0
Modelo de Redes y Redes de          Petri   MCC Zuriel Dathan Mora Félix
Modelo de Redes• El siguiente grafo representa una red de tuberías  de petróleo, el petróleo proviene del muelle a, y  se ...
• Una red es un grafo, dirigido, simple con pesos  que satisface:• Un vértice fijo, la fuente no tiene arista de  entrada....
• Un flujo en una red, asigna un flujo en cada  arista dirigida, que no excede la capacidad de  dicha arista.• El flujo de...
• En el siguiente grafo, la entrada al la bomba  intermedia b es 2 y su salida tambien es 2.• Respecto a la salida de la f...
• El problema de una red de transporte se  puede establecer así, determinar un flujo  máximo en G, es decir entre todos lo...
Una red de bombeo• La siguiente figura representa una red de bombeo por medio del cual se  envía agua a 2 ciudades A,B, de...
• Para obtener una fuente y un sumidero fijos, podemos  obtener una red de transporte equivalente, uniendo la fuente  en u...
Red de flujo de tráfico• Es posible ir de la ciudad A a la ciudad C directamente o pasar por la  ciudad B.• Durante el per...
ejercicios• Escribe los flujos faltantes sobre las aristas.
• El sig. grafo representa una red de bombeo, en la que el petróleo de 3  pozos w1,w2,w3, se entrega a 3 refinerías A,B y ...
• Existen 2 rutas de la ciudad A a la ciudad B, una ruta pasa por la ciudad B y  la otra por la ciudad C, durante el perio...
Un algoritmo de flujo máximo• Sea G una red de transporte, un flujo máximo en G es  un flujo con valor máximo.• Comenzar c...
• Un camino de a a z en este grafo no dirigido.• Si una arista e en P esta dirigida, decimos que e esta  orientada en form...
• Si podemos determinar un camino P de la fuente al sumidero en donde  cada arista de P esté orientada en forma propia y e...
• También es posible incrementar el flujo en  ciertos caminos de la fuente al sumidero que  tengan aristas orientadas en f...
• Teorema.•   Sea P un camino de a a z en una red G     – Para cada arista (i,j) de P, orientada en forma propia, tal que ...
Idea principal del algoritmo de flujo                máximo.1. Iniciar con un flujo (ejemplo, un flujo tal que   el flujo ...
Algoritmo para determinar el flujo máximo  en una red. (Algoritmo Ford-Fulkerson)• En algunas redes circula por los arcos ...
• En el caso de que el origen o el destino no existan en el problema, se  añaden ficticiamente utilizando arcos unidirecci...
• Corte: Un corte define una serie de arcos cuya  supresión de la red causa una interrupción  completa del flujo entre el ...
•   Todo lo que podemos obtener de los 3 cortes es que el flujo máximo en la red no    excede de 60 unidades.•   No podemo...
• Algoritmo F-F• El algoritmo de Ford-Fulkerson propone  buscar caminos en los que se pueda aumentar  el flujo, hasta que ...
• Consideraremos las capacidades iniciales del arco que  une el nodo i y el nodo j como Cij y Cji.• Estas capacidades inic...
• Paso 1: Inicializamos las capacidades  residuales a las capacidades iniciales, hacemos  (cij,cji)=(Cij,Cji) para todo ar...
• Paso 2: Determinamos Si como un conjunto  que contendrá los nodos a los que podemos  acceder directamente desde i por me...
• Paso 3: Obtenemos kЄSi como el nodo destino  del arco de mayor capacidad que salga de i hacia  un nodo perteneciente a S...
• Paso 4 (retroceso): Si i=1, estamos en el nodo  origen, y como Si es vacío, entonces no  podemos acceder a ningún nodo, ...
• Paso 5: Llegados a este paso tenemos un  nuevo camino: Np={1,k1,k2,...,n}, esta será la  p-ésima ruta de penetración des...
• La capacidad residual de cada arco a lo largo  de la ruta de penetración se disminuye por fp  en dirección del flujo y s...
• Paso 6 (solución): Una vez aquí, hemos  determinado m rutas de penetración. El flujo  máximo en la red será la suma de l...
• Teniendo en cuenta que las capacidades  residuales inicial y final del arco (i, j) las dan  (Cij,Cji) y (cij,cji) respec...
