Your SlideShare is downloading. ×
0
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Geometrie VI
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply
2 Comments
10 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
57,305
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
567
Comments
2
Likes
10
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. GEOMETRIE CLASA a VI-aCapitole:1. Figuri si corpuri geometrice2. Dreapta 3. Unghiuri4. Congruenta triunghiurilor5. Perpendicularitate6. Paralelism7. Proprietati ale triunghiurilor8. Patrulatere .
  • 2. FIGURI SI CORPURIGEOMETRICE .
  • 3. INSTRUMENTE GEOMETRICE1. Rigla gradata = se utilizeaza pentru constructia de drepte sisegmente de dreapta de lungimi date si pentru masurarea lungimilorsegmentelor de dreapta.2. Compas = se utilizeaza pentru constructia de cercuri si dearcuri de cerc; de asemenea este folosit la constructiatriunghiurilor si a unor linii importante in triunghi.3. Echerul = este folosit pentru verificarea masurilor unorunghiuri date dar si pentru constructia unghiurilor de 30, 45, 60,90 de grade.4. Raportorul = este folosit pentru constructia si verificareamasurii unui unghi dat. .
  • 4. FIGURI GEOMETRICE Prezentare prin descriere si desen Linia franta = este formata din reuniunea a mai multor segmente de dreapta. Linia curba = este formata din reuniunea de arce de cerc si de segmente de dreapta. Triunghiul = este figura geometrica formata din trei Cercul laturi. Patrulaterul = este figura geometrica formata din patru Unghiul laturi. .
  • 5. CORPURI GEOMETRICE Varf CONUL VarfCUBUL Muchie Suprafaţa conică Faţă VarfPARALELIPIPEDUL PIRAMIDA MuchieDREPTUNGHIC FaţăCILINDRUL SFERA Suprafaţa cilindrică .
  • 6. DESFĂŞURAREAPARALELIPIPEDULUI DREPTUNGHIC
  • 7. IDENTIFICAREA UNOR FIGURI GEOMETRICEPLANE PE FEŢELE CORPURILOR GEOMETRICE Triunghi Patrat Dreptunghi Cerc
  • 8. DREAPTA .
  • 9. PUNCT, DREAPTĂ, PLAN1. Punctul este figura geometrică Se reprezintă in desen astfel:ce se aseamănă cu o urmă lăsată Ade varful unui creion. Punctul nu Se notează cu litere mari de tipar:are dimensiune.2. Dreapta este figura Se reprezintă in desen astfel:geometrică ce se aseamănă cu dun fir perfect intins si fără A Bmargini. Dreapta are o Se notează cu litere mici de manăsingură dimensiune: sau dacă există pe dreaptă două puncte, de ex. AB:lungimea. Se reprezintă in desen astfel:3. Planul este figura A Cgeometrică ce se Se notează cu litere miciaseamănă cu o panză de mană, greceşti: α Bperfect intinsă si fărămargini. Planul are Sau daca există trei puncte in plan, de ex. (ABC):două dimensiuni:lungimea si lăţimea. .
  • 10. SEMIDREAPTĂ, SEGMENT, SEMIPLANO A A BSemidreapta este dreapta mărginită la Segmentul de dreaptă este dreaptaun capăt. mărginită la ambele capete.O = originea semidreptei. Segmentul de dreaptă se notează cuSemidreapta se notează: [OA dacă [AB] dacă punctele A si B aparţinpunctul O aparţine semidreptei sau (OA segmentului sau (AB) dacă punctele A şidacă punctul O nu aparţine B nu aparţin segmentului.semidreptei. O dreaptă imparte un plan in două A semiplane: d Un punct nu poate fi decat intr-un singur semiplan. Se poate nota astfel: [dA sau (dA. Semiplan .
  • 11. POZIŢIILE RELATIVE ALE UNUI PUNCT FAŢĂ DE O DREAPTĂ A d BIn figura de mai sus, punctul A se află pe dreapta d;Scriem A∈d si citim: punctul A apartine dreptei d.In figura de mai sus, punctul B nu se află pe dreapta d;Scriem B∉d si citim: punctul B nu apartine dreptei d.Prin doua puncte distincte trece odreapta si numai una. Mai multe puncte ce se afla pe o dreapta se B A numesc puncte coliniare. .
