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Matrices Y Determinantes
 

Matrices Y Determinantes

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Quieres aprender o estudiar acerca del calculo de las matrices?, espero que este les ayude a todos los interesados.

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    Matrices Y Determinantes Matrices Y Determinantes Presentation Transcript

      • ÁLGEBRA SUPERIOR
      • MATRICES Y DETERMINANTES
      • ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007
      • Martha G. Canales Leyva Roc ío Patricia Rivas Llanas
      • Leticia Lizette Espinosa Fahl
      • Joaquín Gilberto Treviño Dávila
      • José Santos García
      • Claudio Hiram Carmona Jurado
      • Abraham Leonel López León
      • Carlos Alfonso Gameros Morales
      • Kluis Roberto Fernández Guillén
      • Arturo Córdova González
    • MATRICES Y DETERMINANTES Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades
      • Lectura comprensiva
      • Operaciones con quebrados
      • Cálculo de determinante de matrices de 2do y 3er orden
      • Números Complejos
      • Cálculo de permutaciones
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
      • Definición:
      • Es un arreglo de elementos dispuestos en “m” filas y “n” columnas.
      • El nombre de la matriz se escribe con letra mayúscula entre paréntesis rectangulares (corchetes).
      • La cantidad de las filas y de columnasde una matriz, se indican como subíndice despúes del nombre de la matriz. El primer índice corresponde a las filas y el segundo a las columnas.
      • Ejemplo :
      • [B] m,n
      • Los elementos de una matriz también se presentan entre paréntesis rectangulares (corchetes).
      [B] 4,3 =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
      • Orden de una matriz
      • Es la cantidad de filas y columnas de la matriz .
      • Se lee: matriz de orden m por n
      • Ejemplo:
      • [B] m,n
      • Matriz de 4 por 3
      [B] 4,3 =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
      • Matriz Cuadrada
      • Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas.
      • Ejemplo [B] 3,3
      • 1 -4 5
      • -2 4 0
      • 4 5 2
      • Se lee matriz de tercer orden
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
      • Matriz Rectangular
      • Es aquella matriz cuyo número de filas es diferente al número de columnas.
      • Ejemplo [B] 3,4
      • 1 -4 5 3
      • -2 4 0 -2
      • 4 5 2 6
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
      • Diagonal Principal
      • Es la línea en que quedan ubicados los elementos a 11 , a 22 ,a 33 ,a 44 ... (número de columna = número de la fila) de la matriz.
      • La Diagonal principal.
      • Ejemplos:
      • Elementos de la diagonal principal:
      • 5, -7 y 7
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
      • Diagonal Secundaria
      • Cualquier diagonal de una matriz, que no sea la Diagonal Principal.
      • Ejemplo:
      • Elementos de la diagonal secundaria indicada:
      • 0, 8, -4
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
      • Traza
      • De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de los valores de los elementos de la diagonal principal.
      • Ejemplo:
      • La traza de la matriz es traza = 5 –7 +7 = 5
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
      • Suma de dos matrices
      • Sean dos matrices conformables para la suma (mismo orden), se define la suma como:
      • [C] m,n = [A] m,n + [B] m,n
      • La matriz [C] tendrá el mismo o rden de [A] ó [B].
      • Cada elemento de C es la suma del correspondiente elemento de [A] y [B]
      • c i,j = a i,j + b i,j
      • Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n
      • + =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
      • Resta de dos matrices
      • Sean dos matrices conformables para la resta (mismo orden), se define la resta como:
      • [C] m,n = [A] m,n - [B] m,n
      • La matriz [C] tendrá el mismo o rden de [A] ó [B].
