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Escintriz de un triángulo: Recta que corta al triángulo dividiendo el perímetrodel mismo en dos partes iguales.Mescintriz ...
OBJETIVOS Validar a través de la calculadora TI 92 Plus los conceptos geométricos noconvencionales tales como son el ESCIN...
generan dos figuras geométricas, las cuales son: El triángulo PQC y el trapecioABQP.Con la herramienta F6-Distancia y Long...
FIGURA 2Al hacer una lectura del contenido de la Figura 2, observamos con todaclaridad que el concepto de ESCINTOR en el t...
Constatamos que verdaderamente la construcción de la Figura 2 pasó la “Leydel Arrastre”, puesto que los perímetros mantien...
FIGURA 5.Afirmamos que existen tres maneras distintas de resolver el “problema delgranjero” como lo muestra la Figura 5, e...
CONSOLIDACION DE RESULTADOSAnalizando todo este proceso exploratorio nos hace pensar en la selección deun valor positivo α...
COROLARIO E1. Tres Escintores de un triángulo Equilátero ABC de lado L, secortan en tres puntos distintos, los cuales a su...
Si por los puntos P y Q trazamos una línea recta, entonces podemos validar elconcepto de ESCINTRIZ del triángulo ABC sigui...
triángulo Equilátero (Ver Figura 8).                                       FIGURA 8Todos estos elementos geométricos son d...
FIGURA 10En el ensayo de la Figura 11 muestra la tabla de datos, sistema derepresentación dónde el estudiante puede explor...
1.4322cm y también calculamos el perímetro del triángulo, obteniéndose elvalor de   7.0303 cm.Nuestro siguiente paso consi...
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FIGURA 14Estudio de Median ices no paralelas a uno de los lados del triángulo EquiláteroABC.Esta exploración la haremos co...
Ahora buscamos los valores de las expresiones siguientes:S – L + α = (α - β + t) / 2          S – L + β = (β - α + t) / 2 ...
Por todo esto se hizo necesario de usar otro tipo de estrategiaEs la validación de Medianices en dicho triángulo de una ma...
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Figura 12fAl descodificar Para concluir con el estudio del triángulo Equilátero , debemosencontrar una solución nos conduz...
Figura 13.Ahora, al mover el punto P hacia el punto M o hacia el punto A se dan lascondiciones esperadas en la solución de...
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TEOREMA E2. (Escintor de un triángulo Isósceles Rectangular)En un triángulo Isósceles Rectangular ABC, se hace posible ase...
Siguiendo la línea de exploración , continuaremos estudiando Escintores en untriángulo Isósceles no rectangular, dónde se ...
Estos resultados los consignamos de una manera formal, a través                 delsiguiente teorema:TEOREMA E3. (Escintor...
Analicemos el primer caso, el cual queda condensado en la Figura 20.                                         Figura 20Al o...
Figura 21El α obtenido en la Figura 21 a través de la exploración por vía de la ley delarrastre del punto P sobre el lado ...
En todo triángulo Isósceles de lados L y L1, existe un Mescintor en dichotriángulo si es posible escoger un α de la forma ...
Figura 24Haciendo un nuevo ensayo en la calculadora voyage 200 y comparando el αhallado por medios totalmente exploratorio...
En todo triángulo Isósceles Rectangular ABC, de lados L y L1, se presenta laposibilidad de validar la existencia de un Mes...
nacido de una fórmula experimental, situación que queda plasmada en laFigura 27.                                    Figura...
En este caso (1) y (2) se constituyen las condiciones necesarias para laexistencia del α óptimo. También podemos afirmar q...
Figura 30                                  Figura 29La observación uno-a consiste en haber descubierto por decirlo así las...
de una situación problema que desencadena otras situaciones problemas. Hayque anotar también que la intermediación de la h...
BIBLIOGRAFIAMEN (1998). Matemática. Lineamientos Curriculares. Bogota, EditorialMagisterio.MEN (1999). Nueva Tecnologías y...
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Exploracion de algunos conceptos geometricos no convencionales en el triangulo con cabri

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Una experiencia de aula que evoluciona con el uso del software Cabri

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Exploracion de algunos conceptos geometricos no convencionales en el triangulo con cabri

  1. 1. EXPLORACION DE ALGUNOS CONCEPTOS GEOMETRICOS NOCONVENCIONALES EN EL TRIANGULO CON CABRI: UN PROBLEMA QUEEVOLUCIONAFernando Falcón DoradoEugenio Therán PalacioCarmen Toscano ToscanoFerfal27@hotmail.cometheran2000@yahoo.com.mxcaroto2003@yahoo.comResumen. En este trabajo se presenta una posibilidad de explorar a partir deuna situación problema algunos conceptos no convencionales del triangulocomo escintor, mescintor, vescintor, escintriz, mescintriz, vescintriz ymedianiz utilizando el software Cabri Geometre que trae incorporado lacalculadora graficadora TI 92 Plus. La experiencia se realiza con un grupo deestudiantes del quinto semestre del programa de licenciatura en educaciónbásica con énfasis en matemáticas de la Universidad de Sucre. Se pretendeque los alumnos generen conjeturas sobre la base del conocimiento informalcon miras a la construcción del concepto geométrico formal.INTRODUCCION.Conceptos PreliminaresConceptos correspondientes a segmentosEscintor de un triángulo: Segmento de recta inscrito en el triángulo que divideel perímetro del mismo en dos partes iguales.Mescintor de un triángulo: Escintor que pasa por el punto medio de uno delos lados del triángulo.Vescintor de un triángulo: Escintor que parte de uno de los vértices deltriángulo.Conceptos correspondientes a rectas:
