Modelos de probabilidade
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Modelos de probabilidade

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Modelos de probabilidade - MACS 11.º

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Modelos de probabilidade Presentation Transcript

  • 1. Modelo de ProbabilidadeDefinição de Modelo de Probabilidade Valor médio e Variância Populacional
  • 2. Modelo de Probabilidade• É um modelo que descreve matematicamente um fenómeno aleatório em duas partes: primeiro, identifica os valores da variável aleatória e, em seguida, associa a cada um deles o valor da respetiva probabilidade. Cada uma destas probabilidades tem que estar entre 0 e 1 (ou 0% e 100%) e a soma de todas as probabilidades é 1 (ou 100%).
  • 3. Modelo de ProbabilidadeExperiência Aleatória – Identificaçãodo espaço de Resultados Correspondência entre os elementos do Espaço de resultados e um valor (quantitativo) Atribuição, a cada um dos valores anteriores, a respetiva probabilidade.
  • 4. Exemplo:X: “lançamento de duas moeda e observação das facesvoltadas para cima” E = {(N,N), (N,C), (C,N), (C,C)} Correspondência: “Número de faces N observadas”: xi = 0, 1, 2 xi 0 1 2 pi 1/4 1/2 1/4
  • 5. Valor Médioe Variância PopulacionalPopulação Amostra Média Valor Médio E(X) ou x Variância Variância Populacional Amostral Var(X) = 2 Var = s2
  • 6. Valor Médio e Variância PopulacionalPopulação Amostra E(X) = = xi fi x N = xi pi xi fri Var(X) = 2= Var = s2 = = pi ( xi )2 = fri ( xi x) 2
  • 7. Exemplo:X: “lançamento de duas moeda e observação das facesvoltadas para cima” xi 0 1 2 pi 1/4 1/2 1/4 1 1 1 E(X) = = xi pi 0 1 2 1 4 2 4 Var(X) = 2= 2 1 2 1 2 1 2 pi ( xi ) 0 1 1 1 2 1 0,5 4 2 4 0,5 0,707
  • 8. Modelo de ProbabilidadeModelos discretos/Modelos contínuos Modelos finitos/Modelos infinitos
  • 9. Modelo Discreto• Associado a uma variável aleatória discreta. – Exemplos: • N.º de faces Nacionais observadas no lançamento de duas moedas (modelo finito); • N.º de telefonemas atendidos por hora na central telefónica da EBSO (modelo infinito – modelo de Poisson).
  • 10. Modelo Contínuo• Associado a uma variável aleatória contínua. – Exemplos: • Tempo até ser atendido na fila supermercado (modelo infinito – modelo Exponencial); • Duração de um anuncio publicitário (modelo infinito – modelo Uniforme); • Altura dos rapazes aos 18 anos (modelo infinito – modelo normal).
  • 11. Modelos finitos e Modelos infinitos ModelosFinitos - Definidos com auxílio de diagramas ou Infinitos – Funções obtidas por modelação. Podemobservações. Apresentam-se em tabelas. apresentar-se por meio de uma expressão algébrica.É o caso do modelo trabalhado anteriormente. Discretos Contínuos Uniforme Poisson Geométrico Binomial Uniforme Exponencial Normal
  • 12. Modelos teóricos (infinitos)• Modelos discretos: – Modelo uniforme – todos os acontecimentos do espaço têm a mesma probabilidade. – Modelo de Poisson – determina a probabilidade se observarem um determinado número de vezes um dado acontecimento de uma experiência num determinado período de tempo. – Modelo Geométrico – determina a probabilidade de o número de realizações de dada experiência até se obter um valor dado ser igual a k. – Modelo Binomial – Determina a probabilidade de, em n repetições de uma certa experiência em iguais condições, se observar exactamente k vezes o acontecimento xi.
  • 13. Modelos teóricos (infinitos)• Modelos contínuos: – Modelo Uniforme – a probabilidade distribui-se de igual forma num dado intervalo de tempo. – Modelo Exponencial – determina a probabilidade de o tempo de espera para a realização de dado acontecimento se situar num determinado intervalo. – Modelo Normal – Modela a maioria das distribuições contínuas e aproxima de forma adequada as distribuições discretas quando o número de realizações da experiência que lhes está associada é grande (>20).
  • 14. Modelos teóricos (infinitos)• Para cada uma das variáveis aleatórias caracterizadas pelos modelos referidos vamos estudar: – A Expressão do modelo (se X …, então, P(X=k)=…) – O valor médio (E(X)= =…) – A variância e o desvio padrão populacional (Var(X)=… e =…) – Como usar a calculadora para calcular probabilidades com base em cada um dos modelos.
