Problemas resueltos-factorizacion

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Problemas resueltos-factorizacion

  1. 1. PROBLEMAS RESUELTOS CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común CASO II factor comun por agrupación de terminos CASO III trinomio cuadrado perfecto CASO IV Diferencia de cuadrados perfectos CASO V Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustraccion CASO VI Trinomio de la forma x2 + bx + c Algebra Baldor Para cualquier inquietud o consulta escribir a: quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere2006@yahoo.com 0HU U H1U U H2U U Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010 1
  2. 2. 2
  3. 3. FACTORIZACION CASO 1 (Pág. 144 Baldor). CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN a) Factor común monomio Problema 1. Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor común que es a. Escribimos el factor común “a” como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; a2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos: a2 + 2ª = a (a + 2) Problema 2. Descomponer 10b – 30 ab2 Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 por que siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b por que esta en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b. El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b ÷ 10b = 1 y -30ab2 ÷ 10b = - 3ab y tendremos: 10b – 30 ab2 = 10 (1 - 3ab) Problema 3. Descomponer m (x + 2) + x + 2 Esta expresión podemos escribirla; m (x + 2) + (x + 2) = m (x + 2) + 1 (x + 2) Factor común (x + 2). Tendremos; m (x + 2) + 1 (x + 2) = (x + 2) (m+1) Problema 4. Descomponer a (x + 1) – x – 1 Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene: a (x + 1) – x – 1 = a (x + 1) – (x + 1) a (x + 1) – x – 1 = a (x + 1) – 1(x + 1) Factor común (x + 1). Tendremos; a (x + 1) – x – 1 = (x + 1) (a - 1) Problema 5. Factorar 2x (x + y + z) – x – y – z Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene: 2x (x + y + z) – x – y – z = 2x (x + y + z) – (x + y + z) 2x (x + y + z) – x – y – z = 2x (x + y + z) – 1(x + y + z) Factor común (x + y + z). Tendremos; 3
  4. 4. 2x (x + y + z) – x – y – z = (x + y + z) (2x - 1) Problema 6. Factorar (x - a) (y + 2) + b(y + 2) Factor común (y + 2). Dividiendo los dos términos de la expresión dada entre (y + 2) tenemos: (x - a )(y + 2) = (x - a) (y + 2 ) y b (y + 2 ) =b (y + 2 ) Luego: (x - a) (y + 2) + b(y + 2) = (y + 2) (x – a + b) Problema 7. Descomponer (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) Factor común (x - 1). Dividiendo los dos términos de la expresión dada entre (x - 1) tenemos: (x + 2)(x - 1) = (x + 2) (x - 1) y - (x - 1)(x - 3) = - (x - 3) (x - 1) Luego: (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ (x + 2) – (x – 3)] (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ x + 2 – x + 3] (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ 2 + 3] (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ 5] (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = 5 (x – 1) Problema 8. Factorar x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene: x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 = x (a – 1) + y (a – 1) – (a – 1) x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 = x (a – 1) + y (a – 1) – 1(a – 1) Factor común (a - 1). Tendremos; x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 = (a – 1) (x + y - 1) CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN EJERCICIO # 89 Pagina 145 Problema 89.1 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer a2 + ab a2 y ab contienen el factor común que es “a“. Escribimos el factor común “a“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; a2 ÷ a = a y ab ÷ a = b y tendremos: a2 + ab = a (a + b) Problema 89.3 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x2 + x x2 y x contienen el factor común que es “x“. 4
  5. 5. Escribimos el factor común “x“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; x2 ÷ x = x y x÷x=1 y tendremos: x2 + x = x (x + 1) Problema 89.5 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x3 + 4x4 x3 y 4x4 contienen el factor común que es “x3“. Escribimos el factor común “x3“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; x3 ÷ x3 = 1 y 4x4 ÷ x3 = 4x y tendremos: x3 + 4x4 = x3 (1 + 4x) Problema 89.7 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer ab - bc ab y bc contienen el factor común que es “b“. Escribimos el factor común “b“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; ab ÷ b = a y -bc ÷ b = - c y tendremos: ab - bc = b (a – c) Problema 89.9 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 2a2 x + 6ax2 Los coeficientes 2 y 6 tienen como factor comun 2. De las letras, el único factor común es “ax“ por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es “2ax“. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 2a2 x ÷ 2ax = a y + 6ax2 ÷ 2ax = 3x y tendremos: 2a2 x + 6ax2 = 2ax (a + 3x) Problema 89.11 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 9a3x2 - 18ax3 Los coeficientes 9 y 18 tienen como factor común 9. De las letras, el único factor común es “ax2 “ por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es “9ax2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 9a3x2 ÷ 9ax2 = a2 y - 18ax3 ÷ 9ax2 = - 2x y tendremos: 9a3x2 - 18ax3 = 9ax2 (a2 – 2x) Problema 89.13 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 35m2n3 - 70m3 Los coeficientes 35 y 70 tienen como factor común 35. De las letras, el único factor común es “m2 “ por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es “35m2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 5
  6. 6. 35m2n3 ÷ 35m2 = n3 - 70m3 ÷ 35m2 = - 2m y y tendremos: 35m2n3 - 70m3 = 35m2 (n3 – 2m) Problema 89.15 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 24a2xy2 - 36x2y4 Los coeficientes 24 y 36 tienen como factor común 12. De las letras, el único factor común es “xy2 “ por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es “12xy2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 24a2xy2 ÷ 12xy2 = 2a2 y - 36x2y4 ÷ 12xy2 = - 3xy2 y tendremos: 24a2xy2 - 36x2y4 = 12xy2 (2a2 - 3xy2) Problema 89.17 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 4x2 - 8x + 2 Los coeficientes 4, 8 y 2 tienen como factor común 2. Las letras NO TIENEN factor común. El factor común es “2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 4x2 ÷ 2 = 2x2 - 8x ÷ 2 = - 4x y 2 ÷2=1 y tendremos: 4x2 - 8x + 2 = 2 (2x2 - 4 + 1) Problema 89.19 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer a3 - a2x + ax2 a3 , a2x y ax2 contienen el factor común que es “a“. Escribimos el factor común “a“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; a3 ÷ a = a2 - a2x ÷ a = - ax y ax2 ÷ a = x2 y tendremos: a3 - a2x + ax2 = a (a2 – ax + x2) Problema 89.21 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x3 + x5 - x7 x3 , x5 y x7 contienen el factor común que es “x3 “. Escribimos el factor común “x3 “ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; x3 ÷ x3 = 1 x5 ÷ x3 = x2 y - x7 ÷ x3 = - x4 y tendremos: x3 + x5 - x7 = x3 (1 + x2 – x4) Problema 89.23 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 34ax2 + 51a2y - 68ay2 Los coeficientes 34, 51 y 68 tienen como factor común 17. De las letras, el único factor común es “a “ por que esta en los tres términos de la expresión dada. 6
  7. 7. El factor común es “17a“. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 34ax2 ÷ 17a = 2x2 51a2y ÷ 17a = 3ay y - 68ay2 ÷ 17a = - 4y2 y tendremos: 34ax2 + 51a2y - 68ay2 = 17a (2x2 + 3ay - 4y2) Problema 89.25 Algebra Baldor (Pagina 145) a2b2c2 - a2c2x2 + a2c2y2 = a2c2 (b2 - x2 + y2) Problema 89.27 Algebra Baldor (Pagina 145) 93a3x2y - 62a2x3y2 - 124a2x = 31a2x (3axy - 2x2y2 - 4) 29) a6 - 3a4 + 8a3 - 4a2 = a2 (a4 - 3a2 + 8a - 4) 31) x15 - x12 + 2x9 - 3x6 = x6 (x9 - x6 + 2x3 - 3) 33) 16x3y2 - 8x2y - 24x4y2 - 40x2y3 = 8x2y (2xy - 1 - 3x2y - 5y2) 35) 100a2b3c - 150ab2c2 + 50ab3c3 - 200abc2 = 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c) 37) a2 - 2a3 + 3a4 - 4a5 + 6a6 = a2 (1 - 2a + 3a2 - 4a3 + 6a4) 39) a20 - a16 + a12 - a8 + a4 - a2 = a2 (a18 - a14 + a10 - a6 + a2 - 1) Ejercicio # 90 pag. 146 Ejercicio # 90.2 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores x (a + 1) - 3 (a + 1) = (a + 1) (x – 3) Ejercicio # 90.4 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores m (a - b) + (a – b) n = (a – b) (m + n) Ejercicio # 90.6 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores a (n + 2) + n + 2 = (n + 2) (a +1) 8) a2 + 1 - b (a2 + 1) = 2 1 (a + 1) - b (a2 + 1) (a2 + 1) (1 – b) Ejercicio # 90.10 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 1 – x + 2a (1 – x) = 1(1 – x) + 2a (1 – x) (1 – x) (1 + 2a) 7
  8. 8. 12) - m – n + x (m + n) = -1 (m + n) + x (m + n) (m + n) (-1 + x) = (m + n) (x - 1) Ejercicio # 90.14 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 4m ( a2 + x – 1) + 3n ( x – 1 + a2) = 4m ( a2 + x – 1) + 3n (a2 + x – 1) = (a2 + x – 1) (4m + 3m) 16) (x + y) (n + 1) - 3 (n + 1) = (n + 1) (x + y – 3) Ejercicio # 90.18 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (a + 3)(a + 1) - 4(a + 1) = (a + 1) (a + 3 – 4) = (a + 1) (a – 1) Ejercicio # 90.20 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores a (x – 1) – (a +2)(x – 1) = (x – 1) (a – a – 2) = (x – 1) (-2) Ejercicio # 90.22 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (a + b) (a – b) - (a – b) (a – b) = (a – b) (a + b – a + b) (a – b) (2b) Ejercicio # 90.24 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (x + m) (x + 1) - (x + 1) (x – n) = (x + 1) (x + m – x + n) (x + 1) (m + n) Ejercicio # 90.26 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (a + b – 1) (a2 + 1) - a2 – 1 = (a + b – 1) (a2 + 1) - 1(a2 + 1) (a2 + 1) (a + b – 1) Ejercicio # 90.28 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 3x ( x – 1) - 2y (x – 1) + z (x – 1) = (x – 1) (3x – 2y + z) Ejercicio # 90.30 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores x (a +2) – a – 2 + 3 (a + 2) = 8
  9. 9. x (a +2) - 1(a + 2) + 3 (a + 2) = (a +2) ( x - 1 + 3) = (a +2) (x + 2) Ejercicio # 90.32 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (3x + 2) (x + y – z) - (3x + 2) - (x + y – 1) (3x + 2) = (3x + 2) (x + y – z) - 1 (3x + 2) - (x + y – 1) (3x + 2) = (3x + 2) (x + y – z – 1 – x – y + 1) = (3x + 2) (- z) CASO II FACTOR COMUN POR AGRUPACIÓN DE TERMINOS EJERCICIO # 91 pagina 148 Problema 91.1 Algebra Baldor a2 + ab + ax + bx = a (a + b) + x (a + b) = (a + b) (a + x) a2 + ab + ax + bx = (a + b) (a + x) Problema 91.3 Algebra Baldor ax – 2bx – 2ay + 4by = x (a – 2b) –2y (a – 2b) = (a – 2b) (x – 2y) ax – 2bx – 2ay + 4by = (a – 2b) (x – 2y) Problema 91.5 Algebra Baldor 3m – 2n – 2nx4 + 3mx4 = 3m + 3mx4 – 2n – 2nx4 = 3m (1 + x4) – 2n (1 + x4) 3m – 2n – 2nx4 + 3mx4 = (1 + x4) (3m – 2n) Problema 91.7 Algebra Baldor 4a3 – 1 – a2 + 4a = 4a + 4a3 – 1 – a2 = 4a (1 + a2) – 1(1 + a2) 4a3 – 1 – a2 + 4a = (1 + a2) (4a – 1) Problema 91.9 Algebra Baldor 3abx2 – 2y2 – 2x2 + 3aby2 = 3abx2 + 3aby2 – 2x2 – 2y2 = 3ab (x2 + y2) – 2 (x2 + y2) = 3abx2 – 2y2 – 2x2 + 3aby2 = (x2 + y2) (3ab – 2) Problema 91.11 Algebra Baldor 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx = 4a3x – 4a2b – 3amx + 3bm = 4a2 (ax – b) - 3m (ax – b) = 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx = (ax – b) (4a2 – 3m) Problema 91.13 Algebra Baldor 3x3 – 9ax2 – x + 3a = 3x2 (x – 3a) - 1(x – 3a) = 3x3 – 9ax2 – x + 3a = (x – 3a) (3x2 – 1) 9