  2. 2. Escintriz de un triángulo: Recta que corta al triángulo dividiendo el perímetrodel mismo en dos partes iguales.Mescintriz de un triángulo: Escintriz que pasa por el punto medio de uno delos lados del triángulo.Vescintriz de un triángulo: Escintriz que pasa por uno de los vértices deltriángulo.Medianiz de un triángulo: Recta que corta al triángulo dividiéndolo en dospartes de igual área.Mediana: Medianiz que pasa por un vértice (o por el punto medio) del triángulo.En proceso de validación de estos conceptos a través de la calculadora TI – 92plus, una metodología inicial en la exploración miras a crear con un Escintor,un Mescintor, un Vescintor, una Escintriz, una Medianiz, y una Vescintriz; lomismo que una Medianiz y una Mediana, se empezó trabajando inicialmenteen un triángulo equilátero los conceptos básicos que nos ayudan a resolver elproblema “ The Equalizing Line” , el cual consiste en el siguiente problema:Un granjero posee un terreno triangular que quiere repartir de la maneramás equitativa posible entre sus dos únicos hijos. De tal forma que aldividir el terreno con una cerca (línea recta), las dos partes tengan igualperímetro e igual área. También llamado el “El problema del granjero”.Problema planteado desde Francia por el Dr. Martín Acosta Gempeler, eldía 23 de Noviembre del año 2002, vía Internet a los docentes queparticipaban del proyecto “Incorporación de las nuevas tecnologías en elcurrículo de matemáticas en la educación media y básica Secundaria deColombia”Esta propuesta asume el presupuesto teórico desarrollado en el proyecto I. N.T. C. M. (M.E.N. 2000) concentrándose en lo que sea denominado lasituaciones problemitas. El primer elemento teórico a considerar es el principiode mediación instrumental, que platea que todo conocimiento esta mediadopor los instrumentos con que se dispone, puesto que las reflexiones inícialesdel proyecto I N. T. C. M. giraron alrededor del cambio en los ambientes deaprendizaje, al disponer de herramientas computacionales con característicasde dinamismo, Interactividad y posibilidades de manipulación diferente a lausadas hasta el momento.
  3. 3. OBJETIVOS Validar a través de la calculadora TI 92 Plus los conceptos geométricos noconvencionales tales como son el ESCINTOR, MESCINTOR, VESCINTOR,ESCINTRIZ, MESCINTRIZ, VESCINTRIZ, Y MEDIANIZ, Los cuales se puedengenerar en un triangulo cualquiera ABC.Esta validación de estos conceptos nos proporcionara la posibilidad deencontrar una o varias soluciones al problema “The Equalizing Line”En el proceso de validar estos conceptos proporciona la posibilidad decomprobar las propiedades de EXISTENCIA, UNICIDAD y GENERALIZACIONde la solución o soluciones al “problema del granjero”.Explorar en un triángulo cualquier ABC, mediante cinco técnicas de graneficacia para hallar resultados óptimos, permite generar CONJETURAS,conformación de definiciones selectivas o de escogencia del valor α la cual seconstituye en condición necesaria en la validación de los conceptosgeométricos no convencionales tales como: ESCINTOR,MESCINTOR,VESCINTOR, ESCINTRIZ, MESCINTRIZ, VESCINTRIZ,MEDIANIZ y MEDIANA; lo mismo que la creación de una determinada cantidadde TEOREMAS de gran importancia.Proyectar el “problema del granjero” al contexto de los polígonos regulares eirregulares y aún mas allá, al contexto de los sólidos regulares e irregulares.Cabe la posibilidad de que estas técnicas de exploración como estrategiasválidas con la finalidad de solucionar el problema del granjero, se constituyanen una metodología exitosa para minimizar material de deshecho en laindustria de la metalúrgica, en cortes de planchas metálicas o en la industriadel plástico , una función importante se podría presentar al instante de tratarde aprovechar al máximo la distribución de un fluido sobre una placa o sobreun sólido, y en otras facetas de la industria.TECNICAS DE EXPLORACION EN UN TRIANGULO CUALQUIERA. TECNICA Nº 1: Esta técnica consiste en crear dos puntos P y Q sobre loslados AC y BC respectivamente. Luego con la herramienta F3-Polígono s se
  4. 4. generan dos figuras geométricas, las cuales son: El triángulo PQC y el trapecioABQP.Con la herramienta F6-Distancia y Longitud o Área, se hace posible hallar elperímetro tanto del triángulo ABC como los perímetros del trapecio ABPQ,Llamando a este perímetro P1 y P2 al perímetro del triángulo PQC. Luegoarrastramos al punto P sobre el lado AC y al punto Q sobre el lado BC, hastalograr que los perímetros comparativos sean iguales y en ese instante se validael concepto geométrico no convencional del ESCINTOR del triángulo dado, deforma similar se hace para validar el concepto no convencional de MEDIANIZ.Presentamos s dos ensayos donde se ha aplicado la técnica Nº1 en lavalidación de los conceptos de ESCINTOR y MEDIANIZ, como se puedeapreciar en las Figuras 1, 2, 3 y 4: FIGURA 1En la Figura 1 se puede leer que el perímetro del triángulo PQC tiene un valor5.02cm y el perímetro de la figura ABQP es de 5.00cm, el valor de α= AP esde 0.37cm y el valor de β=BQ es de 0.75cm, de esta lectura nos presenta laprimera muestra de la existencia de un valor positivo α que podría constituirseen una pieza importante como condición necesaria para la existencia de losconceptos ya mencionados con antelación.Los perímetros confrontados poseen un valor diferencial de 0.02cm, el cualpuede ser admitido como aceptable y en consecuencia se valida por primeravez el concepto geométrico no convencional de ESCINTOR; esto nos induce aestablecer una regla para la escogencia del valor de un α óptimo.