Ejemplo
• Iteración 1     • Determinamos las residuales iniciales (cij,cji) iguales a       las capacidades iniciales (Cij,Cji).  ...
• Paso 3: k=5 y a5=c35=max{10,20}=20. Clasificamos el  nodo 5 con [20,3]. Logramos la penetración, vamos al  paso 5.• Paso...
Iteración 2• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.  Paso 2: S1={2,3,4}. Paso 3: k=2 y a2...
•   Paso 2: S3={4} (c35=0, el nodo 1 ya ha sido clasificado y el nodo 2 cumple ambas    condiciones, por tanto los nodos 1...
Iteración 3•   Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.•   Paso 2: S1={2,3,4}.•   Paso 3: k...
• Paso 4: La clasificación [30,2] nos dice que el nodo inmediatamente  precedente es el 2. Eliminamos el nodo 3 de una con...
Iteración 4• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.• Paso 2: S1={3,4}.• Paso 3: k=3 y a3=...
• Paso 2: S2={5}• Paso 3: k=5 y a5=c25=20. Clasificamos el nodo 5 con  [20,2]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.• ...
Iteración 5•   Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.•   Paso 2: S1={4}.•   Paso 3: k=4 y...
• Paso 4: La clasificación [15,4] nos dice que el nodo inmediatamente  precedente es el 4. Eliminamos el nodo 3 de una con...
Iteración 6• No son posibles más penetraciones, debido a que todos los arcos  fuera del nodo 1 tienen residuales cero. Vay...
Teorema del corte mínimo y flujo              máximo.• El teorema del corte mínimo y flujo máximo  se utiliza para encontr...
Corte mínimo• En lo que respecta a las redes, un corte es un  conjunto en el cual quedan dos partes disjuntas  del conjunt...
• Sea F un flujo en G y sea (P, P) un corte en G. Entonces la  capacidad de (p, p) es mayor o igual que el valor de F; es ...
FLUJO MÁXIMO Y EL CORTE MÍNIMO• Sea F un flujo en G y sea (P, P) un corte en G si la  igualdad se cumple entonces el flujo...
• Metodología• En el último grafo del algoritmo de flujo maximal, de todos los cortes  posibles, serán cortes minimales aq...
Acoplamientos•   A=J2 Y J5••   B=J2 Y J5••   C=J1, J3, J4 Y J5••   D=J2 Y J5••   Supóngase que 4 personas A, B, C, y D lle...
• La situación puede ser modelada por el grafo de la  figura anterior donde los vértices representan a los  solicitantes y...
• En el ejemplo anterior consiste en hallar  trabajos para las personas calificadas.• Un acoplamiento maximal determina tr...
• La definición formal es: sea G un grafo dirigido  bipartito con conjuntos disjuntos de vértices V y W,  en el cual los l...
• Si v V, entonces (v,w) E, para algún wW.• Ejemplo:• En la siguiente figura el acoplamiento con líneas gruesas que apa...
• Modele el problema de esta figura como un  problema de redes:
• En primer lugar se asigna la capacidad 1 a  cada lado del grafo.• A continuación se agrega una superfuente a y  lados co...
• El teorema siguiente relaciona las redes acopladas y los  flujos.• Sea G un grafo dirigido bipartito con conjuntos disju...
Modelo de redes y redes petri
Modelo de redes y redes petri
Modelo de redes y redes petri
Modelo de redes y redes petri
Modelo de redes y redes petri
Modelo de redes y redes petri
Modelo de redes y redes petri
Modelo de redes y redes petri
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Modelo de redes y redes petri

2,150

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
2,150
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
71
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Modelo de redes y redes petri"

  1. 1. Modelo de Redes y Redes de Petri MCC Zuriel Dathan Mora Félix
  2. 2. Modelo de Redes• El siguiente grafo representa una red de tuberías de petróleo, el petróleo proviene del muelle a, y se descarga en la refinería z.• Los vértices b,c,d,e representan estaciones de bombeo.• Las aristas dirigidas representan subtuberias del sistema, muestran la dirección en la que puede fluir el petróleo.• Las etiquetas sobre las aristas muestran las capacidades de las tuberías.
