T1preliminaresrcalculofeb Jun2009uc

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Para los estudiantes de VI Semestre Ingenierias

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T1preliminaresrcalculofeb Jun2009uc

  1. 1. UNIDAD CENTRAL DEL VALLE DEL CAUCA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS Profesor: Efraín Vásquez Millán. TALLER No 1. Preliminares: Repaso de Cálculo 1. Halle en cada caso l´ n→∞ xn . Después determine εn = L − xn y calcule l´ n→∞ εn , si se sabe ım ım que: 4n+1 a. {xn } = { 2n+1 }. 2 2n +6n−1 b. {xn } = { 4n2 +2n+1 }. ∞ 2. Sea xn una sucesión tal que l´ n→∞ xn = 2 ım n=1 a. Halle l´ n→∞ sin xn ım b. Halle l´ n→∞ ln x2 ım n 3. Halle los números c cuya existencia garantiza el teorema del valor intermedio para cada una de las siguientes funciones, en el intervalo que se indica y para el valor de L dado. a. f (x) = −x2 + 2x + 3 en [−1, 0], para L = 2 √ b. f (x) = x2 − 5x + 2 en [6, 8],para L = 3 4. Halle las cotas superior e inferior cuya existencia garantiza el teorema de los valores extremos para cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica. a. f (x) = x2 − 3x + 1 en [−1, 2], b. f (x) = cos2 x − sin x en [0, 2π] 5. Halle los números c cuya existencia garantiza el teorema del valor medio para cada una de las siguientes funciones, en el intervalo que se indica. √ a. f (x) = x en [0, 4], x2 b. f (x) = en [0, 1] x+1 6. Aplique el primer teorema fundamental del cálculo a cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica. a. f (x) = xex en [0, 2], 1
  2. 2. 3x b. f (x) = en [−1, 1] 2 x +1 7. Aplique el segundo teorema fundamental del cálculo a cada una de las siguientes funciones: x2 d a. 0 t cos tdt dx x3 t2 d b. 1 e dt dx 8. Halle los números c cuya existencia garantiza el teorema del valor medio para integrales para cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica. a. f (x) = 6x2 en [−3, 4], b. f (x) = x cos x en [0, 3π/2] 9. Halle la suma de cada una de las siguientes sucesiones o series. 1∞ a. 2n n=0 2∞ b. 3n n=1 ∞ 3 c. n=1 n2 +n ∞ 3 d. n=1 n2 +n 10. Halle el polinomio de Taylor de grado n = 4 para cada una de las siguientes funciones alrededor del punto dado. √ a. f (x) = x, x0 = 1 x5 + 4x2 + 3x + 1, b. f (x) = x0 = 0 c. f (x) = cos x, x0 = 0 11. Halle el área promedio de todos los círculos centrados en el origen cuyo radio está comprendido entre 1 y 3. 12. Sea f (x) = 1 − ex + (e − 1)sin( πx ). Demuestre que f (x) es cero cuando menos una vez en [0, 1]. 2 13. Demuestre que la ecuación x3 = ex sin x debe tener por lo menos una solución en [1, 4]. 14. Demuestre que la ecuación x = 3−x tiene una solución en [0, 1]. 15. Sea f (x) = x sin πx − (x − 2) ln x. Demuestre que f (x) = 0 para alguna x en [1, 2] . 16. Encuentre el polinomio de Taylor de cuarto grado para f alrededor de x0 = 0 si f (x) = x cos x. Use este polinomio para aproximar f ( π ), y encuentre una cota para el error en esta aproximación. 6 π para aproximar cos 42◦ con una precisión de 10−6 . 17. Use un polinomio de Taylor alrededor de 4, 18. Use un polinomio para la función ln x alrededor de e , para encontrar una aproximación de ln 3 que sea exacta a 10−4 . 19. Determine si el teorema del Valor Medio se puede aplicar en las siguientes situaciones. Si es así, encuentre un número c que satisfaga la conclusión de este teorema; si no, demuestre que no existe tal número. 3 a. f (x) = x 2 y [a, b] = [−1, 8] 2
  3. 3. b. f (x) = |x| y [a, b] = [−1, 1] 20. Se dice que la función f : [a, b] → R satisface una condición de Lipschitz con constante de Lipschitz L en [a, b] si, para todas las x, y ∈ [a, b] , |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| a. Demuestre que si f satisface la condición de Lipschitz con constante L en un intervalo [a, b], entonces f (x) ∈ [a, b] b. Demuestre que si f tiene una derivada acotada por en [a, b], entonces f satisface la condición de Lipschitz con constante L en [a, b]. c. Dé un ejemplo de una función que sea continua en un intervalo cerrado pero que no satisfaga una condición de Lipschitz en ese intervalo. 3

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