  5. 5. FIGURA 2Al hacer una lectura del contenido de la Figura 2, observamos con todaclaridad que el concepto de ESCINTOR en el triángulo equilátero quedacompletamente validado y nos sugiere que la α óptima a escoger en este casoes de 0.28cm.Como una prueba reina a que someteremos nuestra construcción en estudioa partir de este momento es aplicarle la “Ley del Arrastre” como se observa enla Figura 3. FIGURA 3
  6. 6. Constatamos que verdaderamente la construcción de la Figura 2 pasó la “Leydel Arrastre”, puesto que los perímetros mantienen un valor diferencial lobastante pequeño como para que se mantenga la validación del conceptogeométrico de ESCINTOR del triángulo Equilátero dado.Ahora explorara remos el concepto geométrico de MEDIANA en un triánguloEquilátero dado ABC, para este fin se creó la Figura 4. FIGURA 4Al examinar el contenido de la Figura 4, observamos que el concepto deMEDIANA en el triángulo Equilátero dado se valida totalmente, mientras queel de ESCINTOR no es posible declarar su existencia en este caso; donde elvalor del α es positivo y es el garante de la existencia de que a los dos únicoshijos del granjero les toque” terrenos” con iguales áreas.Creemos que ya es el momento posible de presentar una o varias soluciones al“problema del granjero”, para esta finalidad se construyó la Figura 5.
  7. 7. FIGURA 5.Afirmamos que existen tres maneras distintas de resolver el “problema delgranjero” como lo muestra la Figura 5, en la cual se dividió el triánguloequilátero uniendo en el siguiente orden los vértices A, B y C con los puntosMedios M, M1 y M2 respectivamente; de donde se originan los siguientestriángulos comparativos:∆1 formado por ABM de perímetro P1=6.74cm y área A1= 1.76cm2 comparadocon el ∆2 formado por AMC de perímetro P2 = 6.74cm y área A2 = 1.76cm2,estos resultados garantizan una solución al problema original; lo mismo ocurrecon los triángulos ABM1 y el triángulo BM1C de Perímetro P3 = 6.74cm yP4 = 6.74cm y de áreas A3 = 1.74cm2 y A4 = 1.74cm2 lo cual garantiza unasegunda solución y existe una tercera solución similar a las anteriores puestoque el triángulo ABC se dividió en triángulos congruentes.
  8. 8. CONSOLIDACION DE RESULTADOSAnalizando todo este proceso exploratorio nos hace pensar en la selección deun valor positivo α que se constituye en una condición necesaria para laexistencia del Escintor, Mescintor, Vescintor, Medianiz y Mediana de untriángulo Equilátero, es por eso que proponemos una primera definición:Definición 1. (Escogencia del α).Para escoger un valor óptimo α que permita validar la generación de unEscintor, Mescintor y un Vescintor en un triángulo cualquiera, se hacenecesario que los porcentajes de error diferencial comparativos (Dados encms) entre los perímetros o áreas comparadas, estén del orden de 10-2, 10-3,10-4 o exista un cien por ciento de precisión entre estos valores.Otra consecuencia de los resultados obtenidos en las exploraciones realizadaspor los estudiantes de la LEBEM (Licenciatura en educación Básica enMatemáticas), proponemos el siguiente enunciado:TEOREMA E1 (Escintor de un triángulo Equilátero).En todo triángulo Equilátero ABC, de lado L, debemos escoger un α de laforma tal que α = L/2 – β con la condición de que β € [0, L/2], esto nospermite generar todos los posibles Escintores del triángulo Equilátero. Un casoparticular ocurre cuando β= α.Prueba. Consideremos el triángulo ABC Equilátero de lado L (Ver Figura 2).Llamamos a la medida del segmento PQ por t .Como nuestro propósito esvalidar la existencia de un Escintor en dicho triángulo, entonces con base a ladefinición de Escintor del triángulo debe cumplirse que el perímetro de la figuraABQP debe ser congruente con el perímetro del triángulo PQC decir: L - α + L– β + t = α + L + β + t de donde L = 2 α + 2β así concluimos que α = L/2 – βbajo la condición de que βЄ[ 0 , L/2].Un caso particular ocurre cuando α= β, en tal forma que se obtiene que α = L/4,en este caso esta ocurriendo que el segmento de recta PQ se vuelve paraleloal lado AB de o cualquier otro lado del triángulo Equilátero ABC. Con estaobservación finaliza la prueba.Como una consecuencia del teorema E1, se 0btiene el siguiente corolario:
  9. 9. COROLARIO E1. Tres Escintores de un triángulo Equilátero ABC de lado L, secortan en tres puntos distintos, los cuales a su vez generan un triánguloEquilátero (Interno) cuyo perímetro equivale a la cuarta parte del perímetro deltriángulo Equilátero ABC.Prueba. Consideramos al triángulo ABC Equilátero de lado L (Ver Figura 6). FIGURA 6En la Figura 6, se observa que los triángulos ANM, RBT son triángulosEquiláteros congruentes y semejantes por construcción. Los triángulos PZM,SQT y RNK también son triángulos Equiláteros congruentes y semejantes porconstrucción, como consecuencia de estos hechos se puede afirmar que eltriángulo SZK es Equilátero por tener los ángulos S, Z y K congruentes.Ahora probemos que el perímetro del triángulo SZK equivale a la cuarta partedel perímetro del triángulo ABC. En efecto, debido a que el triángulo RBT(Hacemos SK = t) es Equilátero, afirmamos: L – 2 α + α = α + t + α así L - α= 2 α + t de donde t = L – 3 α.Pero α = L/4, por lo tanto t = L – 3(L/4), para concluir que t = L/4.Como el perímetro del triángulo SZK equivale a 3α es decir 3L/4 = Pe/4, dondePe es el perímetro del triángulo ABC (Pe = 3L).Con esto finaliza la prueba.Observaciones: Al explorar con más detenimiento la Figura Nº 6, afirmamosque la suma de los perímetros de los cuadrilátero ARSP, NBQZ y MKTCequivalen al perímetro del triángulo ABC. Además la suma de los perímetrosde los trapecios RNZS, PSKM y ZQKT equivalente a 15L/4 = 5/4(3L) = ( 5/4)Pe.
