) Um valor menor que o correto, diferente da metade do corretob) O valor corretoc) A metade do valor corretod) O dobro do valor corretoe) Um valor maior que o correto, diferente do dobro do correto
  14. 14. 32) (UNIRIO) Ao ser indagado sobre o valor de sen 45º, um estudante passou assim: 30º +60º sen30º + sen60º 45º = sen45º = 2 2 Continuando como raciocínio o estudante encontroucomo resposta:a) Um valor menor que o correto, diferente da metade do corretob) O valor corretoc) A metade do valor corretod) O dobro do valor corretoe) Um valor maior que o correto, diferente do dobro do correto
  15. 15. Fórmula paradados calcular sen 45º Comparação entre oO que se valor calculado e o valor pede? que conhecemos
  16. 16. Solução Resposta do estudante: sen 30º + sen 60º sen 45º = 2 1 3 + sen 45º = 2 2 = 1+ 3 ⋅ 1 = 1+ 3 2 2 2 4 1 + 1,7 sen 45º = = 0,675 4 2 1,4Sabemos que sen 45º = = = 0,7 2 2 Logo, a resposta é a letra a: um valor menor queo correto, diferente da metade do correto.
  17. 17. 33) (UFF) Considere os ângulos representados no círculo:Pode-se afirmar que:a) cos α < cos βb) cos γ > cos αc) senα > sen βd) sen β < cos γe) cos β > cos γ
  18. 18. 33) (UFF) Considere os ângulos representados no círculo:Pode-se afirmar que:a) cos α < cos β Representação dos dadosb) cos γ > cos α arcos no círculoc) senα > sen β Comparação O que sed) sen β < cos γ entre os senos e pede?e) cos β > cos γ os cossenos
  19. 19. SoluçãoAnalisando os senos Analisando os cossenossen γ < sen β < senα cos β < cos γ < cos α a) cos α < cos β d) sen β < cos γ b) cos γ > cos α e) cos β > cos γ c) senα > sen β
  20. 20. 34) Se tg x = 3/4 e π < x < 3π / 2 , o valor decos x – sen x é:a) 7/5b) - 7/5c) - 2/5d) 1/5e) -1/5
  21. 21. 34) Se tg x = 3/4 e π < x < 3π / 2 , o valor decos x – sen x é:a) 7/5 tg x = 3/4b) - 7/5 dados X está no 3ºc) - 2/5 quadranted) 1/5 O que se cos x – sen xe) -1/5 pede?
  22. 22. Solução Para calcular seno e cosseno de x, precisamoscalcular a hipotenusa. a Pelo Teorema de Pitágora temos: 3 a2 = 3 2 + 4 2  a = 5 x 4 3º quadrante 3 4 sen x = − e cos x = − 5 5 4 3 1 Então, cos x - sen x = − + = − letra e 5 5 5
  23. 23. tg a + tg b35) = cotg a + cotg ba) tg a . tg bb) cotg a . cotg bc) 1d) 2e) sec a . sec b
  24. 24. Solução sen a sen b + tg a + tg b cos a cos b = =cotg a + cotg b cos a + cos b sen a sen b sen a cos b + sen b cos a sen a sen b= ⋅ = cos a cos b sen a cos b + sen b cos a sen a cos b + sen b cos a sen a sen b= ⋅ = cos a cos b sen a cos b + sen b cos a sen a sen b= = tg a tg b letra a cos a cos b
  25. 25. 36) (UFRJ) A figura mostra uma circunferência de 1m de raio e centro O, à qual pertencem os pontos A, B e P, sendo AO perpendicular BO; BS e AT são retas tangentes a essa circunferência.Determine o perímetro do polígono AOBSTA emfunção do ângulo θ .
  26. 26. 36) (UFRJ) A figura mostra uma circunferência de 1m de raio e centro O, à qual pertencem os pontos A, B e P, sendo AO perpendicular BO; BS e AT são retas tangentes a essa circunferência. Determine o perímetro do polígono AOBSTA emfunção do ângulo θ .