  3. 3. • Una red es un grafo, dirigido, simple con pesos que satisface:• Un vértice fijo, la fuente no tiene arista de entrada.• Un vértice fijo, el sumidero (destino) no tiene arista de salida.• El peso C de la arista dirigida ij llamado la ij capacidad es un numero no negativo
  4. 4. • Un flujo en una red, asigna un flujo en cada arista dirigida, que no excede la capacidad de dicha arista.• El flujo de entrada debe ser igual al flujo de salida, sin ser la fuente o el sumidero.
  5. 5. • En el siguiente grafo, la entrada al la bomba intermedia b es 2 y su salida tambien es 2.• Respecto a la salida de la fuente es a,b + a,d = 5 en el sumidero se recibe c,z+ e,z= 5.
  6. 6. • El problema de una red de transporte se puede establecer así, determinar un flujo máximo en G, es decir entre todos los flujos posibles en G, determinar un flujo F, tal que el valor de F sea máximo.
  7. 7. Una red de bombeo• La siguiente figura representa una red de bombeo por medio del cual se envía agua a 2 ciudades A,B, desde 3 pozos w1,w2 y w3.• Las capacidades de los sistemas intermedios representan las aristas.• Los vértices b,c,d representan estaciones de bombeo intermedias.
  8. 8. • Para obtener una fuente y un sumidero fijos, podemos obtener una red de transporte equivalente, uniendo la fuente en una súper fuente y el sumidero en un súper sumidero.
  9. 9. Red de flujo de tráfico• Es posible ir de la ciudad A a la ciudad C directamente o pasar por la ciudad B.• Durante el periodo de 6:00- 7:00 pm, los tiempos promedio de viaje son: – A-B (15 minutos) – B-C (30 minutos) – A-C (30 minutos)• Las capacidades de las carreteras son: – A-B (3,000 vehículos) – B-C(2,000 vehículos) – A-C(4,000 vehículos)• Un vértice representa una ciudad en un instante dado, una arista conecta X,t1 con y, t2, si podemos salir de la ciudad X en el instante t1 pm.• La capacidad de una arista es la capacidad de la ruta.• Se introduce una fuente y un super sumidero.
  10. 10. ejercicios• Escribe los flujos faltantes sobre las aristas.
  11. 11. • El sig. grafo representa una red de bombeo, en la que el petróleo de 3 pozos w1,w2,w3, se entrega a 3 refinerías A,B y C.• Las capacidades de los sistemas intermedios están sobre las aristas.• Las aristas b,c,d,e,f representan estaciones intermedias de bombeo.• Modela el sistema como una red.• Modela el sistema como una red, suponiendo que el pozo w1, bombea a lo mas 2 unidades, el pozo w2 a lo mas 4 unidades y el pozo w3 a lo mas 7 unidades.
  12. 12. • Existen 2 rutas de la ciudad A a la ciudad B, una ruta pasa por la ciudad B y la otra por la ciudad C, durante el periodo de 7 a 8:00 am.• Los tiempos son los sig.: – A-B 30 min – A-C 15 min – B-D 15 min – C-D 15 min• Las capacidades máximas son las rutas: – A-B (1000 vehículos) – A-C (3000 vehículos) – B-D (4000 vehículos) – C-D (2000 vehículos)• Represente como una red de flujo de trafico de A a D durante el periodo de 7 a 8:00 am.
  13. 13. Un algoritmo de flujo máximo• Sea G una red de transporte, un flujo máximo en G es un flujo con valor máximo.• Comenzar con cierto flujo inicial e incrementar de manera iterativa el valor del flujo hasta que no pueda mejorarse más.• El flujo resultante será el flujo máximo.• Podemos considerar como flujo inicial aquel en el que flujo en cada arista es igual a 0.• Para incrementar el valor de un flujo dado, debemos determinar un camino de la fuente al sumidero e incrementar el flujo a lo largo de ese camino.