  • 15. Modelos infinitos discretos: Modelo Uniforme• Seja X uma variável aleatória cujo o espaço de resultados é composto por n acontecimentos elementares equiprováveis. Então: – X U (n) e P(X=k) = 1/n – O valor médio (E(X)= = média entre o maior e o menor valor da v.a.) – A variância e o desvio padrão populacional calculam-se usando as listas e o “varstat” do menu STAT da calculadora.
  • 16. Modelos infinitos discretos: Modelo de Poisson• Seja X uma variável aleatória que descreve o número de realizações de um dado acontecimento num determinado período de tempo, sobre a qual se sabe que a média de realizações é . Então, X é modelada por uma distribuição de Poisson: k –X P( ) e P(X=k) = e , k 0, 1, 2, 3,... k! – O valor médio é E(X)= = – A variância é Var(X)= – Calculadora: Seja X P(5); então, P(X=6) = 0,146 (2nd/distr/poissonpdf(5,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤ 6)-P(X ≤1) = 0.7621-0.0404 =0.7217 (poissoncdf(5,6)- poissoncdf(5,1)/enter)
  • 17. Modelos infinitos discretos: Modelo Geométrico• Seja X uma variável aleatória que modela o número de repetições de uma determinada experiência necessárias até que se obtenha o resultado xi, em que a probabilidade de ocorrer xi é p (entre 0 e 1) e de não ocorrer é 1-p. Então, X é modelada por uma distribuição Geométrica de parâmetro p: –X Geom(p) e P(X=k)(1 p)k = 1 p – O valor médio é E(X)= = 1/p – A variância é Var(X)= (1-p)/p2 – Calculadora: Seja X Geom(0.3); então, P(X=6) = 0.75x0.3 = 0.05 (ou 2nd/distr/Geometpdf(0.3,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤ 6)-P(X ≤1) = Geometcdf(0.3,6)-Geometcdf(0.3,1)/enter=0.5824
  • 18. Modelos infinitos discretos: Modelo Binomial• Seja X uma variável aleatória que modela a probabilidade de um acontecimento xi se realizar k vezes em n realizações de uma dada experiência. A probabilidade de xi é p (entre 0 e 1) e de não acontecer xi é q = 1-p. Então, X é modelada por uma distribuição Binomial de parâmetros n e p: Bi(n,p) e P(X=k) = Ckn p k (1 p)n k –X – O valor médio é E(X)= = n x p – A variância é Var(X)= n x p x (1- p) = n x p x q – Calculadora: Seja X Bi(5, 0.3); então, P(X=3) = 0.1323 (2nd/distr/Binompdf(5,0.3,3)/enter); P(2≤X≤4) = P(X ≤ 4)-P(X ≤1) = Binomcdf(5,0.3,4)-Binomcdf(5,0.3,1)/enter=0.4694
  • 19. Modelos infinitos contínuos• Um modelo de probabilidades diz-se contínuo se lhe está associada uma v. a. Contínua. Neste caso, o domínio do modelo será o intervalo ou intervalos onde está definida a variável. À função modelo chamamos função densidade e o seu gráfico situa- se completamente acima do eixo dos xx.
  • 20. Modelos discretos vs Modelos contínuos Discretos Contínuos Área total Soma das compreendida entre o probabilidades gráfico da função associadas a cada valor densidade e o eixo dos da v.a. é 1 xx é 1 P(a≤X≤b) = área compreendida entre o P(a≤X≤b) = P(X=a) + gráfico e o eixo dos xx P(X=a+1) + (…) + na barra P(X=b) correspondente ao intervalo [a , b].
  • 21. Modelos infinitos contínuos: Modelo Uniforme• Associado a v.a. contínuas que se encontram uniformemente distribuídas num intervalo [a,b], isto é, uma v.a. em que, dados quaisquer dois valores do intervalo, a probabilidade que lhes está associada é exatamente a mesma. Seja X uma v.a. Uniforme em [a,b]. Então: d c –X U[a,b] e P(c ≤ X ≤ d) = , a c d b b a (área do retângulo de lados d-c e b-a) – O valor médio é E(X)= = (a+b)/2 – Obs.: P(a ≤ X ≤ b) = 1.
  • 22. Modelos infinitos contínuos: Modelo Exponencial• Seja X uma variável aleatória que modela a probabilidade de o tempo de espera (entre chegadas numa fila de espera, entre falhas num dispositivo eletrónico, entre chegadas de um pedido a um servidor de Internet, etc.) se situar num dado intervalo, então X é modelada por uma distribuição Exponencial de parâmetro : –X Exp( ) e P(a ≤ X ≤ b) =e a e b – O valor médio é E(X)= =1/ – Não existe esta distribuição na calculadora. Assim, seja X Exp(0.2) (significa que, por exemplo, o tempo médio de espera é 1/0.2 = 5); e 0.2 2 P(2 0.2X6≤ 6) .369 então, e ≤ 0=
  • 23. Modelos infinitos contínuos: Modelo Normal• Baseia-se na distribuição Normal, que é a mais importante distribuição contínua, já estudada no 10.º ano (características no manual).• Se X N( , ), então: – O valor médio é E(X)= – A variância é Var(X)= 2; – é o desvio-padrão populacional – Calculadora: P(a≤X≤b) = normalcdf(a,b, , ). Exemplo: Seja X N(5, 0.7); então, P(4≤X≤6) = normalcdf(4,6,5,0.7)=0.8469