Estabilidad de sistemas dinamicos

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  • 1. Departamento de Mecatrónica Instituto Tecnológico de CuliacánEstabilidad de sistemas dinámicos Dr. Raúl Santiesteban Cos Culiacán, Sinaloa.
  • 2. Estabilidad de sistemas dinámicosDefinición Formal (matemática) de EstabilidadSe establecerá la estabilidad en el sentido de Lyapunov. Considérese unsistema representado por la ecuación diferencial x  f (x) suponga que x(eq ) es un punto de equilibrio de (1). el punto de equilibriopuede ser cero o ser llevado a un valor cero (como punto de referencia).El punto de equilibrio f ( x(eq))  0 esEstable si, para cada  existe un  , tal que x(0)    x(t )   ,  t  0Es Inestable si no es estableEs Asintóticamente Estable si es estable y  puede ser elegida tal que x(0)    lim x(t )  0 t 
  • 3. Por ejemplo en las ecuaciones del péndulo simple: d 0  dt d g k 0   sen   dt l mDos puntos de equilibrio: d 1   0,   0 Estable   dt 2    ,   0 Inestable
  • 4. » La estabilidad, desde el punto de vista de control es quizá la característicamás importante de los sistemas dinámicos.» La estabilidad de un sistema generalmente es analizada en puntos deequilibrio, aunque puede no ser así.» El concepto de estabilidad que más se usa es el de estabilidad absoluta,dice si el sistema es estable o no.» También se usan los conceptos de estabilidad relativa y error en estadoestacionario.» La Estabilidad relativa nos indica que tan estable es un sistema en relacióna otro o en relación a algún cambio dentro del mismo.» El error en estado estacionario es la diferencia entre el valor deseado y elvalor obtenido una vez que el sistema tenga un estado estable. Cabedestacar que un sistema estable puede tener error en estado estable.
  • 5. Estabilidad AbsolutaEs la característica más importante de los sistemas de control, se refiere aque si el sistema es estable o inestable.Definición. Un sistema de control es estable si ante cualquier entradaacotada, el sistema posee una salida acotada.La condición de estabilidad se analiza sobre puntos de equilibrio, unsistema de control se encuentra en un punto de equilibrio si la salidapermanece en el mismo estado en ausencia de cualquier perturbación oentrada.Los sistemas tienen puntos de equilibrio estables e inestables. Paraencontrar los puntos de equilibrio en un modelo de un sistema, seigualan las dinámicas a cero y se despejan las variables de interés.La estabilidad es una característica propia de cada sistema y nodepende de las entradas
  • 6. Análisis de Estabilidad en LaplaceLa estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicación de lospolos de lazo cerrado en el plano s. Si alguno de los polos de lazo cerradode un sistema se encuentra en el semiplano derecho el sistema esinestable. Plano s Región Región estable inestable Región Región estable inestable
  • 7. Plano s
  • 8. Comentarios:1) Un sistema de lazo abierto también tiene características deestabilidad.2) Un sistema de lazo abierto no puede cambiar suscaracterísticas de estabilidad a menos que se cambien susparámetros, se agregue otro elemento dinámico o usandorealimentación3) Un sistema inestable puede estabilizarse usandorealimentación.4) Un sistema estable puede hacerse inestable con una ciertarealimentación.
  • 9. Criterio de Estabilidad de RouthUn sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado seubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir quetodas las raíces de la ecuación característica ( q (s ) ) tienen parte real negativa C ( s) b0 s m  b1s m1    bm1s  bm p( s)  n 1  R( s) a0 s  a1s    an1s  an q( s) ncuando no se tiene forma a encontrar las raíces de la ecuacióncaracterística…El criterio de estabilidad de Routh permite determinar si hay raíces conparte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio.El criterio de estabilidad de Routh se basa en el ordenamiento de loscoeficientes de la ecuación característica
  • 10. q( s)  a0 s n  a1s n1  a2 s n2    an1s  an  0en el siguiente arreglo sn a0 a2 a4 a6    s n1 a1 a3 a5 a7    s n2 b1 b2 b3 b4    s n 3 c1 c2 c3 c4            0  s h1 …
  • 11. donde a1a2  a0 a3 a1a4  a0 a5 a1a6  a0 a7 b1  b2  b3   a1 a1 a1 b1a3  a1b2 b1a5  a1b3 b1a7  a1b4 c1  c2  c3   b1 b1 b1 c1b2  b1c2 c1b3  b1c3 d1  d2    c1 c1El criterio de Routh establece que el número de raíces de q (s ) con partesreales positivas es igual al número de cambios de signo de la primeracolumna del arreglo.
  • 12. Ejemplo 1Sea el siguiente polinomio a0 s 3  a1s 2  a2 s  a3  0el arreglo es s3 a0 a2 s2 a1 a3 a1a2  a0 a3 s a1 s0 a3La condiciones para que todas las raíces tengan parte reales negativas son: a0 , a1, a2 , a3  0 a1a2  a0 a3
  • 13. Ejemplo 2 Sea el siguiente polinomio s 4  2s 3  3s 2  4s  5  0 el arreglo es s4 1 3 5 s3 2 4 0 s2 1 5 0 s 6 0 s0 5Hay dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dosraíces con partes reales positivas.
  • 14. Casos especialesSi un término es cualquier columna es cero y los demás términos no soncero. El elemento cero puede reemplazarse por un número positivo  ycontinuar con el arreglo.Ejemplo 2Sea el siguiente polinomio s 5  2s 4  2s 3  4s 2  11s  10  0 el arreglo es s5 1 2 11 4  12  12 c1   s4 2 4 10   s3  6 0 6c1  10 d1  6 s 2 c1 10 0  s d1 0 s0 10Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dosraíces con partes reales positivas.