  14. 14. • Un camino de a a z en este grafo no dirigido.• Si una arista e en P esta dirigida, decimos que e esta orientada en forma propia (con respecto de P).• En caso contrario decimos que e esta orientada en forma impropia (con respecto de P)
  15. 15. • Si podemos determinar un camino P de la fuente al sumidero en donde cada arista de P esté orientada en forma propia y el flujo en cada arista es menor que la capacidad de la arista, es posible aumentar el valor de flujo.• Consideremos el camino de a a z de la sig. figura. Todas las aristas de P están orientadas en forma propia.• El valor del flujo en esta red se puede incrementar en 1
  16. 16. • También es posible incrementar el flujo en ciertos caminos de la fuente al sumidero que tengan aristas orientadas en forma propia e impropia.• Sea P un camino de a a z y sea x un vértice en P, que no sea a ni z.• Existen 4 posibilidades
  17. 17. • Teorema.• Sea P un camino de a a z en una red G – Para cada arista (i,j) de P, orientada en forma propia, tal que el flujo de la arista sea menor que la capacidad. – Para cada arista orientada en forma impropia el flujo de la arista debe ser mayor a 0.• Sea entonces ∆=min X• Donde X consta de la suma de los flujos orientado en forma propia o impropia. Es decir C-F, para todas las aristas orientadas en forma propia e impropia.• Entonces F* es un flujo cuyo valor es ∆ unidades mayor que el valor de F
  18. 18. Idea principal del algoritmo de flujo máximo.1. Iniciar con un flujo (ejemplo, un flujo tal que el flujo en cada arista sea 0)2. Buscar un camino que satisfaga las condiciones del teorema anterior, si no existe tal camino se termina y el flujo es máximo.3. Se incrementa el flujo del camino en ∆, donde ∆ se define como el teorema y se regresa al punto 2.
  19. 19. Algoritmo para determinar el flujo máximo en una red. (Algoritmo Ford-Fulkerson)• En algunas redes circula por los arcos un flujo (envío o circulación de unidades homogéneas de algún producto: automóviles en una red de carreteras, litros de petróleo en un oleoducto, bits por un cable de fibra óptica) desde el origen o fuente al destino, también denominado sumidero• Los arcos tienen una capacidad máxima de flujo, y se trata de enviar desde la fuente al sumidero la mayor cantidad posible de flujo, de tal manera que: El flujo es siempre positivo y con unidades enteras.• El flujo a través de un arco es menor o igual que la capacidad.• El flujo que entra en un nodo es igual al que sale de él.
  20. 20. • En el caso de que el origen o el destino no existan en el problema, se añaden ficticiamente utilizando arcos unidireccionales de capacidad infinita, como en grafo mostrado a continuación:
  21. 21. • Corte: Un corte define una serie de arcos cuya supresión de la red causa una interrupción completa del flujo entre el origen y el destino.• La capacidad de corte es igual a la suma de las capacidades de los arcos asociados.• Entre todos los cortes posibles en la red , el corte con la menor capacidad proporciona el flujo máximo en la red.• El siguiente grafo ilustra 3 cortes: el Corte 1 con capacidad 60, el Corte 2 con capacidad 110 y el Corte 3 con capacidad 70.
  22. 22. • Todo lo que podemos obtener de los 3 cortes es que el flujo máximo en la red no excede de 60 unidades.• No podemos saber cual es el flujo máximo hasta que se hayan enumerado todos los cortes en la red:• Las capacidades se identifican como sigue: por ejemplo, para el arco (3,4), el límite de flujo es de 10 unidades de 3 a 4 y de 5unidades de 4 a 3.
  23. 23. • Algoritmo F-F• El algoritmo de Ford-Fulkerson propone buscar caminos en los que se pueda aumentar el flujo, hasta que se alcance el flujo máximo.• La idea es encontrar una ruta de penetración con un flujo positivo neto que una los nodos origen y destino.
  24. 24. • Consideraremos las capacidades iniciales del arco que une el nodo i y el nodo j como Cij y Cji.• Estas capacidades iniciales irán variando a medida que avanza el algoritmo, denominaremos capacidades residuales a las capacidades restantes del arco una vez pasa algún flujo por él, las representaremos como cij y cji. Para un nodo j que recibe el flujo del nodo i, definimos una clasificación [aj,i] donde aj es el flujo del nodo i al nodo j. Los pasos del algoritmo se definen como sigue:
  25. 25. • Paso 1: Inicializamos las capacidades residuales a las capacidades iniciales, hacemos (cij,cji)=(Cij,Cji) para todo arco de la red. Suponiendo el nodo 1 como el nodo origen, hacemos a1=∞ y clasificamos el nodo origen con *∞,-]. Tomamos i=1 y vamos al paso 2.
  26. 26. • Paso 2: Determinamos Si como un conjunto que contendrá los nodos a los que podemos acceder directamente desde i por medio de un arco con capacidad positiva• Si Si contiene algún nodo vamos al paso 3, en el caso de que el conjunto sea vacío saltamos al paso 4.