  10. 10. CASO III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO EJERCICIO # 92 pagina 151 Problema 92.2 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 2ab + b2 = La raíz cuadrada de a2 es a La raíz cuadrada de b2 es b El segundo termino es: 2(a) (b) = 2ab a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Problema 92.4 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: y4 + 1 + 2y2 = y4 + 2y2 + 1 = La raíz cuadrada de y4 es y2 La raíz cuadrada de 1es 1 El segundo termino es: 2(y2) (1) = 2 y2 = (y2 + 1)2 Problema 92.6 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: 9 – 6x + x2 = La raíz cuadrada de 9 es 3 La raíz cuadrada de x2 es x El segundo termino es: 2(3) (x) = 6x 9 – 6x + x2 = (3 – x)2 Problema 92.8 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: 1 + 49a2 – 14a = 1– 14a + 49a2 La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de 49a2 es 7a El segundo termino es: 2(1) (7a) = 14a 1– 14a + 49a2 = (1 – 7a)2 Problema 92.10 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: 1 – 2a3 + a6 = La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de a6 es a3 El segundo termino es: 2(1) (a3) = 2a3 1 – 2a3 + a6 = (1 – a3)2 Problema 92.12 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: 10
  11. 11. a6 – 2a3 b3 + b6 = La raíz cuadrada de a6 es a3 La raíz cuadrada de b6 es b3 El segundo termino es: 2(a6) (b3) = 2a6 b3 a6 – 2a3 b3 + b6 = (a3 – b3)2 Problema 92.14 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: 9b2 – 30a2 b + 25a4 = La raíz cuadrada de 9b2 es 3b La raíz cuadrada de 25a4 es 5a2 El segundo termino es: 2(3b) (5a2 ) = 30a2 b 9b2 – 30a2 b + 25a4 = (3b – 5a2)2 CASO IV DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo. Se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo Ejemplo: Factorizar 1 – a2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1. a2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”. Multiplica la suma de las raíces, (1 + a) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 - a) 1 – a2 = (1 + a) * (1 - a) Ejemplo: Factorizar 16x2 – 25y4 16 x2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 4 x. 25 y4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 y2. Multiplica la suma de las raíces, (4x + 5y2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (4 x – 5 y2) 16x2 – 25y4 = (4x + 5y2) * (4 x – 5 y2) Ejemplo: Factorizar 49 x2 y6 z10 – a12 49 x2 y6 z10 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7 x y3 z5 a12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a6. Multiplica la suma de las raíces, (7 x y3 z5 + a6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (7 x y3 z5 – a6) 49 x2 y6 z10 – a12 = (7 x y3 z5 + a6) * (7 x y3 z5 – a6) 11
  12. 12. Ejemplo: Factorizar a 2 b4 4 9 a2 a es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es . 4 2 b4 b2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 9 3 a b2 Multiplica la suma de las raíces, ( + ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del 3 2 b2 a sustraendo ( – ) 3 2 a 2 b4 ⎛ a b2 ⎞ ⎛ a b2 ⎟*⎜ =⎜ + 4 9 ⎜2 3 ⎟ ⎜2 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Ejemplo: Factorizar a2a – 9b4m a2a es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es aa 9b4m es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3b2m Multiplica la suma de las raíces, (aa + 3b2m ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (aa – 3b2m ) a2a – 9b4m = (aa + 3b2m ) *(aa – 3b2m ) 12
  13. 13. EJERCICIO # 93 Pagina 152 Problema 93.1 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores x2 – y2 x2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “x”. y2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “y” Multiplica la suma de las raíces, (x + y) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x - y) x2 – y2 = (x + y) * (x - y) Problema 93.2 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 13
  14. 14. a2 – 1 a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”. 1 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 Multiplica la suma de las raíces, (a + 1) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a - 1) a2 – 1 = (a + 1* (a - 1) Problema 93.3 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a2 – 4 a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”. 4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2 Multiplica la suma de las raíces, (a + 2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a - 2) a2 – 1 = (a + 2) * (a - 2) Problema 93.4 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 9 – b2 9 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3 b2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “b” Multiplica la suma de las raíces, (3 + b) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (3 - b) 9 – b2 = (3 + b) * (3 - b) Problema 93.5 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 – 4m2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 4m2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2m Multiplica la suma de las raíces, (1 + 2m) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 – 2m) 1 – 4m2 = (1 + 2m) * (1 – 2m) Problema 93.6 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 16 – n2 16 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 4 n2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “n” Multiplica la suma de las raíces, (4 + n) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (4 - n) 16 – n2 = (4 + n) * (4 - n) 14
  15. 15. Problema 93.7 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a2 – 25 a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a” 25 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 Multiplica la suma de las raíces, (a + 5) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a - 5) a2 – 25 = (a + 5) * (a - 5) Problema 93.8 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 – y2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 y2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “y” Multiplica la suma de las raíces, (1 + y) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 – y) 1 – y2 = (1 + y) * (1 – y) Problema 93.9 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 4a2 – 9 4a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “2a” 9 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3 Multiplica la suma de las raíces, (2a + 3) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (2a - 3) 4a2 – 9 = (2a + 3) * (2a - 3) Problema 93.10 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 25 – 36a4 25 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 36a4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 6a2. Multiplica la suma de las raíces, (5 + 6a2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (5 – 6a2) 25 – 36a4 = (5 + 6a2) * (5 – 6a2) Problema 93.11 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 – 49 a2 b2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 49 a2 b2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7ab Multiplica la suma de las raíces, (1 + 7ab) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 – 7ab) 15
  16. 16. 1 – 49 a2 b2 = (1 + 7ab) * (1 – 7ab) Problema 93.12 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 4x2 – 81y4 4x2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2x 81y4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 9y2. Multiplica la suma de las raíces, (2x + 9y2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (2x – 9y2) 4x2 – 81y4 = (2x + 9y2) * (2x – 9y2) Problema 93.13 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a2b8 – c2 a2b8 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es ab4 c2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “c” Multiplica la suma de las raíces, (ab4 + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (ab4 – c) a2b8 – c2 = (ab4 + c) * (ab4 – c) Problema 93.14 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 100 – x2y6 100 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 10 x2y6 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “xy3” Multiplica la suma de las raíces, (10 + xy3) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (10 – xy3) 100 – x2y6 = (10 + xy3) * (10 – xy3) Problema 93.15 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a10 – 49 b12 a10 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a5 49 b12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7b6 Multiplica la suma de las raíces, (a5 + 7b6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a5 - 7b6) a10 – 49 b12 = (a5 + 7b6) * (a5 - 7b6) Problema 93.16 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 16
  17. 17. 25x2y4 – 121 25x2y4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5xy2 121 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 11 Multiplica la suma de las raíces, (5xy2 + 11) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (5xy2 - 11) 25x2y4 – 121 = (5xy2 + 11) * (5xy2 - 11) Problema 93.17 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 100 m2 n4 – 169 y6 100 m2 n4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 10mn2 169 y6 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 13 y3 Multiplica la suma de las raíces, (10mn2 + 13 y3) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (10mn2 - 13 y3) 100 m2 n4 – 169 y6 = (10mn2 + 13 y3) * (10mn2 - 13 y3) Problema 93.18 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a2 m4 n6 – 144 a2 m4 n6 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es am2n3 144 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 12 Multiplica la suma de las raíces, (am2n3 + 12) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (am2n3 - 12) a2 m4 n6 – 144 = (am2n3 + 12) * (am2n3 - 12) Problema 93.19 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 196 x2 y4 – 225 x12 196 x2 y4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 14 xy2 225 x12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 15x6 Multiplica la suma de las raíces, (14 xy2 + 15x6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (14 xy2 - 15x6) 196 x2 y4 – 225 x12 = (14 xy2 + 15x6) * (14 xy2 - 15x6) Problema 93.20 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 256 a12 – 289 b4 m10 256 a12 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 16 a6 289 b4 m10 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 17 b2 m5 17