      • Cada elemento de C es la resta algebraica de los correspondientes elementos de [A] y [B]
      • c i,j = a i,j - b i,j
      • Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n
      • Ejemplo
      • - =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
      • Propiedades de la Suma y Resta Matricial
      • Sean tres matrices conformables para la suma y k un escalar
      • [A] m,n , [B] m,n , [C] m,n
      • [A] + [B] = [B] + [A] Ley Conmutativa
      • [A] +( [B] + [C] ) = ( [A] + [B] )+ [C] Ley Asociativa
      • k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] = ( [A] + [B] )k Ley Distributiva de un escalar por la izquierda o derecha en la suma
      • Existe una matriz [C] tal que [A] + [C] = [B]
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
      • Producto de una matriz por un escalar
      • Sea k un escalar y la matriz [A] m,n, se define la muliplicación de una matriz por un escalar como
      • [C] m,n = k [A] m,n
      • En donde c i,j = k a i,j (i=1,2,3....m; j=1,2,3...n)
      • Ejemplo
      • [C] = 3 [A]
      • 3 =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
      • Producto de dos matrices
      • Dos matrices se dice ser conformables para la multiplicación si:
      • [A] ma,na [B] mb,nb
      • El número de columnas de [A] es igual al número de filas de [B]
      • El producto de dos matrices es
      • [C] ma,nb = [A] ma,n x [B] mb,nb
      • Con
      • c i,j =  k=1 a i,k x b k,j
      • (i=1,2,3....ma; j=1,2,3...na)
      = na
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
      • x =
      • Ejemplo
      • [C] ma,nb = [A] ma,na x [B] mb,nb
      • Son conformables para la multiplicación ya que na = mb
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
      • Leyes de la suma y la Multiplicación
      • Sean tres matrices [A] [B] [C] conformables para la suma y multiplicación
      • Primera Ley Distributiva
      • [A]( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] Segunda Ley Distributiva
      • ([A] + [B]) [C] = [A] [C] + [B] [C]
      • Ley Asociativa
      • [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C]
      • En general
      • 1) [A] [B] [B] [A]
      • 2) [A] [B] = [0]
      • No necesariamente
      • [A] = [0] o [B] = [0]
      • 3) [A] [B] = [A] [C]
      • No necesariamente
      • [B] = [C]
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
      • Matriz Transpuesta
      • Sea la matriz [A] ma,na , la matriz transpuesta se define como:
      • [A] mb,nb en donde a i, j = a j, i Para i = 1,2 .....ma j = 1,2 ......na
      • mb = na y nb = ma
      • También se denotar como [A]’
      • [A] = [A] =
      T T T
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
      • Propiedades de la Matriz Transpuesta
      • Sean las matrices [A] [B]
      • con sus respectivas transpuestas [A]’ [B]’ y k un escalar
      • i) [A’]’= [A]
      • ii) (k [A])’ = k [A]’
      • La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus transpuestas
      • ( [A]+ [B] )’ = [A]’ + [B]’
      • La transpuesta del producto de dos matrices es el producto en orden inverso de sus transpuestas.
      • ( [A] [B] )’ = [B]’ [A]’
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matriz Identidad [  ] o Unidad
      • Es una matriz cuadrada cuyo valor de los elementos de la diagonal principal es uno y valor cero en todos los demás elementos.
      • [   ] =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matriz Cero o Nula
      • Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos es cero .
      Ejemplo [ 0 ] = [ 0 ] =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matriz Opuesta o Negativa.
      • - [A]
      • Se obtiene de la matriz [A] multiplicando cada elemento por el escalar -1
      Ejemplo Sea la matriz [A] = -1 [A] =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matrices Iguales
      • Son aquellas que tienen el mismo orden y cada elemento de una es igual al correspondiente elemento de la otra.
      • [A] = [B] a i,j = b i,j para i =1,2,3.... m j =1, 2,3... n
      • Ejemplo
      =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matrices Conmutativas
      • Son aquellas matrices para las cuales se cumple :
      • Sean [A] y [B] matrices cuadradas tales que
      • [A] x [B] = [B] x [A]
      • =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matriz Diagonal
      • Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal.
      • [ F ] =
      B
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matriz Escalar
      • Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal principal, que tienen el mismo valor.
      • a 11 =a 22 =a 33 =a 44 = k donde k es un escalar
      B= B B = -4 [ I ]
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matriz Triangular Superior
      • Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte superior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero.
      • El valor de los elementos abajo de la diagonal principal es cero
      • a i j = 0 para i > j
      • Ejemplo
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Ejemplo
      • Matriz Triangular Inferior
      • Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte inferior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero.
      • El valor de los elementos arriba de la diagonal principal es cero.
      • a i j = 0 para i < j
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matrices simétricas
      • Aquellas que cumplen con:
      • [A]’ = [A].
      • Propiedad
      • Si [A] es una matriz cuadrada
      • [A] + [A]’ es simétrica
      • Ejemplo:
      • la matriz [A] es simétrica ya que:
      [A] ’ = [A] =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica
      • Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta (o negativa) de su transpuesta.
      • Necesariamente los elementos de la diagonal principal tienen el valor de cero.