  10. 10. Si por los puntos P y Q trazamos una línea recta, entonces podemos validar elconcepto de ESCINTRIZ del triángulo ABC siguiendo el procedimiento que sehizo con el ESCINTOR para el triángulo Equilátero ABC.Ahora, nuestro objetivo está dirigido a la exploración de la existencia deMescintores y Vescintores en un triángulo Equilátero, para iniciar esta acciónharemos una exploración de tipo algebraica, suponiendo que la siguienteFigura 7 presenta a una situación hipotética e ideal: FIGURA 7Como nuestra intención es validar en una primera instancia el concepto deMescintor, como consecuencia de esta definición afirmamos que el perímetrodel triángulo MPC debe ser equivalente al perímetro del polígono ABPM, esdecir:L/2 + L + α + t = L/2 + L - α + t de donde 2α = 0 así α = 0.Esto significaque los posibles Mescintores son a su vez Vescintores y en este caso tanespecial, afirmamos que sólo existen tres Mescintores- Vescintores en un
  11. 11. triángulo Equilátero (Ver Figura 8). FIGURA 8Todos estos elementos geométricos son de la categoría Mescintores –Vescintores, situación que validaremos mediante un ensayo con la calculadoraT I -92 Plus (Ver Figura 9) FIGURA 9TECNICA Nº2 : Esta técnica nos permite crear un Segmento de Control yexplorar en el triángulo Equilátero la existencia de un Escintor o una Escintriz,utilizando la ley del arrastre del punto P sobre el segmento OT, además estaestrategia facilita la validación por lo menos de un Escintor o una escintriz através de una tabla elemento representativo que posee la calculadora TI-92Plus ,La Figura 9 y Figura 10 representa una muestra de la técnica delsegmento de control:
  12. 12. FIGURA 10En el ensayo de la Figura 11 muestra la tabla de datos, sistema derepresentación dónde el estudiante puede explorar estos conceptos desde otropunto de vista: FIGURA 11En la Figura 11 Se puede observar que debido a que el objeto de estudio esun triángulo rectángulo, por tanto existen tres formas distintas para la creaciónde un Escintor o una Escintriz, pero la solución como tal es UNICA, así como latabla de datos lo registra.Para utilizar una estrategia exitosa en la búsqueda de Median ices en untriángulo Equilátero cualquiera ABC, procedemos de la siguiente forma:1. Creamos un triángulo Equilátero cualquiera ABC2. Luego utilizaremos un segmento de control OT, dónde OP = α3. Arrastrando el punto P sobre el segmento OT, llegamos al instante dóndelas áreas A1 y ACorrespondiente a las figuras geométricas de un trapecio llamado ABQP y deun triángulo llamado PQC, son comparativamente bastante aproximadas bajoporcentaje de error del 1% el cual es aceptable en nuestro rango deconfiabilidad dado en la definición 1, es así como pudimos obtener un α =0.6897 cm. y luego nos pusimos en la tarea de calcular una de las subalturasdel triángulo Equilátero llamada h1 la cual arrojó un valor en este caso de
  13. 13. 1.4322cm y también calculamos el perímetro del triángulo, obteniéndose elvalor de 7.0303 cm.Nuestro siguiente paso consistió en confrontar el valor del α conocido con el αpreconcebido por la fórmula α = Pe /3 – 2h1/√3 resultando estos alfas iguales,este resultado es muy significativo puesto que nos abre una ventana algebraicaen la consecución de validar la existencia de una Medianiz para el triánguloEquilátero, cuando dicha Medianiz es horizontal.Todo lo que hemos afirmado bajo el punto de vista de esta estrategia quedacondensado en la Figura 12. FIGURA 12Este resultado obtenido mediante este tipo de exploración, lo podemosformalizar de la siguiente manera:TEOREMA M1 (Medianiz de un triángulo Equilátero)Se hace posible validar la existencia de una Medianiz en un triánguloEquilátero ABC, siempre que sea posible escoger un α bajo la siguientefórmula: α = Pe/3 – 2h1/√3 dónde Pe es el perímetro del triángulo Equilátero,h1 es una de las subalturas del triángulo y además Pe >2√3 h1.