  • 12. POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ DREPTE1. Drepte concurente. A Doua drepte sunt concurente daca au un punct comun. d2 d1 d1∩d2 = {A} d22. Drepte identice. d1 Doua drepte sunt identice daca au A B doua puncte distincte comune. d1∩d2 = {A,B}, A ≠ B.3. Drepte paralele. Doua drepte se numesc paralele daca nu au nici un punct comun. d1 d1∩d2 = ∅ d2 .
  • 13. LUNGIMEA UNUI SEGMENT. SEGMENTE CONGRUENTE. MIJLOCUL UNUI SEGMENT A BDistanta de la punctul A la punctul B este lungimea segmentului [AB].Lungimea segmentului [AB] se noteaza cu AB.Tot cu AB se noteaza si lungimea segmentului (AB).Doua segmente de lungimi egale se numesc segmente congruente. B Mijlocul unui segment este punctul m Daca AB = CD = 1,5 cm 1 ,5 c ce imparte segmentul dat in douaA segmente congruente. Atunci segmentele AB si CD sunt congruente. A M B C 1,5 cm Daca AM = MB, atunci: [AB] ≡ [CD] M este mijlocul lui [AB]. D .
  • 14. UNGHIURI .
  • 15. D e f i n i t i e . Figura geometrica formata din doua semidrepte careau aceeasi origine se numeste u n g h i . A Unghiurile se noteaza: Laturile unghiului AOBO Interiorul unghiului sau B AOB Exteriorul unghiului Varful unghiului .
  • 16. MĂSURAREA UNGHIURILORSi unghiurile se masoara! Ceea ce se masoara este ,,deschiderea” dintre laturileunghiului. (in nici un caz lungimile laturilor).Unitatea de masura a unghiului este gradul sexagesimal.Instrumentul de masura se numeste raportorul.Submultiplii gradului sunt: 10 = 60` (60 de minute). 1` = 60`` (60 de secunde).Definitie. Doua unghiuri cu masurile egale se numesc unghiuri congruente. O` Daca m(<AOB) = m(<A`O`B`) A atunci unghiurile sunt congruente: 400 400 O AOB ≡ A`O`B` B B` A` .
  • 17. CLASIFICAREA UNGHIURILOR1. Unghi nul 2. Unghi ascutit AO A B m(<AOB) = 00 00 < m(<AOB) < 900 O3. Unghi drept B B 4. Unghi obtuz m(<AOB) = 900 B 900 < m(<AOB) < 1800O A5. Unghi plin (sau cu laturile in prelungire) O A m(<AOB) = 1800 B O A .
  • 18. UNGHIURI ADIACENTE. BISECTOAREA A Definitie. Bisectoarea unui unghi propriu este semidreapta cu originea in varful unghiului, situata in interiorulO unghiului si formeaza cu laturile unghiului B doua unghiuri congruente. A M O CDoua unghiuri se numesc adiacentedaca au varful comun, o latura comuna Biar celelalte doua laturi sunt respectivde o parte si de cealalta a laturiicomune. AOM ≡ MOB OM = bisectoarea unghiului AOB .
  • 19. UNGHIURI COMPLEMENTARE SI SUPLEMENTARE C B B A O C O AUnghiurile AOB si Unghiurile AOB si BOCBOC sunt sunt suplementare dacacomplementare daca suma masurilor lor estesuma masurilor lor egala cu 1800.este egala cu 900. .
  • 20. UNGHIURI OPUSE LA VARF C B Definitie. Doua unghiuri cu acelasi varf se numesc opuse la varf daca laturile unuia sunt in prelungirea laturilor celuilalt. O Unghiurile AOC si BOD sunt opuse laA D varf si sunt congruente.Unghiul BOC este suplementul unghiului AOC sau a unghiului BOD.Suma masurilor unghiurilor in jurulunui punct este de 3600. .
  • 21. CALCULE CU MĂSURI DE UNGHIURI SCADEREA INMULTIREA ADUNAREA 62 45`51``+ 0 70 12`20``– 0 12015`35``⋅ 43039`48`` 34035`40`` 69071`80``– 8 960120`280``=9804`40``105084`99``= 34035`40`` Pentru ca:106025`39`` 280``=4`40``; 120`=20. 35036`40``IMPARTIREA 61012`5``:5 = 120 14` 25``610:5=120 si rest 10=60` (12`+60`):5=72`:5=14` si rest 2`=120``(5``+120``):5=125``:5=25`` .