      • [A] = - 1 [A]’
      • Ejemplo
      • La matriz [A] es antisim étrica ya que:
      -1 [A] ’ = [A] =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matriz Periódica
      • Aquella matriz [A] para la cual [A] k+1 = [A]
      • Donde k es un entero positivo
      • Se dice que la matriz es de un periodo k
      [A]x [A] = [A ] [A] = Ejemplo: [A] es peri ó dica, con periodo 1
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
      • Matriz Idempotente
      • Es una matriz Periódica con período 1
      • Ejemplo
      [A]x [A] = [A ] [A] =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Conceptos generales
      • Las matrices cuadradas tienen un valor asociado denominado determinante.
      • Se denota por
      • |A| ó 
      • El valor del determinante se puede calcular por medio de varios m étodos.
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Permutación de n elementos P= n!
      • Permutaciones de los elementos 1 y 2
      • P = 2! = 2 y son 12, 21
      • Permutaciones de los elementos 1, 2 y 3
      • P = 3!= 6 y son 123 132 213 231 312 321
      • Permutaciones de los elementos 1,2,3 y 4
      • P= 4! = 24 considerar las siguientes 1234 2134 3124 4123
      • 1324 2314 3214 4213
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Inversión
      • En una disposición cualquier cantidad de dígitos, es una inversión cuando un dígito se encuentra a la izquierda de otro dígito menor.
      • Inversion par, es cuando la cantidad de las inversiones es un número par, de otra forma de llama inversión impar.
      • Ejemplo: De la siguiente disposición de dígitos se tiene que hay 6 inversiones
      • 4 3 1 6 2
      • El 4 es mayor que 3 1 y 2
      • El 3 es mayor que 1 y 2
      • El 6 es mayor que el 2
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Definición de determinante usando las inversiones de una permutación
      • |A | =  r  j1 j2 ...... Jn a 1 j1 a 2 j2 ..... a n jn
      • Es la suma de
      • las Permutaciones r= n! j1 j2 ...... Jn de los enteros 1,2,3 .... N
      •  j1 j2 ...... Jn = +1 o bien –1 según la permutación tenga inversion par o impar
      • a 1 j1 a 2 j2 ..... a n jn es un producto de n de los elementos elegidos de manera que solo exista un elemento de cada fila y de cada columna
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Definición de determinante de segundo orden usando las inversiones de una permutación
      • |A| =  12 a 11 a 22 +  21 a 12 a 21  21 permutacion impar
      •  12 permutacion par
      • = a 11 a 22 - a 12 a 21
      • a 11 a 12
      • a 21 a 22
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de una permutación.....
      • |A| =  123 a 11 a 22 a 33 +  132 a 11 a 23 a 32 +  213 a 12 a 21 a 33 +  231 a 12 a 23 a 31 +  312 a 13 a 21 a 32 +  321 a 13 a 22 a 31
      • Permutaciones par  123  231  312
      • Permutaciones impares  132  213  321
      • Re acomodando queda
      • |A| =a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 -( a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 +a 33 a 12 a 21 )
      • a 11 a 12 a 13
      • a 21 a 22 a 23
      • a 31 a 32 a 33
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de una permutación
      • Y también queda:
      • |A| = a 11 (a 22 a 33 - a 23 a 32 ) - a 12 (a 21 a 33 - a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 - a 22 a 31 )
      • = a 11 - a 12 +a 13
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Menor
      • De un elemento de una Matriz de orden n, es el valor del determinante de orden n-1 formado al suprimir la fila y la columna de ese elemento .
      • Se representa por | M i j |
      • Ejemplo: Sea la matriz
      • El menor del elemento a 11
      • |M 11 | = = - 9 +8 =-1
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4.Determinante
      • Matriz de Menores
      • Es la matriz cuadrada cuyos elementos con los menores de cada uno de los elementos.
      • Ejemplo
      [ M ] = [ M ] = =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Cofactor
      • Es un valor asociado a cada elemento de una matriz cuadrada y es:
      •  i,j = ( - 1 ) i+j |M| i,j
      • Donde | M i,j | es el menor del elemento a i,j
      • Y el signo dependerá de la suma de i +j:
      • será + si la suma es par ó - si la suma es impar
      • Signos por el lugar que ocupa el elemento
      • + - + - + - . . . . .
      • - + - + - . . . . .
      • + - + - + - . . . .
      • - + - + - . . . . .
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
      • Matriz de Cofactores
      • Es la matriz cuadrada formada por los cofactores de cada uno de sus elementos.