  18. 18. Multiplica la suma de las raíces, (16 a6 + 17 b2 m5) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (16 a6 - 17 b2 m5) 256 a12 – 289 b4 m10 = (16 a6 + 17 b2 m5) * (16 a6 - 17 b2 m5) Problema 93.21 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 – 9 a2 b4 c6 d8 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 9 a2 b4 c6 d8 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3 a2 b2 c3 d4 Multiplica la suma de las raíces, (1 + 3 a2 b2 c3 d4 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 – 3 a2 b2 c3 d4 ) 1 – 9 a2 b4 c6 d8 = (1 + 3 a2 b2 c3 d4 ) * (1 – 3 a2 b2 c3 d4 ) CASO ESPECIAL Ejemplo: Factorizar (a + b)2 – c2 La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas. Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de c2 es “c” Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a + b - c) (a + b)2 – c2 = (a + b + c) (a + b - c) Ejemplo: Factorizar 4x2 - (x + y)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 4x2 es 2x La raíz cuadrada de (x + y)2 es (x + y) Multiplica la suma de las raíces, [2x + (x + y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [2x - (x + y)] 4x2 - (x + y)2 = [2x + (x + y)] * [2x - (x + y)] 4x2 - (x + y)2 = [2x + x + y] * [2x - x - y] 4x2 - (x + y)2 = [3x + y] * [x - y] Ejemplo: Factorizar (a + x)2 - (x + 2)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + x)2 es (a + x) La raíz cuadrada de (x + 2)2 es (x + 2) Multiplica la suma de las raíces, [(a + x) + (x + 2)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a + x) - (x + 2)] 18
  19. 19. (a + x)2 - (x + 2)2 = [(a + x) + (x + 2)] * [(a + x) - (x + 2)] (a + x)2 - (x + 2)2 = [a + x + x + 2] * [a + x - x - 2] (a + x)2 - (x + 2)2 = [a + 2x + 2] * [a - 2] 19
  20. 20. Problema 94.1 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + y)2 – a2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + y)2 es (x + y) La raíz cuadrada de a2 es “a” Multiplica la suma de las raíces, (x + y + a) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + y - a) (x + y)2 – a2 = (x + y + a) * (x + y - a) Problema 94.2 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 4 – (a + 1)2 Así, en este caso, tenemos: 20
  21. 21. La raíz cuadrada de 4 es 2 La raíz cuadrada de (a + 1)2 es (a + 1) Multiplica la suma de las raíces, [2 + (a + 1)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [2 - (a + 1)] 4 – (a + 1)2 = [2 + (a + 1)] * [2 - (a + 1)] 4 – (a + 1)2 = [2 + a + 1] * [2 - a - 1] 4x2 - (x + y)2 = [3 + a] * [1 - a] Problema 94.3 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 9 – (m + n)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 9 es 3 La raíz cuadrada de (m + n)2 es (m + n) Multiplica la suma de las raíces, [3 + (m + n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [3 - (m + n)] 9 – (m + n)2 = [3 + (m + n)] *[3 - (m + n)] 9 – (m + n)2 = [3 + m + n] *[3 -m - n] 9 – (m + n)2 = [3 + m + n] *[3 -m - n] Problema 94.4 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (m - n)2 – 16 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (m - n)2 es (m - n) La raíz cuadrada de 16 es “4” Multiplica la suma de las raíces, (m – n + 4) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (m – n - 4) (m - n)2 – 16 = [(m – n + 4)] *[(m – n - 4)] Problema 94.5 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x - y)2 – 4z2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x - y)2 es (x - y) La raíz cuadrada de 4z2 es “2z” Multiplica la suma de las raíces, (x – y + 2z) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x – y – 2z) (x - y)2 – 4z2 = (x – y + 2z) * (x – y – 2z) Problema 94.6 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a + 2b)2 – 1 21
  22. 22. Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + 2b)2 es (a + 2b) La raíz cuadrada de 1 es “1” Multiplica la suma de las raíces, (a + 2b + 1) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a + 2b - 1) (a + 2b)2 – 1 = (a + 2b + 1) * (a + 2b - 1) Problema 94.7 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 1 – (x – 2y)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de (x – 2y)2 es (x – 2y) Multiplica la suma de las raíces, [1 + (x – 2y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [1 - (x – 2y)] 1 – (x – 2y)2 = [1 + (x – 2y)] * [1 - (x – 2y)] 1 – (x – 2y)2 = [1 + x – 2y] * [1 - x + 2y] Problema 94.8 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + 2a)2 – 4x2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + 2a)2 es (x + 2a) La raíz cuadrada de 4x2 es “2x” Multiplica la suma de las raíces, (x + 2a + 2x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + 2a - 2x) (x + 2a)2 – 4x2 = [(x + 2a + 2x)] * [(x + 2a - 2x)] (x + 2a)2 – 4x2 = [x + 2a + 2x] * [x + 2a - 2x] (x + 2a)2 – 4x2 = [3x + 2a ] * [2a - x] Problema 94.9Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a + b)2 - (c + d)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de (c + d)2 es (c + d) Multiplica la suma de las raíces, [(a + b) + (c + d)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a + b) - (c + d)] (a + b)2 - (c + d)2 = [(a + b) + (c + d)] * [(a + b) - (c + d)] (a + b)2 - (c + d)2 = [a + b + c + d] * [a + b - c - d] 22
  23. 23. Problema 94.10Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a - b)2 - (c - d)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a - b)2 es (a - b) La raíz cuadrada de (c - d)2 es (c - d) Multiplica la suma de las raíces, [(a - b) + (c - d)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a - b) - (c - d)] (a - b)2 - (c - d)2 = [(a - b) + (c - d)] * [(a - b) - (c - d)] (a - b)2 - (c - d)2 = [a - b + c - d] * [a - b - c + d] Problema 94.11 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + 1)2 – 16x2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + 1)2 es (x + 1) La raíz cuadrada de 16x2 es “4x” Multiplica la suma de las raíces, (x + 1 + 4x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + 1 - 4x) (x + 1)2 – 16x2 = (x + 1 + 4x) * (x + 1 - 4x) (x + 1)2 – 16x2 = (1 + 5x)] * (1 - 3x) Problema 94.12 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 64 m2 – (m – 2n)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 64 m2 es 8m La raíz cuadrada de (m – 2n)2 es (m – 2n) Multiplica la suma de las raíces, [8m + (m – 2n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [8m - (m – 2n)] 64 m2 – (m – 2n)2 = [8m + (m – 2n)] * [8m - (m – 2n)] 64 m2 – (m – 2n)2 = [8m + m – 2n] * [8m - m + 2n] 64 m2 – (m – 2n)2 = [9m – 2n] * [7m + 2n] Problema 94.13 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a - 2b)2 - (x + y)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a - 2b)2 es (a - 2b) La raíz cuadrada de (x + y)2 es (x + y) Multiplica la suma de las raíces, [(a - 2b) + (x + y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a - 2b) - (x + y)] 23
  24. 24. (a - 2b)2 - (x + y)2 = [(a - 2b) + (x + y)] * [(a - 2b) - (x + y)] (a - 2b)2 - (x + y)2 = [a - 2b + x + y] * [a - 2b - x - y] Problema 94.14 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (2a - c)2 - (a + c)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (2a - c)2 es (2a - c) La raíz cuadrada de (a + c)2 es (a + c) Multiplica la suma de las raíces, [(2a - c) + (a + c)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(2a - c) - (a + c)] (2a - c)2 - (a + c)2 = [(2a - c) + (a + c)] * [(2a - c) - (a + c)] (2a - c)2 - (a + c)2 = [2a - c + a + c] * [2a - c - a - c] (2a - c)2 - (a + c)2 = [3a ] * [a - 2c] Problema 94.15 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + 1)2 – 4x2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + 1)2 es (x + 1) La raíz cuadrada de 4x2 es “2x” Multiplica la suma de las raíces, (x + 1 + 2x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + 1 - 2x) (x + 1)2 – 4x2 = (x + 1 + 2x) * (x + 1 - 2x) (x + 1)2 – 4x2 = (1 + 3x)] * (1 - x) Problema 94.16 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 36x2 – (a + 3x)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 36 x2 es 6x La raíz cuadrada de (a + 3x)2 es (a + 3x) Multiplica la suma de las raíces, [8m + (m – 2n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [8m - (m – 2n)] 36x2 – (a + 3x)2 = [6x + (a + 3x)] * [6x - (a + 3x)] 36x2 – (a + 3x)2 = [6x + a + 3x] * [6x - a - 3x] 36x2 – (a + 3x)2 = [9x + a ] * [3x - a ] Problema 94.17 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible a6 – (a - 1)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de a6 es a3 La raíz cuadrada de (a - 1)2 es (a - 1) 24
  25. 25. Multiplica la suma de las raíces, [a3 + (a - 1)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [a3 - (a - 1)] a6 – (a - 1)2 = [a3 + (a - 1)] * [a3 - (a - 1)] a6 – (a - 1)2 = [a3 + a - 1] * [a3 - a + 1] Problema 94.18 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a - 1)2 - (m - 2)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a - 1)2 es (a - 1) La raíz cuadrada de (m - 2)2 es (m - 2) Multiplica la suma de las raíces, [(a - 1) + (m - 2)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a - 1) - (m - 2)] (a - 1)2 - (m - 2)2 = [(a - 1) + (m - 2)] * [(a - 1) - (m - 2)] (a - 1)2 - (m - 2)2 = [a - 1 + m - 2] * [a - 1 - m + 2] (a - 1)2 - (m - 2)2 = [a + m - 3] * [a - m + 1] Problema 94.19 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (2x - 3)2 - (x - 5)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (2x - 3)2 es (2x - 3) La raíz cuadrada de (x - 5)2 es (x - 5) Multiplica la suma de las raíces, [(2x - 3) + (x - 5)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo[(2x - 3) - (x - 5)] (2x - 3)2 - (x - 5)2 = [(2x - 3) + (x - 5)] * [(2x - 3) - (x - 5)] (2x - 3)2 - (x - 5)2 = [2x - 3 + x - 5] * [2x - 3 - x + 5] (2x - 3)2 - (x - 5)2 = [3x - 8] * [x + 2] Problema 94.20 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 1 – (5a + 2x)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de (5a + 2x)2 es (5a + 2x) Multiplica la suma de las raíces, [1 + (5a + 2x)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [1 - (5a + 2x)] 1 – (5a + 2x)2 = [1 + (5a + 2x)] * [1 - (5a + 2x)] 1 – (5a + 2x)2 = [1 + 5a + 2x] * [1 - 5a - 2x] Problema 94.21 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (7x + y)2 – 81 25
