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Arboles

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Descripción de los arboles, sus elementos y propiedades

Descripción de los arboles, sus elementos y propiedades

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  • 1. ING. En Sistemas Computacionales Capitulo 6.4 Árboles Matemáticas DiscretasProfesora: María Concepción Ibarra Expositores: García García Joel Miranda Gil Leopoldo Rodríguez Espejo Luis
  • 2.  Es un tipo especial de grafo. El primero en utilizarlo fue Gustavo Kirchhoff en sus trabajos sobre redes eléctricas. En 1857 Arthur Cayley utilizo un tipo especial de grafo para enumerar diversos isómeros de los carburos saturados.
  • 3.  Definición: Un árbol es un grafo no diriguido, conexo y sin ciclos. Puesto que un árbol no puede contener ciclos, es un grafo acíclico, tampoco puede tener bucles o aristas múltiples. Por tanto, un árbol es necesariamente un grafo símple.
  • 4.  Algunos ejemplos de árboles:a a b bc d c d f e e f G1 G2
  • 5.  Algunos ejemplos de grafos que no son árboles:a b a b bosquec d c de G3 f e G4 f
  • 6.  Todo grafo conexo y acíclico es un árbol. ¿Qué podemos decir de los grafos acíclicos, pero no necesariamente conexos? Estosgrafos se llaman bosques y tienen la propiedad de que cada una de sus componentes conexas es un árbol.
  • 7. Un grafo con tres componentes conexas Ejemplo de un bosque
  • 8. Teorema 1: Un grafo no diriguido es un árbol si, y sólo si, hay un único camino entre cada pareja de vértices.Demostración: Primero supongamos que T es un árbol. Entonces, T es un grafo conexo y acíclico. Sean x e y dos vértices de T. Puesto que T es conexo, por el Teorema 1, hay un camino entre x e y.
  • 9.  Además, este camino debe ser único, puesto que si hubiera un segundo camino, entonces el recorrido construido al combinar el primer camino de x a y con el camino de y a x, daría un circuito.
  • 10. Componentes:RaízVértice intermedioVértice terminal u hojaPadreHijoHermanoAncestroDescendientes
  • 11. Definición 2: Un árbol con raíz es un árbol en el que uno de sus vértices ha sido designado como la raíz y todas las aristas están orientadas de modo que se alejan de la raíz.
  • 12. T f gd b e a c Un árbol y los árboles con raíz construidos al designar dos raíces.
  • 13. Con raíz en a T a f g b c dd b e a f g e ¿Cuál es el padre de c? a c ¿Cuál es el hijo de c? e ¿Cuáles son los hermanos de b?c y d ¿Cuáles son los antecesores de g?b y a ¿Cuáles son los descendientes de b? y g f ¿Cuáles son los vértices internos? b y c ¿Cuáles son las hojas? f, g, e y d Un árbol y los árboles con raíz construidos al designar dos raíces.
  • 14. Con raíz en a Con raíz en c T a c f g b a c d e b b dd e a f g e f g c Un árbol y los árboles con raíz construidos al designar dos raíces.
  • 15. Definición: Un árbol raíz se llama árbol m-ario si todos los vértices internos tienen a lo sumo, m hijos. El árbol se llama árbol m-ario completo si todo vértice interno tiene exactamente m hijos. Un árbol m-ario con m=2 se llama árbol binario.
  • 16. T1 T2 T3T1 es un Arbol T2 es un Arbol Ternario T3 es un Arbol 5-ariobinario completo completo completo
  • 17. T4T4 no es un Arbol completo para m, ya que algunos vértices internostienen dos hijos, y otros tres.
  • 18. Árboles como Modelos Los árboles se utilizan como modelos en ciencias tan diversas como la informática, la química, la geología, la botánica y la psicología.
  • 19.  Con la llegada de los computadores, los arboles se emplean en el estudio de las estructuras de datos, clasificación, teoría de la codificación y en los problemas de optimización.
  • 20. Hidrocarburos Saturados y árboles. Los grafos pueden usarse para representar moléculas, con los átomos representando vértices y los enlaces entre ellos mediante aristas. El matemático inglés Arthur Cayley descubrión los árboles en 1857 cuando trataba de enumerar los isómeros de los compuestos. Butano
  • 21. Representación de Organizaciones La estructura de una oraganización se puede modelar utilizando un árbol con raíz. Cada vértice de este árbol indica un pusto en la organización.
  • 22. Presidente Vicepresidente Vicepresidente de Investigacion Mercantil Vicepresidente Y desarrollo ServiciosDirector Director Director Adjunto AdjuntoInvestiga Desarrollo Desarrollo Vicepresi Vicepresidenteción Software Hardware dente Ventas Mercanti l Organigrama
  • 23. Sistemas de ficheros de ordenadores. En la memoria de un ordenador, los ficheros se organizan en directorios. Un directorio puede contener tanto ficheros como subdirectorios. La raíz de un directorio contien el sistema de ficheros completo. Asi, un sistema de ficheros puede representarse mediante un arbol con raiz, donde la raiz representa el directorio raiz, los vertices internos representan los subdirectorios y las hojas representan los ficheros ordinarios o subdirectorios vacios.
  • 24. / usr bin tmpbin rje spool junk ls mail who khr Sistema de ficheros de un ordenador
  • 25. Propiedades de los Árboles Con frecuencia se necesitan resultados que relacionen los números de vértices y de aristas en diferentes tipos de árboles.
  • 26. Teorema 2: Un árbol de n vértices tiene n-1 aristas.Demostración: Para n=1, un árbol con n=1 vértice no tiene aristas de ahí el teorema sea cierto para n=1. (por inducción…).
  • 27. Teorema 3: Un árbol m-ario completo con i vértices internos tiene |n|=mi + 1 vértices.Demostración: Todo vértice, excepto la raíz, es hijo de algún vértice interno, puesto que cada uno de los vértices internos (i) tienen m hijos, hay mi vértices en el árbol diferentes de la raíz. Por tanto el árbol tiene un total de n = mi + 1 vértices.
  • 28. Teorema 4: Un árbol m-ario completo con: 1.-n vértices tiene i=(n-1)/m vértices internos y l=[(m-1)n+1]/m hojas. 2.-i vértices internos tienen n=mi+1 vértices y l=(m-1)i+1 hojas. 3.-l hojas tienen n=(ml-1)/(m-1) vértices e i=(l-1)/(m-1) vértices internos.Demostración: Sea n el número de vértices, i el número de vértices internos y l el número de hojas. Los tres apartados del teorema pueden probarse usando la igualdad establecida en el Teorema 3, esto es, n=mi+1, junto con la igualdad n=l+i , que es cierta porque cada vértice es bien un hoja o bien un vértices interno.
  • 29. =mTeorema 5: Un árbol m-ario de altura h tiene, a lo sumo, hojas.Demostración: Se demuestra por inducción sobre la altura. Primero, se considera un árbol m-ario de altura 1. Estos árboles constan de una raíz con, a lo sumo, m hijos, que son todos hojas. Por tanto, no hay mas de hojas de altura 1.
  • 30. Colorario1: Si un árbol m-ario de altura h tiene l hojas, entonces . Si el árbol es completo y equilibrado entoncesDemostración: Sabemos que , en virtud al Teorema 5. Tomando logaritmos en base m tiene que Puesto que h es un entero, tenemos
  • 31.  Gracias por su Atención…

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