  14. 14. Prueba. Sea ABC un triángulo Equilátero cualquiera, de altura H y de lado L(Figura 13).Como el triángulo es Equilátero, entonces H = √3 L/2. Ahora, los triángulosPQC y ABC son semejantes por el criterio de semejanza AAA.Como consecuencia de la propiedad de semejanza se tiene que:AC / BC = PC / PQ y AM / MC = PR / RC (Condición necesaria parala existencia)Así tenemos: L / L = (L - α ) / Z de dónde Z = L - α (1)Por otra parte se tiene: (L/2) / H = (Z/2) / h1 de dónde se deduce que Z = L h1/H (2)De las conclusiones (1) y (2) llegamos a la igualdad:L - α = L h1 / H pero H = √3L / 2 y así α = L - 2h1 / √3, como Pe = 3L sededuce queα = Pe /3 -2h1/√3 bajo la condición de que Pe > 2√3 h1. FIGURA 13Ahora al relacionar los triángulos ABC y PQC, resultan semejantes debido aque el segmento de recta PQ es paralelo al lado AB del triángulo dado. Además debemos tener en cuenta algunas consideraciones tales como:
  15. 15. MC = H, PQ = t y CR = h.Se debe probar que el valor del área del triángulo ABC es equivalente al dobledel valor del área del triángulo PQC, es decir, A = 2 A1.En el triángulo ABC se tiene que la fórmula que valida el valor del área de dichotriángulo está dada por: A = LH / 2 (1)Por otra parte tenemos que: H2 + (L/2)2 = L2 de dónde se concluye queH = ½ √(4 L2 – L2) = ½ √ 3 L (2). Al reemplazar (2) en (1) se tiene que:A = (√ 3 / 4) L2 (3)En el triángulo PQC se tiene que la fórmula que valida el valor del área dedicho triángulo está dada por: A1 = t h / 2 (4)Por otra parte se tiene que h2 + (t/ 2)2 = (L -α)2 de dónde se concluye queh = ½ √ 4(L -α)2 –t2 (5), debido) a la propiedad de la semejanza de triángulospodemos afirmar 1 = (L -α) / t de dónde t = L - α (6)Al reemplazar las fórmulas (5) y (6) en (4), obtenemos:A1 = ( (L -α) / 4) 4(L -α)2 – (L -α)2 = (L -α)2 √ 3 / 4, luego 2 A1 = (L -α)√ 3 / 2(7)Al comparar las fórmulas (3) y (7), forzosamente estamos comparando lasexpresiones 2(L -α)2 con la expresión L2, es decir 2(L -α)2 = L2 de dóndese concluye que α = (L / 2) (2 - √ 2). Fórmula quellamaremos FMágica la cual nos asegura la existencia de Median ices en untriángulo Equilátero, de una forma sencilla y rápida. Al factor (2 - √ 2)/2Lo llamamos el factor FMágico. Una muestra de esta situación queda plasmadaen la Figura 14
  16. 16. FIGURA 14Estudio de Median ices no paralelas a uno de los lados del triángulo EquiláteroABC.Esta exploración la haremos con base a la Figura14a. FIGURA 14aEn el triángulo ABC, el valor del área está dada por la fórmula A = (√ 3 / 4) L2(1) En el triángulo PQC, para obtener el valor del área debemos recurrir a lafórmula de Herón, dónde el semiperímetro del triángulo PQC está dado por S =(2L -α - β + t) / 2 y por tanto el área está dada por A1 = √ S(S – L + α )(S – L + β)(S – t) (2)
  17. 17. Ahora buscamos los valores de las expresiones siguientes:S – L + α = (α - β + t) / 2 S – L + β = (β - α + t) / 2 S – t = (2L - α - β- t) / 2Reemplazando estos resultados en (2), se obtiene:A1 = ¼ √ (α - β + t) (2L - α - β + t)(β - α + t )(2L - α - β - t)A 1 = ¼ √ ((t - β) + α)((t + β) - α)((2L - β + t) - α)((2L - β - t) - α)A1 = ¼ √ ((t2 - β2) + ((t +β) – (t -β))α - α2) ((2L - β)2 - t2) – ((2L - β - t) + (2L -β +t)α + α2)A1 = ¼ √ ((t2- β2 + 2 βα - α2)((2L - β)2 – t2 + 2tα + α2) (3)Debemos tener que A = 2A1, entonces esto nos fuerza a compara las fórmulas(1) con (3), es decir:(√ 3 / 4) L2 = 1 /2 √ (t2 - β2 +2βα - α2)((2L - β)2 – t2 + 2tα + α2) (4)La fórmula (4) podría ser el camino correcto en la consecución del α óptimo,para comprobar o refutar esta especie de conjetura realizaremos un ensayoque dejamos registrado en la Figura 12a, dónde se observa que L = 2.16 cm, t= 1.52 cm, β = 0.70 cm y α = 0.59 cm.Al reemplazar estos valores exceptuando el valor de α en la fórmula (4) seobtiene:√ 3 /4 (2.16)2 = ½ √ (1.84 + 1.4α - α2)(13.18- 2.32 + 3.05α + α2)(2.03)2 = ¼ (1.84 + 1.4α - α2)(10.86 + 3.05α + α2)16.48 = 19.98 + 15.2α - 10.86α2 + 5.61α + 4.27α2 -3.05α3 + 1.84 α2+ 1.4 α3 - α416.48 = 19.98 + 20.81α - 4.75 α2 – 1.65 α3 - α4 de dónde se tiene que:α4 + 1.65 α3 + 4.75 α2 -20.81 α - 3.5 = 0Utilizando el Derive que posee la calculadora, intentamos factor izar dichaecuación de la siguiente forma:(α - 1.94)(α + 0.16)(α2 + 3.42 α + 11.13) =0 de dónde la única solución positivaes α = 1.94 cuyo valor está muy alejado del α real el cual es 0.59 cm., por tantoconcluimos que este no es el camino más adecuado para seleccionar un α quele de existencia al concepto no convencional del la Medianiz no paralela a unode los lados del triángulo Equilátero dado.