  26. 26. Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (7x + y)2 es (7x + y) La raíz cuadrada de 81 es “9” Multiplica la suma de las raíces, (7x + y + 9) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (7x + y - 9) (7x + y)2 – 81 = (7x + y + 9) * (7x + y - 9) CASOS ESPECIALES COMBINACIÓN DE LOS CASOS III Y IV Estudiamos a continuación la descomposición de expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos trinomios (CASO III) se obtiene una diferencia de cuadrados (CASO IV) Ejemplo: Factorizar a2 + 2ab + b2 – 1 Aquí tenemos que a2 + 2ab + b2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego a2 + 2ab + b2 – 1 = (a2 + 2ab + b2) – 1 Factorando el trinomio a2 + 2ab + b2 – 1 = (a + b)2 – 1 Factorando la diferencia de cuadrados a2 + 2ab + b2 – 1 = [(a + b) + 1] * [(a + b) - 1] a2 + 2ab + b2 – 1= [a + b + 1] * [a + b - 1] Ejemplo: Descomponer a2 + m2 – 4b2 – 2am Ordenando esta expresión, podemos escribirla: a2 - 2am + m2 – 4b2 Aquí tenemos que a2 - 2am + m2 – 4b2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego a2 - 2am + m2 – 4b2 = (a2 - 2am + m2 ) – 4b2 Factorando el trinomio a2 - 2am + m2 – 4b2 = (a - m)2 – 4b2 Factorando la diferencia de cuadrados a2 - 2am + m2 – 4b2 = [(a - m) + 2b] * [(a - m) – 2b] a2 - 2am + m2 – 4b2 = [a - m + 2b] * [a - m – 2b] Ejemplo: Descomponer 9a2 – x2 + 2x – 1 Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) para que x2 y 1 se hagan positivos, tendremos: 9a2 – x2 + 2x – 1 = 9a2 – (x2 - 2x + 1) Factorando el trinomio 26
  27. 27. 9a2 – (x2 - 2x + 1)= 9a2 - (x - 1)2 Factorando la diferencia de cuadrados 9a2 - (x - 1)2 = [3a + (x – 1)] * [3a - (x - 1)] 9a2 - (x - 1)2 = [3a + x – 1] * [3a - x + 1] 9a2 - (x - 1)2 = [3a + x – 1] * [3a - x + 1] 9a2 – x2 + 2x – 1= [3a + x – 1] * [3a - x + 1] Ejemplo: Descomponer 4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 El termino 4xy nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene x2 y cuyo tercer termino tiene y2. El termino 2ab nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene a2 y cuyo tercer termino tiene b2. Pero –a2 y –b2 son negativos, se introduce este ultimo trinomio en un paréntesis precedido del signo (-) ordenando 4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 = 4x2 – 4xy + y2 - a2 + 2ab – b2 4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 = (4x2 – 4xy + y2) - (a2 - 2ab + b2) Factorando el trinomio (4x2 – 4xy + y2) - (a2 - 2ab + b2) (2x – y)2 - (a - b)2 Factorando la diferencia de cuadrados (2x – y)2 - (a - b)2 = [(2x – y) + (a - b)] * [(2x – y) - (a - b)] (2x – y)2 - (a - b)2 = [2x – y + a - b] * [2x – y - a + b] 4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 = [2x – y + a - b] * [2x – y - a + b] Ejemplo: Factorar a2 – 9n2 – 6mn + 10ab + 25b2 – m2 El termino 10ab nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene a2 y cuyo tercer termino tiene b2. El termino 6mn nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene m2 y cuyo tercer termino tiene n2. ordenando a2 + 10ab + 25b2 – m2 – 6mn – 9n2 Agrupando a2 + 10ab + 25b2 – m2 – 6mn – 9n2 = (a2 + 10ab + 25b2) – (m2 + 6mn + 9n2) Factorando el trinomio (a2 + 10ab + 25b2) – (m2 + 6mn + 9n2) (a +5b)2 - (m + 3n)2 Factorando la diferencia de cuadrados (a + 5b)2 - (m + 3n)2 = [(a + 5b) + (m + 3n)] * [(a + 5b) - (m + 3n)] (a + 5b)2 - (m + 3n)2 = [a + 5b + m + 3n] * [a + 5b - m - 3n] a2 – 9n2 – 6mn + 10ab + 25b2 – m2 = [a + 5b + m + 3n] * [a + 5b - m - 3n] 27
  28. 28. Problema 95.1 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 2ab + b2 – x2 Agrupando y factorando el trinomio (a2 + 2ab + b2) – x2 (a + b)2 - x2 Factorando la diferencia de cuadrados (a + b)2 - x2 = [(a + b) + x] * [(a + b) - x] (a + b)2 - x2 = [a + b + x] * [a + b - x] a2 + 2ab + b2 – x2 = [a + b + x] * [a + b - x] Problema 95.2 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: x2 – 2xy + y2 – m2 Agrupando y factorando el trinomio (x2 – 2xy + y2 ) – m2 (x - y)2 - m2 Factorando la diferencia de cuadrados (x - y)2 - m2 = [(x - y) + m] * [(x - y) - m] (x - y)2 - m2 = [x - y + m] * [x - y - m] x2 – 2xy + y2 – m2 = [x - y + m] * [x - y - m] Problema 95.3 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: m2 + 2mn + n2 - 1 Agrupando y factorando el trinomio (m2 + 2mn + n2) – 1 (m + n)2 - 1 28
  29. 29. Factorando la diferencia de cuadrados (m + n)2 - 1 = [(m + n) + 1] * [(m + n) - 1] (m + n)2 - 1 = [m + n + 1] * [m + n - 1] m2 + 2mn + n2 - 1 = [m + n + 1] * [m + n - 1] Problema 95.4 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 – 2a + 1 – b2 Agrupando y factorando el trinomio (a – 2a + 1) – b2 (a – 1)2 – b2 Factorando la diferencia de cuadrados (a – 1)2 – b2 = [(a - 1) + b] * [(a - 1) - b] (a – 1)2 – b2 = [a - 1 + b] * [a - 1 - b] a2 – 2a + 1 – b2 = [a - 1 + b] * [a - 1 - b] Problema 95.5 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: n2 + 6n + 9 - c2 Agrupando y factorando el trinomio (n2 + 6n + 9) – c2 (n + 3)2 – c2 Factorando la diferencia de cuadrados (n + 3)2 – c2 = [(n + 3 ) + c] * [(n + 3 ) - c] (n + 3)2 – c2 = [n + 3 + c] * [n + 3 - c] n2 + 6n + 9 - c2 = [n + 3 + c] * [n + 3 - c] Problema 95.6 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + x2 + 2ax - 4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a2 + x2 + 2ax – 4 = a2 + 2ax + x2 – 4 (a2 + 2ax + x2) - 4 (a + x)2 – 4 Factorando la diferencia de cuadrados (a + x)2 – 4 = [(a + x ) + 2] * [(a + x ) - 2] (a + x)2 – 4 = [a + x + 2] * [a + x - 2] a2 + x2 + 2ax – 4 = [a + x + 2] * [a + x - 2] Problema 95.7 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 4 – 4a – 9b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a2 + 4 – 4a – 9b2 = a2 – 4a + 4 – 9b2 (a2 – 4a + 4) – 9b2 (a – 2)2 – 9b2 29
  30. 30. Factorando la diferencia de cuadrados (a – 2)2 – 9b2= [(a - 2) + 3b] * [(a - 2) - 3b] (a – 2)2 – 9b2= [a - 2 + 3b] * [a - 2 - 3b] a2 + 4 – 4a – 9b2 = [a - 2 + 3b] * [a - 2 - 3b] Problema 95.8 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: x2 + 4y2 – 4xy – 1 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio x2 + 4y2 – 4xy – 1 = x2 – 4xy + 4y2 – 1 (x2 – 4xy + 4y2) – 1 (x – 2y)2 – 1 Factorando la diferencia de cuadrados (x – 2y)2 – 1 = [(x – 2y) + 1] * [(x – 2y) - 1] (x – 2y)2 – 1 = [x – 2y + 1] * [x – 2y - 1] x2 + 4y2 – 4xy – 1 = [x – 2y + 1] * [x – 2y - 1] Problema 95.9 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 – 6ay + 9y2 - 4x2 Agrupando y factorando el trinomio a2 – 6ay + 9y2 - 4x2 = (a2 – 6ay + 9y2) – 4X2 (a – 3y)2 – 4x2 Factorando la diferencia de cuadrados (a – 3y)2 – 4x2 = [(a – 3y) + 2x] * [(a – 3y) - 2x] (a – 3y)2 – 4x2 = [a – 3y + 2x] * [a – 3y - 2x] a2 – 6ay + 9y2 - 4x2 = [a – 3y + 2x] * [a – 3y - 2x] Problema 95.10 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy = 4x2 + 20 xy + 25y2 – 36 (4x2 + 20 xy + 25y2) – 36 (2x + 5y)2 – 36 Factorando la diferencia de cuadrados (2x + 5y)2 – 36 = [(2x + 5y) + 6] * [(2x + 5y) - 6] (2x + 5y)2 – 36 = [2x + 5y + 6] * [2x + 5y - 6] 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy = [2x + 5y + 6] * [2x + 5y - 6] Problema 95.11 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 9x2 – 1 + 16a2 – 24ax Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 9x2 – 1 + 16a2 – 24ax = 9x2 – 24ax + 16a2 – 1 (9x2 – 24ax + 16a2) – 1 (3x - 4a)2 – 1 30
  31. 31. Factorando la diferencia de cuadrados (3x - 4a)2 – 1 = [(3x - 4a) + 1] * [(3x - 4a) - 1] (3x - 4a)2 – 1 = [3x - 4a + 1] * [3x - 4a - 1] 9x2 – 1 + 16a2 – 24ax = [3x - 4a + 1] * [3x - 4a - 1] Problema 95.12 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 1 + 64 a2 b2 – x4 – 16ab Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 1 + 64 a2 b2 – x4 – 16ab = 64 a2 b2 – 16ab + 1 – x4 (64 a2 b2 – 16ab + 1) – x4 (8ab - 1)2 – x4 Factorando la diferencia de cuadrados (8ab - 1)2 – x4 = [(8ab - 1) + x2] * [(8ab - 1) - x2] (8ab - 1)2 – x4 = [8ab - 1 + x2] * [8ab - 1 - x2] 1 + 64 a2 b2 – x4 – 16ab = [8ab - 1 + x2] * [8ab - 1 - x2] Problema 95.13 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 – b2 – 2bc – c2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a2 – b2 – 2bc – c2 = a2– b2 – 2bc – c2 a2 – b2 – 2bc – c2 = a2– (b2 + 2bc + c2) a2– (b2 + 2bc + c2) a2 - (b + c)2 Factorando la diferencia de cuadrados a2 - (b + c)2 = [a + (b + c)] * [a - (b + c)] a2 - (b + c)2 = [a + b + c] * [a - b - c] a2 – b2 – 2bc – c2 = [a + b + c] * [a - b - c] Problema 95.14 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 1 - a2 + 2ax – x2 Agrupando y factorando el trinomio 1 - a2 + 2ax – x2 = 1 – (a2 - 2ax + x2) 1 – (a2 - 2ax + x2) 1 - (a - x)2 Factorando la diferencia de cuadrados 1 - (a - x)2 = [1 + (a - x)] * [1 - (a - x)] 1 - (a - x)2 = [1 + a - x] * [1 - a + x] 1 - a2 + 2ax – x2 = [1 + a - x] * [1 - a + x] Problema 95.15 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: m2 – x2 – 2xy – y2 31
  32. 32. Agrupando y factorando el trinomio m2 – x2 – 2xy – y2 = m2 – (x2 + 2xy + y2) m2 – (x2 + 2xy + y2) m2 - (x + y)2 Factorando la diferencia de cuadrados m2 - (x + y)2 = [m + (x + y)] * [m - (x + y)] m2 - (x + y)2 = [m + x + y] * [m - x - y] m2 – x2 – 2xy – y2 = [m + x + y] * [m - x - y] Problema 95.16 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: c2 – a2 + 2 a - 1 Agrupando y factorando el trinomio c2 – a2 + 2 a – 1 = c2 – (a2 - 2a + 1) c2 – (a2 - 2a + 1) c2 - (a - 1)2 Factorando la diferencia de cuadrados c2 - (a - 1)2 = [c + (a - 1)] * [c - (a - 1)] c2 - (a - 1)2 = [c + a - 1] * [c - a + 1)] c2 – a2 + 2 a – 1 = [c + a - 1] * [c - a + 1)] Problema 95.17 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 9 – n2 – 25 – 10n Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 9 – n2 – 25 – 10n = 9 – n2 – 10n – 25 9 – (n2 + 10n + 25) 9 - (n + 5)2 Factorando la diferencia de cuadrados 9 - (n + 5)2 = [3 + (n + 5)] * [3 - (n + 5)] 9 - (n + 5)2 = [3 + n + 5] * [3 - n - 5] 9 - (n + 5)2 = [8 + n ] * [-2 - n ] 9 - (n + 5)2 = - [8 + n ] * [2 + n ] 9 – n2 – 25 – 10n = - [8 + n ] * [2 + n ] Problema 95.18 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 4 a2 – x2 + 4x - 4 Agrupando y factorando el trinomio 4 a2 – x2 + 4x – 4 = 4 a2 – (x2 - 4x + 4) 4 a2 – (x2 - 4x + 4) 4a2 - (x - 2)2 Factorando la diferencia de cuadrados 4a2 - (x - 2)2 = [2a + (x - 2)] *[2a - (x - 2)] 4a2 - (x - 2)2 = [2a + x - 2] *[2a - x + 2] 4 a2 – x2 + 4x – 4 = [2a + x - 2] *[2a - x + 2] 32
  33. 33. Problema 95.19 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 1 – a2 – 9n2 – 6an Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 1 – a2 – 9n2 – 6an = 1 – a2 – 6an – 9n2 1 – (a2 + 6an + 9n2 ) 1 - (a + 3n)2 Factorando la diferencia de cuadrados 1 - (a + 3n)2 = [1 + (a + 3n)] * [1 - (a + 3n)] 1 - (a + 3n)2 = [1 + a + 3n] * [1 - a - 3n] 1 – a2 – 9n2 – 6an = [1 + a + 3n] * [1 - a - 3n] Problema 95.20 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 25 – x2 – 16y2 + 8xy Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 25 – x2 – 16y2 + 8xy = 25 – x2 + 8xy – 16y2 25 – (x2 - 8xy + 16y2) 25 - (x – 4y)2 Factorando la diferencia de cuadrados 25 - (x – 4y)2 = [5 + (x – 4y)] * [5 - (x – 4y)] 25 - (x – 4y)2 = [5 + x – 4y] * [5 - x + 4y] 25 – x2 – 16y2 + 8xy = [5 + x – 4y] * [5 - x + 4y] Problema 95.21 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 9x2 – a2 – 4m2 + 4am Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 9x2 – a2 – 4m2 + 4am = 9x2 – a2 + 4am – 4m2 9x2 – (a2 - 4am + 4m2 ) 9x2 - (a – 2m)2 Factorando la diferencia de cuadrados 9x2 - (a – 2m)2 = [3x + (a – 2m)] * [3x - (a – 2m)] 9x2 - (a – 2m)2 = [3x + a – 2m] * [3x - a + 2m] 9x2 – a2 – 4m2 + 4am = [3x + a – 2m] * [3x - a + 2m] 33