  27. 27. • Paso 3: Obtenemos kЄSi como el nodo destino del arco de mayor capacidad que salga de i hacia un nodo perteneciente a Si.• Es decir, cik = max{cij} con jЄSi.• Hacemos ak=cik y clasificamos el nodo k con [ak,i].• Si k es igual al nodo destino o sumidero, entonces hemos encontrado una ruta de penetración, vamos al paso 5.• En caso contrario continuamos con el camino, hacemos i=k y volvemos al paso 2.
  28. 28. • Paso 4 (retroceso): Si i=1, estamos en el nodo origen, y como Si es vacío, entonces no podemos acceder a ningún nodo, ni encontrar algún nuevo camino, hemos terminado, vamos al paso 6. En caso contrario, i≠1, le damos al valor i el del nodo que se ha clasificado inmediatamente antes, eliminamos i del conjunto Si actual y volvemos al paso 2.
  29. 29. • Paso 5: Llegados a este paso tenemos un nuevo camino: Np={1,k1,k2,...,n}, esta será la p-ésima ruta de penetración desde el nodo origen al nodo destino.• El flujo máximo a lo largo de esta ruta será la capacidad mínima de las capacidades residuales de los arcos que forman el camino, es decir: fp=min{a1,ak1,ak2,...,an}.
  30. 30. • La capacidad residual de cada arco a lo largo de la ruta de penetración se disminuye por fp en dirección del flujo y se incrementa por fp en dirección inversa, es decir, para los nodos i y j en la ruta, el flujo residual se cambia de la (cij,cji) actual a (cij-fp,cji+fp)si el flujo es de i a j, o (cij+fp,cji-fp) si el flujo es de j a i Inicializamos i=1 y volvemos al paso 2 para intentar una nueva ruta de penetración.
  31. 31. • Paso 6 (solución): Una vez aquí, hemos determinado m rutas de penetración. El flujo máximo en la red será la suma de los flujos máximos en cada ruta obtenida, es decir: F=f1+f2+...+fm.
  32. 32. • Teniendo en cuenta que las capacidades residuales inicial y final del arco (i, j) las dan (Cij,Cji) y (cij,cji) respectivamente, el flujo máximo para cada arco se calcula como sigue: sea (α, β)=(Cij-cij, Cji-cji), si α>0, el flujo óptimo de i a j es α, de lo contrario, si β>0, el flujo óptimo de j a i es β.• Es imposible lograr que tanto αcomo β sean positivas.
  33. 33. Ejemplo
  34. 34. • Iteración 1 • Determinamos las residuales iniciales (cij,cji) iguales a las capacidades iniciales (Cij,Cji). • Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. • Paso 2: S1={2,3,4} (no vacío). • Paso 3: k=3 ya que c13=max{c12,c13,c14}={20,30,10}=30. • Hacemos a3=c13=30 y clasificamos el nodo 3 con [30,1]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. • Paso 2: S3={4,5}
  35. 35. • Paso 3: k=5 y a5=c35=max{10,20}=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,3]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.• Paso 5: La ruta de la penetración se determina de las clasificaciones empezando en el nodo 5 y terminando en el nodo 1, es decir, 5→[20,3]→3→[30,1]→1.Entonces la ruta es N1={1,3,5} y f1=min{a1,a3,a5}={∞,30,20}=20.• Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:• (c13,c31)=(30-20, 0+20)=(10,20)• (c35,c53)=(20-20, 0+20)=(0,20)
  36. 36. Iteración 2• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={2,3,4}. Paso 3: k=2 y a2=c12=max{20,10,10}=20.• Clasificamos el nodo 2 con [20,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2. Paso 2: S2={3,5} Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,40}=40. Clasificamos el nodo 3 con [40,2]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.