  18. 18. Por todo esto se hizo necesario de usar otro tipo de estrategiaEs la validación de Medianices en dicho triángulo de una manera sencilla yefectiva. Esto nos condujo a descubrir algunas Fórmulas experimentales empezando por la que relaciona el valor de la mitaddel lado del triángulo equilátero, un valor β conocido y una constante K la cualestá dada por la longitud por todo eso que tuvimos que echar mano de otrotipo de estrategia que nos permitiera del segmento de recta MQ, dicha fórmulaexperimental proponemos que debe tener la forma:α ≈ L / 2 - β + K / 2 dónde K = MQA continuación presentamos tres ensayos que quedan registrados en las Figura12b, 12c y 12d. FIGURA 12b
  19. 19. FIGURA 12cAnalizando esta estrategia nos conduce a conjeturar lo siguiente: “En untriángulo Equilátero ABC cualquiera, es posible construir infinitasMedianices como resultado de las infinitas posiciones que puedenalcanzar los puntos P y Q respectivamente, en el segmento de recta BM oAM”La estrategia que generó la “Fórmula experimental de α”, surge de observarcon bastante detenimiento el comportamiento comparativo de los valores de lossegmentos de rectas AP con BQ, QM y L/ 2, tomando como puntos dereferencia los puntos medios de los lados y los vértices del triángulo dado. Elprocedimiento se basa en tomar un punto P sobre el lado AC muy cerca delvértice A y luego tomamos otro punto sobre el lado BC bastante cerca delpunto medio de este lado. Luego hacemos una distinción especial con laherramienta F3-4, calculamos ahora los valores de los segmentos de rectasAP, BQ, MQ, L, A1, A2 dónde A1 representa el valor del área del polígono ABQPy A2 representa el valor del área del triángulo PQC, para luego arrastrar lospuntos P y Q hasta que A1≈ A2 con un margen de error comparativo del ordende un 10-2 cm.; a partir de este instante empieza el proceso de comparar losvalores en cuestión y después de muchas pruebas dónde estuvo presente elensayo y error llegamos a la gran conclusión de que :AP ≈ L / 2 – BQ + MQ / 2 haciendo AP = α (Valor desconocido), BQ = β y MQ= K, la fórmula toma la forma: α ≈ L / 2 - β + K / 2.En el siguiente ensayo descubrimos que existían otro tipo de “FórmulasExperimentales”, las cuales tendrían el mismo patrón de la primera fórmulaexperimental con la variante que el tercer término podría ser un múltiplo de K /2 o múltiplos de K / 3 o una interpolación de estos valores, como lo muestranlas Figura 12e y 12f.
  20. 20. Figura 12dFIGURA 12e
  21. 21. Figura 12fAl descodificar Para concluir con el estudio del triángulo Equilátero , debemosencontrar una solución nos conduzca a la comparación simultanea deperímetros entre si y áreas entre si, luego mediante la herramienta del arrastredel punto P sobre un segmento localizado sobre uno de los lados del triángulo,encontrar las condiciones necesarias para la existencia de dicha solución, paraeste fin proponemos el siguiente modelo bifuncional al problema que generó el“ Granjero”; para esto modelaremos una estrategia que:1. Crear un triángulo Equilátero ABC cualquiera y calcular su perímetro.2. Calcular Pe / 2 y transferir este valor sobre una semirrecta PR a partir delpunto P3. Con centro en B y radio BR crear una circunferencia que corta a el lado BCen el punto T.4. Unir los puntos P y T a través de un segmento de recta y así el triángulooriginal queda dividido en dos figuras geométricas a las cuales es posiblecalcularles sus perímetros P1 y P2 lo mismo que sus áreas A1 y A2; todo esteproceso queda condensado en la Figura 13.
  22. 22. Figura 13.Ahora, al mover el punto P hacia el punto M o hacia el punto A se dan lascondiciones esperadas en la solución del problema del granjero, esta situaciónqueda plasmada en la Figura 14. Figura 14Al observar la Figura 13, es posible afirmar primera mano que:Cuando el punto P alcanza la posición del puntos A, T ocupa la posición delpunto medio del lado BC y cuando esto ocurre se activa una solución para elproblema propuesto inicialmente y lo mismo ocurre cuando el punto P alcanzala posición del punto M, el punto T coincide con el punto C y por tanto es
  23. 23. también condición necesaria para la existencia de una solución al problemaoriginal.Concluimos que existen sólo tres maneras diferentes para darle una solución alproblema “The Equalizing Line” en un triángulo Equilátero y el concepto ideal avalidar que está estrechamente ligado a la solución del “Problema del granjero”es sin duda alguna el concepto geométrico no convencional de la Mediana.EXPLORACIÓN EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELESAhora, centraremos nuestro estudio en el triángulo Isósceles en dóndeutilizaremos estrategias similares a las que se usaron en el estudio del triánguloEquilátero.EN LA BÜSQUEDA DE ESCINTORESEmpezando la exploración con un triángulo Rectángulo, utilizando un segmentode control es posible hallar un valor positivo α el cual se constituye en unacondición necesaria para la existencia de un de Escintor en dicho triángulo,luego compararemos el α conocido con un α que lo llamamos el “alfaalgebraico” que en este caso está dado por la fórmula (2 - √2) L / 4, dichabúsqueda quedó condensada en la Figura 15. Figura 15Este resultado lo dejamos consignado bajo el siguiente teorema:
  24. 24. TEOREMA E2. (Escintor de un triángulo Isósceles Rectangular)En un triángulo Isósceles Rectangular ABC, se hace posible asegurar laexistencia de un Escintor si el valor del α se escoge utilizando la fórmula (2 -√2) L / 4 dónde L es el lado apropiado a escoger del triángulo ABC.Prueba. Sea ABC un triángulo Isósceles Rectangular, de lados L y L1 (Figura16) Hacemos PQ = t .Puesto que el triángulo dado es Isósceles Rectangular,podemos afirmar que L2 + L2 = L21 así L1 = √2 L.Como el objetivo es validar la existencia de un Escintor, esto implica que elperímetro del triángulo PQC equivale al perímetro del trapecio ABQP, es decir:2 (L - α ) + t = 2α + L1 + t de dónde 2L – 2 α = 2 α + L1 por tanto se tieneque: 2L – L1 = 4 α pero L1 = √2 L por tanto tenemos que 4 α = 2L - √2 L, así4 α = (2 - √2) L para concluir que:α = (2 - √2)( L / 4). Con esto se termina la prueba. Observación: De nuevo aparece la fórmula FMágica en la escogenciadel α óptimo, puesto que este valor se puede expresar como ( (2 - √ 2)/ 2)(L/2)dónde la expresión (2 - √ 2) / 2 es el ya conocido como “factor mágico Figura 16
  25. 25. Siguiendo la línea de exploración , continuaremos estudiando Escintores en untriángulo Isósceles no rectangular, dónde se hace uso de un segmento decontrol, el cual nos facilita encontrar un valor positivo α como punto de partidapara la posible existencia del Escintor en dicho triángulo; luego contrastamos elvalor del α hallado por procedimiento netamente exploratorio con un valorllamado un alfa algebraico, que en este caso está dado mediante la fórmula (2L – L1 ) / 4,todo este proceso quedó registrado el las Figuras 17 y 18. Figura 17 Figura 18
  26. 26. Estos resultados los consignamos de una manera formal, a través delsiguiente teorema:TEOREMA E3. (Escintor de un triángulo Isósceles no rectangular)En un triángulo Isósceles no rectangular ABC, de lados L y L1, existe unEscintor siempre que podamos escoger el valor del α óptimo de siguientemanera: (2L – L1) / 4, dónde L >L1 / 2.Prueba. Sea ABC un triángulo Isósceles no rectangular, de lados L y L1 (Figura 19).Llamamos al segmento PQ por t y como nuestro compromiso es garantizar laexistencia de un Escintor en dicho triángulo, se hace necesario que losperímetros del triángulo PQC sea equivalente al perímetro del trapecio ABPQ,es decir:L - α + L - α + t = 2 α + L1 + t de dónde 2L – 2 α = 2 α + L1 así 2L – L1 = 4 αpara concluir que α = (2L – L1) / 4 bajo la condición de que L > L1 / 2. Con estose termina la prueba.EN LA BÚSQUEDA DE MESCINTORESNuestra misión ahora, consistirá en la búsqueda de posibles Mescintores enun triángulo Isósceles, para concretar dicha búsqueda exploraremos en dichotriángulo, la posibilidad de la existencia de un valor positivo llamado α el cual seconstituye como una condición necesaria para la existencia de Mescintores enel triángulo Isósceles, agotemos todos los posibles casos que se pueden dar ennuestra actividad exploratoria.
  27. 27. Analicemos el primer caso, el cual queda condensado en la Figura 20. Figura 20Al observar detenidamente la Figura 19, podemos concluir que el perímetro deltriángulo MBP es equivalente al perímetro del polígono AMPC, es decir:L + L 1/2 + α + r = L1/2 + L - α + r de dónde concluimos que α = 0.Este resultado nos hace pensar que el punto P debe alcanzar la posición delpunto C y el concepto de Merscintor estaría ligado a otro concepto geométricollamado Vescintor.En un segundo caso, colocaremos el punto P sobre el lado L1 del triánguloIsósceles y dicho ensayo queda formalizado bajo la Figura 21.
  28. 28. Figura 21El α obtenido en la Figura 21 a través de la exploración por vía de la ley delarrastre del punto P sobre el lado AB, lo confrontaremos con el llamado “alfaalgebraico” el cual se calcula mediante la expresión (L1 – L) / 2, este ensayoqueda condensado en la Figura 22. Figura 22Formalizando los resultados obtenidos en los ensayos anteriores, afirmamosque:TEOREMA M2 (Mescintor de un triángulo Isósceles)
  29. 29. En todo triángulo Isósceles de lados L y L1, existe un Mescintor en dichotriángulo si es posible escoger un α de la forma (L1 – L) / 2.Prueba. Sea ABC un triángulo Isósceles de lados L y L1 (Figura 23).Como nuestro interés se basa en la validación la existencia de un Mescintor enel triángulo dado, esto implica que los perímetros del triángulo PBM debe serequivalente al perímetro del polígono APMC, es decir:;L1 - α + L/2 + r = α + L + L/2 + r de dónde L1 - α = α + L así L1 – L = 2 αpor tanto podemos concluir que α = (L1 – L) / 2. Con esto se termina laprueba. Figura 23Explorando Mescintores en un triángulo Isósceles Rectangular, utilizando unsegmento de control para generar una condición necesaria la cual quedacondensada en un valor positivo llamado α , para garantizar la existencia deun Mescintor en dicho triángulo ,así como se presenta en la Figura 24
  30. 30. Figura 24Haciendo un nuevo ensayo en la calculadora voyage 200 y comparando el αhallado por medios totalmente exploratorios con un α llamado algebraico elcual se calcula mediante la fórmula (√2 – 1)( L / 2), observamos una pequeñadiferencia la cual se encuentra dentro del rango de aceptación dado en ladefinición 1, es por eso que dicha experiencia la presentamos en la Figura 25. Figura 25Estos dos resultados los registramos mediante el siguiente teorema;TEOREMA M3 (Mescintor de un triángulo Isósceles Rectangular)
  31. 31. En todo triángulo Isósceles Rectangular ABC, de lados L y L1, se presenta laposibilidad de validar la existencia de un Mescintor en dicho triángulo, siemprey cuando se seleccione el α óptimo como α = (√2 – 1)( L / 2).Prueba. Sea ABC un triángulo Isósceles Rectangular de lados L y L1 (Figura26).Debido a que el triángulo ABC es rectángular, se tiene que L1 = √2 L.Hacemos AP = α entonces PB = √2 L - α, y PM = r.Como estamos en vía de validar la existencia de un mescintor en el triánguloABC, esto implica que el perímetro del triángulo PBM debe coincidir con elperímetro del polígono APMC, es decir: √2 - α + L/2 + r = α + L + L/2 + r de dónde se tiene que √2 L – L = 2 α así(√2 – 1) L =2α para concluir que α = (√2 – 1)( L / 2). Con esto se termina laprueba. Figura 26Al explorar en un triángulo Isósceles la validación de conceptos tales comoMedianiz-Vescintriz , en dicho proceso se presenta una observación muyimportante la cual se constituye en la clave para garantizar la existencia deconceptos del tipo Medianiz-Vescintriz; dicha clave está relacionada con laspropiedades de la semejanza de triángulos ,las cuales en este caso seconstituyen en una condición necesaria para que estos conceptos tengan vidaeste contexto, así que un primer ensayo siguiendo la estrategia utilizada ensituaciones similares con anterioridad en donde se hace una comparación entreel α obtenido por medios puramente exploratorios con un α llamado algebraico