  27. 27. Raio = 1mdados AO perpendicular a BO BS e AT são tangentesO que se O perímetro pede? de AOBSTA
  28. 28. Solução 1 C B S 1 T θ O 1 AComo OA e OB são raios, então OA = OB = 1m.Também sabemos que OA e OB são perpendiculares. Então, OACB é um quadrado e OA = OB = BC = AC = 1m
  29. 29. B 1 C S θ 1 T θ O A 1 Como OACB é um quadrado , então BC e OA sãoparalelas. Sendo AS tansversal a essas duas retas paralelas,então o ângulo OSC também mede θ ˆ
  30. 30. y B 1 C S θ 1 z T θ x O A 1Pelo triângulo OAT, temos : xtg θ = ⇒ x = tgθ 1Pelo triângulo OSB, temos : 1 1tg θ = ⇒ y = ⇒ y = cotgθ y tg θ
  31. 31. y B 1 C S θ 1 z T θ x O 1 ASe y = cotg θ , então CS = cotg θ − 1 cos θ cos θ − senθ −1 cotg θ − 1cos θ = ⇒ z = sen θ = senθ z cos θ cos θ cos θ − senθ 1 cos θ − senθz= ⋅ = senθ cos θ senθ cos θ cos θ senθ 1 1z= − = − senθ cos θ senθ cos θ senθ cos θ
  32. 32. y B 1 C S θ 1 z T θ x O 1 A 1 1z= − = cossecθ − sec θ senθ cos θJá sabemos que :OA = OB = 1 e também que y = cotg θ e x = tgθEntão o prímetro do polígono AOBSTA, em função de θ é : 2 + cotgθ + tgθ + cossecθ − secθ
  33. 33. 37) (UNIRIO) O valor numérico da expressão: π sen + cos 240º −[ tg ( − 750º ) ] 2 4 é:  9π   5π  ( sec1200º )  cos sec  +  cotg   4   6  (a) 3 + 2 / 6 ) (b) − 3 + 2 / 6 ) (c) 3 − 2 / 6 ) (d) − 3− 2 / 6 )e)0
  34. 34. Solução π 2sen = sen 45º = 4 2 1cos 240º = − cos 60º = − 2 3tg ( - 750 ) = tg 330º = tg 30º = 3 1 1 1sec1200º = = =− = −2 cos 1200º cos 120º cos 60º
  35. 35. 9π  9.180  1cossec = cossec  = cossec 405º = = 4  4  sen 405º 1 2 2 2 = = = = 2 sen 45º 2 2 5π  5.180 cotg = cotg  = cotg 150º = − cotg 30º = 6  6  3 3 3 =− =− =− 3 3 3
  36. 36. π sen + cos 240º −[ tg ( − 750º ) ] 2 4 =  9π   5π ( sec1200º )  cos sec  +  cotg   4   6  2 2 1  3 2 1 3 3 2 −3− 2 − −  − − 2 2  3    = 2 2 9= 6= = ( − 2. 2 + − 3 2 ) −2 2 +3 −2 2 +3 3 2 −5 1 3 2 −5= ⋅ = 6 − 2 2 + 3 − 12 2 + 18
  37. 37. 3 2 −5 ( - 12 2 − 18)= (− 12 2 + 18 - 12 2 − 18)− 72 − 54 2 + 60 2 + 90 = 288 − 32418 + 6 2 =− ( 3+ 2 ) letra b − 36 6
  38. 38. 99π  16π 38) O valor de cos + tg  −  é: 4  3 a) ( 3 − 2)/ 2b)(3 2 + 2 3 ) / 6c ) − (3 2 + 2 3 ) / 6d) − ( 3 + 2) / 2e) − ( 3 + ( 2 / 2 ) )
  39. 39. Solução 99π 99 ⋅180Transformando em graus, temos : = 4455º 4 4 Calculando a MDP de 4455, temos : 4455 360 135 12  99π  Logo, cos  = cos 4455º = cos 135º =  4  2 = − cos 45º = − 2
  40. 40. 16π 16 ⋅180Transformando em graus, temos : = 960º 3 3 16π Calculando a MDP de , temos : 3 960 360 240 2  16π  Logo, tg −  = tg ( − 960º ) = tg ( − 240º )  3  = tg120º = −tg 60º = − 3
  41. 41.  99π   16π cos  + tg − =  4   3  2 − 2 −2 3=− − 3= = 2 2  2 = −  2 + 3    letra e

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