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                                               FACULTAD DE INGENIERÍA
                 ...
b. 0· 04x1 + 0· 01x2 − 0· 01x3 = 0· 06

        0· 2x1 + 0· 5x2 − 0· 2x3 = 0· 3

        x1 + 2x2 + 4x3 = 11

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a. Obtenga las tres primeras iteraciones del método de Jacobi usando x(0) = 0.
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Taller N°5 Metodos Iterativos Algebra L Feb Jun2009

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  1. 1. UNIDAD CENTRAL DEL VALLE DEL CAUCA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS Profesor: Efraín Vásquez Millán. TALLER No 5. Métodos iterativos del álgebra lineal 1. Obtenga x ∞ y x 2 para los siguientes vectores. 3 t a. x = (3, −4, 0, 2) b. x = (2, 1, −3, 4)t c. x = (sin k, cos k, 2k )t , para un entero positivo k 4 2 d. x = ( k+1 , k2 , k 2 e−k )t para un entero positivo k 2. Encuentre el límite de las siguientes sucesiones si son convergentes. 1 −2 t a. x(k) = ( k , e1−k , k2 ) 1 b. x(k) = (ek cos k, k sin k , 3 + k −2 )t 2 √ c. x(k) = (ke−k , cos k , k 2 + k − k)t k 1 k2 +1 d. x(k) = (e k , 1−k2 , ( k12 )(1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2k − 1)))t 3. Obtenga . ∞ para las matrices siguientes 10 15 a. A = 0 1   2 −10 0 b. A = −1 2 −1 0 −1 2   4 −1 7 c. A = −1 4 0 −7 0 4 4. Los sistemas lineales siguientes Ax=b tienen a x como solución real y a x como una solución aproxi- mada. Calcule x − x ∞ y Ax − b ∞ 1 a. 2 x1 + 1 x2 = 3 1 63 1 3 x1 + 1 x2 = 4 1 168 x = ( 7 , − 1 )t 1 6 x = (0· 142, −0· 166)t 1
  2. 2. b. 0· 04x1 + 0· 01x2 − 0· 01x3 = 0· 06 0· 2x1 + 0· 5x2 − 0· 2x3 = 0· 3 x1 + 2x2 + 4x3 = 11 x = (1· 827586, 0· 6551724, 1· 965517)t x = (1· 8, 0· 64, 1· 9)t 5. La norma de Frobenius se define para una matriz A de n × n por medio de n n 1 2 A F = |aij |2 i=1 j=1 Obtenga la norma de Frobenius para la matriz   4 −1 7 A = −1 4 0 −7 0 4 6. Considere las matrices siguientes:    1 2 1 1 −1 2 0 2 −1 0 1 0 A= B= C= 1 2 D = 2 3 2 E =  0 3 4 −1 2 1 1 2 0 1 1 2 0 0 7 a. Calcule el radio espectral de las matrices dadas. b. ¿Cuáles de las matrices dadas son convergentes?. c. Obtenga . 2 de las matrices dadas. 7. Compruebe que si A es simétrica entonces A 2 = ρ(A). 8. Dados los siguientes sistemas lineales 3x1 − x2 + x3 = 1 3x1 + 6x2 + 2x3 = 0 3x1 + 3x2 + 7x3 = 4 10x1 − x2 =9 −x1 + 10x2 − 2x3 = 7 −2x2 + 10x3 = 6 10x1 + 5x2 =6 5x1 + 10x2 − 4x3 = 25 −4x2 + 8x3 − x4 = −11 −x3 + 5x4 = −11 2
  3. 3. a. Obtenga las tres primeras iteraciones del método de Jacobi usando x(0) = 0. b. Obtenga las tres primeras iteraciones del método de Gauss-Seidel usando x(0) = 0. c. Aplique el método de Jacobi para resolver el sistema dado con una tolerancia de 10−3 , usando x(0) = 0. d. Aplique el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema dado con una tolerancia de 10−3 , usando x(0) = 0. 3

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