      • Ejemplo
      [ A ] = - Con [M] = Aplicando los signos correspondientes a cada elemento: Cofactores [A] =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
      • Propiedades....
      • 1 Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante, el valor del determinante no se modifica.
      • Por lo anterior se hará la referencia como línea la fila o columna.
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
      • Propiedades....
      • 2 Si el valor de todos los elementos de una línea son nulos, el determinante vale cero.
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
      • Propiedades....
      • 3 Si se permutan dos líneas, el valor del determinante cambia de signo.
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
      • Propiedades....
      • 4 Si un determinante tiene dos líneas iguales, el valor del determinante es cero.
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
      • Propiedades....
      • 5 Si todos los elementos de una línea se multiplican por un mismo número “q”, el valor del determinante resultará multiplicado por “q”.
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
      • Propiedades....
      • 6. Si todos los elementos de una línea son la suma de dos (o más) términos el determinante es igual a la suma de dos (o mas) determinantes.
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
      • Propiedades
      • 7. Si todos los elementos de una línea se suman con los elementos correspondientes de otra línea multiplicados por un numero k, el valor del determinante no varía.
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
      • Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores
      • Es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea multiplicados cada uno por su respectivo adjunto.
      • Sea un determinante de orden n:
      • 1 Seleccionar una línea
      • 2 Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su correspondiente cofactor.
      • 3 Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden del determinante a n-1
      • 4 Aplicar repetitivamente los pasos 1 y 2 hasta reducir en un determinante de segundo orden.
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
      • Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores
      • Ejemplo: C alcular |G| de la matriz [G] =
      • 1.- Seleccionar una línea, tercera columna
      • 2.- Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su correspondiente cofactor.
      • = 3 - 0 +5 = 3(-72) –0 + 5(14) = -2
      • 3.- Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden del determinante a n-1
      • |G| = -2
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Determinante de la matriz Identidad
      • El valor del determinante de la matriz Idenidad tiene el valor de 1.
      •    
      • Calcular el determinante de:
      •   
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Determinante de la matriz Cero o Nula
      • El valor del determinante de la matriz Cero o Nula tiene el valor de 0.
      • |0| =   
      • Calcular el determinante de:
      •  |0| 
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Determinante de la matriz Diagonal
      • El valor del determinante de la matriz Diagonal es el valor del producto algebraico de los valores de los elementos de la diagonal principal.
      • |H| =  H  h 11 h 22 h 33 h 44......
      • Calcular el determinante de:
      •  H ] = 
      • |H| =  H 
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Determinante de la matriz Escalar
      • El valor del determinante de la matriz Escalar es igual a (k) n donde n es el orden de la matriz Escalar y k el valor de la diagonal principal.
      • Calcular el determinante de:
      • [S ] =
      • |S| =  S  (2) n = (2) 3 = 8
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Determinante de la matriz Triangular Superior
      • El valor del determinante de la matriz Triangular Superior es igual al producto algebraico de los valores de los elementos de su diagonal principal.
      • |K| =  K  k 11 k 22 k 33 k 44......
      • Calcular el determinante de:
      •  [K ] = 
      • |K| =  k 
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Determinante de la matriz Triangular Inferior
      • El valor del determinante de la matriz Triangular Inferior es igual al producto algebraico de los valores de los elementos de su diagonal principal.
      • |K| =  K  k 11 k 22 k 33 k 44......
      • Calcular el determinante de:
      •  [K ] = 
      • |K| =  k 
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Rango r de una matriz
      • Para matrices cuadradas que [A]  [0]
      • Es el orden del determinante de valor diferente de cero, el orden de ese determinante debe ser el de mayor orden de la matriz  A]
      • La matriz cero [0] tiene r = 0
      • Ejemplo
      [A] = r= 3 ya que |A| 0
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Rango r de una matriz
      • Ejemplo: Calcular el rango de
      • El rango r no es 3 (orden de [A]) ya que |A| = 0
      • Entonces se procede a revisar si por lo menos uno de los 9 determiantes de segundo orden tiene valor diferente a cero.
