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Calculo De Proposiciones

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El calculo de las preposiciones tiene que ver con la programación. Asi que si te interesa las programación mira esto:

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  • 1. INTRODUCCION AL CALCULO DE PROPOSICIONES Ing. Ignacio Juárez Rúelas
  • 2. ¿ Que son las proposiciones ?
    • Son afirmaciones que pueden ser VERDADERAS O FALSAS
  • 3. ¿ Cuantos tipos de proposiciones existen ?
    • Proposición simple o atómica
    • Proposición compuesta
  • 4. Concepto de argumento o silogismo
    • Un argumento esta formado de una o mas premisas o enunciados simples y/o compuestos.
    • Y termina con un enunciado simple o compuesto que recibe el nombre de CONCLUSION.
  • 5. Ejemplo de argumento
    • P1: Si la demanda crece, entonces las compañías se expanden.
    • P2: Si las compañías se expanden, entonces se contratan trabajadores.
    • --------------------------------------
    • C : Si la demanda crece, entonces las compañías contratan trabajadores.
  • 6. Ejemplo 2
    • P1: Este programa de computadora tiene un error, o la entrada de datos es errónea.
    • p2: La entrada de datos no es errónea.
    • ---------------------------------
    • C: Este programa de computadora tiene un error.
  • 7. CONEXIONES LOGICAS Y JERARQUIAS
    • En lógica matemática las bases fundamentales para analizar proposiciones compuestas, es conocer como se comportan las conexiones lógicas, de las cuales existen las siguientes: Conjunción, Disyunción, negación, condicional y bicondicional, las que se describen como sigue
  • 8. CONJUNCION
    • Si unimos dos proposiciones simples y/o compuestas mediante el conectivo “Y” formamos la proposición compuesta llamada Conjunción . la que denotamos así
    • p y q ,
    • o en símbolos p ^ q
    • En donde la siguiente tabla de verdad muestra como se comporta
    p q p ^ q v v V v f F f v F f f F
  • 9. DISYUNCION Si unimos dos proposiciones simples y/o compuestas mediante el conectivo “O” formamos la proposición compuesta llamada Disyunción . la que denotamos así p o q , o en símbolos p v q En donde la siguiente tabla de verdad muestra como se comporta p q p v q v v V v f V f v V f f F
  • 10. NEGACION
    • Este conectivo es el único que se aplica a una sola proposición o enunciado. Se usa la palabra “no” para negar una proposición simple. Y usaremos las palabras
    • “ Es falso que…” para negar un enunciado compuesto. Se denota así
    • “ no p”, o en símbolos ~p.
    • La siguiente tabla de verdad ilustra su comportamiento
    p ~p V F F V
  • 11. CONDICIONAL
    • Para formar la proposición Condicional usamos el conectivo “Si…entonces…”. En donde los tres puntos indican el lugar de las proposiciones simples y/o compuestas. Denotándose como
    • “ Si p entonces q”
    • en símbolos será
    • p  q
    • La siguiente tabla de verdad muestra como trabaja esta proposición
    p q p  q V V V V F F F V V F F V
  • 12. BICONDICIONAL
    • Para formar la proposición Bicondicional usamos el conectivo “…Si y solo si…”. En donde los tres puntos indican el lugar de las proposiciones simples y/o compuestas. Denotándose como
    • “ P si y solo si Q”
    • en símbolos será
    • P <--> Q
    • La siguiente tabla de verdad muestra como trabaja esta proposición
    P Q P <--> Q V V V V F F F V F F F V
  • 13. JERARQUIA DE LOS OPERADORES ~ ^ v  <-->
  • 14. ALGEBRA DECLARATIVA
    • En este subtema vemos:
    • - Uso de las tablas de verdad, para analizar expresiones lógicas y comprobar equivalencias.
  • 15. ANALISIS DE EXPRESIONES LOGICAS
    • Al analizar expresiones lógicas mediante tablas de verdad nos podemos encontrar con tres posibles resultados:
    • R1: Si la ultima columna de la tabla muestra solo valores de verdad “V” esto es una TAUTOLOGIA.
    • R2: Si la ultima columna de la tabla muestra solo valores de verdad “F” esto es una CONTRADICCION.
    • R3:R2: Si la ultima columna de la tabla muestra valores de verdad “F” y “V” esto es una CONTINGENCIA.
  • 16. TABLA DE REGLAS DE INFERENCIA A,B l= A^B Ley de combinación A^B l= B Ley de simplificación A^B l= A Variante de la simplificación A l= AvB Ley de Adición B l= AvB Variante de Ley de Adición A, A -> B l= B Modus Ponens ~B , A -> B l= ~A Modus Tollens A->B,B->C l= A->C Silogismo hipotético AvB, ~A l= B Silogismo disyuntivo AvB, ~B l= A Variante de Silogismo disyuntivo A->B, ~A ->B l= B Ley de casos A <-> B l= A->B Eliminación de la Equivalencia A <-> B l= B->A Variante Eliminación de Equivalencia A->B,B->A l=A<->B Introducción de la Equivalencia A, ~ A l= B Ley de Inconsistencia
  • 17. CALCULO DE PREDICADOS