  34. 34. Ejercicios 95 Algebra Baldor (Pagina 155) 34
  35. 35. CASO V TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION Ejemplo: Factorar x4 + x2y2 + y4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x2. La raíz cuadrada de y4 es y2. El doble producto de estas raíces es 2x2y2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino x2y2 se convierta en 2x2y2 lo cual se consigue sumándole x2y2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, x2y2 x4 + x2y2 + y4 + x2y2 - x2y2 x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 (x2 + y2)2 - x2y2 Factorando la diferencia de cuadrados (x2 + y2)2 - x2y2 = [(x2 + y2) + xy] * [(x2 + y2) - xy] (x2 + y2)2 - x2y2 = [x2 + y2 + xy] * [x2 + y2 - xy] x4 + x2y2 + y4= [x2 + xy + y2 ] * [x2 – xy + y2] Ejemplo: Descomponer 4a4 + 8a2 b2 + 9b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4a4 es 2a2. La raíz cuadrada de 9b4 es 3b2. El doble producto de estas raíces es 2 * 2a2 * 3b2 =12 a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 8a2 b2 se convierta en 12 a2 b2 lo cual se consigue sumándole 4a2 b2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, 4a2 b2 4a4 + 8a2 b2 + 9b4 + 4a2 b2 - 4a2 b2 4a4 + 12a2 b2 + 9b4 - 4a2 b2 = (4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 4a2 b2 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 4a2 b2 (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 2ab] * [(2a2 + 3b2) - 2ab] (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 2ab] * [2a2 + 3b2 - 2ab] 4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [2a2 + 2ab + 3b2 ] * [2a2 – 2ab + 3b2 ] 35
  36. 36. Ejemplo: Descomponer a4 - 16a2 b2 + 36b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2. La raíz cuadrada de 36b4 es 6b2. El doble producto de estas raíces es - 2 * a2 * 6b2 = - 12 a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 16a2 b2 se convierta en - 12 a2 b2 lo cual se consigue sumándole 4a2 b2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, 4a2 b2 a4 -16a2 b2 + 36b4 + 4a2 b2 - 4a2 b2 a4 + 12a2 b2 + 36b4 - 4a2 b2 = (a4 + 12a2 b2 + 36b4 ) - 4a2 b2 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (a4 + 12a2 b2 + 36b4 ) - 4a2 b2 (a2 + 6b2)2 - 4a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (a2 + 6b2)2 - 4a2 b2 = [(a2 + 6b2) + 2ab] * [(a2 + 6b2) - 2ab] (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [a2 + 6b2 + 2ab] * [a2 + 6b2 - 2ab] 4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [a2 + 2ab + 6b2 ] * [a2 – 2ab + 6b2 ] Ejemplo: Descomponer 49m4 – 151m2 n4 + 81n8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 49m4 es 7m2 La raíz cuadrada de 81n8 es 9n4 El doble producto de estas raíces es - 2 * 7m2 * 9n4 = - 126 m2 n4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino – 151m2 n4 se convierta en - 126 m2 n4 lo cual se consigue sumándole 25 m2 n4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 25 m2 n4 49m4 – 151m2 n4 + 81n8 + 25 m2 n4 - 25 m2 n4 49m4 – 126m2 n4 + 81n8 - 25 m2 n4 = (49m4 – 126m2 n4 + 81n8 ) - 25 m2 n4 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (49m4 – 126m2 n4 + 81n8 ) - 25 m2 n4 (7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 Factorando la diferencia de cuadrados (7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 = [(7m2 – 9n4) + 5mn2] * [(7m2 – 9n4) - 5mn2] (7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 = [7m2 – 9n4 + 5mn2] * [7m2 – 9n4 - 5mn2] 49m4 – 151m2 n4 + 81n8= [7m2 + 5mn2 – 9n4] * [7m2 - 5mn2 – 9n4 ] 36
  37. 37. Problema 96.1 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: a 4 + a2 + 1 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2 La raíz cuadrada de 1 es 1 El doble producto de estas raíces es 2 * a2 * 1 = 2 a2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino a2 se convierta en 2a2 lo cual se consigue sumándole a2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - a2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a4 + a2 + 1 + a2 - a2 = a4 + 2a2 + 1 - a2 (a4 + 2a2 + 1) - a2 (a2 + 1)2 - a2 Factorando la diferencia de cuadrados (a2 + 1)2 - a2 = [(a2 + 1) + a ] * [(a2 + 1) - a ] (a2 + 1)2 - a2 = [a2 + 1 + a ] * [a2 + 1 - a ] a4 + a2 + 1 = [a2 + a + 1] * [a2 - a + 1 ] Problema 96.2 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: m 4 + m 2 n2 + n 4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de m4 es m2 La raíz cuadrada de n4 es n2 El doble producto de estas raíces es 2 * (m2) * (n2) = 2 m2 n2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino m2 n2 se convierta en 2 m2 n2 lo cual se consigue sumándole m2 n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - m2 n2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio m4 + m2 n2 + n4 = m4 + m2 n2 + m2 n2 + n4 - m2 n2 (m4 + 2m2 n2 + n4) - m2 n2 (m2 + n2)2 - m2 n2 Factorando la diferencia de cuadrados (m2 + n2)2 - m2 n2 = [(m2 + n2) + mn ] * [(m2 + n2) - mn ] (m2 + n2)2 - m2 n2 = [m2 + n2 + mn ] * [m2 + n2 - mn ] m4 + m2 n2 + n4 = [m2 + n2 + mn ] * [m2 + n2 - mn ] Problema 96.3 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: x8 + 3x4 + 4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x8 es x4 La raíz cuadrada de 4 es 2 El doble producto de estas raíces es 2 * (x4) * (2) = 4 x4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. 37
  38. 38. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 3x4 se convierta en 4 x4 lo cual se consigue sumándole x4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - x4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio x8 + 3x4 + 4 = x8 + 3x4 + x4 + 4 - x4 (x8 + 4x4 + 4) - x4 (x4 + 2)2 - x4 Factorando la diferencia de cuadrados (x4 + 2)2 - x4 = [(x4 + 2) + x2 ] * [(x4 + 2) - x2 ] (x4 + 2)2 - x4 = [x4 + 2 + x2 ] * [x4 + 2 - x2 ] x8 + 3x4 + 4 = [x4 + x2 + 2 ] * [x4 - x2 + 2 ] Problema 96.4 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: a4 + 2a2 + 9 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2 La raíz cuadrada de 9 es 3 El doble producto de estas raíces es 2 * a2 * 3 = 6 a2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 2a2 se convierta en 6a2 lo cual se consigue sumándole 4a2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4a2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a4 + 2a2 + 9 + 4a2 - 4a2 = a4 + 6a2 + 9 - 4a2 (a4 + 6a2 + 9) - 4a2 (a2 + 3)2 - 4a2 Factorando la diferencia de cuadrados (a2 + 3)2 - 4a2 = [(a2 + 3) + 2a ] * [(a2 + 3) - 2a ] (a2 + 3)2 - 4a2 = [a2 + 3 + 2a ] * [a2 + 3 - 2a ] a4 + 2a2 + 9 = [a2 + 2a + 3] * [a2 - 2a + 3 ] Problema 96.5 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: a4 - 3a2 b2 + b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2 La raíz cuadrada de b4 es b2 El doble producto de estas raíces es - 2 * (a2 )* (b2) = - 2a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 3a2 b2 se convierta en - 2a2 b2 lo cual se consigue sumándole a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a4 - 3a2 b2 + a2 b2 + b4 - a2 b2 = a4 - 2a2 b2 + b4 - a2 b2 (a4 - 2a2 b2 + b4 ) - a2 b2 38
  39. 39. (a2 -b2)2 - a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (a2 -b2)2 - a2 b2 = [(a2 -b2) + ab ] * [(a2 -b2) - ab ] (a2 -b2)2 - a2 b2 = [a2 -b2 + ab ] * [a2 -b2 - ab ] a4 - 3a2 b2 + b4 = [a2 + ab - b2] * [a2 - ab - b2] Problema 96.6 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: x4 - 6x2 + 1 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x2 La raíz cuadrada de 1 es 1 El doble producto de estas raíces es - 2 * (x2) * (1) = - 2 x2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 6x2 se convierta en - 2 x2 lo cual se consigue sumándole 4 x2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4 x2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio x4 - 6x2 + 1 = x4 - 6x2 + 4 x2 + 1 - 4 x2 (x4 - 2x2 + 1) - 4 x2 (x2 - 1)2 - 4 x2 Factorando la diferencia de cuadrados (x2 - 1)2 - 4 x2 = [(x2 - 1) + 2x ] * [(x2 - 1) - 2x ] (x2 - 1)2 - 4 x2 = [x2 - 1 + 2x ] * [x2 - 1 - 2x ] x4 - 6x2 + 1 = [x2 + 2x - 1] * [x2 - 2x - 1] Problema 96.7 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 4a4 + 3a2 b2 + 9b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4a4 es 2a2 La raíz cuadrada de 9b4 es 3b2 El doble producto de estas raíces es 2 * (2a2 )* (3b2) = 12a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 3a2 b2 se convierta en 12a2 b2 lo cual se consigue sumándole 9a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 9a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4a4 + 3a2 b2 + 9a2 b2 + 9b4 - 9a2 b2 = 4a4 +8a2 b2 + 9b4 - 9a2 b2 (4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 9a2 b2 (2a2 + 3b2)2 - 9a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (2a2 + 3b2)2 - 9a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 3ab ] * [(2a2 + 3b2) -3ab ] (2a2 + 3b2)2 - 9a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 3ab ] * [2a2 + 3b2 - 3ab ] 39
  40. 40. 4a4 + 3a2 b2 + 9b4 = [2a2 + 3ab + 3b2] * [2a2 - 3ab + 3b2] Problema 96.8 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 4x4 - 29x2 + 25 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4x4 es 2x2 La raíz cuadrada de 25 es 5 El doble producto de estas raíces es - 2 * (2x2) * (5) = - 20 x2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 29x2 se convierta en - 20x2 lo cual se consigue sumándole 9 x2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 9 x2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4x4 - 29x2 + 25 = 4x4 - 29x2 + 9 x2 + 25 - 9 x2 (4x4 - 20x2 + 25) - 9 x2 (2x2 - 5)2 - 9 x2 Factorando la diferencia de cuadrados (2x2 - 5)2 - 9 x2 = [(2x2 - 5) + 3x ] * [(2x2 - 5) - 3x ] (2x2 - 1)2 - 25 x2 = [2x2 - 5 + 3x ] * [2x2 - 5 - 3x ] 4x4 - 29x2 + 25 = [2x2+ 3x - 5] * [2x2 - 3x - 5] Problema 96.9 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: x8 + 4x4y4 + 16y8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x8 es x4 La raíz cuadrada de 16y8 es 4y4 El doble producto de estas raíces es 2 * (x4) * (4y4) = 8 x4 y4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 4x4y4 se convierta en 8x4y4 lo cual se consigue sumándole 4x4y4 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4x4y4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio x8 + 4x4y4 + 16y8 = x8 + 4x4y4 + 4x4y4 + 16y8 - 4x4y4 (x8 + 8x4y4 + 16y8) - 4x4y4 (x4 + 4y4)2 - 4x4y4 Factorando la diferencia de cuadrados (x4 + 4y4)2 - 4x4y4 = [(x4 + 4y4) + 2x2y2 ] * [(x4 + 4y4) - 2x2y2 ] (x4 + 4y4)2 - 4x4y4 = [x4 + 4y4 + 2x2y2 ] * [x4 + 4y4 - 2x2y2 ] x8 + 4x4y4 + 16y8 = [x4 + 2x2y2 + 4y4] * [x4 - 2x2y2 + 4y4] Problema 96.10 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 16m4 - 25 m2 n2 + 9n4 40