  37. 37. • Paso 2: S3={4} (c35=0, el nodo 1 ya ha sido clasificado y el nodo 2 cumple ambas condiciones, por tanto los nodos 1, 2 y 5 no pueden ser incluidos en S3).• Paso 3: k=4 y a4=c34=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,3]. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.• Paso 2: S4={5}• Paso 3: k=5 y a5=c45=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,4].• Logramos la penetración, vamos al paso 5.• Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[20,4]→4→[10,3]→3→[40,2]→2→[20,1]→1.• Entonces la ruta es N2={1,2,3,4,5} y f2=min{∞,20,40,10,20}=10.• Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:• (c12,c21)=(20-10, 0+10)=(10,10)• (c23,c32)=(40-10, 0+10)=(30,10)• (c34,c43)=(10-10, 5+10)=(0,15)• (c45,c54)=(20-10, 0+10)=(10,10)
  38. 38. Iteración 3• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.• Paso 2: S1={2,3,4}.• Paso 3: k=2 y a2=c12=max{10,10,10}=10, rompemos el empate arbitrariamente. Clasificamos el nodo 2 con [10,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.• Paso 2: S2={3,5}• Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,30}=30. Clasificamos el nodo 3 con [30,2]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.• Paso 2: S3 vacío ya que c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder.
  39. 39. • Paso 4: La clasificación [30,2] nos dice que el nodo inmediatamente precedente es el 2. Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración.• Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.• Paso 2: S2={5}• Paso 3: k=5 y a5=c25=30. Clasificamos el nodo 5 con [30,2]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.• Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[30,2]→2→[10,1]→1.• Entonces la ruta es N2={1,2,5} y f3=min{∞,10,30}=10.• Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:• (c12,c21)=(10-10, 10+10)=(0,20)• (c25,c52)=(30-10, 0+10)=(20,10)
  40. 40. Iteración 4• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.• Paso 2: S1={3,4}.• Paso 3: k=3 y a3=c13=max{10,10}=10. Clasificamos el nodo 3 con [10,1]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.• Paso 2: S3={2}• Paso 3: k=2 y a2=c32=10. Clasificamos el nodo 2 con [10,3]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.
  41. 41. • Paso 2: S2={5}• Paso 3: k=5 y a5=c25=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,2]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.• Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[20,2]→2→[10,3]→3→[10,1]→1.Entonces la ruta es N4={1,3,2,5} y f4=min{∞,10,10,20}=10.• Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:• (c13,c31)=(10-10, 20+10)=(0,30)• (c32,c23)=(10-10, 30+10)=(0,40)• (c25,c52)=(20-10, 10+10)=(10,20)
  42. 42. Iteración 5• Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.• Paso 2: S1={4}.• Paso 3: k=4 y a4=c14=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,1]. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.• Paso 2: S4={3,5}• Paso 3: k=3 y a3=c23=max{15,10}=15. Clasificamos el nodo 3 con [15,4]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.• Paso 2: S3 vacío ya que c32=c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder.
  43. 43. • Paso 4: La clasificación [15,4] nos dice que el nodo inmediatamente precedente es el 4. Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.• Paso 2: S4={5}• Paso 3: k=5 y a5=c45=10.• Clasificamos el nodo 5 con [10,4]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.• Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[10,4]→4→[10,1]→1.Entonces la ruta es N2={1,4,5} y f3=min{∞,10,10}=10.• Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:• (c14,c41)=(10-10, 0+10)=(0,10)• (c45,c54)=(10-10, 10+10)=(0,20)
  44. 44. Iteración 6• No son posibles más penetraciones, debido a que todos los arcos fuera del nodo 1 tienen residuales cero. Vayamos al paso 6 para determinar la solución.• Paso 6: El flujo máximo en la red es F=f1+f2+...+f5=60 unidades.• El flujo en los diferentes arcos se calcula restando las últimas residuales obtenidas en la última iteración de las capacidades iniciales:
  45. 45. Teorema del corte mínimo y flujo máximo.• El teorema del corte mínimo y flujo máximo se utiliza para encontrar ahorros en las rutas que se determinan.• Estudiar el acoplamiento así como algunos tipos de acoplamientos que pueden existir en una red, así como también la forma de expresarlos.
  46. 46. Corte mínimo• En lo que respecta a las redes, un corte es un conjunto en el cual quedan dos partes disjuntas del conjunto de vértices, V1 y V2 que, situados en la red, dejan la fuente en una de ellas y al sumidero en la otra• Definición de capacidad de un corte• Se llama capacidad de un corte a la suma:• Capacidad (v,w) ; v Є V1 , w ЄV2• V1 es la parte que contiene a la fuente• V2 es la parte que contiene al sumidero
  47. 47. • Sea F un flujo en G y sea (P, P) un corte en G. Entonces la capacidad de (p, p) es mayor o igual que el valor de F; es decir:•• i ЄP  JЄP Cij   i F ai•• La notación i : Significa la suma sobre todos los vértices i• Demostración: observe j ЄP  iЄP Cji = j ЄP  iЄP F ij•• Pues cada lado de la ecuación es simplemente la suma de Fij sobre todas las de i, j Є P• El corte minimal nos da la mínima capacidad del corte efectuado en el grafo.