  • 22. CONGRUENŢATRIUNGHIURILOR
  • 23. TRIUNGHI. DEFINIŢIE. ELEMENTE C Definitie. Se Varf numeste triunghi o Latura figura geometrica ce rezulta dintr-o Interior reuniune ca [AB]∪[BC]∪[CA], Unghi unde A, B, C suntA puncte necolineare. BTriunghiul se noteaza astfel: ∆ABC.Triunghiul are: 3 varfuri; 3 laturi; 3 unghiuri. .
  • 24. CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR Triunghi scalen Triunghi isoscel Triunghi echilateralAre laturile de lungimi Are doua laturi de Are toate cele treidiferite. lungimi egale. laturi egale.Triunghi ascutitunghic Triunghi dreptunghic Triunghi obtuzunghicAre toate Are un unghi drept. Are un unghi obtuz.unghiurile ascutite. .
  • 25. PERIMETRUL TRIUNGHIULUIDefinitie. Suma lungimilor laturilor unui triunghi senumeste perimetrul triunghiului. A Conditia de existenta a unui triunghi: a+b>c; a+c>b; b+c>a Perimetrul triunghiului ABC: b c P∆ABC = a + b + c Semiperimetrul triunghiului: a+b+c C p= a B 2 .
  • 26. UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI Daca vom nota masurile unghiurilor de pe figura cu (urmariti figura): A Unghi exterior α Atunci avem relatiile: ε = 1800 – κ ε =α +β ε α + β + κ = 1800. β κB C D
  • 27. CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR C a z u l L.U.L.Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor. Construiti un triunghi cu doua laturi de 5 si respectiv 4 cm si masura unghiului cuprins intre ele de 700. Etapele de lucru: 1. Construiti cu rigla un segment de 5cm. . 4 cm 2. Construiti un unghi de 700, una din laturi fiind de 5 cm. 3. Luati pe cea de-a doua latura un segment 700 de 4cm. 4. Uniti extremitatile celor doua laturi construite. 5 cm. .
  • 28. CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR C a z u l U.L.U.Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor. Construiti un triunghi cu o latura de 5cm si doua unghiuri alaturate laturii cunoscute, de 600 si respectiv 750. Etapele de lucru: 1. Construiti cu rigla un segment de 5 cm. 2. Construiti un unghi de 600 alaturate laturii de 5cm. 3. Construiti la cealalta extrema a laturii date, un unghi de 750. 4. Identificati punctul de intersectie a dreptelor construite. 600 750 5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile laturii de 5cm. 5 cm. .
  • 29. CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR C a z u l L.L.L.Avem nevoie de o rigla gradata si un compas. Construiti un triunghi cu lungimile laturilor de 5, 6 si 7 cm. Etapele de lucru: 1. Construiti cu ajutorul riglei o latura, spre exemplu, de 5 cm. 7 cm 2. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu6 cm. . deschizatura de 6 cm, si cu varful in A trasati un arc de cerc. 3. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu deschizatura de 7 cm, si cu varful in B trasati un arc de cerc. 4. Identificati punctul de intersectie al arcelor de cerc. 5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile laturii de 5cm.A 5 cm. B .
  • 30. CAZURILE DE CONGRUENŢĂCAZUL L.U.L. CAZUL U.L.U. CAZUL L.L.L. Doua triunghiuri Doua triunghiuri Doua triunghiuri sunt congruente sunt congruente sunt congruente daca au cate doua daca au cate o daca au toate laturi si unghiul latura si unghiurile laturile, respectiv determinat de ele, alaturate ei, congruente respectiv respectiv congruente congruente
  • 31. ELEMENTE DE RAŢIONAMENT GEOMETRICdemonstraţie = vine din limba latina: demonstratio = dovedire.axiomă = vine din limba greaca: axioma = opinie, teza admisa.teoremă = vine din limba greaca: theorema = examinare, cercetare.ipoteză = este compus din doua cuvinte provenite din limba greaca: hypo = sub si thesis = punere.premisă – vine din limba latina: praemissus = pus inainte, anterior.concluzie = vine din limba latina: conclusio = incheiere.O problema de geometrie este compusa din treiparti: ipoteza (datele problemei), concluzia(cerinta problemei) si demonstratia (rezolvareaproblemei).
  • 32. PERPENDICULARITATE .