  41. 41. Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 16m4 es 4m2 La raíz cuadrada de 9n4 es 3n2 El doble producto de estas raíces es - 2 * (4m2) * (3n2) = - 24 m2 n2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino -25m2 n2 se convierta en -24 m2 n2 lo cual se consigue sumándole m2 n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - m2 n2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 16m4 - 25 m2 n2 + 9n4 = 16m4 - 25 m2 n2 + m2 n2 + 9n4 - m2 n2 (16m4 - 24 m2 n2 + 9n4) - m2 n2 (4m2 - 3n2)2 - m2 n2 Factorando la diferencia de cuadrados (4m2 - 3n2)2 - m2 n2 = [(4m2 - 3n2) + mn ] * [(4m2 - 3n2) - mn ] (4m2 - 3n2)2 - m2 n2 = [4m2 - 3n2 + mn ] * [4m2 - 3n2 - mn ] 16m4 - 25 m2 n2 + 9n4 = [4m2 + mn - 3n2] * [4m2 - mn - 3n2] Problema 96.11 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 25a4 + 54a2 b2 + 49b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 25a4 es 5a2 La raíz cuadrada de 49b4 es 7b2 El doble producto de estas raíces es 2 * (5a2 )* (7b2) = 70a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 54a2 b2 se convierta en 70a2 b2 lo cual se consigue sumándole 16a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 16a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 25a4 + 54a2 b2 + 16a2 b2 + 49b4 - 16a2 b2 = 25a4 +70a2 b2 + 49b4 - 16a2 b2 (25a4 + 70a2 b2 + 49b4 ) - 16a2 b2 (5a2 + 7b2)2 - 16a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (5a2 + 7b2)2 - 16a2 b2 = [(5a2 + 7b2) + 4ab ] * [(5a2 + 7b2) - 4ab ] (5a2 + 7b2)2 - 16a2 b2 = [5a2 + 7b2 + 4ab ] * [5a2 + 7b2 - 4ab ] 25a4 + 54a2 b2 + 49b4 = [5a2 + 4ab + 7b2] * [5a2 - 4ab + 7b2] Problema 96.12 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 36x4 - 109 x2y2 + 49y4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 36x4 es 6x2 La raíz cuadrada de 49y4 es 7y2 El doble producto de estas raíces es - 2 * (6x2) * (7y2) = - 84 x2 y2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. 41
  42. 42. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 109 x2 y2 se convierta en -84 x2 y2 lo cual se consigue sumándole 25 x2 y2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 25x2 y2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 36x4 - 109 x2y2 + 49y4 = 36x4 - 109 x2y2 + 25 x2 y2 + 49y4 - 25 x2 y2 (36x4 - 84x2y2 + 49y4) - 25 x2 y2 (6x2 - 7y2)2 - 25 x2 y2 Factorando la diferencia de cuadrados (6x2 - 7y2)2 - 25 x2 y2 = [(6x2 - 7y2) + 5xy ] * [(6x2 - 7y2) – 5xy ] (6x2 - 7y2)2 - 25 x2 y2 = [6x2 - 7y2 + 5xy ] * [6x2 - 7y2 – 5xy ] 36x4 - 109 x2y2 + 49y4 = [6x2 + 5xy - 7y2] * [6x2– 5xy - 7y2] Problema 96.13 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 81m8 + 2m4 + 1 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 81m8 es 9m4 La raíz cuadrada de 1 es 1 El doble producto de estas raíces es 2 * (9m4) * (1) = 18 m4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 2m4 se convierta en 18m4 lo cual se consigue sumándole 16m4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 16m4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 81m8 + 2m4 + 1 = 81m8 + 16m4 + 2m4 + 1 - 16m4 (81m8 + 18m4 + 1) - 16m4 (9m4 + 1)2 - 16m4 Factorando la diferencia de cuadrados (9m4 + 1)2 - 16m4 = [(9m4 + 1) + 4m2 ] * [(9m4 + 1) - 4m2 ] (9m4 + 1)2 - 16m4 = [9m4 + 1 + 4m2 ] * [9m4 + 1 - 4m2 ] 81m8 + 2m4 + 1 = [9m4 + 4m2 + 1] * [9m4 - 4m2 + 1] Problema 96.14 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: c4 – 45c2 + 100 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de c4 es c2 La raíz cuadrada de 100 es 10 El doble producto de estas raíces es - 2 * (c2) * (10) = - 20 a2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino – 45c2 se convierta en – 20c2 lo cual se consigue sumándole 25c2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 25c2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio c4 – 45c2 + 100 = c4 – 45c2 + 25c2 + 100 - 25c2 42
  43. 43. c4 – 20c2 + 100 - 25c2 (c2 - 10)2 - 25c2 Factorando la diferencia de cuadrados (c2 - 10)2 - 25c2 = [(c2 - 10) + 5c ] * [(c2 - 10) – 5c ] (c2 - 10)2 - 25c2 = [c2 - 10 + 5c ] * [c2 - 10 – 5c ] c4 – 45c2 + 100 = [c2 + 5c - 10] * [c2 – 5c - 10] Problema 96.15 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 4a8 – 53 a4 b4 + 49b8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4a8 es 2a4 La raíz cuadrada de 49b8 es 7b4 El doble producto de estas raíces es - 2 * (2a4 )* (7b4) = - 28 a4 b4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino – 53 a4 b4 se convierta en - 28 a4 b4 lo cual se consigue sumándole 25 a4 b4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 25 a4 b4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4a8 – 53 a4 b4 + 49b8 = 4a8 – 53 a4 b4 + 25 a4 b4 + 49b8 - 25 a4 b4 4a8 – 28 a4 b4 + 49b8 - 25 a4 b4 (4a8 – 28 a4 b4 + 49b8) - 25 a4 b4 (2a4 - 7b4)2 - 25 a4 b4 Factorando la diferencia de cuadrados (2a4 - 7b4)2 - 25 a4 b4 = [(2a4 - 7b4) + 5a2 b2 ] * [(2a4 - 7b4) - 5a2 b2 ] (2a4 - 7b4)2 - 25 a4 b4 = [2a4 - 7b4 + 5a2 b2 ] * [2a4 - 7b4 - 5a2 b2 ] 4a8 – 53 a4 b4 + 49b8 = [2a4 + 5a2 b2 - 7b4] * [2a4 - 5a2 b2 - 7b4] Problema 96.16 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 49 + 76n2 + 64n4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 49 es 7 La raíz cuadrada de 64n4 es 8n2 El doble producto de estas raíces es 2 * (7 )* (8n2) = 112 n2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 76n2 se convierta en 112n2 lo cual se consigue sumándole 36n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 36n2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 49 + 76n2 + 64n4 = 49 + 76n2 + 36n2 + 64n4 - 36n2 49 + 112n2 + 64n4 - 36n2 (49 + 112n2 + 64n4) - 36n2 (7 + 8n2)2 - 36n2 43
  44. 44. Factorando la diferencia de cuadrados (7 + 8n2)2 - 36n2 = [(7 + 8n2) + 6n ] * [(7 + 8n2) – 6n ] (7 + 8n2)2 - 36n2 = [7 + 8n2 + 6n ] * [7 + 8n2 – 6n ] 49 + 76n2 + 64n4 = [8n2 + 6n +7] * [ 8n2 – 6n + 7 ] Problema 96.17 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 25x4 - 139x2 y2 + 81y4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 25x4 es 5x2 La raíz cuadrada de 81y4 es 9y2 El doble producto de estas raíces es - 2 * (5x2) * (9y2) = - 90 x2 y2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 139x2 y2 se convierta en - 90x2y2 lo cual se consigue sumándole 49x2y2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 49x2y2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 25x4 - 139x2 y2 + 81y4 = 25x4 - 139x2 y2 + 49x2y2 + 81y4 - 49x2y2 (25x4 - 90x2 y2 + 81y4) - 49x2y2 (5x2 – 9y2)2 - 49x2y2 Factorando la diferencia de cuadrados (5x2 – 9y2)2 - 49x2y2 = [(5x2 – 9y2) + 7xy ] * [(5x2 – 9y2) - 7xy ] (5x2 – 9y2)2 - 49x2y2 = [5x2 – 9y2 + 7xy ] * [5x2 – 9y2 - 7xy ] 25x4 - 139x2 y2 + 81y4 = [5x2 + 7xy – 9y2] * [5x2 - 7xy – 9y2] Problema 96.18 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 49x8 + 76x4y4 + 100y8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 49x8 es 7x4 La raíz cuadrada de 100y8 es 10y4 El doble producto de estas raíces es 2 * (7x4) * (10y4) = 140 x4 y4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 76x4y4 se convierta en 140x4y4 lo cual se consigue sumándole 64x4y4 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 64x4y4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 49x8 + 76x4y4 + 100y8 = 49x8 + 76x4y4 + 64x4y4 + 100y8 - 64x4y4 (49x8 + 140x4y4 + 100y8) - 64x4y4 (7x4 + 10y4)2 - 64x4y4 Factorando la diferencia de cuadrados (7x4 + 10y4)2 - 64x4y4 = [(7x4 + 10y4) + 8x2y2 ] * [(7x4 + 10y4) - 8x2y2 ] (7x4 + 10y4)2 - 64x4y4 = [7x4 + 10y4 + 8x2y2 ] * [7x4 + 10y4 - 8x2y2 ] 49x8 + 76x4y4 + 100y8 = [7x4 + 8x2y2 + 10y4] * [7x4 - 8x2y2 + 10y4] 44
  45. 45. CASO V TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION Algebra Baldor (Pagina 157) 45
  46. 46. Problema 96.19 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 4 - 108x2 + 121x4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4 es 2 La raíz cuadrada de 121x4 es 11x2 El doble producto de estas raíces es - 2 * (2) * (11x2) = - 44 x2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 108x2 se convierta en -44x2 lo cual se consigue sumándole 64 x2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 64 x2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4 - 108x2 + 121x4 = 4 - 108x2 + 64 x2 + 121x4 - 64 x2 (4 - 44x2 + 121x4) - 64 x2 (2 - 11x2)2 - 64 x2 Factorando la diferencia de cuadrados (2 - 11x2)2 - 64 x2 = [(2 - 11x2) + 8x ] * [(2 - 11x2) - 8x ] (2 - 11x2)2 - 64 x2 = [2 - 11x2 + 8x ] * [2 - 11x2 - 8x ] 4 - 108x2 + 121x4 = [2 + 8x - 11x2] * [2 - 8x - 11x2] Problema 96.20 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 121x4 - 133x2y4 + 36y8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 121x4 es 11x2 La raíz cuadrada de 36y8 es 6y4 El doble producto de estas raíces es - 2 * (11x2) * (6y4) = - 132 x2 y4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 133x2y4 se convierta en - 132x2y4 lo cual se consigue sumándole x2y4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - x2y4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 121x4 - 133x2y4 + 36y8 = 121x4 - 133x2y4 + x2y4 + 36y8 - x2y4 (121x4 - 132x2y4 + 36y8) - x2y4 (11x2 – 6y4)2 - x2y4 Factorando la diferencia de cuadrados (11x2 – 6y4)2 - x2y4 = [(11x2 – 6y4) + xy2 ] * [(11x2 – 6y4) - xy2 ] (11x2 – 6y4)2 - x2y4 = [11x2 – 6y4 + xy2 ] * [11x2 – 6y4 - xy2 ] 121x4 - 133x2y4 + 36y8 = [11x2 + xy2 – 6y4] * [11x2 - xy2 – 6y4] Problema 96.21 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 144 + 23n6 + 9n12 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 144 es 12 46
  47. 47. La raíz cuadrada de 9n12 es 3n6 El doble producto de estas raíces es 2 * (12) * (3n6) = 72 n6luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 23n6se convierta en 72n6 lo cual se consigue sumándole 49n6. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 49n6 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 144 + 23n6 + 9n12 = 144 + 23n6 + 49n6 + 9n12 - 49n6 (144 + 72n6 + 9n12) - 49n6 (12 + 3n6)2 - 49n6 Factorando la diferencia de cuadrados (12 + 3n6)2 - 49n6 = [(12 + 3n6) + 7n3 ] * [(12 + 3n6) – 7n3 ] (12 + 3n6)2 - 49n6 = [12 + 3n6 + 7n3 ] * [12 + 3n6 – 7n3 ] 144 + 23n6 + 9n12 = [12 + 3n6 + 7n3 ] * [12 + 3n6 – 7n3 ] CASO ESPECIAL FACTORAR UNA SUMA DE CUADRADOS En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no haya raíz, pero hay suma de cuadrados que, sumándoles y restándoles una misma cantidad, puede llevarse al caso anterior y descomponerse. Ejemplo: Factorar o descomponer en dos factores: a4 + 4b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2 La raíz cuadrada de 4b4 es 2b2 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (a2)* (2b2) = 4a2 b2 Lo cual se consigue sumándole 4a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a4 + 4b4 = a4 + 4a2 b2 + 4b4 - 4a2 b2 a4 + 4a2 b2 + 4b4 - 4a2 b2 (a4 + 4a2 b2 + 4b4) - 4a2 b2 (a2 + 2b2)2 - 4a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados ((a2 + 2b2)2 - 4a2 b2= [(a2 + 2b2) + 2a b ] * [(a2 + 2b2) - 2a b] ((a2 + 2b2)2 - 4a2 b2= [a2 + 2b2 + 2a b ] * [a2 + 2b2 - 2a b] a4 + 4b4 = [a2 + 2a b + 2b2] * [a2 - 2a b + 2b2] Problema 97.1 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: x4 + 64y4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x2 47
