Numero Complejos

ÁLGEBRA SUPERIOR ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007 Martha G. Canales Leyva Roc ío Patricia Rivas Llanas Leticia Lizette Espinosa Fahl Joaquín Gilberto Treviño Dávila José Santos García Claudio Hiram Carmona Jurado Abraham Leonel López León Carlos Alfonso Gameros Morales Kluis Roberto Fernández Guillén Arturo Córdova González Ph. D. Martha G. Canales Leyva

OBJETIVO DEL CURSO

Establecer el conocimiento algebraico desarrollado en este programa como base para las demás materias que son los fundamentos sólidos del área de Ingeniería.

NÚMEROS COMPLEJOS Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades
Lectura comprensiva
Concepto de número complejo
Representación de un número complejo en el plano cartesiano
Co n juntos de números
Cálculo de un ángulo usando arco tangente
Funciones seno y coseno
Graficar en el plano cartesiano
Concepto de par ordenado

NÚMEROS COMPLEJOS 4.1. Números Complejos
Definición
Es un número que esta formado por dos partes, una parte real y otra parte imaginaria y se expresa en varias notaciones.
Generalmemte se usa la letra “z” para nombrarlos.
Forma Cartesiana
z = a + b i
Donde a y b son números reales e i = √ -1 es la unidad imaginaria.
“ a ” es la parte real y “ bi ” la parte imaginaria
Ejemplo z 1 = 4 + 3 i z 2 = -2 + 2 i

Conjugado de un número complejo
El conjugado de un número complejo
z 1 = a + b i se define como
El conjugado es
z 1 = a - b i
Ejemplo
z 1 = 7 – 5 i z 1 = 7 + 5 i

Imaginario Puro y Real Puro
Cuando a = 0 queda
z 1 = 0 + b i
Y se denomina Imaginario Puro
Ejemplo
z 1 = – 5 i
Por otra parte si b = 0 se tiene un Real Puro
Ejemplo
z 2 = 7 + 0 i z 2 = 7

NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Representación Cartesiana
Utilizando los dos ejes cartesianos, el eje vertical corresponde a la parte imaginaria y el eje horizontal corresponde a la parte real.
Los números complejos se pueden representar como puntos del
par ordenado.
z 1 = a + b i = (a,b)

Ejemplos
z 1 = 3 + 6 i P 1 (3,6)
z 2 = -2 + 4 i P 2 (-2,4)
z 3 = -3 – 1 i P 3 (-3,-1)
z 4 = 2 – 3 i P 4 (2,-3)
R  • • • •

Ejemplos
Si i = √ -1 es la unidad imaginaria
i
i 2 = i i = √ -1 √ -1 =-1
i 3 = i 2 i = -1 i =- i
i 4 = i 2 i 2 = (-1) (-1) = 1
i 5 = i 4 i = 1 i = i
Y asi sucesivamente...
R  i i 2 i 4 i 3 • • • •

Representación cartesiana de los números Imaginario Puro y Real Puro
El imaginario puro se ubica sobre el eje de la  y el real puro sobre el eje R
Ejemplo z 2 = 3 i
z 3 = -2
z 4 = 4
z 1 = – 5 i
• • • • 

Con los números complejos representados en la forma Cartesiana se pueden realizar las siguientes operaciones:
Suma
Resta
Multiplicación
División
Potencia

Suma
Sean los dos números complejos
z 1 = a 1 + b 1 i
z 2 = a 2 + b 2 i
Se define la suma de dos números complejos como
z 3 = z 1 + z 2 =( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 ) i
Ejemplo Sean z 1 = 7 -2 i z 2 = -3 +8 i
z 3 = z 1 + z 2 =( 7-3) +(-2+8) i = 4 +4 i

Resta
z 1 = a 1 + b 1 i
z 2 = a 2 + b 2 i
Se define la resta de dos núumeros complejos como
z 3 = z 1 - z 2 =( a 1 - a 2 ) + ( b 1 - b 2 ) i
Ejemplo z 1 =17 -2 i z 2 = -3 +28 i
z 3 = z 1 - z 2 =( 17-(-3)) +(-2-28) i = 20 - 30 i

Multiplicación
z 1 = ( a 1 + b 1 i )
z 2 = ( a 2 + b 2 i )
Se define la multiplicación de dos números complejos como
z 3 = z 1 z 2 =( a 1 a 2 –b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i
Ejemplo Sean z 1 = 5 -2 i z 2 = -3 +4 i
z 3 = z 1 z 2 =( 5 (-3) – (-2)4) + (5(4) + (-3)(-2)) = -7 + 26 i

Multiplicación
Ejemplo Sean z 1 = 5 -2 i z 1 = 5 + 2
z 3 = z 1 z 2 =( 5 (5) – (-2)2) + (5(2) + (5)(-2)) = 25 +4= 29
La multipliación de un número complejo por su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de las partes reales, quedando como resultado un Real Puro.

División
z 1 = a 1 + b 1 i
z 2 = a 2 + b 2 i
Se define la división aplicando la multiplicación por la unidad, formando dicha unidad con el conjugado de z 2 para obtener un real en el denominador
z 3 = = =

Ejemplo
z 1 = 2 + 3 i
z 2 = -4 +1 i
z 3 = = =
=-5/17 – 14/17 i

Potencia
Sea el número complejo
z 1 = a 1 + b 1 i
Se define la potencia con base a la multilicación
z 2 n = (a 1 + b 1 i ) n = (a 1 + b 1 i ) (a 1 + b 1 i ) (a 1 + b 1 i ) ..... (a 1 + b 1 i )
Ejemplo
z 1 = -5 + 3 i
z 2 = z 1 3 = ( -5 + 3 i ) 3 = ( -5 + 3 i )( -5 + 3 i )( -5 + 3 i ) = 10 + 198 i

NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar
Números Complejos en forma Polar
Se enuncia un número complejo en la forma polar como:
Z 1 = r 1 (Cos  1 + i Sen  1 )
En donde:
Módulo r 1 = (a 2 + b 2 ) ½
Amplitud o argumento  1 = arc tan (b/a)

Representación Polar
Para graficar en la notación Polar, solo es necesario un eje, que es R.
Z 1 = r 1 (Cos  1 + i Sen  1 )
En donde:
r 1 = (a 2 + b 2 ) ½
 1 = arc tan (b/a)
a b  R 

Operaciones con los números complejos expresados en forma polar
Multiplicación
División
Potencia
Raíces

Multiplicación de números complejos expresados en forma polar
z 1 =r 1 ( Cos  1 + i Sen  1 )
z 2 =r 2 ( Cos  2 + i Sen  2 )
Se define la multiplicación como
z 3 = z 1 z 2 = r 1 r 2 (Cos (  1 +  2 ) + i Sen (  1 +  2 ) )
Ejemplo z 1 = 5( Cos 10 º + i Sen10º ) z 2 =3 ( Cos 15 º + i Sen 15º )
Calcular z 3 =z 1 z 2 = 5(3)((Cos (10+ 15))+ ( i Sen(10 + 15)))
z 3 =15 ( Cos 25º + i Sen 25º )

División de números complejos expresados en forma polar
z 1 =r 1 ( Cos  1 + i Sen  1 )
z 2 =r 2 ( Cos  2 + i Sen  2 )
Se define la división como
z 3 = z 1 /z 2 =( r 1 / r 2 ) (Cos (  1 -  1 ) + i Sen (  1 -  1 ) )
Ejemplo z 1 =24 ( Cos 40º + i Sen 40º ) z 3 =10 ( Cos 3º + i Sen3º )
Calcular z 4 = z 1 / z 3 = (24-10) (( Cos (40-3)+ i Sen (40-3) ))
z 4 = 2.4(( Cos37º + i Sen 37º )

Potencia de números complejos expresados en forma polar
Sea el número complejo
z 1 =r 1 ( Cos  1 + i Sen  1 )
Se define la potencia como
( z 3 ) n =(r 1 ) n (Cos (n  1 ) + i Sen ( n  1 ) )
Ejemplo Sea z 1 = 2 ( Cos 30º + i Sen 30º )
z 1 4 = (2( Cos 30º + i Sen 30º )) 4 = 2 4 ( Cos4(30) + i Sen 4(30) )
z 1 4 =16 ( Cos 120º + i Sen 120º )

Raices de números complejos expresados en forma polar
La expresión para calcular la potencia de un número complejo, es la fórmula de Moivre , la cual es válida para todo valor real de n. Para valores fraccionarios corresponde a radicales.
Las n raíces enésimas de un número complejo se obtienen dando valores a k =0,1,2,3... n-1 en:
( z 3 ) 1/ n =(r 1 ) 1/ n (Cos ( ) + i Sen ( ) )

Raices de números complejos expresados en forma polar ……
Ejemplo Sea z 3 = 81( Cos 16º + i Sen 16º )
z 4 =( z 3 ) 1/ 4 =(r ) 1/ n (Cos (  1 +k 360 o ) / n) + i Sen (  1 +k 360 o ) / n) )
Serán 4 raices para k con valores de 0,1,2,3
Para k=0
z 1 =(81) 1/ 4 (Cos (16 +0( 360 o )) /4) + i Sen (16 +0( 360 o )) /4))
z 1 =3( Cos 4º + i Sen 4º )
Para k=1
z 2 =(81) 1/ 4 (Cos (16 +1( 360 o )) /4) + i Sen (16 +1( 360 o )) /4))
z 2 =3( Cos 94º + i Sen 94º )

Para k=2
z 3 =(81) 1/ 4 (Cos (16 +2( 360 o )) /4) + i Sen (16 +2( 360 o )) /4))
z 3 =3( Cos184º + i Sen 184º )
Para k=3
z 4 =(81) 1/ 4 (Cos (16 +3( 360 o )) /4) + i Sen (16 +3( 360 o )) /4))
z 4 =3( Cos 274º + i Sen 274º )

Ejemplo
Representadas las cuatro raices en el Eje Polar quedan
z 1 z 2 z 3 z 4 R

NÚMEROS COMPLEJOS 4.4. Coversión de forma Cartesiana a forma Polar y viceversa
Forma Polar y forma Cartesiana
Para convertir considerar la definición de los números complejos en ambas formas.
z 1 = r 1 (Cos  1 + i Sen  1 ) y z 1 = a + b i
En donde:
Para la forma Cartesiana será:
a= r 1 Cos  1 b = r 1 Sen  1
Para la forma Polar será:
r 1 = (a 2 + b 2 ) ½  1 = arc tan (b/a)
a b  R  r

NÚMEROS COMPLEJOS Bibliografía

http://www.gomezleyton.com.ar	229
http://www.slideshare.net	35
http://elpsicopatapatidifuso.blogspot.com	23
http://elpsicopatapatidifuso.blogspot.com.es	9
http://euch00.blogspot.com	7
http://euch00.blogspot.mx	6
http://salilliammate12.blogspot.com	6
http://manuelzegarravasco.blogspot.com	4
http://www.elpsicopatapatidifuso.blogspot.com	2
http://elpsicopatapatidifuso.blogspot.mx	2
http://elpsicopatapatidifuso.blogspot.com.ar	2
http://ferber98.blogspot.com.es	1
http://ferber98.blogspot.mx	1
http://euch00.blogspot.com.ar	1
http://euch00.blogspot.com.es	1

Numero Complejos

by Adan Aguirre on Feb 15, 2010

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