  32. 32. nacido de una fórmula experimental, situación que queda plasmada en laFigura 27. Figura 27Estos resultados son registrados en el siguiente teorema:TEOREMA ME1 (Medianiz-Vescintriz de un triángulo Isósceles)En todo triángulo Isósceles ABC de lados L y L1 de altura H, Existe unaMedianiz –Vescintriz en dicho triángulo, si se selecciona el α óptimo de laforma:α = (1 – 2h1 / √4L2 – L12) L con la condición de que L > L1 / 2.Prueba. Sea el triángulo ABC Isósceles de lados L y L1 y altura H = MC(Figura 28). Hacemos PQ = Z.Debido a que el segmento PQ es paralelo al lado AB, podemos asegurar conseguridad de que los triángulos AMC y ABC son semejantes, lo mismo ocurrecon los triángulos AMC y PRC aseveración que es garantizada por lapropiedad Angulo-Angulo-Angulo de la semejanza de triángulos. Por todo loanterior afirmamos que:PC / PQ = AC / AB (1) y AM / MC = PR / RC (2)
  33. 33. En este caso (1) y (2) se constituyen las condiciones necesarias para laexistencia del α óptimo. También podemos afirmar que de (1) y (2) sedesprende:(L -α) / Z = L / L1 de dónde se tiene que (L -α) / L = Z / L1 (3)También podemos afirmar que (L1/2) / H = (Z/2) / h1 de dónde Z / L1 = h1 / H(4) Por tanto de (3) y (4) concluimos que (L -α) / L = h1 / H de dónde se tienequeL – (h1 L) / H = α , para luego concluir que (1 – h1/H) = α (5)Por otra parte el triángulo MBC es recto en M y por tanto afirmamos que:H2 + L12 / 4 = L2 de dónde se concluye que H = ½ √4 L2 – L12 (6)Reemplazando (6) en (5), tenemos:α = (1 – 2h1 / √ (4 L2 – L12)) L con la condición de que L > L1 / 2. Con esto setermina esta prueba. Figura 28Podemos afirmar con toda certeza que los casos referentes a la búsqueda seMedianiz-Vescintriz tanto en un triángulo Equilátero como en el triánguloIsósceles se constituyen en los casos más evidentes que le dan solución al“problema de granjero”, donde se supone en estos casos que los terrenosestán conformados como triángulos Equiláteros e Isósceles, situacionesmostradas en las Figuras 29 y 30.
  34. 34. Figura 30 Figura 29La observación uno-a consiste en haber descubierto por decirlo así laspropiedades de la semejanza de triángulo como la condición de mayorimportancia que garantiza la existencia de algunos conceptos geométricos noconvencionales tales como la Medianiz y de la Vescintriz en este caso.CONCLUSIONESLa experiencia denota una riqueza conceptual, en la medida que losconocimientos involucrados posibilitan la valides de conjeturas y la modelación
  35. 35. de una situación problema que desencadena otras situaciones problemas. Hayque anotar también que la intermediación de la herramienta tecnológica mostrónovedosas norma de validar los conceptos de Escintor, Mescintor yVescintor. Esta situación presenta varios matices: inicialmente se presenta unproblema de existencia, luego el de la unicidad y posteriormente el de lageneralización mediante modelos algebraicos.La exploración libre posibilitó encontrar soluciones insospechadas, por ejemplo,la existencia de infinitos Escintores para el triangulo equilátero. De igual formase hizo una exploración libre para los triángulos isósceles y escaleno,encontrándose algunos resultados que están en la fase de análisis einterpretación.En esta primera fase de exploración nos permitió generar una definición muyimportante, la cual nos da los parámetros en la selección adecuada de un valorpositivo α la cual es la condición necesaria para la existencia de los conceptosgeométricos no convencionales; al igual que generación de varios teoremas yun corolario del primer teorema.Otra fortaleza que posee esta investigación es la gran visualidad conceptualesta acción se refiere a la posibilidad de leer , analizar y conjeturar a partir deuna imagen compactada en su respectiva Figura señalada en cada sección deestudio del triángulo ABC.La investigación propicia la creación de muchas estrategias de exploración quegeneraron contextos especiales dónde se daban algunos resultados muyespecíficos, tales como relaciones, propiedades, conjeturas y generalizaciones,también nos obliga a crear modelos geométricos los cuales se constituyen encontextos muy especiales que aceleran la consecución de una solución tananhelada a un problema preestablecido con antelación.Esta investigación arrojó como uno de los resultados contundente a afirmar queel problema del granjero posee más de una solución en el contexto deltriángulo Escaleno.
  36. 36. BIBLIOGRAFIAMEN (1998). Matemática. Lineamientos Curriculares. Bogota, EditorialMagisterio.MEN (1999). Nueva Tecnologías y Currículo de Matemática: Apoyo a losLineamientos Curriculares. Bogota, Enlace Editores Ltda...MEN (2004).Pensamientos Geométricos Tecnología Computacionales.Bogota, Enlace Editores Ltda.MEN (2002). Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso deNuevas Tecnología en el Aula de Matemática. Serie Memorias. Bogota,Enlace Editores Ltda.MEN (2004). Tecnología Informática: Innovación en el Currículo deMatemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media. Series Estadios.Bogota, Enlace Editores Ltda.

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