  • 33. DREPTE PERPENDICULARE Definitie. Doua drepte se numesc perpendiculare (ortogonale) daca la intersectia lor formeaza un unghi drept (de 900). Doua drepte perpendiculare se pot construi cu ajutorul unui echer; urmariti figura din stanga.Cum se arata pe figura ca dreptele sunt perpendiculare: d1 Cum se scrie: d1 ⊥ d2 d2 .
  • 34. DISTANŢA DE LA UN PUNCT LA A O DREAPTĂ Distanta de la un punct la o dreapta data este lungimea segmentului de dreapta perpendicular dus din punctul dat pe dreapta data. Urmariti cu atentie cum se construieste ,,distanta” de la un punct la o dreapta cu ajutorul O echerului. d Oblica fata de dreapta d este dreapta ce trece prin punctuloblica A si un punct de pe dreapta d diferit de cel O. .
  • 35. MEDIATOAREA UNUI SEGMENT CONSTRUCTIA MEDIATOAREIConstructia mediatoarei cu ajutorul riglei Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei si a echerului si a compasuluiFaza 1. Se masoara lungimea segmentului si se Faza 1. Se construieste segmentul AB;afla mijlocul acestuia;Faza 2. cu Faza 2. Cu ajutorul compasului, cu varful din A si din B, de o parte siajutorul de alta a segmentului se traseaza arce de cerc, fara a modifica razaecherului se compasului; Faza 3. Prin punctele de intersectie al arcelorconstruieste de cerc se construieste o dreapta ce va fiperpendiculara mediatoarea segmentului dat.pe mijloculsegmentului; A BA M B .
  • 36. PROPRIETATEA MEDIATOAREITeorema. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat deextremitatile segmentului dat. P DEMONSTRATIE:  [ AM ] ≡ [ MB ]  ∆PAM ≡ ∆PBM  PM = lat.comuna  ∆ − le sunt dreptunghice ⇒  [PA]≡[PB]A M B .
  • 37. MEDIATOAREA INTR-UN TRIUNGHI A Punctul de intersectie al celor trei mediatoare se numeste centrul cercului circumscris triunghiului. Daca OB = R (raza cercului circumscris), O atunci avem: R abc R=B C 4A Unde: a, b, c sunt lungimile celor trei laturi iar A este aria triunghiului.
  • 38. BISECTOAREA UNUI UNGHIConstructia bisectoarei cu ajutorul raportorului bisectoarea 1. Se construieste unghiul dat. 2.Cu ajutorul raportorului se masoara unghiul, masura se imparte la doi si se pune semnul in dreptul masurii injumatatite. 3. Cu ajutorul riglei se construieste semidreapta din varful unghiului ce va trece prin semnul masurii injumatatite. Constructia bisectoarei cu ajutorul compasului1. Se construieste unghiul dat.2. Cu varful compasului in O se construieste un arcde cerc ce taie laturile unghiului in A si B. A M3. Cu varful compasului in A si respectiv in B seconstruiesc doua arce de cerc, de raze egale, cese vor intersecta in punctul M.4. Cu rigla se construieste semidreaptace pleaca din O si trece prim punctul M. O B
  • 39. PROPRIETATEA BISECTOAREITeorema. Orice punct depe bisectoarea unui unghi Bisectoarea unui unghi esteeste egal departat de A semidreapta cu originea in varfullaturile unghiului dat. unghiului, se afla in interiorul acestuia si il imparte in doua unghiuri adiacente congruente. M <AOM ≡ <BOM Bisectoarea este locul geometric al tuturor O punctelor egal departate de laturile unghiului. B Daca: MA ⊥ OA MB ⊥ OB atunci: [MA] ≡ [MB] .
  • 40. BISECTOAREA INTR-UN TRIUNGHI Cele trei bisectoare intr-un triunghi se A intersecteaza intr-un singur punct, O, numit centru cercului inscris in triunghi. Daca AA` si BB` sunt bisectoare si se intersecteaza in punctul O, atunci si CO este bisectoarea unghiului BCA. B` Daca r este raza cercului inscris C` in triunghiul ABC, atunci avem: O A r = r p Unde A este aria triunghiuluiB C iar p este semiperimetrul A` triunghiului
  • 41. UNGHIURILE CU LATURILE RESPECTIV PERPENDICULAREUnghiurile cu laturile respectiv Unghiurile cu laturile respectivperpendiculare, sunt congruente. perpendiculare, sunt suplementare.