      • Y el menor de a 11 = = -32 y el orden es 2
      • Por lo tanto el rango de  A]  es r =2
      [A] =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Matriz Singular
      • Es una matriz de orden n en la cual se cumple que:
      • r < n
      • Ejemplo: De la matriz
      • Determinar si la matriz es singular
      • Como |A| = 0 y a 21 =  y el orden es 2
      • Entonces r = 2 por lo que 2 < 3
      • La matriz es Singular
      [A]=
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
      • Matriz No Singular
      • Aquella matriz de orden n en la cual se cumple que:
      • r = n
      • El rango de la matriz es igual al orden de la matriz
      • Ejemplo: De la matriz [A]=
      • Determinar si la matriz es no singular
      • Como |A|  0 Entonces r = 3 entonces 3 = 3
      • La matriz es No Singular
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
      • Matriz Inversa
      • Si [A] y [B] -1 son matrices cuadradas, conformables para la multiplicaci ó n, la matriz Inversa [B] -1 es aquella que cumple con:
      • [A] x [B] -1 = [B] -1 [A] = [  ]
      • A la matriz [B] -1 se le llama matriz Inversa de [A]
      • Ejemplo de matrices Inversas:
      x =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
      • Matriz Adjunta
      • Es aquella matriz que se forma de una matriz cuadrada .
      • La manera de construirla es la siguiente:
      • Construir la matriz de cofactores. cofactores [M]
      • Transponer la matriz de cofactores. ( cofactores [M] ) T
      • adj [A] = ( cofactores [M] ) T
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
      • Matriz Adjunta
      • Ejemplo
      • Sea una matriz [A])=
      • Con su correspondiente matriz de cofactores
      • cofactores [M] =
      • Entonces adj [A] =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
      • Propiedades de la Matriz Adjunta
      • [A] x adj [A] = (| A |) [ 
      • Ejemplo
      • Sea [A]= |A| = - 2 y adj [A] =
      • Entonces:
      • x
      = ( -2)
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
      • Propiedades de la Matriz Adjunta
      • La Matriz Adjunta de un producto matricial es igual al producto de las adjuntas de las matrices
      • adj ( [A] x [B] ) = adj [B] x adj [A]
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
      • Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta
      • Con base en el concepto de Matriz Adjunta se tiene que
      • [A] x adj [A] = | A | [  ]
      • Si [A] es no singular entonces | A |=0 despejando:
      • [A] = [  ]
      • Entonces [A] –1 =
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.2. Matriz Inversa
      • Ejemplo
      • Calcular la Matriz inversa por medio de la matriz adjunta
      • Sea [A] = y la Adj [A] = y |A| = - 2
      • Entonces [A] –1 =(-1/2)
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
      • Transformaciones elementales en una matriz....
      • Al realizarse las transformaciones elementales en una matriz, no se cambia el valor del orden ni del rango de la matriz.
      • Se k un escalar diferente a 0
      • 1. El intercambio de filas. Ejemplo intercambiar los elementos de la fila uno por los elementos de la fila tres.
      • 2. El intercambio de columnas. Mismo concepto de las filas.
      • 3. La multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar k .
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
      • Transformaciones elementales en una matriz
      • 4. La multiplicación de cada elemento de una columna por un escalar k.
      • 5. La suma a los elementos de una fila de k veces los correspondientes elementos de otra fila.
      • 6. La suma a los elementos de una columna de k veces los correspondientes elementos de otra columna.
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
      • Matrices Equivalentes
      • Dos matrices [A] y [B] son equivalentes, si una puede ser obtenida de la otra por una secuencia de transformaciones elementales.
      • Se denotan como [A]  [B]
      • Ambas matrices tienen el mismo orden y el mismo rango
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa
      • Matriz Inversa por medio de Transformaciones elementales
      • Pasos:
      • A la matriz [A] cuadrada, de orden m se le agrega en la parte derecha la matriz identidad, de orden m .
      • [ [ A ] [  ] ] quedando una matriz aumentada
      • 2. Por medio de transformaciones elementales, se obtiene la matriz identidad [  ] en el lugar en que estaba la matriz [A].
      • Y en el lugar en que estaba la matriz [  ] queda la matriz inversa
      • [ [  ] [ A ] -1 ]
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa
      • Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….
      • Sea [A] =
      • 1. Se forma la matriz aumentada [ [ A ] [  ] ] =
      • 2 Se realizan las transformaciones elementales para obtener [  ]
      • Se intercambian los renglones 1 y 2 
      • 2da fila = 2da fila + 3 1era fila 
    • MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa
      • Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….
      • 2 da fila = (-1/7) 2da fila 
      • 1a fila = 1a fila –4 2da fila 
      • [ A ] -1 =
    • MATRICES Y DETERMINANTES Bibliografía