IB Maths unit circle

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  • 1. Unit Circle •   Recognise the  properties of the unit circle. •  Identify the sine  and cosine of an angle in the unit circle. • Define the sine and cosine for obtuse and reflex angles. • Relate the sine and cosine of angles in quadrants 2,3 and 4 with the sine  and cosine of a reference angle in the first quadrant. By the end of the lesson you will be able to:
  • 2. Quadrant IQuadrant II Quadrant III Quadrant IV x y
  • 3. Quadrant IQuadrant II Quadrant III Quadrant IV x y x positive y positive x negative y positive x positivex negative y negative y negative 0o   0 rad 90o   π/2 rad 180o    π rad 270o  3π/2 rad
  • 4.   A .P  θ Angle measurement    P lies anywhere on the unit circle and A = (1,0).     Angle θ will be the angle measured from          
  • 5. Represent the following angles on the unit circle. θ = 1350 θ = 2400 θ = 3000 θ = ­ 600 Unit circle 2.ggb
  • 6. Mark on the unit circle the points corresponding to  the angles: A: 135o D: 450o C: ­120o B: 270o
  • 7.   Complete the table: angle in degrees          30o         225o            390o   angle in radians quadrant
  • 8. Mark on the unit circle the points corresponding to  the angles: A:   D: C:   B: 
  • 9. Draw the angles:
  • 10. Book page 182, Ex. 8A  to revise radians, angles  in the unit circle
  • 11. The Incredible Unit Circle r=1
  • 12. • P  ( x , y )  What is the relationship between the coordinates of   a point P on the  unit circle? State the coordinates of  any  point  on the circumference. r =1
  • 13. Does the point  belong to the unit circle?  x2  + y2  = 1
  • 14. Does the point  belong to the unit circle?  x2  + y2  = 1 .P y Is there any other point on the unit circle where the x coordinate is         ?
  • 15.    What is the relationship between the coordinates of   a point P on the  unit circle? x • P  ( x , y )  y 1 Therefore , the equation of the unit circle  is:     x2  + y2  = 1 Unit circle 1.ggb What will be the equation of a circle of centre in the origin and  radius 2?
  • 16. Is there any point P(x,y)on the unit circle  where x = √2? What are the possible values of  x ? What are the possible values of  y ?  x2  + y2  = 1 http://science.kennesaw.edu/~plaval/applets/TrigDef.html
  • 17. y = sin θ P(x,y)     1 θ x =cos θ Express x and y in terms of angle θ
  • 18. When P is on any quadrant: .P(x,y)     x =cos θ y = sin θ θ
  • 19. lete the table:   P (1,0)   (0,­1) θ   cos θ -1 sin θ Unit circle all quadrants.ggb Complete the table:
  • 20. y = sin θ P(x,y)     1 x =cos θ θ Some important conclusions: ­1 ≤ sin θ ≤ 1 ­1 ≤ cos θ ≤ 1 sin2  θ + cos2 θ = 1
  • 21. Signs of sine and cosine drag the orange line around the circle
  • 22.  Use the half unit circle to :   sin 40o cos 120o sin 150o cos 10o 2)Find two different angles with the same sine. 1) Estimate the following  3) Find an angle with a cosine  of  0.5.  4) Mark an angle whose sine is 0.2. Is the answer unique?
  • 23. Use the unit circle to find : a) sin 50o b) cos 50o
  • 24. sin 50o ≅0.77 cos 50o ≅0.64
  • 25. a) sin 230o b) cos 230o Given that sin 50° ≈0.77 and cos 50°≈0.64, use the unit circle to  find:
  • 26. Use the unit circle to find : a) sin 230o b) cos 230o cos 230o ≅- 0.64 sin 230o ≅ -0.77 We can relate any angle in the third quadrant with one in the first  quadrant. Thus                                       230° =180o  +50o
  • 27. cos α  = ­ cos ( α +π) sin α  = ­ sin ( α +π) Conclusions: απ+α If α is in the first quadrant, π+α represents an angle of the third quadrant.
  • 28. If  α is in the first quadrant then (π + α) represents  an angle  in the third quadrant.    sin ( α +π) = ­ sin α    cos ( α +π) =  ­ cos α   Example: = sin 225o   = cos 210o =
  • 29. Knowing that                      and                            use the unit circle to find : a) sin   b) cos  315o 315o
  • 30. Use the unit circle to find : a) sin   b) cos  315o 315o
  • 31. In general : Conclusions: cos α = cos ( 2π­α)  or    cos α = cos (­α) sin  α = ­ sin ( 2π­α)   or  sin  α = ­ sin (­α) α 2π-α If α is in the first quadrant, 2π­α represents an angle of the fourth quadrant.
  • 32. Conclusions:   cos ( 2π­α) = cos α        or            cos (­α) = cos α  If  α  is in the first quadrant,  2π ­ α  represents an  angle of the fourth quadrant.  sin ( 2π­α) = ­sin  α       or          sin (­α)= ­ sin  α  Example: sin 300o =
  • 33.  α is an angle in the first quadrant and β is in the second quadrant such that       sin α = sin β      cos α= ­cos β    What is the relationship between α and β?
  • 34.  α is an angle in the first quadrant and β is in the second quadrant such that       sin α = sin β      cos α= ­cos β    What is the relationship between α and β? sin ( π­ α) = sin α cos ( π­ α) =  ­ cos α α+β=π ⇒ β= π-α Conclusions: If α is in the first quadrant, π­α represents an angle of the second quadrant. α   β 
  • 35. Conclusions: If α is in the first quadrant, π­α represents an angle of  the second quadrant. sin ( π­ α) = sin α cos ( π­ α) =  ­ cos α Example: sin 120o  = 
  • 36. Mark all  the angles   α,  0 ≤ α ≤ 2π,  such that  cos α = -0.4
  • 37. a) Mark all  the angles   α,  0≤ α ≤2π,  such that  cos α = -0.4 b) Estimate the values of α c) Use the unit circle to estimate sin α in each case. e) Calculate the values of α, correct to 3 s.f. d) Use Pythagoras' Identity to calculate the exact value of  sin α in each case.
  • 38. Use the unit circle to find the values of:
  • 39. Use the unit circle to find the values of:
  • 40. Attachments Unit circle coordinates.exe tan curve.exe 2010­03­14_1831.swf Unit circle.ggb Unit circle all quadrants.ggb Unit circle 1.ggb Unit circle class worksheet 2012.docx Unit circle 2.ggb