  48. 48. FLUJO MÁXIMO Y EL CORTE MÍNIMO• Sea F un flujo en G y sea (P, P) un corte en G si la igualdad se cumple entonces el flujo es máximo y el corte es mínimo si y solo si:• 1) FI J = CI J para i ЄP, J Є P• 2) Fij =0 para i Є P, J Є P• El valor del flujo maximal de una red es igual a la capacidad del corte minimal que se puede aplicar a la red.• Se puede obtener, por tanto el corte minimal de una red, conociendo el flujo maximal de la red obtenido mediante la aplicación del algoritmo anteriormente definido.
  49. 49. • Metodología• En el último grafo del algoritmo de flujo maximal, de todos los cortes posibles, serán cortes minimales aquellos que estén formados por aristas en las que el valor de la capacidad coincida con el valor del flujo. Para mejor comprensión ver ejemplo:• La sig. figura, si hacemos P={a,b,d} entonces K={c,e,f,z} y (P,K) es un corte en G.
  50. 50. Acoplamientos• A=J2 Y J5•• B=J2 Y J5•• C=J1, J3, J4 Y J5•• D=J2 Y J5•• Supóngase que 4 personas A, B, C, y D llenan solicitudes para cinco trabajos j1,j2, j3, j4 y j5.• Considérese que el solicitante A está calificado para j2 y j5, el solicitante B esta calificado para j2 y j5, el solicitante C j1, j3, j4 , j5 y D= j2 y j5
  51. 51. • La situación puede ser modelada por el grafo de la figura anterior donde los vértices representan a los solicitantes y a los trabajos.• Un lado une a un solicitante con el trabajo para el cual esta calificado.• Es posible demostrar que no se puede acoplar un trabajo con cada solicitante; basta considerar que A, B y D están calificados solo para los trabajo J2 y J5.• Si A y B se les asigna un trabajo, no queda trabajo alguno para D.• Por lo tanto no existe asignación de trabajo para A, B, C y D.
  52. 52. • En el ejemplo anterior consiste en hallar trabajos para las personas calificadas.• Un acoplamiento maximal determina trabajos para el máximo numero de personas y se indican con líneas gruesas.• Un acoplamiento completo halla trabajo para todos los solicitantes.• Se prueba que el grafo anterior no es un pareo completo.
  53. 53. • La definición formal es: sea G un grafo dirigido bipartito con conjuntos disjuntos de vértices V y W, en el cual los lados están dirigidos desde los vértices de V a W (cualquier vértice de G esta en V o en W, pero no en ambos) un acoplamiento para G es un conjunto de lados E los cuales no tienen vértices comunes.• Un acoplamiento maximal para G es un acoplamiento E que contiene el máximo numero de lados completos. Un acoplamiento completo para G es un acoplamiento E que tiene la siguiente propiedad:
  54. 54. • Si v V, entonces (v,w) E, para algún wW.• Ejemplo:• En la siguiente figura el acoplamiento con líneas gruesas que aparece en maximal y completo. Este ejemplo también puede modelarse como un problema de redes.
  55. 55. • Modele el problema de esta figura como un problema de redes:
  56. 56. • En primer lugar se asigna la capacidad 1 a cada lado del grafo.• A continuación se agrega una superfuente a y lados con capacidad 1 que van desde a a cada lado uno de A,B,C y D.• finalmente, se introduce un superdeposito z y lados de capacidad 1 en cada lado que van de J1,J2, J3, J4 Y J5 a z .
  57. 57. • El teorema siguiente relaciona las redes acopladas y los flujos.• Sea G un grafo dirigido bipartito con conjuntos disjuntos de vértices V y W, en el cual los lados están dirigidos de los vértices de V a los vértices de W (cualquier vértice de G está en V o en W, pero no en ambos).• Un flujo en la red de acoplamiento proporciona un pareo en G.• El vértice v  V es pareado con el vértice w  W si y solo si el flujo en el lado (v, w) es 1.• Un flujo maximal corresponde a un acoplamiento maximal.• Un flujo de valor V corresponde a un acoplamiento completo.
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×