  • 42. PARALELISM
  • 43. DREPTE PARALELEDefinitie. Doua drepte diferite continute in acelasi plan, care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele. a Scriem aceasta astfel: ab. b Si intelegem ca a∩b=∅ Daca ac si bc, atunci: a c b ab Axioma paralelelor. Printr- un punct dat, exterior unei drepte date, exista o singura paralela la dreapta data. .
  • 44. CRITERII DE PARALELISM a Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza doua perechi de unghiuri alterne interne congruente. b Urmariti figura. Doua drepte paralele taiate c de o secanta formeaza patruDoua drepte paralele taiate perechi de unghiuride o secanta formeaza doua corespondente congruente.perechi de unghiuri alterne Urmariti figura(animatieexterne congruente. morisca).Urmariti figura. .
  • 45. UNGHIURILE CU LATURILE RESPECTIV PARALELEUnghiurile cu laturile respectiv paralele, Unghiurile cu laturile respectiv paralele,sunt congruente. sunt suplementare.
  • 46. PROPRIETĂŢILETRIUNGHIURILOR .
  • 47. SUMA MĂSURILORUNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI A d TEOREMA. Suma 1 2 masurilor unghiurilor unui triunghi este de 1800. Demonstratie: •Dreapta d este paralela cu dreapta BC; •Se formeaza unghiuri alterne interne congruente. m(<B) = m(<A1) m(<C) = m(<A2) m(<A)+m(<B)+m(<C)= =m(<A)+m(<A1)+m(<A2)= =1800.B C .
  • 48. UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI Daca vom nota masurile unghiurilor de pe figura cu (urmariti figura): A Unghi exterior α Atunci avem relatiile: ε = 1800 – κ ε =α +β ε α + β + κ = 1800. β κB C D
  • 49. INĂLŢIMEA INTR-UN TRIUNGHI A Inaltimea unui triunghi este perpendiculara dusa din varful triunghiului pe latura opusa. Punctul de intersectie al inaltimilor se numeste ortocentrul triunghiului. Intr-un triunghi B` dreptunghic, ortocentrul se afla inC` H varful unghiului drept. H CB A` a ⋅ haDaca se cunoaste lungimea unei laturi, a, si A=inaltimea corespunzatoare acestei laturi, ha, 2atunci:
  • 50. INĂLŢIMEA IN DIFERITE TRIUNGHIURI .
  • 51. ARIA UNUI TRIUNGHI A 1. Daca se cunoaste lungimea unei laturi b⋅h ha (baza) si inaltimea , h, corespunzatoare lui b, A= b atunci: 2 c hb 2. Daca intr-un triunghi ha, hb, hc sunt cele trei inaltimi hc corespunzatoare laturilor de C lungimi a, b si c, atunci avem:B D a a⋅ ha = b⋅ hb = c⋅ hc Perimetrul: P=a+b+c
  • 52. MEDIANA INTR-UN TRIUNGHI A Segmentul de dreapta care uneste varful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana. B` Intr-un triunghi, mediana il imparte in C` doua triunghiuri echivalente (de arii G egale). Punctul de intersectie al medianelor se numeste centrul B C de greutate al triunghiului. A`Intr-un triunghi, medianele se intersecteaza intr-un punct ce se afla pemediana la o treime fata de latura sau la doua treimi fata de varf, dinlungimea medianei. Exemplu: Daca AA` = 12cm, atunci AG = 2/3 din 12 = 8cm.
  • 53. SIMETRIA FAŢĂ DE O DREAPTĂDaca avem un punct O si un Daca avem un punct A si dreaptapunct A, atunci simetricul lui A d, atunci simetricul lui A fata defata de O este punctul A`, astfel dreapta d este punctul A`, astfelincat punctele A, O, A` sa fie incat AA`⊥d, AA`∩d = {O},colineare si AO = OA` AO = OA`. A A O O d A` A` .
  • 54. PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIULUI ISOSCELAre o singura A •Are doua laturi congruente: [AB]=[AC]. axa de simetrie •Unghiurile de la baza sunt congruente: <B≡<C •Bisectoarea unghiului de la varf este si mediana, si inaltime si mediatoare. •Bisectoarele unghiurilor de la baza, medianele si inaltimile corespunzatoare laturilor congruente, sunt respectiv congruente. C` B` •De exemplu, inaltimile BB` si CC` sunt congruente. •Unghiurile de la baza sunt B C intotdeauna ascutite! .