  48. 48. La raíz cuadrada de 64y4 es 8y2 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (x2)* (8y2) = 16x2 y2 Lo cual se consigue sumándole 16x2 y2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 16x2 y2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio x4 + 64y4 = x4 + 16x2 y2+ 64y4 - 16x2 y2 x4 + 16x2 y2+ 64y4 - 16x2 y2 (x4 + 16x2 y2+ 64y4) - 16x2 y2 (x2 + 8y2)2 - 16x2 y2 Factorando la diferencia de cuadrados (x2 + 8y2)2 - 16x2 y2 = [(x2 + 8y2) + 4xy ] * [(x2 + 8y2) – 4xy] (x2 + 8y2)2 - 16x2 y2 = [x2 + 8y2 + 4xy ] * [x2 + 8y2 – 4xy] x4 + 64y4 = [x2 + 4xy + 8y2] * [x2 – 4xy + 8y2] FACTORAR UNA SUMA DE CUADRADOS Problema 97.2 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 4x8 + y8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4x8 es 2x4 La raíz cuadrada de y8 es y4 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (2x4)* (y4) = 4x4 y8 Lo cual se consigue sumándole 4x4 y8. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4x4 y8 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 48
  49. 49. 4x8 + y8 = 4x8 + 4x4 y8+ y8 - 4x4 y8 4x8 + 4x4 y8+ y8 - 4x4 y8 (4x8 + 4x4 y8+ y8) - 4x4 y8 (2x4 + y4)2 - 4x4 y8 Factorando la diferencia de cuadrados (2x4 + y4)2 - 4x4 y8= [(2x4 + y4) + 2x2 y4 ] * [(2x4 + y4) – 2x2 y4] (2x4 + y4)2 - 4x4 y8= [2x4 + y4 + 2x2 y4 ] * [2x4 + y4 – 2x2 y4] 4x8 + y8 = [2x4 + 2x2 y4 + y4] * [2x4 – 2x2 y4+ y4] Problema 97.3 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: a4 + 324b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2 La raíz cuadrada de 324b4 es 18b2 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (a2)* (18b2) = 36a2 b2 Lo cual se consigue sumándole 36a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 36a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a4 + 324b4 = a4 + 36a2 b2 + 324b4 - 36a2 b2 a4 + 36a2 b2 + 324b4 - 36a2 b2 (a4 + 36a2 b2 + 324b4) - 36a2 b2 (a2 + 18b2)2 - 36a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (a2 + 18b2)2 - 36a2 b2 = [(a2 + 18b2) + 6ab ] * [(a2 + 18b2) – 6ab] (a2 + 18b2)2 - 36a2 b2 = [a2 + 18b2 + 6ab ] * [a2 + 18b2 – 6ab] a4 + 324b4 = [a2 + 6ab + 18b2] * [a2 – 6ab + 18b2] Problema 97.4 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 4m4 + 81n4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4m4 es 2m2 La raíz cuadrada de 81n4 es 9n2 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (2m2)* (9n2) = 36m2 n2 Lo cual se consigue sumándole 36m2 n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 36m2 n2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4m4 + 81n4 = 4m4 + 36 m2 n2 + 81n4 - 36 m2 n2 4m4 + 36 m2 n2+ 81n4 - 36 m2 n2 (4m4 + 36 m2 n2+ 81n4) - 36 m2 n2 (2m2 + 9n2)2 - 36 m2 n2 Factorando la diferencia de cuadrados (2m2 + 9n2)2 - 36 m2 n2 = [(2m2 + 9n2) + 6mn ] * [(2m2 + 9n2) – 6mn] (2m2 + 9n2)2 - 36 m2 n2 = [2m2 + 9n2 + 6mn ] * [2m2 + 9n2 – 6mn] 49
  50. 50. 4m4 + 81n4 = [2m2 + 6mn + 9n2] * [2m2 – 6mn + 9n2] Problema 97.5 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 4 + 625x8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4 es 2 La raíz cuadrada de 625x8 es 25x4 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (2)* (25x4) = 100x4 Lo cual se consigue sumándole 100x4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 100x4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4 + 625x8 = 4 + 100x4 + 625x8 - 100x4 4 + 100x4 + 625x8 - 100x4 (4 + 100x4 + 625x8) - 100x4 (2 + 25x4)2 - 100x4 Factorando la diferencia de cuadrados (2 + 25x4)2 - 100x4 = [(2 + 25x4) + 10x2 ] * [(2 + 25x4) – 10x2] (2 + 25x4)2 - 100x4 = [2 + 25x4 + 10x2 ] * [2 + 25x4 – 10x2] 4 + 625x8 = [25x4 + 10x2 + 2 ] * [25x4 – 10x2 + 2] Problema 97.6 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 64 + a12 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 64 es 8 La raíz cuadrada de a12 es a6 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (8)* (a6) = 16 a6 Lo cual se consigue sumándole 16 a6. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 16 a6 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 64 + a12 = 64 + 16 a6 + a12 - 16 a6 64 + a12 = 64 + 16 a6 + a12 - 16 a6 (64 + 16 a6 + a12) - 16 a6 (8 + a6)2 - 16 a6 Factorando la diferencia de cuadrados (8 + a6)2 - 16 a6 = [(8 + a6) + 4a3 ] * [(8 + a6) – 4a3] (8 + a6)2 - 16 a6 = [8 + a6 + 4a3 ] * [8 + a6 – 4a3] 64 + a12 = [a6 + 4a3 + 8 ] * [a6 – 4a3 + 8] Problema 97.7 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 1 + 4n4 50
  51. 51. Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de 4n4 es 2n2 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (1)* (2n2) = 4n2 Lo cual se consigue sumándole 4n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4n2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 1 + 4n4 = 1 + 4n2 + 4n4 - 4n2 1 + 4n4 = 1 + 4n2 + 4n4 - 4n2 (1 + 4n2 + 4n4 ) - 4n2 (1 + 2n2)2 - 4n2 Factorando la diferencia de cuadrados (1 + 2n2)2 - 4n2 = [(1 + 2n2) + 2n ] * [(1 + 2n2) – 2n] (1 + 2n2)2 - 4n2 = [1 + 2n2 + 2n ] * [1 + 2n2 – 2n] 1 + 4n4 = [2n2 + 2n + 1 ] * [2n2 – 2n + 1] FACTORAR UNA SUMA DE CUADRADOS Problema 97 Algebra Baldor (Pagina 158) Problema 97.8 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 64x8 + y8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 64x8 es 8x4 La raíz cuadrada de y8 es y4 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (8x4)* (y4) = 16x4y4 Lo cual se consigue sumándole 16x4y4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 16x4y4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 64x8 + y8 = 64x8 +16x4y4 + y8 - 16x4y4 64x8 +16x4y4 + y8 - 16x4y4 (64x8 +16x4y4 + y8) - 16x4y4 (8x4 + y4)2 - 16x4y4 Factorando la diferencia de cuadrados 51
  52. 52. (8x4 + y4)2 - 16x4y4 = [(8x4 + y4) + 4x2y2 ] * [(8x4 + y4) – 4x2y2] (8x4 + y4)2 - 16x4y4 = [8x4 + y4 + 4x2y2 ] * [8x4 + y4 – 4x2y2] 64x8 + y8 = [8x4 + 4x2y2 + y4] * [8x4– 4x2y2 + y4] Problema 97.9 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 81a4 + 64b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 81a4 es 9a2 La raíz cuadrada de 64b4 es 8b2 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (9a2)* (8b2) = 144a2 b2 Lo cual se consigue sumándole 144a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 144a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 81a4 + 64b4 = 81a4 + 144a2 b2 + 64b4 - 144a2 b2 81a4 + 144a2 b2 + 64b4 - 144a2 b2 (81a4 + 144a2 b2 + 64b4) - 144a2 b2 (9a2 + 8b2)2 - 144a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (9a2 + 8b2)2 - 144a2 b2 = [(9a2 + 8b2) + 12ab ] * [(9a2 + 8b2) – 12ab] (9a2 + 8b2)2 - 144a2 b2 = [9a2 + 8b2 + 12ab ] * [9a2 + 8b2 – 12ab] 81a4 + 64b4 = [9a2 + 12ab + 8b2] * [9a2 – 12ab + 8b2] CASO VI TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como x2 + 5x + 6 a2 – 2a – 15 m2 + 5m – 14 y2 – 8y + 15 que cumplen las condiciones siguientes: • El coeficiente del primer termino es 1 • El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. • El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. • El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 52
  53. 53. REGLA PRACTICA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c • El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es “x”, o sea la raiz cuadrada del primer termino del trinomio. • En el primer factor, después de “x” se escribe el signo del segundo termino del trinomio y en el segundo factor, después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio. • Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos numeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos numeros son los segundos terminos de los binomios. • Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos numeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos numeros es el segundo término del primer binomio y el menor, el segundo termino del segundo binomio. Ejemplo Factorar x2 + 5x + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 + 5x + 6 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5x por el signo de +6 y se tiene que (+) * (+) = (+) x2 + 5x + 6 = (x + ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Estos numeros son 2 y 3, luego. x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3) Ejemplo Factorar x2 - 7x + 12 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 - 7x + 12 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -7x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -7x por el signo de +12 y se tiene que (-) * (+) = (-) x2 - 7x + 12 = (x - ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 12. Estos numeros son 4 y 3, luego. x2 - 7x + 12 = (x - 4) * (x - 3) 53
  54. 54. Ejemplo Factorar x2 + 2x - 15 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 + 2x – 15 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +2x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +2x por el signo de -15 y se tiene que (+) * (-) = (-) x2 + 2x – 15 = (x + ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15. Estos numeros son 5 y 3, luego. x2 - 7x + 12 = (x + 5) * (x - 3) Ejemplo Factorar x2 - 5x - 14 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 - 5x – 14 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -5x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -5x por el signo de -14 y se tiene que (-) * (-) = (+) x2 - 5x – 14 = (x - ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 14. Estos numeros son 7 y 2, luego. x2 - 5x – 14 = (x - 7) * (x + 2) Ejemplo Factorar a2 – 13a + 40 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”. a2 – 13a + 40 = (a ) * (a ) En el primer binomio después de “a” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -13x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “a” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -13a por el signo de +40 y se tiene que (-) * (+) = (-) a2 – 13a + 40= (a - ) * (a - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 13 y cuyo producto sea 40. Estos numeros son 8 y 5, luego. a2 – 13a + 40 = (a - 8) * (a - 5) 54