    • El objetivo del calculo de predicados es mostrar la validez de un argumento o silogismo sin usar el calculo proposicional, en donde para poder lograrlo necesitamos ser capaces de identificar a los individuos junto con sus propiedades y predicados .
    • En general los predicados se utilizan para describir ciertas propiedades o relaciones existentes entre los individuos u objetos. Por ejemplo “Ana y Maria son hermanas”
    • Ana y Maria : son términos
    • Son hermanas: es el Predicado
    • Además de términos y predicados se usan los cuantificadores estos indican la frecuencia con la cual es verdadera una cierta frase.
    • De estos se conocen: Cuantificador Universal y Existencial.
    • Cuantificador Universal: indica que una frase siempre es verdadera.
    • Cuantificador Existencial: indica que una frase es verdadera en algunas ocasiones.
    • El calculo de predicados es una extensión del calculo de proposiciones por lo que además de los conceptos de términos, predicados y cuantificadores también forman parte de su lenguaje las proposiciones y las conectivas. En sus manipulaciones algebraicas se usan las funciones . En los lenguajes de programación el calculo de predicados es su fundamento lógico y en la computadora especifica sus requisitos en las aplicaciones. En la corrección de programas el calculo de predicados nos permite especificar exactamente las condiciones en los programas que dan respuestas correctas.
  • 18. Calculo de predicados
    • El universo del discurso o dominio es la colección personas, ideas, símbolos, estructuras de datos y demás que afectan el argumento lógico que se esta considerando. Los elementos del universo de discurso se denominan individuos u objetos .
    • Frase: Maria y Pablo son hermanos
    • Frase: Juana es la madre de Maria
    • Frase: Tom es un gato
    • Frase: La suma de 2 y 3 es 5
    • Predicado Lista de Argumentos
    • Son hermanos Maria y Pablo
    • Es un gato Tom
    • La suma de 2 , 3 y 5
    • En el cálculo de predicados cada predicado recibe un nombre que va seguido de una lista de argumentos:
    • Ejemplo: “Juana es la madre de Maria” se convierte en Madre(Juana, Maria).
    • El numero de elementos en la lista de argumentos se llama Aridad .
    • Los predicados de aridad n se denominan predicados de n cifras.
    • Los predicados de una sola cifra de denominan propiedades .
    • El nombre de un predicado seguido por una lista de argumentos entre paréntesis se llama formula atómica .
    • Por ejemplo: Juana es la madre de Maria se puede expresar como madre(Juana, Maria).
  • 19. CUANTIFICADORES
    • Definición. Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos x A. Aquí x se denomina cuantificador universal y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador. Se dice que la variable x esta ligada por el cuantificador. El símbolo se lee “para todo”, “para cada”, “para cualquier”.
    • Definición. Sea A una expresión y x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para cuando menos un valor de x, escribiremos x A. Esta frase se lee “Existe un x tal que A”, “para algun x tal que A”, “para al menos una x tal que A”. Aquí x se denomina cuantificador existencial y A se llama ámbito(alcance) del cuantificador. Se dice que la variable x esta ligada por el cuantificador .
    A A A E E
  • 20. RESTRICCIONES DE LOS CUANTIFICADORES
    • Si el cuantificador universal tiene que aplicarse solo a individuos con una propiedad dada, se emplea el condicional (  ) para restringir el universo de discurso.
    • Si restringimos en forma similar al cuantificador existencial se utiliza la conjunción ( ^) .
  • 21. PROBLEMAS
    • 1. Expresar las frases siguientes en calculo de predicado. El universo del discurso son todas las personas.
    • a). Si a Maria le gusta Kiko, y a Kiko le gusta Juli, entonces a Maria le gusta Juli.
    • Legusta(x,y): x le gusta y; M,K,J : Maria, Kiko, Juli.
    • Solución: Legusta(M,K) ^ Legusta(K,J)  Legusta(M,J) o mejor todavía
    • G(M,K) ^ G(K,J)  G(M,J)
    • b) Juan esta muy ocupado pero Beni no
    • Ocupado(x): x esta muy ocupado; J,B: Juan, Beni
    • Solución : Ocupado(J) ^ ~ Ocupado(B) o
    • O(J) ^ ~ O(B)
    • 2. Suponga que el universo del discurso es un conjunto de personas. Traduzca la frase “ Todos los presentes hablan ingles o francés” al calculo de predicados.
    • I(x), (F(x)) : x habla Ingles (Francés)
    • Solución: x(I(x) v F(x))
    A
  • 22. Cont…
    • 3. En el dominio de los animales, ¿como traduciría las expresiones siguientes?
    • todos los leones son predadores
    • x(Leon(x)  predador(x))
    • algunos leones viven en África
    • x(leon(x) ^ en África(x))
    • solo rugen los leones
    • x(ruge(x)  leon(x))
    A A E

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