IB Maths.Turning points. Second derivative test

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IB Maths.Turning points. Second derivative test

  1. 1. Test for maximum, minimum and points of inflexion 1. Find stationary point a  :  f ' (a) = 0 2. Study the sign of f ' to the right and left of a + + + maximum ­ f ' (a)=0 horizontal point of inflexion ­ ­ f ' (a)=0f ' (a)=0 +­ minimum f ' (a)=0
  2. 2. Find the coordinates of the stationary points on the  curve y= x4  ­ 4 x3   and determine their nature. Example 5:
  3. 3. Find the stationary points for the curve                        and determine their nature. Sketch the function. Example 6:
  4. 4. Find turning points for                                    .  Sketch the curve. Example 7:
  5. 5.  For the curve  y = x3  + x2  find the stationary  points and sketch the curve. Example 8:
  6. 6.  y = x3  + x2
  7. 7. By the end of the lesson you will be able to: • Use the second derivative to test the nature of a  stationary point and/or point of inflexion.
  8. 8.   •   •   A B f is concave upwards gradient is increasing f '  is increasing f ''  > 0 If a function is  increasing then its  derivative is positive Concavity
  9. 9.   f is concave downwards gradient is decreasing f '  is decreasing f ''  < 0 If a function is  decreasing then its  derivative is negative •    •   A B
  10. 10. f is concave upwards  f ''  > 0 f is concave downwards  f ''  < 0
  11. 11. The second derivative and turning points •   •   B A at A:           f ' (a)= 0 f is concave up. f ''(a) > 0 f '(a) = 0 A is a minimum point           f ' (b)= 0 f is concave down. f '(b) = 0 f ''(b) < 0 B is a maximum point at B:
  12. 12. P is a minimum point at P : f '(x) = 0   f ''(x) > 0 P is a maximum point at P : f '(x) = 0   f ''(x)< 0
  13. 13. P •   A point of inflexion is when the curve changes  from concave down to concave up or vice versa. P is a point of inflexion •   P at P: f ''(x) = 0  f '' changes sign   If f ' is also zero then P is a horizontal point  of inflexion.
  14. 14. Find the  points of inflection of                        f (x) = x4 ­ 4 x3   + 5
  15. 15. Find the stationary points for the curve  y= 4 + 3x ­ x3  and determine their nature. Draw a  sketch of the function.
  16. 16. y= 4 + 3x ­ x3
  17. 17. Find the point of inflexion on the curve  y = 2 x 3  + 3 x 2  + 6 x ­ 7  and sketch its graph
  18. 18. y = 2 x 3  + 3 x 2  + 6 x ­ 7
  19. 19.  For the curve  y = x3  + x2  find the stationary points  and point of inflexion.
  20. 20.  y = x3  + x2
  21. 21. Find turning points for    y =x3  ­ 3x2  ­ 9x +2. Sketch  the curve.
  22. 22. y =x3  ­ 3x2  ­ 9x +2
  23. 23. Test for maximum, minimum and points of inflexion Method 1: First derivative Sign test 1. Find a  :  f ' (a) = 0 2. Study the sign of f ' to the right  and left of a ++ ­ ­ maximum minimum + + ­ ­ f ' (a)=0 horizontal point of inflexion Method 2 : Second derivative test 1. Find a  :  f ' (a) = 0 2. Study the sign of  f ''(a)      f '' (a) <0    f '' (a) = 0      and f '' changes  sign at a f ' (a)=0 f ' (a)=0 f ' (a)=0 f '' (a) >0    minimum maximum point of inflexion
  24. 24. http://www.mindomo.com/view.htm?m=7af63ca6ad1b462fa05b7762859f45d3 Derivative puzzle 1 Big derivative puzzle

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