  • 55. PROPRIETĂŢILETRIUNGHIULUI ECHILATERAL A •Are toate laturile congruente. •Are toate unghiurile congruente si egale cu 600. 600 •Toate cele trei bisectoare (sau mediane, inaltimi) sunt congruente. Orice bisectoare este si mediana, si mediatoare, si inaltime. 600 600 •Triunghiul echilateral areB C trei axe de simetrie: cele trei bisectoare.
  • 56. TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC PROPRIETATI A In orice triunghi dreptunghic, mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din lungimea acesteia. BC 30 0 AM =B M C 2Intr-un triunghi dreptunghic cu un BCunghi de 300, lungimea catetei ce se AB =opune acestui unghi este jumatatedin lungimea ipotenuzei. 2 .
  • 57. LINIA MIJLOCIE IN TRIUNGHI A Segmentul de dreapta care uneste mijloacele a doua laturi se numeste linia mijlocie. TEOREMA: Linia mijlocie intr-un triunghi este paralela cu cea de-a treia N latura si jumatate din lungimea acesteia.M MN  BC BC MN = 2B P C Daca M, N, P sunt Perimetrul ∆MNP este mijloacele celor trei laturi jumatate din perimetrul ∆ABC ale ∆ABC, atunci:
  • 58. PATRULATERE .
  • 59. PATRULATER CONVEXUn patrulater se numeste convex daca, oricare ar fi o latura a sa, cele douavarfuri, nesituate pe latura considerata, se afla de aceeasi parte a dreptei in careeste inclusa latura respectiva. Definitia unui elev: Patrulaterul convex este acel patrulater in care diagonalele D (ca segmente) nu se intersecteaza.A Exemplu de patrulater concav: diagonalele Cdiagonala B .
  • 60. PARALELOGRAMULDefinitie. Se numeste paralelogram patrulaterul convex care are laturile opuseparalele, doua cate doua. Laturile opuse D C Unghiurile alaturateA B Diagonalele SUMA MASURILOR UNGHIURILOR Unghiurile opuse UNUI PATRULATER CONVEX ESTE DE 3600. .
  • 61. PARALELOGRAMUL - PROPRIETATI D C Teorema. Intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente O doua cate doua. Teorema. Intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruenteA B doua cate doua. Teorema. Intr-un paralelogram unghiurile alaturate sunt suplementare doua cate doua. Teorema. Intr-un paralelogram diagonalele se intersecteaza injumatatindu-se. AO = OC si BO = ODOrice paralelogram are un centru de simetrie: punctulde intersectie al diagonalelor – vezi animatia. .
  • 62. DREPTUNGHIUL D CDreptunghiul esteparalelogramul cu un Ounghi drept (de fapttoate unghiurile sunt de900). A BPROPRIETATILE PARTICULARE DREPTUNGHIULUI: 1. Dreptunghiul are toate unghiurile congruente si deci toate sunt de 90 0. 2. Dreptunghiul are diagonalele congruente. 3. Dreptunghiul are doua axe de simetrie (vezi pe figura animaţia). .
  • 63. ROMBUL D Rombul este paralelogramul cu toate laturile congruente.In afara de proprietatile generale aleunui paralelogram, rombul mai are in A O Cplus, urmatoarele proprietati:Teorema. Toate laturile rombului sunt congruente.Teorema. Intr-un romb diagonalele suntperpendiculare intre ele si sunt bisectoareleunghiurilor lui. Rombul are doua axe de simetrie (vezi pe figura animaţia). B .
  • 64. PĂTRATUL C Patratul este D dreptunghiul cu laturile consecutive O congruente. •Intr-un patrat toate laturile sunt congruente. •Intr-un patrat toate unghiurile sunt A B congruente (de 900).•Intr-un patrat diagonalele au acelasi mijloc.•Intr-un patrat diagonalele sunt congruente.•Intr-un patrat diagonalele sunt perpendiculare untre ele.•Intr-un patrat diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor lui. Rombul are patru axe de simetrie (vezi pe figura animaţia). .
  • 65. TRAPEZULD C Trapezul este patrulaterul convex care are numai doua laturi (opuse) paralele. Baza mica. Baza mare. Diagonalele trapezului.A B Unghiurile alaturate laturii neparalele sunt suplementare (suma lor este egala cu 1800). .
  • 66. Sfarsit

×