  55. 55. Ejemplo Factorar m2 – 11m - 12 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de m2 o sea “m”. m2 – 11m – 12 = (m ) * (m ) En el primer binomio después de “m” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -11m tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “m” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -11m por el signo de -12 y se tiene que (-) * (-) = (+) m2 – 11m – 12 = (m - ) * (m + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 11 y cuyo producto sea 12. Estos numeros son 12 y , luego. m2 – 11m – 12 = (m - 12) * (m + 1) Ejemplo Factorar n2 + 28n - 29 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de n2 o sea “n”. n2 + 28n – 29 = (n ) * (n ) En el primer binomio después de “n” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +28n tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “n” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +28n por el signo de -29 y se tiene que (+) * (-) = (-) n2 + 28n – 29 = (n + ) * (n - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 1 y cuyo producto sea 29. Estos numeros son 29 y 1, luego. n2 + 28n – 29 = (n + 29) * (n - 1) Ejemplo Factorar x2 + 6x - 216 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 + 6x – 216 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +6x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +6x por el signo de -216 y se tiene que (+) * (-) = (-) x2 + 6x – 216 = (x + ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216. Para hallarlos, descomponemos en sus factores primos el tercer termino. 55
  56. 56. 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 3 3 3 Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos numeros que buscamos. 2*2*2 = 8 3*3*3 =27 27 – 8 = 19 no sirve, se necesita que la diferencia sea 6 2*2*2*3 = 24 3*3 = 9 24 – 9 = 15 no sirve 2*2*3 = 12 3*3*2 = 18 18 - 12 = 6 y 18 * 12 = 216 Estos numeros son 18 y 12 y , luego. x2 + 6x – 216 = (x + 18 ) * (x - 12 ) Ejemplo Factorar a2 – 66a + 1080 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”. a2 – 66a + 1080 = (a ) * (a ) En el primer binomio después de “a” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -66a tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “a” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -66a por el signo de +1080 y se tiene que (-) * (+) = (-) a2 – 66a + 1080 = (a - ) * (a - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 66 y cuyo producto sea 1080. Estos numeros son 8 y 5, luego. Para hallarlos, descomponemos en sus factores primos el tercer termino. 1080 540 270 135 45 15 5 1 2 2 2 3 3 3 5 Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos numeros que buscamos. 2*2*2*3 = 24 3*3*5 = 45 24 + 45 = 69 no sirve, se necesita que la suma sea 66 2*2*3 *3 = 36 2*3*5 = 30 36 +30 = 66 y 36 * 30 = 1080 Estos numeros son 36 y 30 , luego. a2 – 66a + 1080 = (a - 36) * (a - 30) Problema 98.1 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 + 7x + 10 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 + 7x + 10 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +7x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +7x por el signo de +10 y se tiene que (+) * (+) = (+) 56
  57. 57. x2 + 7x + 10 = (x + ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 10. Estos numeros son 5 y 2, luego. x2 + 7x + 10 = (x + 5) * (x + 2) CASO VI TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c 57
  58. 58. Problema 98.2 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 – 5x + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 – 5x + 6 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -5x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -5x por el signo de +6 y se tiene que (-) * (+) = (-) x2 – 5x + 6 = (x - ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Estos numeros son 3 y 2, luego. x2 – 5x + 6 = (x - 3) * (x - 2) Problema 98.3 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 + 3x - 10 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 + 3x – 10 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +3x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +3x por el signo de -10 y se tiene que (+) * (-) = (-) x2 + 3x – 10 = (x + ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 3 y cuyo producto sea 10. Estos numeros son 5 y 2 , luego. x2 + 3x – 10 = (x + 5) * (x - 2) Problema 98.4 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 + x - 2 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 + x – 2 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +x por el signo de -2 y se tiene que (+) * (-) = (-) x2 + x – 2 = (x + ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 1 y cuyo producto sea 2. Estos numeros son 2 y 1 , luego. 58
  59. 59. x2 + x – 2 = (x + 2) * (x - 1) Problema 98.5 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 4a + 3 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”. a2 + 4a + 3 = (a ) * (a ) En el primer binomio después de “a” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +4a tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “a” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +4a por el signo de +3 y se tiene que (+) * (+) = (+) a2 + 4a + 3 = (a + ) * (a + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 4 y cuyo producto sea 3. Estos numeros son 3 y 1, luego. a2 + 4a + 3 = (a + 3) * (a + 1) Problema 98.6 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: m2 + 5m - 14 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de m2 o sea “m”. m2 + 5m – 14 = (m ) * (m ) En el primer binomio después de “m” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5m tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “m” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5m por el signo de -14 y se tiene que (+) * (-) = (-) m2 + 5m – 14 = (m + ) * (m - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 14. Estos numeros son 7y 2, luego. m2 + 5m – 14 = (m + 7) * (m – 2) Problema 98.7Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: y2 – 9y + 20 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de y2 o sea “y”. y2 – 9y + 20 = (y ) * (y ) En el primer binomio después de “y” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -9y tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “y” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -9y por el signo de +20 y se tiene que (-) * (+) = (-) y2 – 9y + 20 = (y - ) * (y - ) 59
  60. 60. Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 9 y cuyo producto sea 20. Estos numeros son 5 y 4, luego. y2 – 9y + 20 = (y - 5) * (y - 4) Problema 98.8Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 – 6 – x = x 2 – x - 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 – x – 6 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -x por el signo de - 6 y se tiene que (-) * (-) = (+) x2 – x – 6 = (x - ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 1 y cuyo producto sea 6. Estos numeros son 3 y 2 , luego. x2 – x – 6 = (x - 3) * (x + 2) Problema 98.9 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 – 9x + 8 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 – 9x + 8 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -9x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -9x por el signo de +8 y se tiene que (-) * (+) = (-) x2 – 9x + 8 = (x - ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 9 y cuyo producto sea 8. Estos numeros son 8 y 1, luego. x2 – 9x + 8 = (x - 8) * (x - 1) Problema 98.10 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: c2 + 5c - 24 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de c2 o sea “c”. c2 + 5c – 24 = (c ) * (c ) En el primer binomio después de “c” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5c tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “m” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5c por el signo de -24 y se tiene que (+) * (-) = (-) 60
  61. 61. c2 + 5c – 24 = (c + ) * (c - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 24. Estos numeros son 8 y 3, luego. c2 + 5c – 24 = (c + 8) * (c – 3) Problema 98.11 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 – 3x + 2 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 – 3x + 2 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -3x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -3x por el signo de +2 y se tiene que (-) * (+) = (-) x2 – 3x + 2 = (x - ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 3 y cuyo producto sea 2. Estos numeros son 2 y 1, luego. x2 – 3x + 2 = (x - 2) * (x - 1) Problema 98.12 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 7a + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”. a2 + 7a + 6 = (a ) * (a ) En el primer binomio después de “a” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +7a tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “a” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +7a por el signo de +6 y se tiene que (+) * (+) = (+) a2 + 7a + 6 = (a + ) * (a + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 6. Estos numeros son 6 y 1, luego. a2 + 7a + 6 = (a + 6) * (a + 1) Problema 98.13 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: y2 – 4y + 3 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de y2 o sea “y”. y2 – 4y + 3 = (y ) * (y ) En el primer binomio después de “y” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -4y tiene signo (-). 61
  62. 62. En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -4y por el signo de +3 y se tiene que (-) * (+) = (-) y2 – 4y + 3 = (y - ) * (y - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 4 y cuyo producto sea 3. Estos numeros son 3 y 1, luego. y2 – 4y + 3 = (y - 3) * (y - 1) Problema 98.14 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: 12 – 8n + n2 = n2 – 8n + 12 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de n2 o sea “n”. n2 – 8n + 12 = (n ) * (n ) En el primer binomio después de “n” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -8n tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “n” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -8n por el signo de +12 y se tiene que (-) * (+) = (-) n2 – 8n + 12 = (n - ) * (n - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 8 y cuyo producto sea 12. Estos numeros son 6 y 2, luego. n2 – 8n + 12 = (n - 6) * (n - 2) Problema 98.15 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 + 10x + 21 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 + 10x + 21 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +10x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +10x por el signo de +21 y se tiene que (+) * (+) = (+) x2 + 10x + 21 = (x + ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 10 y cuyo producto sea 21. Estos numeros son 7 y 3, luego. x2 + 10x + 21 = (x + 7) * (x + 3) Problema 98.16 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 7a - 18 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”. a2 + 7a – 18 = (a ) * (a ) 62

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